模式识别讲义：概率密度函数与Bayes判决

"这篇讲义主要探讨了模式识别中的一个重要概念——Bayes判决函数，并给出了在已知两类一维模式类别概率密度函数的情况下的误判概率计算。涉及到的知识点包括统计学、概率论、线性代数以及相关领域如图像处理和计算机视觉。课程内容涵盖从引论到特征提取和选择等多个方面，旨在通过理论和实践帮助学生理解模式识别的基本原理和方法。" 在模式识别中，Bayes判决函数是一个关键概念，它基于贝叶斯定理，用于决定一个样本应该被分配到哪个类别。在这个问题中，我们已经知道两个一维模式类别的先验概率相等，即P(ω1) = P(ω2) = 0.5。要找到Bayes判决函数，我们需要知道每个类别的条件概率密度函数，即给定一个观测值，样本属于该类别的概率。假设这两个类别的条件概率密度函数分别为p1(x)和p2(x)，那么Bayes判决函数可以通过以下方式定义： 如果 p1(x) / p2(x) > 1，则样本x被分配到第一类； 如果 p1(x) / p2(x) < 1，则样本x被分配到第二类。 这个比率也被称为likelihood ratio 或 Bayes factor。在0-1损失函数下，误判发生在样本被分配到错误类别的时候，损失为1，否则为0。因此，总误判概率P(e)是两类错误概率的和，即： P(e) = ∫ [p2(x) * I(p1(x)/p2(x) <= 1) + p1(x) * I(p1(x)/p2(x) > 1)] dx 其中I是指示函数，当条件满足时返回1，否则返回0。为了计算这个积分，我们需要具体的p1(x)和p2(x)表达式。 课程内容包括了从引论开始的广泛主题，如特征矢量和特征空间的概念，以及如何用统计学和概率论的方法来描述和区分模式。此外，还有聚类分析、判别域代数界面方程法、统计判决、学习与训练、最近邻方法、特征提取和选择等核心章节，这些都是模式识别中的基础工具和技术。在实际应用中，比如计算机自动诊断疾病，模式识别涉及信息采集、特征选择、预处理和分类识别等步骤，以实现高效准确的决策。 通过学习这些理论和实践，学生将能够理解和应用模式识别技术于各种领域，如图像处理、计算机视觉、人工智能等，为后续的深入研究或实际项目开发打下坚实的基础。