对象值决定的函子集合论理解的贡献

理论计算机科学电子笔记158（2006）151-169www.elsevier.com/locate/entcs由对象上的值决定的函子4Daniela Cancila1 Furio Honsell2 Marina Lenisa3Dipartimento di Matematica eInformaticaUniversit`adiUdine意大利乌迪内摘要由它们在对象上的值确定的函子，直到自然同构，被称为DVO（由对象上的值定义）。我们重点研究一类集（类）上的多项式函子集合此外，我们证明了（κ-有界）幂集函子不是DVO。保留字：集合（类）范畴，集合函子，包含保持函子，DVO函子。1介绍集合论和范畴论是语义学发展然而，对于相反的意识形态观点，很少正式讨论这两者我们的前形式直觉很可能生活在一个朴素的集合论中，即使当我们处理范畴时也是如此。然而，我们还没有一个完整的理解什么是函子在一个集合论的宇宙。当然，我们并不认为这是它们富有成效的使用的先决条件，我们只认为这会增强我们对它们的感觉和我们对自然性概念的理解。这篇论文是对函子集合论理解的一个贡献，特别是考虑到它们在定义归纳和共归纳数据类型中的使用1电子邮件地址：cancila@dimi.uniud.it2电子邮件地址：honsell@dimi.uniud.it3电子邮件地址：lenisa@dimi.uniud.it4欧盟项目FP 6-IST-510996TYPES部分1571-0661 © 2006 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2006.04.009152D. Cancila等人/理论计算机科学电子笔记158（2006）151在本文中，我们专注于集（类）范畴上的函子，即对象是集合论域的集合（类），态射是集合（类）函数的范畴。在集合论和范畴论之间的边界上产生的一个非常自然的问题是：什么时候集合算子可以扩展为集合函子？这个问题已经在文献中研究了各种类型的集合算子，[8，11，3，6];它可以等价地表示，通过纯粹的范畴手段，在函子方程的可解性方面，在[11]的意义上。一个简单的观察是函子下的算子是单调的。object基数，uptoon（即， 对于所有的X/=X/），sincet函子存在非空区域的内射映射。但是，函子也满足各种连续性性质，参见例如[6]。利用这些，可以证明存在各种类型的（单调）集运算符，它们不能扩展到函子，[6]。一个集合算子的函数扩张的唯一性问题（直到自然同构），当它存在时，也是很自然的，但也是很困难的这可以等价地表示为函子是DVO（由对象上的值定义），[3]，即。它在对象上的行为唯一地确定函子，直到自然同构。在文献[11，2，3，4]中，我们得到了关于DVO函子的各种正反结果特别地，文[3]给出了非常数且不含与单位函子自然同构的子函子本 文 研 究 了 范 畴 C 上 的 n 元 多 项 式 函 子 的 集 合 ， 其 中 对 象 是vonNeumann-Bernys-Güodel ，NBG 的论域的集合（类），而同态是（类）理论函数. 我们证明的主要结果是DVOn元多项式函子的以下特征：定理1.1严格多项式函子Hn：C → C是DVO当且仅当• 或者它是一个具有有限系数的多项式，• 它是基数小于Ord（类的基数）的对象的常量函子。n元多项式函子是一个多项式函子，其中每个单项式都是一个多项式函子，即每个变量在每个单项式中最多出现一次。严格函子是一个可能在空集上重新定义的函子，以这种方式它产生空集。 我们处理严格函子的原因是，正如我们将看到的，函子在空集上的行为有些不规则。D. Cancila等人/理论计算机科学电子笔记158（2006）151153C →C上述定理1.1推广了文献[11，2，3，5]中的结果，其中考虑了其它类型的（一元）函子或（一元）多项式函子的某些特殊情况。定理1.1的一些简单的推论如下。一元乘积函子FX=X×X是（最初等的）非DVO多项式函子，而乘积双函子F（X1，X2）=X1×X2是DVO.副产品的情况不同。即一元余积函子FX=X+X（自然同构于）线性多项式函子FX= 2×X，因此它是DVO。余积双函子F（X1，X2）=X1+X2，它是一个双函子（在每个单项式中）也是DVO。另一个有趣的简单观察是，DVO函子的集合在复合下不是封闭的：例如。Id和二进制积函子都是DVO，但Id×Id不是DVO。上述定理1.1的证明是相当困难的。在本文中，我们只提供了一元的情况下，即细节。H：，在n元情况下的证明是前一种情况的复杂和冗长的推广非常数多项式函子和常数多项式函子需要分开处理。在非常数的情况下，证明通过定义一个“候选自然变换”来进行为了这个目的，我们还利用了一个一般的κ-连续性结果，对于任何无穷大κ。在常数的情况下，进行了微妙的基数推理。最后，我们证明了整个κ-有界幂集函子族是而不是DVO，对任何基数κ来说总结在第2节中，我们提供了集合论和范畴论。在第三节中，我们收集了一些关于包含保持函子和集函子连续性的初步结果。在第四节中，这是主要部分，我们进行了我们的研究DVO多项式函子。在第5节中，我们将讨论幂集。最后评论和未来工作的方向见第6节。2集合论与集合范畴我们将在满足诺依曼-伯尔尼-哥德尔理论的集合和类的宇宙中工作。NBG理论与人们更熟悉的Zermelo-Fraenkel集合论ZFC有着密切的联系。ZFC与NBG的主要区别在于NBG的对象之间有适当的类。NBG和ZFC实际上是等相容的，NBG是ZFC的保守扩张。在NBG中，适当的类通过以下方式从集合中区分出来：154D. Cancila等人/理论计算机科学电子笔记158（2006）151→→他们不属于其他阶级。此外，NBG类满足冯·诺依曼公理N，说明所有真类具有相同的集合论域的基数，我们用Ord表示。在本文中，我们将处理一个通用的集范畴，可能还包括类，即一个范畴，其对象是集（类）的NBG宇宙，和态射是集（类）理论的功能。记法。在本文中，我们用V表示集合的论域。 我们使用符号C来表示集合（类）的类属范畴。 此外，我们使用以下关于函数的基本符号。 设f：X→Y是集合（或类）上的任意函数，XJ<$X，则：gr（f）表示f的图; img f表示f的像; f|imgf：X img f表示通过将余域Y限制到f的像而从f获得的函数; fXJ ：X JY表示将f的定义域限制在XJ上而由F得到的函数。备注。在本文中，我们将不仅涉及大对象，如真类，而且涉及非常大的对象，如范畴上的函子，其对象是类。一个能够自然地容纳我们所有概念的基本形式理论是不容易得到的。一个实质性的形式主义我们需要一个适当的“跨越所有的T”。因此，我们将采取务实的态度，并自由地假设我们手头有类和类上的函子。关于一致性的担忧可以通过假设我们的环境理论是一个具有不可达基数κ的集合理论来消除，并且我们的对象理论的模型由那些遗传基数小于κ的集合组成，比如说，我们的模型的类是Vκ的子集，并且函子生活在环境宇宙的适当行列中。3包含保持函子与连续性在本节中，我们回顾包含保持函子的一些性质，即，保持包含映射的函子。更多的细节和证明见[1，6]。关于包含保持函子的主要结果是：在一个集合范畴上的任何函子自然是同构的，直到一个包含保持函子。 如果两个函子在范畴C到非空集范畴的限制上自然同构，则它们到O是自然同构的。上面的结果允许我们将自己限制在包含范围内保持函子，每当我们推理一个在自然同构下保持的属性时，就像DVO属性一样。在这一节中，我们还回顾了集合的一个非常一般的κ-连续性结果D. Cancila等人/理论计算机科学电子笔记158（2006）151155→→ →⇒→ →⇒C → C++函子，对任何无限基数κ成立。在第4节中，我们将利用这个连续性结果，把有限集范畴上函子的DVO性质推广到包括有限对象在内的范畴。在下一个定义中，我们回忆包含保持函子的概念定义3.1F：C → C是包含保持的，如果X，Y. X <$Y =<$F（i X，Y）= i F（X），F（Y），其中iX，Y：X→Y是从X到Y的包含映射。包含保持函子满足以下性质：命题3.2设F：C → C是包含保持的。然后(i) F的基础算子是单调的，即X<$Y =<$FX<$FY。(ii) F保持函数的图像，即，对于任何f：XY，F（imgf）=imgF（f），[1].(iii) 任何态射上的F的值仅取决于态射的图，即。对于llf：XY，fJ ：XYJ，gr（f）=gr（fJ）gr（F（f））= gr（F（fJ））。反之亦然，如果对于一个llf：XY，fJ ：XYJ，gr（f）=gr（fJ）gr（F（f））= gr（F（fJ）），则F是包含保持的，[6]。(iv) 对于所有XJ 且对于a llf：X→Y，gr（FfXJ）=gr（Ff）F XJ.(v) F保持非空的有限交集，即 对于所有的X，Y，使得X<$Y/=X，F（X<$Y）=FX<$F Y，[1 0]。简单地说，不是每个函子都是包含保持的。只要考虑通过将给定集合上的值同构地映射到与子集上的函子的值不相交的集合而获得的然而：定理3.3任何函子F：自然同构直到一个保包含函子。上面的定理3.3最初是由J. Adamek在他的博士论文中证明的，参见例如[1];也参见[6]的简单证明。下面的κ定义3.4（κ-可达性）设κ >1。 则FX是κ-可达的，如果FX={Ff|f：Y→X|Y|<κ}。文[7]在GCH下证明了以下一般连续性结果。然而，这个假设可以消除，见[6]的完整的156D. Cancila等人/理论计算机科学电子笔记158（2006）151“我的天，C →C证据定理3.5（κ-连续）设F：C → C. 为所有|X|= κ无穷大，|≤ κ = λ FX是κ-可达的。|≤ κ = ⇒ FX is κ-reachable.4多项式函子在这一节中，我们将重点放在多项式函子类上，并证明了第1节中关于一元情形的特征定理1.1我们记得，函子是DVO（由对象上的值定义），[3]，当它在对象上的行为唯一地确定时，直到自然同构，它在态射上的行为。形式上：定义4.1（DVO函子）函子F：C → C是DVOi，对所有G：C → C在对象上同构于F，G自然同构于F。注意，在上面的定义4.1中，假设函子G在对象F上同构等价于假设G在对象F上重合。我们专注于（一元）严格多项式函子类定义4.2（（严格）多项式函子）·函子H：是多项式，如果定义为HX= Hi≥0Ki×Xi，其中K0，K1，. 是C的对象，称为多项式函子的系数，X i表示X×。. .×X。箭头上H的定义是我标准的一。在多项式函子的定义中，我们经常省略符号×，简单地写为i≥0KiXi。• 严格多项式函子H：C→C是一个函子，它在范畴C限制为非空对象范畴时与多项式函子重合，并且在严格多项式函子H：C → C上定义为 ：H=H ，并且对于任何f： H →X， Hf： H →HX是空函数。 用（Ki≥0KiXi）表示一个严格的多项式函数，或表示对多项式Ki≥0KiXi的依赖关系.在本节中，我们将证明以下内容：定理4.3严格多项式函子H：C → C是DVO当且仅当• 它要么是线性的，具有有限的系数，• 它是基数小于Order的对象的常量函子。D. Cancila等人/理论计算机科学电子笔记158（2006）151157C →C−→∼C → Cx0xx0xx0x线性函子H：我们指的是一个函子，使得参数X在HX中只出现一次。上述定理4.3的证明分为两部分：在4.1节中，我们处理H非常数的情况，而在4.2节中，我们处理H常数的情况。4.1非常数多项式函子本小节的目的是证明以下内容：定理4.4设H：是严格非常数多项式函子。则H是DVO当且仅当它是线性的，具有有限系数。在上述定理4.4中，最难证明的部分是蕴涵式（I）。 定理4.4（1）的证明是受[3]中 证明函子X×X不是DVO的论证的启发。4.1.1定理4.4的证明（二）：一般模式设H：C → C是严格多项式、非常数、线性、有限系数。设F：C → C在对象上同构于H，即，对所有的X，存在σX：HX FX.由定理3.3，我们可以假定F是包含保存定理4.4（1）的证明如下进行：(i) 定义自然变换τ：H − → · F的(ii) 证明了τX对所有X都是单射的;(iii) 证明了τX对所有X都是满射的。为了清楚起见，我们首先在恒等函子的特殊情况下进行定理4.4（1）的证明。然后，我们将给出一般情况下的细节。4.1.2定理4.4（1）的证明：恒等式设F：C → C是包含保持的并且在对象上同构于Id，即，对所有X，存在σX：X−ε→FX.在下一个定义中，我们定义了τ={τX：X→FX}X.定义4.5Letx0∈Ve是宇宙中的任意固定元素。 F或X，我们定义τ X：X→FX为：τX（x）=（FδX ）（σ{x0}（x0）），其中δX：{x0}→X使得δX（x0）= x.158D. Cancila等人/理论计算机科学电子笔记158（2006）151∈x0xx0y||||||x0x--0x0x0x0y0x0y0x0y0x0x0对于X= λ，我们定义τλ= ελ，其中ελ表示λ中的空函数。族τ很容易被证明是从Id到F的自然变换。τ的内射性：恒等式的情况。我们从矛盾出发，即让我们假设τ不是单射的。我们有以下引理：引理4.6如果τ不是单射的，则对所有X，对所有x，xJX， τX（x）=τX（xJ）。证据 如果τ对某个X不是单射的，则存在x，xJ使得（FδX）（σ{x}（x0））=（FδXJ）（σ{x}（x0））.设Y是任意对象，且y，yJ∈Y. 证明了（Fδ Y）（σ{x}（x0））=（Fδ YJ）（σ{x}（x0））. 换句话说，设f：X→Y使得fx=y和FXJ=YJ。然后我们有：（FδY）（σ{x}（x0））=（Ff<$FδX）（σ{x}（x0））通过定义f=（Ff）（FδXJ）（σ{x0}（x0））byhypothesis=（FδYJ）（σ{x0}（x0））通过f的定义。Q上面引理4.6和F是包含保持的事实的直接结果是，F下的单例集的像都在一个标准点上相等，即：引理4.7如果τ不是单射的，则存在c使得对所有x，F（{x}）={c}。更一般地说，Lemma4. 如果τ不是单射的，则存在这样的情形，使得对于所有的τ =π，c ∈ FX。在证明τ必须是内射之前，我们还需要进一步的要素，即常数函数被F映射为常数函数。这是命题3.2（iii）的一个简单结果引理4.9对于任意常数函数f：X → Y，Ff是常数。最后，我们能够证明：命题4.10 τ是内射的。证据通过矛盾假设τ不是单射的。 设X=x1，x2，x3. X的两个元素有三个不同的子集。 由于F（X）= 3且对于XJ= 2，FXJ= 2，使用引理4.8，可以容易地证明X的两个2元素子集的图像必须重合，例如，令D. Cancila等人/理论计算机科学电子笔记158（2006）151159F{x1，x2}= F{x2，x3}。现在让h：X→X定义为h（x1）=x1，h（x2）=x2，h（x3）=x2（见图1）。由于集函子保持单射函数，使用命题3。2（iv）和引理4.9，其中：F（h）F{x1，x2}是内射的，而F（h）F{x2，x3}是常数的。①的人。由于F{x1，x2} = F {x2，x3}，因此F（h）F{x1，x2}=F（h）F{x2，x3}，这是一个连续的矛盾.h FhFig. 1. 函数h和F h.Qτ的满射性：恒等式的情形。既然τ是内射的，那么它在所有有限对象上也是满射的。为了将τ的满射性推广到无限对象，我们使用第3节的κ-连续性定理3.5。更确切地说，我们证明了以下引理：引理4.11设F：C → C是包含保持的且在对象上同构于Id，则对所有X，FX是2-可达的。证据通过归纳，|X|=κ。如果是κω，则命题是直接的，因为根据命题4.10，τX是单射的，因此在有限集合上是满射的。<如果|X|=κ≥ω，则根据定理3.5，由于|FX|为|X|，FX是κ-可达的。因此，对于所有x∈FX，存在Y，|Y|1）的启发。L etHX=i≥0KiXi（或其严格值），其中|王空军|>0个其中j≥2。我们将定义一个在对象上同构的新函子HJ，首先，设P≤n是有界幂集函子，定义为P≤n（X）=YX0 jKi Xi。然后可以检查HJ在对象上与H同构，但不是自然同构，因为HJ中存在不相交和，这导致箭头上的不同行为（右侧分量中的元素是总是发送到右手分量，并且对于左手分量也是类似的（ii）满足K0或K1的集合是无限的。本文给出了HJX=（K0+K1X2）λ，并给出了λ的标准定义。则对于所有X，H JX=HX，since|K0|≥ω或|K1| ≥ω。 但是，通过m（i）above，H J不是DVO。Q[6]这个定义可以推广到G不是F1，F2的子函子，但它在F1和F2中只有一个同构副本的情况。在这种情况下，商函子是F1，F2的任何具有单变换μ1：G→F1，μ2：G→F2的推出。164D. Cancila等人/理论计算机科学电子笔记158（2006）151→||||αααα备注。最后，人们可能会问，如果我们放弃H s trict假设，会发生什么。任何人都不能这样做，|K0|>1时，H=K0+K1X不是DV0. 名称y，if|K0|>1，设k∈K0，且H J：C→C定义为H，除了从经验函数εY：ε→Y的值出发，对于Yε，H J（εY）：K0K0+K1Y是连续函数λ k. 好的。 我们可以假设HJ是一个函子。此外，HJ在对象上平凡同构于H，但它不是自然同构于H。另一方面，如果K0= 1，则可以利用前面小节中用于严格情况的论证，并通过直接分析函数的性质来证明H是DVO。4.2常数函子设K为函数族K的常数，K为函数族K的严格变换，即： 这是一个函子，它的ch是常数K到k。如果K是有限的，那么4.1节的模式可以立即扩展到提供常数严格函子K∈isDVO。在这一节中，我们推广了这个结果，证明了在一般集范畴C上，K∈DVO当且仅当|K|<订单假设K是DVO，如果KX，则F在X的元素上的值是F（X<$）的函数。因此，|=κ，F是X的无穷多个元素的常数。|=κ,Fisconsta ntoninfinitelyma nyeleme ntsofX7.我在你身边族的集合X上的F是不断等于对象，说，X0。现在我们证明，对所有的X，Y∈X0，使得X1 =Y，且f：X→Y，F（f）=idX0。以下是适用于watchcomute的运行图：XfY，，，，f_idY，，idYIX，X <$Y，（1）（二）、、、z，，XYIY，X X YY因此，如果我们将F应用于所有的图，它们仍然是可交换的。 由于F是包含项，且图（2）是连通的，所以F（f∈idY）FY=idFY=idX0。因此，当F（X）=F（Y）=X0时，也就是F（f）=idX0，并且，通过图（1），也就是F（f）=idX0。证明（二）。设X∈X0，f：X→X.由于X0有无限多个元素，并且X0的所有元素都是不相交的，并且具有相同的基数，因此存在Y∈ X0，使得Y<$X=<$X和同构τ：X→Y。下面的图表简单地XfX......τ，zf<$τ−1Y当我们应用F时，这个图也是对易的。因此，F（f）=F（f<$τ−1）<$7对于有限个X，当F为常数时，X的剩余元素为22κ+。166D. Cancila等人/理论计算机科学电子笔记158（2006）1510||∪→、、、、00F（τ）。 但根据项（i）的公式，F（τ）=idX0，因此F（f）=idX0.且F（f<$τ−1）=idX。证明（三）。设X∈X0，且X/=Y<$X.设π：X→Y使得π|Y=idY。 当m（ii）， iY ，X∈π：X→X时，满足F（ iY ， X∈π）=idX0. 此外，由于gr（π）= gr（i Y，X<$π），通过命题3.2（iii），gr（F（π））=idX0也是如此。因此，F（X）=F（Y）。证明（四）。 设Y为，|Y|为|X|且X∈ X0.我们证明了F（Y）=X0.由于X和Y具有相同的无限基数，|YX|= X.因此，存在同构τ：Y X X。以下图中显示了简单的上下班。Y，X，，IX，Y<$XXτ|X，τ 、、ZX然后，我们把F加到平面图A上。 根据第（二）项，F（τ|X）=idX0。F上的M是包含保持的，因此F（i X，Y<$X）= i FX，F（Y<$X）。因此，由于F（τ）是双射的，F（Y∈X）=F（X）并且F（τ）=idX0。为了得出结论，我们仍然需要证明F（Y<$X）=F（Y）。设π：Y<$X→Y是一个函数，使得π|Y= id Y。下图是普通的上下班图。，，π，......Y，X，IX，Y<$X，Y，，YX、、、z轴YXτJXτιY，YXτιX，YX我 们 将 F 应 用 于 上 图 。 由 于 F 是 包 含 保 持 的 ， 并 且 F （ X ） =F（Y<$X ），因此nF（iX ， Y<$X ） =idX0。根据第（ii）项，F（τιY ，YιXτιX ，YιX ）=IdX0 并且， 通过a bove，F（τ）=idX0。因此，F（iY ，Y<$X ）<$F（π） =idX0。 因此，F（π）必须是单射的，不能是满射的.更进一步地，SiceF是包含保的，F（π）=idX0。因此，F（Y <$X）= F（Y）。我们只能这样做，如果|X|为|Y|f：Y→Y，则F（f）=idX0. THE下图是简单的上下班。YfYτ τJ JXτfτ−1X我们将F应用于上图。根据第（ii）项，F（τ <$f <$τ −1）= id X。以来该图交换，F（f）=F（τ−1）idX<$F（τ）。因此，F（f）=idX。0D. Cancila等人/理论计算机科学电子笔记158（2006）151167CC||⇐||证明（五）。设Z1 =Z2，使得|Z| ≤μ。则存在Z1，使得Z<$Z1，|Z1|=μ。通过证明（iv），F（Z1）=X0，利用（iv），用与证明（iii）类似的论证，可以证明F（Z）= X0.在这里，我们只证明，对于所有f：X→Y，0 <|X|、|Y| ≤μ，F（f）=idX0.有两种情况：要么r（a）X<$Y=0，要么r（b）X<$Y= 0。（一）XfY，，、、、IDYIX，X，，，（一）（二）Y和zF-100XY，，ιY，XY YSinceXY=X，b，图（1）和（2），公式。 我们将函子F应用于这两个图。因为通过上述，F（X）= F（X<$Y）= F（Y），所以nF（iX，X<$Y）=idX0。 Analogou sly，F（iY，X∈Y）=idX0. 由图（2）的公式可知，F（idY）=F（f∈idY）<$F（iY ， X∈Y）。 因此，F（f∈idY）=idX0。 因此，通过对图（1）的commutati vi ty，Ff=idX0。(b) LetX JandYJbesucthatX J<$X=，YJ<$Y=，X J<$YJ=，anddX_j=X _J，Y_j=Y_J，thats，它们的特征是两个同构τX：X→X_ J，τY：Y→YJ. By（a），F（τX）=idX0，F（τY）=idX0 且F（τY<$f <$τ−）=1XidX. 因此，F（τY）<$F（f）<$F（τ−1）=idX，因此F（f）=idX。0X0 0Q命题4.21任何严格包含保持且在对象Ord上具有常数势的<内函子F是严格常数函子。证据 我们从矛盾出发。我们假设F不是常数到处都是物体。 则存在X，Y/=π使得F（X）F（Y）。让|X| ≥ |Y|. 如果|X|是无限的，那么我们立即有一个矛盾引理4.20否则|X|是有限的，那么我们考虑无限基数μ的集合X0，使得X0<$X，Y。那么，由引理4.20我们就有了一个矛盾。因此，F在对象上必须是常数。 此外，使用同样在引理4.20中，我们可以很容易地检验F必须给出每个态射的恒等式，即F是常数函子。Q最后，我们有：定理4.22上的常数函子K是DVO当且仅当K= 1或者它对于基数为κ 1.那么它如果不是DVO，则可以将其重新定义为f：n →X的同态，其中X为n，以这种方式，Ff：FFX是给定κ K的常数函数。然后我们仍然得到一个函子，它在对象上同构于K，但它不是自然同构于K。最后，我们要证明，如果F对基数Ord的对象是严格常数，则F不是DVO。也就是说，让G：C → C定义如下。对于所有XG（X）=k∈OrdXκ，其中Xκ表示函数空间[κ→X]，即长度为κ的X的元素的所有序列。F或所有f：X→Y，lettG（f）：然后，对于所有X，FXGX。由定理3.3可知，存在一个保包含函子GJ：C→ C，它自然同构于G.但是G不能恒定地等于函数上的恒等式，因此它不是自然同构于F。Q5Powerset函子在本节中，我们证明了整个κ-有界幂集函子族不是DVO。定义5.1（κ-幂集）设κ >1是基数。设P κ：C → C定义为：对于所有X，P κ（X）={Y|YX|Y| 1，幂集函子P κ：C → C不是DVO。我的律师。对于X，Pκ（X）=Pκ（X），对于X，- 是的f+（u）iffisinjectiveeonu所有f：X→Y，对所有u∈Pκ（X），Pκ（f）=否则的话。因此，可以说P κ ε与Pκε不是自然同构的.Q你好。请注意，在定理5.2的证明中定义上面的与函子α< κB α一致，其中B α是由下式定义的函子：B α X ={