代数理论中的各向同性群及其在代数和拓扑中的应用

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记341（2018）201-217www.elsevier.com/locate/entcs代数理论彼得霍夫斯特拉a，1杰森帕克a，2菲利普斯科特a，3渥太华大学数学与统计系STEM Complex，150 Louis Pasteur，Ottawa，ON，K1N6N5，Canada摘要对于每一个小范畴或拓扑，我们可以将它的各向同性群联系起来，这是一个代数不变量，它捕捉了关于自同构行为的信息。我们在代数理论的特殊情况下研究了这个不变量，从而得到了代数理论的一个群论不变量。这个不变量编码了一个相对于理论的内自同构的概念。我们的主要技术成果是一个代数理论的各向同性群的句法特征，我们说明了有用的这一特点，通过将其应用到各种具体的例子代数理论。关键词：各向同性群，代数理论，拓扑。1介绍在文献[6]中，作者引入并研究了Grothendieck拓扑的一个新的群论不变量，称为各向同性。In loc.前引书解释了拓扑的各向同性群如何具有普适性质，即它规范地作用于拓扑的每一个对象，以这样一种方式，即每一个态射相对于这些作用是等变最近的工作[7]将这一研究扩展到小范畴，使这一现象成为基本范畴理论的一部分。特别地，它解释了一个小范畴的各向同性群如何被看作是一个“问题”的解决方案更精确地说，一个小范畴的各向同性群是一个函子ZC：Cop→Grp，对于C的每一个对象C，它都有一个比较态射ZC（C）→Aut（C）。Freyd[5]独立地研究了核代数的概念，并受到参数多态范畴分析的启发。用他的术语来说，1电子邮件：phofstra@uottawa.ca。 研究部分由NSERC Discovery Grant支持。2电子邮件：jpark181@uottawa.ca研究部分由Hofstra和Scott的NSERC发现补助金支持3电子邮件：phil@site.uottawa.ca。 研究部分由NSERC Discovery Grant支持。https://doi.org/10.1016/j.entcs.2018.11.0101571-0661/© 2018作者。出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。202P. Hofstra等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）201范畴的核心（如果它存在的话）是一个幺半群，非正式地说，它表示该范畴中存在的多态一元运算。在格罗滕迪克的作品中，弗洛伊德证明了核心总是存在的。此外，可以证明各向同性群是核的可逆元素的群，因此我们可以将各向同性群的元素解释为拓扑中的多态自同构。对于格罗滕迪克命题，也有一个解释的各向同性组的逻辑术语。对于每个Grothendieck拓扑E，存在一个（几何）理论T（直到Morita等价是唯一的），使得E是T的分类拓扑B（T）。特别是，这意味着E包含一个通用的T模型。E的各向同性群则是这个泛模型的自同构群在Breiner [2]的工作中，还证明了如果我们将拓扑E=B（T）表示为T-模型的（拓扑）群胚上的层拓扑，则各向同性群是群的层，其在T-模型M上的茎是M的可定义自同构群。这里，M的自同构称为可定义的，当存在T语言中的公式φ（x，y），可能带有来自模型M的参数，使得φ（x，y）是一个T-可证明的函数关系，其解释是给定的自同构。在本文中，我们研究的概念，各向同性的背景下，代数理论，或等价地，fennitary单子。利用加布里埃尔-乌尔默对偶，很容易看出代数理论T的各向同性群可以用有限可表示T-模型范畴fpT-Mod在群论的具体例子中，Bergman[1]的下列结果，其目的是给出群中的内自同构的范畴刻画。这是我们分析的出发点定理1.1（Bergman）对任何群G，有向函子G/Grp → Grp的自同构群同构于G，通过同构将一个元素g ∈ G与自然自同构联系起来，该自然自同构在s：G → H的分量是H的内自同构x<$→s（g）−1xs（g）。当我们用有限可表示的群来代替群时，这个结果仍然有效因此，在某种意义上，一般代数理论的各向同性可以被认为是为该理论指定了形式共轭的概念。或者，它也可以被看作是一个内自同构的概念。我们在本文中的主要贡献是一个纯粹的语法描述的各向同性组的代数理论，灵感和推广的方法伯格曼。这个结果使我们能够确定元素的各向同性组作为某些（等价类）的话。然后，我们将这个结果应用于几个例子的上下文中，包括群，幺半群，阿贝尔群和格，这些理论的各向同性群的明确计算。本文所做的研究是第二作者博士项目的一部分。（另见未来研究部分P. Hofstra等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）201203→2基本定义给定类别C，赋值C›→Aut（C）一般来说不是函子的;给定态射f：D→C，没有标准群同态Aut（C）→Aut（D），除非f是同构。C的各向同性群可以被认为是解决这个“问题”。 考虑各向同性函子Z=ZC：Cop→Grp：C<$→（ZC）=Aut（C/C→C），给一个对象C赋一个健忘函子C/C→C的自然自同构群。这个赋值在C中是函子的，并且给定α∈Aut（C/C→C），则分量α1C ：C→C是C的自同构。 其他组件αf：D→D是自同构，使得Dαf ，zDfF、、、Cα1，zC通勤。 最后，给定另一个映射g：E D，我们发现，αfgEz，EgG，αf，Dz，Df f、、、Cα1z，C上下班 因此，元素α∈ Z（C）是C的自同构，并且一个关于如何以兼容的方式沿着态射将这个自同构重新索引到C的规范。我们称元素α∈ Z（C）为各向同性元素（在C处）。当范畴E是一个Grothendieck topos（即，一个小场地上的层范畴，见[8]）时，函子Z：Eop→Grp是可表示的：存在一个在E内部的群对象ZE，其性质是对于任何对象，E的X，有一个双射对应（1）ZE（X）=E（X，ZE）.这种对应在X中是自然的，因此给出了函子的同构ZE= E（−，ZE）。群Z=ZE在同构下是唯一的，称为群Z = ZE。E.我们参考[7]的细节和基本理论。在本文中，我们将使用以下事实：命题2.1当E = SetCop时，E的各向同性群与范畴C的各向同性函子ZC：Cop→Grp重合。注意，在这种情况下，E的各向同性群Z既可以被视为E中的内部群对象，也可以被视为E的CC204P. Hofstra等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）201∗C类有时我们重载符号，也写Z作为其基础集值预层。当T是一个理论时，则T的一个分类拓扑是一个拓扑B（T），它存在一个自然的双射对应(2)Geom（E，B（T））Mod（T，E）从E到B（T）的几何态射范畴与的T-模型。 这里，E是一个任意的共完全拓扑。众所周知(see例如[8]），每一个几何理论承认一个分类拓扑（然后自动唯一的等价），每Grothendieck拓扑是一些几何理论的分类拓扑（然后自动唯一的森田等价）。现在让T是一个代数理论，也就是说，一个理论，其基础语言由一个单一的排序X，可数许多变量的这种排序，和函数符号的潜在的所有有限的。T的（非逻辑的）公理是这种语言的项之间的方程。现在让fpT-Mod是T的所有有限表示的基于集合的模型和它们之间的同态的范畴，其中T的基于集合的模型是有限表示的，如果它同构于T的关于有限多个生成元模这些生成元上的有限多个关系的自由模型。T的分类拓扑B（T）是从fPT-Mod到Set的所有协变函子的范畴SetfPT-Mod。换句话说，对于任何共同完成的toposE，都存在范畴fpT- Mod(3)Geom（E，Set）Mod（T，E）几何态射范畴E →SetfPT-Mod与E中的T-模型范畴之间的关系。而且，这种等价性在E.因此，集合fpT-Mod包含一个泛T-模型UT，它只是包含函子fpT-Mod→T-Mod的（底层预 层 ） 。 在 等 价 式 （ 3 ） 下 ， 一 个 几 何 态 射 φ ： E →SetfPT-Mod 对 应 于 T- 模 型φ<$UT.(See[8]详细信息。我们可以考虑这个普遍模型的自同构群，这意味着指数UTUT的子群 在那些自同构，其中保留V的T-结构先验地，这是拓扑集合fpT-Mod的一个定义明确的对象并不清楚，但事实上我们有以下结果（它实际上对任何几何理论T都成立，不一定是代数的）：定理2.2 B （ T ） 的 迷向群同构于泛T -模型的自同构群.我们注意到这个结果是由S. Awodey，并已被称为是真实的一段时间。由于文献中还没有证据，我们在这里包括一个草图。证据通过通常的论证，证明了B（T）中的映射X→Z与映射X→Aut（UT）之间存在自然的双射，其中X是B（T）的任意对象.因此，设α：X→Z是一个各向同性元，考虑它所对应的投影函子B（T）/X→ B（T）在双射（1）下的自然自同构。由于投影的逆像函子XP. Hofstra等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）201205□B（T）/X→ B（T）使UT成为乘积投影UT×X→X，α在等价式（2）下对应于T-模型自同构UT×Xαz，UT×X、、、、 ，rXr在B（T）/X中的模型X<$UT。反过来，映射α的（第一个分量）对应于UT的T -模型自同构的X-指标族，即映射X→UTUT，其因子通过Au t（UT）。 其余细节留给读者。我们也可以用范畴fpT-Mod来描述集合fpT-Mod的各向同性群：Z=ZT是群的（协变）预层，将群M赋给有限可表示的T-模型M，Z（M）= Aut（M/fPT-Mod→ fPT-Mod）.解开这个定义，我们得到T的各向同性群的以下初等描述。命题2.3设T是具有各向同性群ZT的代数理论：fPT-Mod→Grp. 对于有限表示的T-模型M，元素α ∈ ZT（M）是M的自同构α M，对于每个同态f：M→N，也是N的自同构α f，满足相容条件α gf g= gα f，对所有f：M→N，g：N→ K。证据 这直接来自各向同性的定义和命题2.1。□3句法表征在这一节中，我们提出的主要结果的文件，即语法描述的各向同性群与代数理论。为了实现这一目标，我们首先固定一些术语和符号有关的长期模型和不确定性。自始至终，我们都在研究一个任意但固定的代数理论T。首先，生成器x1，...， x k表示为x1，...， x k;explic-因此，该模型的基础集合是从集合Tm（x1，...，x k）的变量x1，...，xk模包含T -公理的最小同余。接下来，给定一个T模型M，我们写Mx1，.，对于M的cat-egory fp T-Mod中的余积，x k。 这个模型可以被认为作为相邻不定式x1，...，xk到模型M。存在一个明显的余积包含态射<$M：M→M<$x1，.，x k。此外，任何同态f：M→N诱导一个同态f∈x1，... x k：Mx1，.，x k→Nx1，.，x k制造Mf，zN关于我们、Mx1，. ......、 xkfx1，...，xk，zN<$x1，. .... . .你 好 。 ，xk206P. Hofstra等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）201H∈上下班，fx1，.，x k（x i）= x i.当k被理解时，我们也写M→x，对于Mx1， . 。 ，xk. 我们回想一下，可以如下获得M→ x→x的 显 式表示。定义3.1Gi vena T-m odelMandindeterminatesx1， . ，xk，l∈Tm（Mi→x）=Tm（M; x1，...， xk）是满足以下条件的最小集合：（i）x1， . ，xk∈Tm（Mi→x）.(ii) M∈Tm（M;→x）。(iii) 如果f是T和t1的 二 元 函 数 ， . . . ，tl∈Tm（Mi→x），则f（t1， . ，tl）∈Tm（Mi→x）.接下来，设R=RMi →xe是满足以下条件的集合Tm（Mi→x）上的最小同余(i) 如果s（y1，...，y 1）= t（y1，...，y 1）是T在变量y1，...，y 1，则（s（t1， . ，t1），t（t1， . . . ，t1 ））∈RM;→x，对 于 所有的t1 ， . ， tl∈Tm（Mi→x）.(ii) 如果f是T语言的一元函数符号，m1，.，m l∈M，则（fM（m1， . ，m1）， f（m1， . ，m1））∈RM;→x，其中fM：M1→M是f在模型M中的解释，使得f M（m1，.， m l）∈M.用符号表示，我们有一个M→x：=Tm（Mi→x）/RMi→x。 当t是Tm（Mi→x）的一个元素时，我们将把[t]作为它在M∈M→x∈ T -模中的象.在范畴逻辑中，理论T的项通常被解释为具有有限乘积的范畴中的适当类型的态射。特别地，当解释类别是Set并且M是T模型时，具有变量x1，…，xl（以及可能对应于M的元素的常数符号）被解释为表示为t M：Ml→ M的函数。该函数满足t M（m1，...，m i）= t [m i/x i] M。可靠性保证了[s]=[t]意味着sM=tM。也就是说，如果两项可证明相等，则它们的解释是相同的。给 出 一 个 同 态 h ： M→N ， 得到 一 个 函 数 Tm （ h;→x ） ： Tm （ M;→x ） →Tm（N;→x），它用h（m）代替t中所有的对称块m. 对于Tm（h;→x）（t），我们可以写 t h 。 很 容易看 出 ， [t]=[s]意 味着 [th]=[sh] ，因 此 Tm（ h;→x） 诱 导 同态 h→x ：M→x→N→x。更进一步，给定t∈Tm（M→x），t的解tN可化为一个交换图(4)MktM，zMhkh、、、N kz，NH注3.2[注释]Gi ventermst，sTm（Mi→x），我们必须小心区分t M= s M的陈述，这意味着两个（开！）项在模型M中具有相同的解释，即， 被解释为相同的函数Mk→M，并且状态tMk→xk=sMk→xk，这意味着两项等于Mk→xk模型的元素。后者意味着前者，不NP. Hofstra等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）201207H不HH不相反：例如，在群M的情况下，项g−1xg和x在M中可能有相同的解释（当然，这恰好发生在g在M的中心时），但当g/=e时，它们必然是M的不同元素。在下文中，我们有时会写Mt=s来表示前者，而M→xt=s表示后者。现在我们定义以下函子GT：fpT-Mod→Set。定义3.3对于fpT-Mod的任何对象M，我们定义GT（M）为所有[t]∈M<$x<$的集合，使得对于fpT-Mod中的任何态射h：M→N，是N的T-自同构。tN：N→N对于fpT-Mod中的态射hJ：M→K，我们定义GT（hJ）：GT（M）→GT（K）如下。首先，考虑诱导态射hJ：M→K。那么对于[t]∈GT（M），很容易证明hJ<$x<$（[t]）是GT（K）的一个元素.下图可以说明情况：GT（M），zMxGT（h′）、h′x、GT（K），zK最后，很容易证明GT是函子，因此我们确实定义了一个函子GT：fpT-Mod →Set。注意，对于[t]∈GT（M）和同态h：M→N，我们得到，作为（4）的特殊情况，交换平方(5) （五）MtM，zMH H、、、NN z，N.H下面的定理将这个函子GT与T的各向同性群联系起来。定理3.4T的各向同性群ZT的基础对象自然同构于函子GT：fPT-Mod→Set。证据 我们构造了一个自然同构β：GT→ ZT= Z. 给定元素[t]∈GT（M），设βM（[t]）∈Aut（M/fPT-Mod→fPT-Mod）为各向同性元，其在h：M→N处的分量为自同构tN，如（5）：β M（[t]）h：= t N：N→ N。为了证明这确实是一个定义良好的各向同性元素，我们必须考虑208P. Hofstra等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）201、、、HHHHH交换三角形（左）(6)Mh、、 ，zNtNNhz，Nh′，gggr，K、KtKh′、z，KN K并证明g<$βM（[t]）h=βM（[t]）h′<$g，即，thatgth =th′g，asithe在右边的正方形（6）。但可以证明这对所有t∈Tm（M;x）都成立在t上的感应。 因此βM（[t]）是遗忘函子M/fPT-Mod→fPT-Mod，证明了βM（[t]）∈Z（M）.其次，我们证明了βM：GT（M）→Z（M）是满射的.考虑任意一个各向同性元α∈Z（M）. 我们希望构造[t]∈GT（M），其中βM（[t]）=α.考虑包含同态ι：M→Mx，它是M/fpT-Mod的一个对象。然后我们有一个自同构αi：Mx→Mx，我们定义[t]：= α i（[x]）∈M <$x <$。现在我们证明[t]∈GT（M）和βM（[t]）=α.为了证明[t]∈GT（M），设h：M→N是定义域M在fPT-Mod中的任意态射.我们必须证明函数tN：N→N是N的T-自同构.结果表明，tN=αh，因为αh是T-模型自同构。为此，设n∈N是任意的，考虑左边的交换三角形(7)Mι，zMx、Mxαι ，zMx，hnhnhnh，r，N Nαhz，N其中hn将不确定的x发送到n∈N。然后，通过α的自然性，（7）中右边的平方可以交换，这就给出了αh（n）=αh（hn（[x]））=hn（αi（[x]））=tN（n），如所期望的。最后一个等式成立，因为我们可以通过对t的归纳证明，hn（[t]）=tN（n）对所有t∈Tm（M;x）成立请注意，我们还表明，对于h：M→N，βM（[t]）h=tN=αh，使得βM（[t]）=α. 其余细节如下并不令人惊讶，留给读者。□在这个证明中的一个关键步骤，即考虑M/fpT-Mod的包含M→Mx作为对象，以及任何n∈N诱导交换三角形的事实（7），也是伯格曼在群范畴中的内自同构的范畴刻画的核心事实上，人们可以把上述结果看作是对伯格曼的重新解释和概括虽然T的各向同性群的这种具体刻画更多地是句法的而不是范畴的，但它仍然有一些需要改进的地方，因为GT（M）（对于M∈fpT-Mod）的元素的定义笨拙地量化了具有域M的fpT-Mod中的所有态射。理想情况下，我们希望得到GT（M）的元素的纯句法特征。P. Hofstra等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）201209对象Mx不仅具有T-模型结构，而且同时是关于代换的幺半群。对任意t，s∈Tm（M;x），我们有结合乘法运算[t]·[s] = [t[s/x]]。那么identity元素是[x]。从概念上讲，解释函数Mx→Set（M，M）将[t]发送到tM，它的性质是t[s/x]M=tMsM。因此有幺半群同态(8)Mx→Set（M，M）从置换幺半群到M的内函数幺半群。 此外，委员会认为，一个元素[t]∈M在么半群M中是可逆的，如果存在某个（唯一的）[tJ]∈M使得[t[tJ/x]] = [x] =[tJ[t/x]]。引理3.5对任意[t] ∈M，若[t] ∈GT（M），则[t]在代换幺半群M中可逆。证据 这是由定理3.4的证明得出的。□为了挑出置换幺半群中那些不仅可逆而且诱导T-模型自同构的元素[t]，我们需要以下定义：定义3.6设f是T的语言的k元运算，设M∈fp T-Mod，且设[t]∈Mx。然后我们说[t]（或只是t）一般与f交换，如果Mx1，.，x k f（x1，.，x k）/x] = f（t [x1/x]，...， t [x k/x]）。（回想一下，这意味着这两项作为模型的元素是相等的Mx1，.，x k，见备注3.2。）在零值函数符号f的情况下，上述定义意味着：Mt[f/x]= f.引理3.7设[t] ∈GT（M）.则[t]一般与T的所有运算符号交换。证据 设[t] ∈GT（M）且f（x1，…，x k）是T的函数符号。 记为：M→Mx1，...，x k为包含同态。 那么， ：Mx→Mx1，...，x k，x发送[t]到[t]。由于[t]∈GT（M），因此导出函数t Mx1，.，xk ：Mx1，.，x k→Mx1，.， x k是T-自同构。特别地，该函数与模型M x1，...， x k，所以我们有Mx1，.，x k f（x1，.，x k）/x]= f（t [x1/x]，...， t [x k/x]），按要求□现在我们有了下面的结果，它以纯粹的句法方式刻画了各向同性群。定理3.8设M ∈ fPT-Mod.则对于所有[t] ∈ M，我们有[t]∈GT（M）当且仅当[t]在代换幺半群M<$x <$x中可逆，且210P. Hofstra等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）201HHNHkhkH一般与T的每一个操作交换。 因此，T在M处的迷向群同构于M的子群，其上的可逆元与T的每一个运算通有交换。证据引理3.5和3.7表明GT（M）的每个元素都是可逆的，并且与T的运算通有交换。相反，假设[t]∈M<$x<$具有这些性质。为了证明[t]∈GT（M），设h：M→N是定义域M在fPT-Mod中的态射.我们必须证明，（h<$x<$[t]）N=tN：N→N是一个T-模型自同构。由于映射h：M→N是么半群同态，它保持可逆元素。 当[t]在M x中可逆时，[t h]在N x中可逆。此外，由于解释函数N→Set（N，N）是么半群同态，所以函数t是双射的。为了证明t N是同态，考虑函数符号f（x1，...， x k）。我们希望证明(9)（tN）kNz，NfNf N、、、NN ，zNH上下班 由于[t]通过假设一般与f交换，我们知道Mx1，.，x k f（x1，.，x k）/x] = f（t [x1/x]，...， t [x k/x]）。应用hx1，.，x k：Mx1，.，x k→Nx1，.，两边的x k，hx1，...， x k（[t [f（x1，.， x k）/x]]） = hx1，...， x k<$（[f（t[x1/x]，.， t [x k/x]）]），这相当于Nx1，.，x k t h [f（x1，.，x k）/x] = f（t h [x1/x]，.， t h [x k/x]）。这反过来又意味着我们有下面的诱导函数的等式t h [f（x1，.，x k）/x] N= f（t h [x1/x]，.，t h [x k/x]）N.利用替换被解释为复合的事实，（9）的交换性如下。因此，对于任意h：M → N，t N是T-自同构，因此[t] ∈GT（M）是必要的。□4示例和应用在这一节中，我们将使用定理3.8中给出的各向同性群的纯语法特征来计算几个著名代数理论的各向同性群。正如所料，在每个例子中，我们最终都为所讨论的理论调用了关于“问题”这个词的信息例4.1[群]设G是任意（有限呈现的）群。我们计算G上的各向同性群Z（G），即所有元素[t]∈G<$x<$的群，使得[t]在代换幺半群Gx中是可逆的，并且与不P. Hofstra等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）201211−1U→单位、逆和乘法运算。注意，元素[t]∈G可以表示为x中的乘法字和G的元素的同余类（没有括号）。我们证明了G的迷向群是f的所有同余类的群，其中g∈G. 显然，这种形式g的结果是各向同性的元素，因为[ gxg ]（由[ gxg ]诱导的函数）保持了群结构，并且是可逆的，与[g−1x g]相反。相反，假设[t]∈G在置换幺半群G中可逆，并且一般与单位、逆和乘法运算交换证 明 了 对 于 g ∈ G ， [t] =[gxg−1]. Since[t] 与 乘 法 相 乘 ， 我 们 有 [t[x1x2/x]] =[t[x1/x]t[x2/x]]。然后，如在[1]中，可以证明这意味着（对应于的简化字）t最多出现一次x，它必须具有指数1。如果t没有x的出现，则对某个h ∈ G，[t] = [h]，但与假设相反，[t]在置换幺半群G中不可逆。所以t必须恰好有一次x的出现，指数为1，使得对于某个g，h ∈ G，[t] = [gxh]。上述等式[t[x1x2/x]] = [t[x1/x]t[x2/x]]则意味着[gx1x2h] = [gx1hgx2h]。由于字gx1x2h被约化，字问题的解意味着hg = e，因此g=h−1在G中。如所期望的，Sohen[t]=[gxg−1]。因此，G上的各向同性群同构于G本身，通过分配g<$→[gxg−1]。回想一下，在分类toposSetfpGrp for groups中，通用模型是包含函子：fpGrpGrp。 因此，我们看到集合fpGrp的各向同性群与普适模型一致。另一方面，由定理2.2可知，各向同性群与泛模型的自同构群重合。因此，我们有以下图表：U，z，Aut（U）、、=， ，r，Z其中映射i是通常的内自同构映射。从这个图中两个同构的构造很容易看出，这个图是可交换的，因此ι也一定是同构。当内自同构映射G→Aut（G）是同构时，称群G是完备的。因此，我们表明：定理4.2万有群是完备的。特别地，这表明，完备性作为群的一个性质，在几何逻辑中是不可定义的：如果是，那么逆像函子将保持它，因此作为泛群的逆像的每个群将是完备的，但情况并非如此例4.3[Monoid]设M是任何（有限呈现的）幺半群。我们证明了M上的各向同性群是所有元素[t]∈M<$x<$的群，其形式为[t]=212P. Hofstra等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）201[mx m−1]对于所有可逆元素ntsm ∈M，i nversem−1。 在前面的例子中，可以直接证明 如 果 m∈M 是 可 逆 的 ， 则 元 素 [mxm−1]∈Mxgi v 是 isotropy 的 元 素 。设[t]∈M<$x<$是各向同性的.然后，正如在前面的例子中，可以表明，[t] =[m1xm2]，则m1与m2可逆，sothat[t]=[m1xm-111]，对m1∈M可逆.我 们 可 以 很 容 易 地 证 明 ， 从 M 的 可 逆 元 素 群 到 M 上 的 各 向 同 性 群 的 映 射m<$→[mxm−1]是一个群同构，因此（有限表现的）幺半群上的各向同性群是它的可逆元素群例4.4[阿贝尔群和交换幺半群]设G是任意（有限表示的）阿贝尔群。注意，元素[t]∈G可以表示为x中的加法群字与G的元素的同余类（不带括号）。我们证明了在G上的各向同性群是仅由同余类[x]，[−x] ∈G<$x<$组成的群，其中“-”是逆运算。很容易看出这两种元素都是各向同性的。相反，设[t]∈G在置换幺半群G中可逆，并且与单位、逆运算和加法运算一般可交换。然后我们可以重新排列t，得到[t] = [g+nx]，其中g∈G，n∈Z。以来[t]一般与常数0交换，我们有[g+n0] = [0]，这意味着g= 0，因此[t] = [nx]。现在，我们假设[t]是可逆的，因此在G处的各向同性群中有一些[s]使得[t[s/x]] = [x]= [s[t/x]]。从上面的[t]论证，我们知道对于某个m∈Z，[s] = [mx]。所以我们有[nx[mx/x]] = [（nm）x] = [x]，这意味着nm= 1。于是，n= ±1，因此[t] = [±x]，如所希望的。所以对于任何（有限表示的）阿贝尔群G，G上的迷向群（同构于）二元阿贝尔群Z2。因此，分类拓扑的各向同性群是群的常数预层，在这个意义上，它的值对于任何有限可表示的阿贝尔群都是相同的由于交换幺半群的理论没有加法逆运算，上述论证表明，在任何（有限表示的）交换幺半群M上的各向同性群只包含[x]∈M，平凡群也是如此。例4.5[格]设T是格的代数理论（不一定是有界的或分配的）。我们认为这个理论具有签名{，};公理指出这些二元运算是结合的、交换的和幂等的，并且吸收定律a（ab）=a和a（ab）=a成立。我们证明了T具有平凡的各向同性。为此，设M是上的自由格，有无限多个生成元;我们希望证明ZT（M）={[x]}。这很容易，当M=，没有生成元的自由格，因为[t]∈M意味着[t]= [x]。假设M=1，...，在n≥ 1个生成元上y n n是自由的。 我们需要证明了若[t]∈ZT（M）是在M处各向同性元，则[t] = [x].为此，需要证明以下引理：引理4.6如果t是变量x，y1，.，y n使得t关于替换有右逆，则Mt = x。P. Hofstra等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）201213这里，t有一个右逆，我们的意思是存在一个项s，其中t[s/x] =x。注意引理实际上暗示了想要的结果，因为任何表示各向同性元素的项都是关于替换可逆的，因此特别是有一个右逆。证据关 于 t项结构的归纳。如果t=x，则结果是平凡的，如果t=yi ，对于某个1≤i≤n，则t不能有右逆（因为yi/=x），所以结果是空的。现在让t=t1<$t2，对于某些格项t1和t2，归纳假设成立，并假设t有一个右逆。因此，在变量yi，x中有一项s，使得x= t [s/x]= t1 [s/x]<$t2 [s/x]。现在设≤是格M上的相关偏序，使得对于项u和v，我们有u=v当且仅当u≤v且v≤u。由于t1[s/x]<$t2[s/x]=x，因此t1[s/x]<$t2[s/x]≤x且x≤t1[s/x]<$t2[s/x]。第一个不等式意味着t1[s/x]≤x和t2[s/x]≤x。现在，自由格的字问题的解决方案[9，10]特别告诉我们，生成元是素元素，在x≤v<$w意味着x≤v或x≤w的意义上。因此，我们发现x≤t1[s/x]或x≤t2[s/x]。 所以要么t1[s/x] =x，要么t2[s/x] =x，因此要么t1有右逆，要么t2有右逆（并且有相同的右逆项s）。不失一般性地假设t1有一个右逆.然后根据归纳假设，得出t1=x，因此我们得到t=t1<$t2=x<$t2。注意，t1=x意味着t1[s/x] =s。然后我们就有了x= t1 [s/x]<$t2 [s/x]= s <$t2 [s/x]。所 以 s≤x 和 t2[s/x]≤x ， 并 且 通 过 自 由 格 的 字 问 题 的 解 ， 我 们 也 有 x≤s 或x≤t2[s/x]。如果x≤s，则我们得到x=s，因此可以得出x=t1[s/x]<$t2[s/x]=t1<$t2=t，如所期望的。若x≤t2[s/x]，则x=t2[s/x].那么t2有右逆，根据归纳假设，可以得出t2=x.但是我们必须t1<$t2=x<$x=x，如所期望的。对偶推理也适用于t=t1<$t2的情况。这就完成了归纳。□类似的推理，使用（可能是非自由的）有限表现格的文字问题的解决方案，也可以用来证明每个一般的有限表现格都有平凡的各向同性。由于篇幅的原因，下面一些例子的详细证明将在第二作者即将发表的博士论文例4.7 [（交换）单位环]如果R是一个（不一定是交换的）（有限表示的）单位环，则R上的迷向群是所有元素ts[t]∈R<$x的群，满足[t] =[uxu−1]对于somiu∈R（即，一些214P. Hofstra等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）201∈⟨ ⟩u∈R，具有乘法逆）。我们可以很容易地证明在R上的各向同性群同构于R的单位群 。 如 果 R 是 一 个 交 换 的 （ 有 限 表 示 的 ） 酉 环 ， 则R 上 的 迷 向 群 是 只 由 [x]∈R<$x<$组成的平凡群。例4.8[自同构理论]设T是关于具有两个一元函数符号f，g的签名的代数理论，其公理是f（g（x））=x和g（f（x））=x。然后对任意有限的T-模型M，证明了M上的各向同性群是所有元素[t]∈M的群，使得对某些n≥0，[t] = [fn（x）]或[t] = [gn（x当然，如果t有这些形式之一，比如说对于某个n≥0，t<$fn（x），那么[t]是各向同性的元素，因为[t]与逆[gn（x）]可逆，并且因为[t]与f和g在M x中一般地交换，因为人们可以很容易地证明[fn（g（x））] = [g（fn（x））]，并且人们显然有[fn（f（x））] = [f（fn（x））]。相反，假设[t]是各向同性的元素。我们必须证明存在某个n≥0使得[t] = [fn（x）]或[t] = [gn（x）]。但这是从（容易证明的）更一般的主张得出的，即对于任何[s]∈M，要么存在一些n≥0使得[s] = [fn（x）]或[s] = [gn（x）]，或者存在某个m∈M使得[s] = [m]。由于[t]是一个各向同性的元素，因此t必须包含x，因此第二个选项是不可能的。从T在M的各向同性群的这种句法描述中，我们可以很容易地证明，对于任何有限表示的T-模型M，T在M的各向同性群同构于加法群Z。例4.9[Racks and Quandles] Racks和Quandles是最初在纽结理论中出现的代数结构，它们描述了所谓的Reidemeister移动和这些移动产生的合痕关系。从代数的观点，他们公理化共轭的概念（不涉及乘法或逆）。具体地说，这两个理论都可以用两个二进制函数符号的签名来表示。 和-1。 齿条理论的公理如下：• x（y z）=（x y） （xz）。• x−1（y−1z）=（x−1y）−1（x−1z）。• （xy）−1y= x.• （x −1y）y = x.quandles理论的公理是rack理论的公理以及以下附加公理：• xx= x.• x−1x= x。例如，给定任何群G，通过指定对于任何g，h，我们有gh：= h−1gh和g−1h：= hgh−1。不是quandle的机架的例子包括常数动作x y：=σ（x），其中σ是固定集合X的置换。粗略地说，群之于monoid，就像quandles之于racks。此外，任何仅涉及P. Hofstra等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）2012151212在群论中可证明的共轭也可在quandles理论中证明。因此，quandles确实完全捕获了群中共轭运算的行为。利用自由架和quandles的字问题转化为[4]中给出的自由群的字问题，我们证明了下面的定理：定理4.10设k =1，…，y n是n个生成元y 1，.上的自由量子数，yn.则各向同性群ZQuandle（Z_1，…，y n y n是所有quandle项t在x，y1，.上的（自由quandle同余类）的群，yn的形式t. （（xe1y i）e2y i）.. . ）em y i（包括t∈x），其中eej= ±1，且1≤ij≤n，其中ll1≤j≤m。由此，我们可以毫不费力地证明，n个生成元上的自由量子的各向同性群同构于n个生成元上的自由群对于机架，我们还显示了以下结果：定理4.11设k =1，…，y n是n个发电机上的空闲机架y1，...，yn.然后，各向同性组ZRack（ZRack1，…，y n是所有（自由架同余类的）架项t在x，y1，.上的组，yn的形式t. （... （（xd1x）d2x）.. . （dpx）e1y i）e2y i）。. ）em y i（包括t∈x），当edj=±1时，all1≤j≤p，ek=±1，且1≤ik≤n1 ≤k≤ m。由此可以证明n个生成元上自由格的各向同性群同构于群Z与n个生成元上自由群的乘积。注4.12正如读者所见，这些例子强化了这样一个观点，即各向同性的元素编码了一个内自同构的概念事实上，他们建议，对于一般代数理论T，当存在一个各向同性元α∈ZT（M），其在1M处的分量为f时，模型M的自同构f∈Aut（M）应称为内自同构。为了结束这一节，我们提到下面的观察，涉及到一个常数添加到一个理论。设T是一个理论，c是一个不出现在T的特征标中的常数符号。 然后让Tc表示从T得到的理论 把c加到签名上;Tc的公理就是T的公理。请注意，Tc的模型与T的模型M以及所选元素分枝存在一个明显的遗忘函子Tc-Mod→T-Mod，它忘记了常数c的解释。我们在概念上不区分Tc模型和它的基础T模型.命题4.13设T是代数理论，c是常数。然后有一个内射群同态，自然在M中，ZTc（M）→ZT（M）其像由满足t M（c M）= c M的那些[t]组成。MM216P. Hofstra等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）201例如，当T是群论时，则Tc-模型M是一个群连同M的一个特定元素cM。在这样的M上的各向