可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记298（2013）215-232www.elsevier.com/locate/entcs拟连续Domain与Smyth幂DomainReinhold Heckmann2AbsInt Angewandte Informatik GmbH科技园1D-66123 Saarbruücken，德国Klaus Keimel克劳斯·凯梅尔1，3FachbereichMathematikTechnischeUniversitéatDarmstadt D-64289 Darmstadt，Germany摘要在Domain理论中，准连续Domain不时地出现，稍微推广了连续Domain的强大概念。本文的目的是证明拟连续域以一种自然的方式出现在有限生成的紧饱和子集的幂域中。从这个观点出发，似乎可以最好地理解拟连续域的性质。这是在对比以前的方法，其中一个quasicontinuous域的性质进行了比较，主要是与斯科特开子集的格的属性。 我们提出了一个表征这些领域的发生作为拟连续Domain的非空紧饱和子集的Domain一个由M. E. Rudin在拟连续域的发展中起到了至关重要的作用。 我们提出了一个拓扑变种的鲁丁引理不可约集取代有向集。 不可约性的概念在这里是指一个非空集不能被两个闭集覆盖，除非如果已经有一个集合覆盖了它。由于有向集是偏序集上的Alexandro拓扑的不可约集，这是一个自然的推广。 它能让我们对清醒的空间。为此，我们用QX表示非空紧饱和子集空间（具有上Vietoris拓扑空间X的拓扑空间。以下性质是等价的：（1）X是sober，（2）QX是sober，（3）X在以下意义上是强良滤的：每当A是QX的不可约子集，U是X的一个开子集，使得现有文献。A <$U，则对某个K∈A，K<$U。这一结果填补了关键词：拟连续域，M. E. Rudin1在撰写本文期间，第二作者曾获学术研究基金（编号RP/10 HKW）资助，前往南洋理工大学进行研究访问。特别感谢何翁博士Kin和赵东升博士。2电子邮件：heckmann@absint.com3电子邮件地址：keimel@mathematik.tu-darmstadt.de1571-0661 © 2013 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2013.09.015216R. Heckmann，K.Keimel/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 298（2013）2151引言本文讨论了紧饱和集的幂空间、拟连续域和Rudin引理的变式。我们打算表明，这三种成分是不可分割地联系在一起的。Gierz，Lawson和Stralka [5]引入的拟连续域捕捉了连续域的许多基本特征。最近，通过J. Goubault-Larrecq [6]的出色工作以及Li和Xu [11]的一篇论文，关于连续域的一个重要结果是用Scott拓扑的性质刻画它们 dcpo是连续的当且仅当它的格是完全分配的。Gierz，Lawson和Stralka [5]用Scott开子集格是超连续的性质刻画了拟连续Domain。超连续格的特征之一是它是完全分配格在保持任意交和定向并的映射下的象。开子集格的一个特征等价于闭子集的相对格的一个特征。dcpo的Scott闭子集的格通常被称为dcpo的Hoare或低幂域。因此，我们可以说吉尔兹、劳森和斯特拉卡已经通过它们的下幂整环刻画了拟连续整环。在本文中，我们打算表明，拟连续域应捆绑与Smyth或上幂域[15，16]，而不是下幂域。我们证明了在dcpos中，拟连续域可以由逆包含有序的有限生成上集的偏序集是连续偏序集的性质来刻画我们认为，这为已知性质提供了有用的见解和更简单的证明（见4.6）。最后，我们给出了那些作为拟连续域的上幂域出现的域的一个特征（见定理4.16）。从一开始，拟连续域概念的发展就依赖于一个集合论引理。事实上，M。E. Rudin提供了一个适当的引理来回答Gierz，Lawson和Stralka在准备论文[5]时提出的一个问题，在论文中引入了拟连续域的概念。本着同样的精神，鲁丁引理的变体是本文的第二个组成部分（见第3节）。鲁丁我们也需要它在我们的方法，拟连续引理4.1中的域。在引理3.1中给出了Rudin引理的一个新的拓扑变体这个引理可以刻画清醒空间（见定理3.13）。我们用这个定理来简化证明拟连续偏序集的严格性（见推论4.12）。定理3.13解决了一个开放的问题。一个拓扑空间被称为良滤的4[4，I-1.24.1]，如果，对于紧饱和的滤子基F，4 在[10]中，良充空间也被称为UK-admittingR. Heckmann，K.Keimel/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 298（2013）215217集合和一个开子集U，则对某个K∈F，K<$U。众所周知，每一个清醒的空间都是经过良好过滤的。反之，每一个局部紧良滤空间都是sober（定理[4，II-1.21]）.但清醒并不意味着完全清醒。甚至有dcpos的例子，它们很好地过滤了它们的斯科特拓扑，但并不清醒;第一个这样的例子是由于寇辉[10]5。定理3.13告诉我们，清醒的特点是被强烈良好过滤的属性。这意味着，只要A是紧饱和子集超空间（具有上Vietoris拓扑）中的不可约集，使得A包含在开集U中，则对某个K∈A，K<$U。2预赛2.1序理论概念对于偏序集（=偏序集）P，更一般地，对于预序集，我们修正以下术语：如果D是非空的，并且对D中的任意d1，d2，都有一个d在D中，则D在D1和D2之上。在偏序集P中，有向子集D可能有也可能没有最小上界。我们采用以下约定：如果我们写↑D，那么我们意味着D是P的有向子集，它在P中有一个最小上界，我们用↑D表示。P是有向完备的（a dcpo），如果P的每个有向子集D都有一个最小上界↑ D。对于a∈P，设↑a表示所有x∈P且a≤x的集合，对于子集A，设↑A=a∈A↑a. P的子集A是上集，如果A=↑A。我们用UX表示X中所有上集的集合。序对偶的概念是↓a，↓A和下集.对于任何集合X，我们用PX表示所有子集的集合，用PfX表示所有非空有限子集的集合;字母F，G，H总是表示非空有限子集。如果X是一个偏序集，更一般地说是一个预序集，我们在幂集PX上引入一个预序±，有时称为Smyth预序，A±B ↑B ↑A，也就是说，A±Bi ≠对每个元素b∈B，都有一个元素a∈A，且a≤b。在上集的集合UX上，±是偏序，即逆包含。我们表示为ηX：X→PX映射ηX（x）=↑x是一个序嵌入.每个拓扑空间X带有一个自然（预）序，特殊化（预）序x≤yi <$x∈cl{y}，单点{y}的闭包。前面的序理论概念可以应用于特化（预）序。 当我们将序理论的概念应用于拓扑空间时，它们总是指[5]赵东升和Xi Xiaoyong最近展示了更简单的例子（口头交流）。218R. Heckmann，K.Keimel/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 298（2013）215∈任意开族（Ui）i∈I，K∈i∈IUi蕴涵K<$Uk，对于I中的某个k。专业化（前）秩序。一个拓扑空间的子集，如果是它的特化（预）序的上集，也称为饱和集。相反，每个偏序集X可以以各种方式拓扑化。上面的集合形成了Alexandro拓扑UX。一个较粗糙的拓扑是斯科特拓扑σX：一个子集UX是斯科特开的，如果U是一个上集，并且如果↑ DUDU=，也就是说，如果对于每个有向集D，其中↑ D ∈ U，存在一个d ∈ D，其中d ∈ U，只要D在X中有一个最小上界。斯科特开集确实形成了一个拓扑。2.2紧集与超紧集拓扑空间X的子集K是紧的，如果对所有开的有向族（U i）i∈I，K <$i∈IU i对I中的某个k蕴涵K<$U k. 它是超紧凑的，如果使用K<$U当且仅当K不满足C=X\U，紧性可以也可以用闭集而不是开集来表征：事实2.1一个集合K是紧的i，对于所有闭集的过滤族（Ci）i∈I，K满足i∈ICi只要K满足所有Ci。一个集合K是超紧的，i ≠ 0，对于任意闭集族（Ci）i∈I，K满足i ∈ IC i，只要K满足所有C i。注意，子集K是紧的当且仅当它的饱和度，上集↑K由Kw.r.t.生成 特化（前）序是紧的。事实2.2拓扑空间X的超紧饱和集恰是集合↑x，其中x在X中。证据集合↑x显然是超紧的和饱和的。对于相反的方向，设S是超紧上集。集合S满足闭集族（↓a）a∈S的所有集合。通过超紧性，它满足a∈S↓a。设x为成员关于Sa∈S↓a。因为S是一个上集，所以↑x<$S成立。另一方面，x在对于S中的所有a，有↓a，因此S <$↑x。Q2.3上层权力空间在拓扑空间X的所有子集的幂集PX上，我们考虑上Vietoris拓扑，即由集合生成的拓扑QU ={K∈PX|KU}，其中U的范围是X的开子集。 以来Q（U<$V）=QU<$QV，集合Qu确实形成了上Vietoris拓扑的基础。 Equipments，The集合QC={K∈PX|K <$C<$}对 X 的 所有闭集C都是闭的，形成上Vietoris拓扑的闭集的基础典范映射ηX=（x→ ↑x）：X→PX是拓扑嵌入。特殊化预序R. Heckmann，K.Keimel/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 298（2013）215219∈ ∈∈对于PX上的上Vietoris拓扑与Smyth预序A±B一致，即，↑B↑A. 我们考虑PX的几个子空间：PfX，X的所有非空有限子集的空间，KX，所有非空紧子集的空间QfX，所有非空有限生成饱和集的空间↑F，F∈PfX，X的所有非空紧饱和子集空间。这些空间总是被赋予上Vietoris拓扑。专门化预序是±，它只在QX和QfX上是偏序.我们也有一个关于PX的半格运算，即AHB=A<$B，并且PfX，KX，QfX和QX是其子半格。基本开邻域QU是滤波器，即AHB∈QU当且仅当A∈QU且B∈QU。这意味着半格运算H关于上Vietoris拓扑是连续的。2.4不可约集设X是一个拓扑空间。对于X的子集A，以下是等价的：(1) 对任意闭集的有限族（Ci）i∈F：若A∈FCi，则A∈Ci对于某个i∈F.(2) 对于任意开集的有限族（Ui）i∈F：如果A满足所有Ui，则A满足i ∈ FUi.为了证明，只需观察A满足U当且仅当A/≠X\U。X的子集A被称为不可约的，如果它满足等价条件(1) （2）以上。让我们收集一些关于拓扑空间X中不可约集的已知事实。事实2.3拓扑空间中的闭集A是不可约的当且仅当，对于任何闭集的有限族（C i）i∈F，A =i∈FC i蕴涵A= C i，其中i∈ F。由于开集满足A的闭包，所以它满足A，我们有：事实2.4一个集合是不可约的，如果它的闭包是不可约的。事实2.5设f：X→Y是拓扑空间X和Y的连续映射。如果在X中不可约，则它的像f（A）在Y中不可约。证据如果f（A）=f（C），则A=f（iFCi）=iFf−1Ci，其中Af−1Ci，对于F中的某个i，所以f（A）<$Ci。Q事实2.6（i）拓扑空间的每一个关于特化（预）序定向的子集都是不可约的。(ii)偏序集P的不可约集被赋予Alexandro拓扑是有向子集。证据（ i）设A是一个有向集。如果A满足开集U1，.......、Un，则A<$Ui中有点xi。因为A是有向的，所以存在x1，.. . ，xninA.因为开集是上集，所以x在A<$U1<$· ·<$Un中。故A是不可约的。220R. Heckmann，K.Keimel/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 298（2013）215A满足A，因此有Ci。因此，i∈FQCi.因为A是不可约的，(ii)有向集是不可约的（i）。对于相反的方向，设A是一个不可约集，x1，.. .，xn是A的元素。然后A满足上（因此是Alexandro open）集↑x1，.，↑xn.因为A是不可约的，所以A<$↑x1<$· ·<$↑xn/=<$。这个交集的任何成员都是x1的公共上界。. .，xn在A.Q3Rudin在她的原始，不容易获得的文件[13]，M。E. Rudin提出了以下定理：如果F是P的有限子集的集合，它是±-定向的并且收敛于1，那么存在F是有向的，且收敛于1。 这里P是一个具有极大元素1的偏序集; ±-定向族F被称为收敛到1，如果F∈F↑F ={1}，定向集D被称为收敛到1，如果d∈D↑d={1}。M. E.鲁丁用transfinite归纳法来证明。 用于域理论下面推论3.5中的修改版本变得突出。3.1Rudin引理的一个拓扑变体原始的鲁丁引理处理有向集。事实2.6建议在拓扑设置中用不可约集代替有向集引理3.1（拓扑Rudin引理）设X是拓扑空间，A是KX（Q（X），QfX）的不可约子集.任何满足A的所有成员的闭集CX都包含一个满足A的所有成员的不可约闭子集A。证据设C是满足A的所有成员的C的所有闭子集的集合。则C不是空的，因为它包含C，并且在过滤交下闭于2.1，因为A的所有成员都是紧的。根据Zorn引理的序对偶作为C的成员，A是封闭的，满足A的所有成员。 我们证明A是不可约的使用2.3。设A = i∈FC i，其中（C i）i∈F是闭集的有限族。 每一个KKX和集合QCi在KX中是闭的（2.3节），我们得出对F中的某个k，A ∈QCk.因此Ck满足A的所有成员，因此Ck在C中并且是A的子集。通过A在C中的极小性，A=Ck如下。Q在前面的引理3.1中，可以选择C=X，使得对于KX，QX和QfX的每个不可约子集A，分别存在满足A的所有成员的X的不可约闭子集。到2.6，有向集是不可约的。因此，3.1意味着以下推论：推论3.2设X是拓扑空间，A是X的非空紧子集的± -定向族。任何满足A的所有成员的闭集合C都包含一个满足A的所有成员的不可约闭子集A。R. Heckmann，K.Keimel/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 298（2013）215221备注3.3M. Ern′e[3，Propposition3]已经获得了推论3.2的以下等价版本：对于空间的非空紧饱和子集的每个过滤集合AX，则存在满足A的所有成员的不可约（闭）子集A。在他的论文中，Ern′e强调了这样一个事实，即这个结果可以在不使用Zorn引理的全部力量的情况下（正如我们在3.1的证明中所做的那样他也避免了上层的权力空间，而是嵌入了空间X到它的sobrificationXs。 K∈A型的Xs中的饱和度↑XsK具有非空交集的紧致饱和集的过滤集合在这个交集中选取一个元素a，集合A=X<$clXs{a}是X的一个满足A的所有成员的闭不可约子集。我们也可以通过对3.1的证明稍加修改来直接证明这个推论。避免的代价在上幂空间中，3.2比3.1更不一般（但仍然比原始的Rudin引理更一般）。3.2Rudin现在我们将推论3.2应用于由具有Alexandro拓扑的预序P产生的空间。在这样的空间中，闭的=下，不可约的=定向的，紧的= fennitary，其中那些集合K被称为fennitary，其up-set是有限生成的，也就是说，对于某个有限集合F，↑K=↑F。我们得到：引理3.4（序Rudin引理）设P是一个预序，F是P的有限个上集的± -定向族。任何满足F的所有成员的下集合L都有一个仍然满足F的所有成员的有向下子集A。从这个版本，很容易得出A。Jung推论3.5如果（Fi）i∈I是偏序集中的非空有限集的± -定向族P，则存在i∈IFi的有向子集A满足所有Fi。证据 设Q是偏序集i∈IFi，其阶继承自P。 因为所有的F i非空，Q本身是满足所有Fi的下集合。到3.4，它有一个有向下子集A仍然满足所有Fi。Q在推论3.5中，必须限制为有限子集的集合F事实上，如果我们取一个具有离散阶的无限集合M，并考虑有限子集的过滤器F，则F是有向的，以实现反向包含，但当然，对于所有F∈ F，没有有向子集D满足D<$F/=<$;事实上，唯一的有向集合是单例的。3.3Rudin引理的另一个变体人们可能会问以下问题：设（Fi）i∈I是偏序集X的非空有限集的±-定向族。是否存在i的有向子集D与每个Fi相交于一点？一个肯定的答案将是对荣格222R. Heckmann，K.Keimel/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 298（2013）215Rudin引理的3.5版与每个Fi至少相交一点。对上述问题的回答一般是否定的提出一个有限的反例并不困难对于树形有向族，我们的问题有一个肯定的答案。为此，我们使用Rado选择引理的一个变体J. Cowen[2，定理3]：设F是定义在集合I的子集上的部分函数的集合，具有以下性质：(i) F是有限特征的，也就是说，f属于F当且仅当f对它的定义域的任何有限子集的限制属于F。(ii) {f（i）|f∈ F}对每个i ∈ I都是有限的。(iii) 对于每个有限J<$I，存在一个f∈F，其定义域包含J。则F包含一个定义在所有I上的函数。引理3.6设I是一个有向偏序集，在每个i ∈ I的上集是线性序的意义下，它是树型的。设（Fi）i∈I是偏序集P的非空有限子集的集合，使得当i ≤ j时Fi±Fj.那么你可以选择xi∈Fi，对每个i，使得xi≤xj，当i≤ j时。证据我们考虑定义在I的子集J上的保序映射f的集合F，使得f（i）∈Fi，对所有i∈J。Cowen引理的假设（i），（ii），（iii）得到满足：显然，这个集合F具有有限特征。对于I的每个有限子集J，我们可以找到一个从J到iFi使得xj∈Fj，对所有j∈J.为此，我们可以假设J有一个最大的元素j0。我们首先选择任意xj0∈Fj0。我们现在看看直接的前辈j1，...，j 0在J中的j k，我们选择x ji∈F ji，使得x ji≤x j0，这是可能的，因为对于i = 1，.，K.对于每个ji，我们重复相同的过程。经过无数的步骤，我们已经用尽了有限集合J。我们已经使用了有向集I是一棵树：在有限子集J中的下降路径永远不会相遇。我们现在可以应用上面引用的CowenQ注3.7注意，一个有向集是一棵树，它有约束链;只要取^xfora nymeberxofthetree. 利用柯尼希3.4DCPO案件阶鲁丁引理3.4在dcpo中有有趣的结果（见[5]）。事实3.8设D是dcpo，F是D的非空有限生成上集的过滤族。任何满足F的所有成员的Scott闭集C也满足F.R. Heckmann，K.Keimel/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 298（2013）215223F，设（Ui）i是覆盖的开集族是的。 在C =X的情况下应用3.8，我们看到F是非空的。为了显示出...的紧凑性证据设C是满足F的所有成员的Scott闭的下集。到3.4，它有一个有向子集A，它仍然满足F的所有成员。A的最小上界x存在于dcpo D中，并且在C中，因为C是Scott闭的。因为A满足F的所有成员，并且因为这些成员是上集，所以A的上界x在所有成员中，即，x的单位是C F。Q通过对C进行对位和补语，可以得到以下结果：推论3.9设D是dcpo，F是D的±-定向非空有限集族。 如果F∈F↑F是Scott开集U的子集，则F的某个成员已经是U的子集。注意，这两个陈述是基于对基础集合上两个不同拓扑的考虑：3.4是Alexandro拓扑的拓扑鲁丁引理的实例，而从3.4导出的3.8和3.9是基于斯科特拓扑。推论3.10设D是dcpo，F是D的非空有限上集的过滤族。则F是一个非空紧饱和集。F. 根据前面的推论，某个K∈ F包含在开集iUi中。由于K的紧性，有限多的Ui已经覆盖了K，因此它们也覆盖了F.Q3.5清醒的案例拓扑鲁丁引理本身在清醒空间中也有类似的结果。回想一下，拓扑空间是清醒的，如果每个不可约闭子集A是唯一确定的点a的闭包。与dcpo情况不同，所有参数都基于单个拓扑。因此，下面不是3.8的概括，而是一个逻辑上不相关的陈述。命题3.11设X是sober空间，A是KX（QX，QfX）的不可约子集.则满足A的所有成员的X的任何闭子集C也满足K∈A↑K，并且如果K∈A↑K是开集U的子集，则A的某个成员已经是U的子集。证据设C是满足A的所有成员的闭集。到3.1，它有一个不可约闭子集A，它仍然满足A的所有成员。由于X是sober，A是唯一点x的闭包，A=cl{x}=↓x。则x∈A<$C，并且由于A满足A的所有成员，所以对于所有K∈ A，A的最大元素x属于↑K。关于开集的陈述之后是闭集的对位和补充Q下面的引理在随后的清醒标准的证明中是有用的：事实3.12设A是拓扑空间X和 K是 X的任意子集，具有 K是开224R. Heckmann，K.Keimel/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 298（2013）215集合Ui是A的某个成员是U的子集。 K是紧的（超紧的）。证据设（U i）i∈I是一个有向（任意）开集族，使得K∈IU i. 通过假设，在A中存在某个Q使得Q ∈IU i。由于Q是紧的（超紧的），Q<$Uk对I中的某个k成立。再次通过假设，KUk如下。Q我们现在可以在本节中证明主要结果：定理3.13对于拓扑空间X，下列等价：(i) X是清醒的。(ii) X是强良滤的，也就是说，只要A ≠Q，X是非空紧饱和集的不可约U是X的开子集，使得A <$U，则对某个K ∈ A，K <$U。(iii) X是清醒的。证据第3.11节中的含义（i）和（ii）也成立。对于（ii）∈（iii），设A是QX中的不可约闭集. 通过3.12，K=A是紧的，即， 的一个元素。性质K∈QU，即，KU，等价于AQU/=by（ii）。这个等价性证明了clQX{K}=A。最后，设QX是sober，C是X的一个不可约闭集.则A = cl{↑x|x∈C}是Q X的一个不可约闭集，其距离为2.5（（x→ ↑x）：X→QX是连续的）和2.4。由于QX是sober，存在紧饱和集K使得A=cl{K}。因此，K∈QU i <${↑x|x∈C}满足QU。因此，我们认为，{↑x|x∈C}和K满足3.12的假设，因此K是超紧的.到2.2，K=↑a对X中的某个a成立。对于所有开集U，C满足Ui <$↑x<$U，对于C中的某个x，i <$K=↑a<$U，i<$ainU。这个等价性意味着C=cl{a}。Q注3.14（1）在陈述（ii）中，可以用所有非空紧饱和集的集合KX代替所有非空紧饱和集的集合QX。(2) 因为过滤集合是不可约的，所以3.13的命题（ii）暗示了紧饱和集的过滤集合F的相应命题：只要F是非空紧饱和集的过滤集合，U是开集，使得F <$U，则对某个Q∈F，Q<$U。 在[4，定义I-1.24.1]中，一个空间被称为良滤的，如果后一个性质成立。3.11的这个在他的博士论文[8，问题6，第120页]中，第一作者提出了一个问题，即3.11的“过滤”版本是否答案是“不”，我们已经在引言的结尾讨论过了。因此，3.13表明，3.11的一般(3) 前一定理中的蕴涵（i）≠（iii）已由A.Schalk [14，Lemma 7.20].R. Heckmann，K.Keimel/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 298（2013）215225↑∈ ↑ ↑∈↑4拟连续域本文通过研究非空有限生成集的偏序集QfX和非空紧饱和集的偏序集QX，我们给出了已知结果的简单证明和拟连续域的Smyth幂域的一个刻画。4.1有限子集上的way-below关系在整个过程中，让X是一个dcpo。如前所述，QfX表示所有非空的有限生成的上集的集合，这些上集按±排序，也就是按逆包含排序。 由F，G，H，... 我们总是表示非空的有限子集。让我们回忆一下任意偏序集P上的way-below关系的定义。对于x，y∈P，我们可以写Xy∈D. x≤ d）也就是说，xy如果，对于P的每一个有向子集D，使得y≤↑D，存在一个元素d∈D，其中x≤d，条件是D在P中有一个最小上界。让我们把这个定义应用到由逆包含排序的非空有限生成上集的偏序集Q f X：↑G↑Hi ∈ N对于每个±-定向族（↑Fi）i，使得i↑Fi是包含在↑ H中的有限生成上集，存在一个i，使得Fi ∈ N↑G。如果↑G↑H，我们就写GH。 下面的引理表明，方法- 在偏序集QfP上的下面关系与在[5]和[4，定义III-3，1]中为dcpo的有限子集定义的下面引理4.1对于dcpo X的非空有限子集，有GH当且仅当如果，对于有向D<$X，只要↑ D ∈ ↑ H，则对于d∈ D，d ∈ ↑ G。证据首先假设GH根据我们的定义。 考虑一个有向集合D，使得DH. 然后是主要的过滤器d，dD、形成过滤非空有限生成上集族d∈D↑d=↑（↑D）<$↑H。如果G↑↑H，有d∈D使得d∈ ↑G。相反，假设D∈ ↑Hd∈D。d∈ ↑G. 为了显示↑G↑H，考虑任何非空有限生成上集（↑Fi）i的过滤族，其交集是包含在↑H中的有限生成上集。假设Fi中没有一个包含在↑G中。则FiJ=Fi\↑G是非空的，它们仍然形成±定向的家族。 根据荣格的 鲁 丁 引 理 3 . 5 版 ，是一个有向集合DiFiJ，使得D Fij对所有i都成立。则↑D∈↑FiJ<$<$↑F i对所有i，则有↑D∈i↑Fi <$↑H。根据我们的假设，这意味着对于某个d∈D，d∈↑G，这与d属于某个FiJ的事实相矛盾，F i j根据其定义与↑G因此，某些Fi包含在↑G中。Q226R. Heckmann，K.Keimel/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 298（2013）215↑我们用G y表示G{y}。作为前面引理的一个特例，我们得到：推论4.2Gyi（y≤↑Dd∈D. d∈ ↑G）。特别地，在Q f X i中的{ x } { y }在X中的{ x }{y}。本文证明了正则映射x → ↑x：X → QfX是阶的嵌入，是有向上确界的嵌 入，是 有向上确 界的嵌 入.使用引理4.1的way-below关系的另一种描述，我们可以看到：推论4.3QfX上的way-below关系通过并保持，也就是说，对于非空的有限子集，我们有：FG和FJGJ<$F<$FJG<$GJ，或者等价地：↑F↑G和 ↑FJ↑GJ ↑F HFJ↑G H ↑GJ特别地，FG当且仅当Fx ∈ G.4.2准连续dcpos回想一下，偏序集P称为连续的，如果对于所有x∈P，所有y x的集合是有向的，并且x ={y|yx}。我们现在定义：定义4.4 dcpoX称为拟连续的，如果由逆包含±排序的非空有限生成上集的偏序集QfX是连续的。在下面的命题中，我们证明了我们的拟连续性定义等价于[5]和[4，定义III-3.2]中给出的定义命题4.5根据我们的定义，dcpoX是拟连续的当且仅当它满足条件（*）：对于每个x∈X，非空有限集族Fx是±-定向的，Fx↑F=↑x，也就是说，只要y/≥x，就有一个有限的Fx使得y/∈ ↑F。证据[6]首先假设X根据我们的定义是拟连续的，即（QfX，±）是连续偏序集。 则特别地，Fx形成Q f（P）的±-有向子集，且↑x ={↑F|Fx}。相反，假设条件（*）满足。正如我们在4.3节中所指出的，我们有FG i Fx∈G. 根据假设，F的集合x是±理想。在一个半格中，有限多个理想的交集是一个理想。因此，F G的集合是±定向的。 为了显示FG↑F=↑G，考虑任意z∈ ↑G. 根据我们的假设（*），对每个x∈G，存在一个Fxx使得z∈ ↑Fx. 对于有限集合F=x∈GFx有FG乘以4.3，显然z∈ ↑F。我们得出结论，z/∈FG↑F。Q我们推导出拟连续dcpos的一些性质性质4.6设X是拟连续dcpo。[6]我们要感谢阿希姆·荣格，他在前面的一篇文章中指出了这个命题的证明中的一个空白。这张纸的版本。R. Heckmann，K.Keimel/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 298（2013）215227††0 0我†††††由f i，i= 1，.，n.所以F=iFi是U的有限子集，(i) 在QfX上的way-below关系FG具有插值性质。特别地，如果Fx，则存在G使得FGx。 （比较[4，命题III-3.5]。）实际上，通过定义QfX是连续偏序集，并且在每个连续偏序集上的way-below关系具有插值性质。(ii) 对于每个非空的有限子集F，F={x∈X|Fx}是斯考特开放。 （比较[4，命题III-3.6]。）证据 设F是X中的非空有限集。为了表明这套F是Scott-开的，考虑任意元素x使得Fx，假设x0≤ ↑xi ，对于X中的某个有向族（ xi） i.根据插值性质，存在一个FJ使得FFJx0。则对某些y∈FJ和某些i，y≤xi. 由于Fy，我们得出结论，Fxi，即xi∈F。Q(iii) X的子集U是Scott-开的当且仅当对每个x∈U，存在非空有限集Fx使得↑F<$U。因此，形式的集合F对于非空有限子集F形成X上的Scott拓扑的基。（比较[4，命题III-3.6]。）证据 设U是X的Scott-开子集，x∈U. 我们知道↑x=Fx↑F。 由于Fx的集合是±定向的，推论3.9告诉我们有一个Fx使得↑F<$U。 相反地，假设对于每个x∈U，存在一个有限集合Fx使得↑F<$U。 那么U是 集合 F，其中F的范围是U的非空有限子集F。从(ii)我们得出结论，U是Scott-open。Q(iv) 对于X的每个非空紧饱和子集Q和Q的每个Scott开邻域U，存在一个非空有限子集F<$U使得Q<$F。证据设Q是非空的、紧的、饱和的。设U是包含Q的Scott-开集。根据性质（iii），U是集合F的并，其中F的范围是U的非空有限子集。由于紧集Q被这个基本开集所覆盖，因此有有限个FiU使得Q性质Qi<$Fi =<$F。Q(v) 一个拟连续dcpoX是局部紧的，因为它的Scott拓扑。（比较[4，命题III-3.7（a）]。）事实上，通过（iv），每个x∈X都有一个有限生成的上集的邻域基，并且这些上集是紧的。每个连续偏序集都有一个圆理想完备化。有向下集是一个理想，连续偏序集P中的理想I是圆的，如果对每个a∈I都有一个228R. Heckmann，K.Keimel/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 298（2013）215↓↓↑↑↓††元素b∈I，其中aB.对于每个b∈P，b={a∈P|ab}是圆理想。P的圆理想的集合IP称为P的圆理想完备化。映射b›→b：P→IP是一个序嵌入。以下是众所周知的：引理4.7连续偏序集P的圆理想完备化IP是连续dcpo。对于两个圆理想I和J，其中一个有IJ当且仅当存在元素b∈J使得I<$b。对于拟连续dcpoX，连续偏序集QfX的圆理想完备化有一个具体的描述：引理4.8设X是拟连续dcpo。 如果我们给QfX的每个圆理想I赋予集合κ（I）=I，我们得到QfX的圆理想完备到X的所有非空紧饱和子集的集合QX上的同构.证据对QfX的任意理想I，交I是一个非空紧饱和集，由推论3.10证明.因此，κ将圆理想映射到非空紧饱和集。显然，κ是保序的。设Q为非空紧饱和集。所有FQfX的集合IQ使得Q F是圆理想使得κ（Q）=Q通过性质4.6（iv）。所以，K是满射的。如果Q和QJ是非空紧饱和集，使得Q/<$QJ，则存在一个包含Q但不包含Qj的开集U。因此，存在一个非空的有限子集F<$U，使得Q<$F。因此，↑F∈IQ\IQ′，由此IQ/<$IQ′。这说明K是一个序同构。Q通过引理4.7和引理4.8，我们得出结论：命题4.9对于拟连续dcpo X，所有按逆包含±排序的非空紧饱和子集的集合QX是连续有向完全dcpo。Q X上的路下关系由下式给出：QQJi <$存在非空有限子集F <$Q使得QJ<$Fi <$Q是Q j的邻域。非空的有限生成的上集合形成了一个基。注4.10显然，QX也是运算QHQJ=Q<$QJ 的半格，并且这个半格运算保持了way-below关系：QK，QJKJ=QHQJKH KJ。事实上，如果Q是K的邻域，QJ是KJ的邻域，则Q<$QJ是K<$KJ的邻域。引理4.11（比较[14，引理7.26][6，推论3.6]。） 对于拟连续dcpo X，上Vietoris拓扑与QX 上的Scott拓扑一致.R. Heckmann，K.Keimel/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 298（2013）215229††证据上Vietoris拓扑的基本开集QU对于Scott-open UX也是在Q X中Scott-open的。的确，如果（↑Fi）i是±-定向族，使得i↑Fi<$U，那么对于某些i，由推论3.9可知，↑Fi<$U。相反，Q X上Scott拓扑的基本开集具有形式{Q∈QX| ^FQ}，这个集合可以重写为Q（F），并且F是Scott-开的，由性质4.6（ii）。Q推论4.12（比较[4，命题III-3.7]）拟连续dcpoX是sober的。证据实际上，QX是一个连续的dcpo，因此它的Scott拓扑是清醒的。由于Scott拓扑与上Vietoris拓扑通过引理4.11一致，X通过定理3.13是清醒的。Q为了以后使用，让我们记录以下属性：命题4.13正则嵌入η X=（x → ↑x）：X → QX是Scott、lower和Lawson拓扑的嵌入。证据映射ηX=（x<$→ ↑x）：X→QX是X（具有Scott拓扑）嵌入到QX中的上Vietoris拓扑，它与引理4.11的Scott拓扑一致。映射η X也是相应的下拓扑的嵌入：由于每个紧饱和集都是有限生成的上集的过滤族的交集，因此Q X上下拓扑的闭集的子基由以下形式的集合给出：{Q∈QX|Q<$↑F}，其中F在X的有限子集上的范围。这样的集合在η X下的逆像是集合{x∈X| ↑ x<$↑F}= ↑F，这些集合构成了X上下拓扑的闭集的基。Q由于连续dcpoQX上的Lawson拓扑是正则的和Haus-dor的，所以X上的Lawson拓扑继承了这些性质.（比较[4，命题III-3.7（b）]。）4.3拟连续域QX我们打算证明命题4.9中所收集的性质以及随后的评论刻画了那些同构于拟连续dcpos的所有紧饱和子集为此，我们必须在QX中识别X。 在QX中，我们可以找到X通过形式为↑x的集合。我们能否通过一个内在性质将这些特定的紧饱和集与定义域QX中的其他紧回想一下交半格的元素p被称为素数，如果x∈y≤p蕴涵x≤p或y≤p。如果有一个顶元素，我们认为它是素数，如[4]。素数的性质从有限集合的交扩展到紧集合的交引理4.14如果p是拟连续交半格S中的素元，Q是S的Scott紧子集，且在S中有一个最大下界Q，则Q≤p意味着对某个q∈ Q，q ≤ p。230R. Heckmann，K.Keimel/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 298（2013）215↑联合是K，所以K有一个下确界K=K在QX中。我们现在使用引理4.14：如果K证据假设对所有q ∈ Q，q/≤p。则对于Q中的所有q，存在有限F qq使得p/∈ ↑Fq。集合{x|Fqx}，q∈Q，构成Q的一个开覆盖. 根据紧性，存在有限G<$Q，使得Q<$q∈G{
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