计算概形的平展上同调群
时间: 2024-05-30 21:08:58 浏览: 24
平展上同调是代数几何中一个非常重要的工具。对于一个概形 $X$,我们可以考虑它的平展上同调群,记作 $\mathbb{H}^i(X,\mathcal{F})$,其中 $\mathcal{F}$ 是 $X$ 上的一个层。
平展上同调的定义需要用到 $\text{Tor}$ 函数,这是一个关于模的函子,我们先回顾一下它的定义。设 $R$ 是一个交换环,$M$ 和 $N$ 是 $R$-模,$i$ 是一个非负整数,则 $\text{Tor}_i^R(M,N)$ 定义为 $M$ 和 $N$ 的平坦分辨中第 $i$ 阶的核,也就是说,我们可以选取如下的平坦分辨:
$$
0\rightarrow N\rightarrow P_0\rightarrow P_1\rightarrow \cdots \rightarrow P_i\rightarrow \text{ker}(d_i) \rightarrow 0
$$
其中 $P_0$, $P_1$, $\cdots$, $P_i$ 是平坦的 $R$-模,$d_i:P_i\rightarrow P_{i-1}$ 是满足 $d_{i-1}\circ d_i=0$ 的 $R$-模同态,使得 $\text{ker}(d_i)=\text{Tor}_i^R(M,N)$。
现在设 $X$ 是一个概形,$\mathcal{F}$ 是 $X$ 上的一个 $\mathcal{O}_X$-模。我们定义 $\mathcal{F}$ 的 $i$ 阶平展上同调群 $\mathbb{H}^i(X,\mathcal{F})$ 为:
$$
\mathbb{H}^i(X,\mathcal{F})=\text{H}^i(\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{O}_X^{sh})
$$
其中 $\mathcal{O}_X^{sh}$ 是 $X$ 的仿射平展赋环层(即 $X$ 上的仿射平展覆盖 $\{U_i\}$ 的每个 $U_i$ 的赋环层的直和),$\text{H}^i$ 是 $\mathcal{O}_X^{sh}$ 模 $\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{O}_X^{sh}$ 的 $i$ 阶上同调群。
需要注意的是,平展上同调群的定义是依赖于平展覆盖的,不同的平展覆盖可能导致不同的平展上同调群。
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