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ACM Journal on Emerging Technologies in Computing Systems,卷。号132、第十四条,公布日期:2016年11月→→一种用于振荡器计算系统维克托·严方布兰登·亚辛唐纳德·詹宁斯恰鲁利,史蒂文·P。匹兹堡大学利用新兴的纳米器件技术构建基于模拟器的计算系统已经成为计算机视觉和模式识别等非传统计算任务的有前途的解决方案。然而,由于新器件的非线性和耦合振荡器的复杂行为,为了加快耦合振荡器系统的仿真,我们提出了一个简化的相位模型来执行相位和频率同步预测的基础上合成的早期模型。我们的模型可以预测频率锁定行为与几个数量级的加速相比,直接评估,使实际计算系统所需的大量振荡器的有效和我们展示了基于卷积器的计算范例与三个应用程序,模式匹配,卷积和图像分割。在我们的测试中,这些模型的模拟速度分别提高了780,300和1120倍。CCS概念:硬件新兴技术;计算方法愿景附加关键词和短语:非布尔计算,基于振荡器的计算,耦合振荡器,相位模型,同步ACM参考格式:放大图片作者:Yan Fang,Victor V. Jennings,Donald M. Chiarulli,and Steven P. Levitan. 2016.一个简化的相位模型,用于模拟基于模拟器的计算系统。J. Emerg.技术计算。系统13,2,第14条(2016年11月),20页。DOI:http://dx.doi.org/10.1145/29767431. 介绍追求高密度,低功耗,高速计算系统的后CMOS时代驱使研究人员开发新兴的纳米器件技术的潜力。尽管如此,在用传统布尔逻辑构建计算系统的约束下,这些新技术在计算速度或功耗方面难以优于流行的CMOS技术[Hutchby et al. 2008;Bourianoffetal. 2008年]。因此,用更节能的器件取代用于布尔计算结构的CMOS晶体管的纳米技术的研究在很大程度上是不成功的。然而,因为这些器件中的一些具有不同于传统CMOS晶体管的多状态响应特性,所以可以利用这项工作得到了美国国家科学基金会的部分支持,DMR-1344178和CCF-1317373。作者地址:Y。方湾,澳-地B. Jennings和S. P. Levitan,匹兹堡大学电气与计算机工程系,1238 BenedumHall,Pittsburgh,PA 15261;电子邮件:{yaf 13,bbj 5,levitan}@pitt.edu; V.诉Yashin,匹兹堡大学化学石油工程系,940 Benedum Hall,Pittsburgh,PA 15261; vvy1@pitt.eduM. Chiarulli,匹兹堡大学计算机科学系,6137 Sennott Square Pittsburgh,PA 15260;电子邮件:don@cs.pitt.edu。允许制作部分或全部本作品的数字或硬拷贝供个人或课堂使用,无需付费,前提是复制品不以营利或商业利益为目的制作或分发,并且复制品在第一页上带有此通知和完整的引用。必须尊重本作品第三方组件的版权。对于所有其他用途,请联系所有者/作者。版权所有2016由所有者/作者持有1550-4832/2016/11-ART14DOI:http://dx.doi.org/10.1145/297674314ACM Journal on Emerging Technologies in Computing Systems,卷。号132、第十四条,公布日期:2016年11月14:2 Y. Fang等它们在非布尔信息处理系统中有效地用于神经计算,计算机视觉和模式识别等应用。基 于 新 兴 的 纳 米 器 件 如 自 旋 扭 矩 放 大 器 ( STO ) 的 最 新 进 展 [Pufallet al. 2005;Locatelliet al. 2014]、谐振体晶体管振荡器(RBO)[Weinstein和Bhave 2010]和氧化钒振荡器(VO 2)[Shuklaet al. 2014],从耦合的纳米振荡器构建的系统已经成为用于智能信息处理的下一代计算结构的有希望的候选者[Cotteret al. 2014年]。 受生物系统中不同时间尺度上发生的神经振荡之间相互作用的启发,Hoppensteadt和Izhikevich [2000]使用锁相环解出了耦合振荡器的联想记忆模型,并提供了该动态系统如何通过在Lyapunov能量函数的最小值处形成吸引子盆来执行识别的示例。受视觉皮层启发的局部耦合振荡器阵列也可以执行图像分割和场景分组[Wang和Termani1995]。除了生物启发系统之外,模式匹配或最近邻搜索是基于模拟器的计算的另一个有效和有用的应用类似于关联或内容可寻址存储器,模式匹配在输入向量和存储向量池之间执行,其中需要检索一个或多个最接近的向量。模式匹配中用于矢量比较的距离度量可以通过观察振荡器彼此同步的程度来获得利用耦合振子系统进行计算的基本思想在于动力学系统中的能量传递在输入信息的初始化下,多个振子相互作用并交换能量,使得整个动力系统从扰动状态收敛到稳定状态。该过程为基于振荡器的模式匹配带来了几个优点。首先,它提供了一个更高级别的多维范数,如输入向量集之间的欧几里得距离其次,由于其可扩展性以及匹配度跨越输入向量的所有维度而无需任何算术计算的事实,它适用于高维大型数据集[Levitan et al. 2012]。第三,随着STO等新设备的频繁出现,系统可以快速收敛 尽管迄今为止尚未实现由这些纳米器件构建的系统,但已经构建并模拟了使用传统电路的原型[Shibata等人,2012]。此外,使用纳米振荡器的系统模拟显示了有希望的结果[Csaba和Porod2013]。通常,基于模拟器的计算系统的配置(诸如网络拓扑、输入模式表示、输出结果的检测和“匹配度”)具有许多变化;并且,这些电路的设计可以通过来自系统设计者的规范来定制。最近,不仅从器件和电路的角度进行了研究[Kabirand Stan 2014; Shibataet al.2012],而且在算法和架构的水平[Levitan et al. 2012;Csaba andPorod2013]。为了设计和构建基于耦合振子网络的系统,我们需要对耦合振子系统有一个很好的了解,包括振子之间的同步不幸的是,由于两个原因,对于当前的EDA/CAD工具来说,从设备级到架构级对这样的计算系统进行精确的仿真和分析是困难的。一个是纳米振荡器的器件模型的复杂性因此,电路和系统设计者不能在非常大的尺度上对系统进行建模,而算法设计者和架构师只能使用振荡器的真实行为的近似值一种用于振荡器计算系统仿真的简化相位模型十四ACM Journal on Emerging Technologies in Computing Systems,卷。号132、第十四条,公布日期:2016年11月我为了解决这个问题,我们需要把重点放在耦合振荡器的行为建模虽然自1665年以来,Christiaan Huygens就开始研究耦合振子,但在过去的几十年里,Winfree [1967]和Kuramoto [1984]对这些系统的理解做出了根本性的贡献 Hoppensteadt和Izhikevich[1997]在他们的著作中从神经科学和动力系统的角度研究了弱耦合振荡器网络,他们还利用相位重置曲线(PRC)的思想统一了以前的工作[Izhikevich 2007]。最近,Demir等人[2000]提出了一种基于扰动投影矢量(PPV)的非线性相位模型,用于研究电子振荡器噪声引起的扰动[Demir等人,2000],并使用该模型对耦合振荡器进行建模。 这些模型广泛用于模拟振荡器对外部信号的注入锁定[Laiand Roychowdhury 2005]。Mafiz-zoni进一步发展了该模型,并从多频分析的角度分析了弱耦合振荡器[Maffezzoni2010]。本文的其余部分组织如下。首先,我们通过给出三个振荡器计算应用程序的例子来说明基于振荡器的计算的概念。其次,我们研究了不同相位模型下的耦合振子,并证明了它们之间的等价性。然后,我们结合这些模型的想法,抽象出一个简化的模型为基础的模式匹配操作。最后,我们提供了比较模拟结果,并得出结论,我们的模型和未来的工作的有效性观察。2. 振荡器调整模式在本节中,我们将介绍三种振荡器计算范例,用于模式匹配和图像处理中的不同应用 在用于目标识别的图像处理流水线中,图像分割属于前端的预处理阶段;模式匹配可以用作后端的分类器;卷积运算广泛用于对象识别模型,如卷积神经网络和HMAX模型[Krizhevskyetal. 2012; Serre和Riesenhuber2004]。2.1. 模式匹配模式匹配基本上是最近邻搜索操作,模式可以是图像、特征或向量,这取决于不同的应用。图1(a)显示了一个“内容可寻址”关联存储器的抽象视图[Foster 1976]。这里,一组关联存储字构成单个大存储器。要匹配的模式向量的集合(例如,手写数字)首先作为模板模式向量存储在存储器中在这篇文章中,我们定义根据应用程序的不同,对应于模板的代码也会被存储。匹配操作通过将输入向量广播(在总线上)到存储器中的所有字来进行然后,每个字执行本地比较或匹配操作。这种局部匹配操作是相对的,在输入模式向量和存储在单词中的局部模板之间生成“匹配度”。接着,通过全局分辨率函数比较每个词的匹配度,并输出最佳匹配结果。图1(b)显示了由耦合振荡器组成的单个关联存储器模块的架构该模块包含多个振荡器集群,这些振荡器以围绕求和节点的“星”结构彼此连接每个集群都有一个模板存储器,Tj,保存tj个值的向量(j是模板向量的索引模板存储器可以是数字的或模拟的。对于数字存储器,我们需要D/A转换器来为振荡器集群提供模板值以进行比较。一旦模板被加载,每个振荡器集群十四Y. Fang等ACM Journal on Emerging Technologies in Computing Systems,卷。号132、第十四条,公布日期:2016年11月|−|图1.一、( a)手写数字的联想记忆模型;(b)基于耦合编码器的联想记忆模块。以及输入模式向量X。该过程从利用X和Tj的元素值之间的差初始化每个振荡器的频率或相位开始。然后,输入模式和存储的模板之间的匹配度(DoM)由振荡器集群的匹配程度来确定。如果X和Tj彼此相似,则振荡器的最终频率或相位彼此相同或接近。否则,振荡器簇将产生更混沌的去混沌化信号。换句话说,耦合振荡器系统的行为就像一个核,它给出了两个向量之间的距离度量,这与平方欧几里德距离非常相似需要匹配度检测器电路来测量DoM每个振荡器簇的求和节点,并将其输出馈送到赢家通吃网络,以在构成存储器的所有簇中选择最佳匹配。随着系统规模的扩大,性能和功耗取决于振荡器器件的特性。这种基于振荡器的联想记忆系统与不同类型的振荡器兼容。例如,最近,利用自旋霍尔效应STO CMOS和接口电路实现了用于该计算范例的低功率设计[Fan et等人2015]。在这里,我们使用环形振荡器,因为它们可以有效地实现与CMOS技术和他们的行为进行了分析,在以前的工作[赖和Roychowdhury 2005年]。 图2(a)和2(b)给出了用于模式匹配的耦合环形振荡器集群的电路设计的示例。 对于这些振荡器,每个振荡器的频率由两个输入控制电压调节,并且耦合节点是第三逆变器的输出节点。 频率控制电压s,V,和矢量的成对差,XT j。振荡器通过公共节点彼此耦合,其中耦合组件可以是电阻器或电容器,其中较大的电阻器将给出较弱的耦合强度。公共节点的输出信号其他DoM检测技术和电路可以在Shibata等人[2012]中找到。通常,DoM检测电路的设计是振荡器和耦合电路的频率和波形的函数。图2(c)显示了距离度量一种用于振荡器计算系统仿真的简化相位模型十四ACM Journal on Emerging Technologies in Computing Systems,卷。号132、第十四条,公布日期:2016年11月−图二. 耦合振荡器系统。(a)压控环形振荡器;(b)通过一个公共节点与DoM检测电路耦合在一起的振荡器;(c)通过扫描一个频率模拟三个振荡器集群,1-DoM的散点图与二次模型的曲线拟合相反。是优化设计的平方欧几里得距离。在这个三振荡器系统中,一个振荡器散点图(1DoM)由图2(b)中的DoM检测电路生成。将其与二次曲线拟合模型(1-F3)2进行比较。在此图中,频率被归一化为1。2.2. 卷积第二个应用示例是使用振荡器来执行向量的卷积。如上所述,耦合振荡器集群可以提供平方欧几里德距离度量。这使得各种各样的图像处理算法和基于矢量距离的分类器能够被加速,或者在某些情况下使用振荡器DoM基元直接计算。然而,也可以通过使用三个振荡器集群来直接实现具有振荡器的向量卷积原语我们观察到,振荡器DoM电路给我们一个反归一化平方欧几里德距离(L22)。通过扩展和重新排列等式(1),我们可以导出向量A的卷积的表达式十四Y. Fang等ACM Journal on Emerging Technologies in Computing Systems,卷。号132、第十四条,公布日期:2016年11月2 2 22- -图三. (a)具有双向耦合的最近邻网络;(b)人脸图像数据集上的分割。上图:人脸图像;中图:细粒度分割;下图:粗粒度分割。和B在L22方面,L2(A,B)=(A−B)2=A2−2AB−B2L2(A,B)L2(A,0)L2(B,0)−2=AB(1)在这个实现中,第一个集群计算A和B的L22距离,第二个集群计算A和0的L22距离,第三个集群计算B和0的L 2 2距离。减法、除以二和求逆在模拟支持电路中实现卷积核的编译器实现使得能够实现或加速各种各样的信号这包括用于滤波、谱变换和卷积神经网络的关键内核[Chiarulliet al. 2015年]。2.3. 图像分割振荡器计算应用程序的第三个示例专门针对图像分割而设计[Fang等人,2014]。该振荡器网络的结构是一个耦合振荡器的二维阵列,其中每个振荡器与其八个相邻振荡器耦合,如图3(a)所示。 对于图像分割任务,振荡器网络被配置为使得其具有与输入图像相同的尺寸,并且每个振荡器对应于一个像素。我们根据每个像素的强度信息,用频率初始化每个振荡器的振荡。在振荡器网络初始化之后,振荡器尝试与它们的邻居同步,并且它们的频率开始朝向彼此偏移。如果像素属于同一区域,则它们的强度值通常彼此接近。因此,相应的振荡器将彼此同步并锁定到相同的频率。否则,它们的频率相距太远而无法同步,并且它们保持自己的频率。结果,网络中的振荡器被聚集成组。每个组内的振荡器共享相同或相似的频率。以这种方式,像素被聚类到不同的区域中。耦合振荡器基于两个标准执行像素聚类:像素的空间局部性和强度相似性对于我们的振荡器网络架构,一种用于振荡器计算系统仿真的简化相位模型十四ACM Journal on Emerging Technologies in Computing Systems,卷。号132、第十四条,公布日期:2016年11月=振荡器之间的耦合强度可用于调谐网络以降低噪声灵敏度,同时保持良好的段边界。然而,图像的“良好”分割是由后续图像处理任务的要求指定的,从而加强了对用于比较目的的抽象定义的需要。在图3(b)中,我们展示了两个分割任务。在第一种方法中,使用较低的耦合强度,我们从突出面部细节的图像中生成细颗粒片段在第二,使用更强的耦合,我们从输入图像中提取过程纹理面部形状在此范例中,振荡器以高效率自动执行像素级聚类该系统可以灵活调整,以满足不同的分割分辨率,用于各种分割目的。3. 相位模型正如我们在引言中所讨论的,这些振荡器计算范例的模拟和分析通常是困难和耗时的。在本节中,我们试图通过研究振荡器的相位模型来解决这个问题,这些模型可以用来有效地描述这种行为。 我们首先回顾了在以前的工作中提出的相模型,包括PPV模型[Demiret al.2000],Izhikevich总结的Winfree和Malkin的方法[2007]。 通过讨论这些模型之间的关系,结合它们的优点,我们提出了新的模型。3.1. PPV模型我们从相位投影矢量(PPV)模型开始,因为它是从对受噪声扰动的振荡器电路的理论分析的需求中推导出来的,因此与其他模型相比,从电气工程的角度更容易理解[Demir et al.2000年]。PPV模型从振荡器的一般微分方程开始xstec(t)=f(x(t))+P(t)(2)其中ex(t)是振荡态s的矢量,并且xstec(t)是其导数s。在实际电路中,这些状态通常是节点的电压或电流。P(t)表示振荡上的外部扰动,其可以是噪声、信号注入,或者在这种情况下,其他振荡器的耦合项。f是描述振荡的非线性函数,t是时间。我们假设扰动很小,它只改变振荡器的相位。然后,来自该方程的响应解可以写为:xc(t)=xs(t+α(t))(3)其中xs(t)是没有任何扰动的振荡器α(t)表示由扰动引起的相位的时移因此,方程(2)揭示了振荡器的自然响应和扰动响应之间的相位关系。根据PPV模型,α(t)可以通过解方程得到,αstec(t)=α(t+α(t))P(t)(4)其中,τ(t)是描述振荡器的扰动响应的扰动投影向量(PPV)。PPV可以被认为是诱导时移对给定注入扰动的时变灵敏度[Lai和Roychowdhury2005]。PPV方法的理论推导和证明可以在Demir等人[2000]中找到。PPV,(t),通常是一个周期函数,可以获得数值或解析。在获得α(t)之后,我们从方程(4)的解知道相位α(t)的时移,从而可以求解方程(3)。本文将该模型十四Y. Fang等ACM Journal on Emerging Technologies in Computing Systems,卷。号132、第十四条,公布日期:2016年11月=J≈该模型实际上并不预测因此,我们很难使用这个模型来直接预测耦合振荡器系统中的频移。我们介绍的下一个模型为我们提供了进一步的见解。3.2. Izhikevich在Izhikevich [2007]中,弱耦合非线性振子的相位模型从抽象的角度进行了探讨,统一了一些早期的模型。与PPV模型不同,该模型假设所有振荡器共享相同的自激频率,因此非线性耦合振荡器的θ(t)=t+θ(t)(5)对两边求导,我们有,θstec(t)=1+θstec(t)(6)在等式(5)和(6)中,θ(t)是定义的相位,是具有周期的周期函数T1。相位偏差(t)称为相位偏差,由其他振荡器的耦合引起。我们注意到,当没有耦合项时,相位项只是时间t,而自由振荡频率y是标准化的dto1。导数ε(t)表示由于耦合效应引起的为了将该模型映射到各种非线性振荡器,关键点在于相位偏差Δ t(t),其由下式描述:θstec(t)=Q(θ(t))P(t)(7)其具有与方程(4)类似的形式。P(t)是到振荡器的相同外部注入信号(即,耦合项)。函数Q(θ)被称为相位响应曲线或相位复位曲线(PRC),表示在特定相位θ(t)处相位偏移响应于P(t)因此,(6)也可以写成,θstec(t)=1+Q(θ(t))P(t)(8)该方程揭示的耦合振子的相位和频率相互作用机制在早期的振荡器相位模型研究中多次被发现,一些研究者以不同的方式将其命名为PRC,并利用不同的方法推导和利用它。Malkin在1949年首先提出的一个定理,后来由Hoppensteadt和Izhikevich [1997]抽象,表明Q(θ)可以通过求解线性伴随方程来计算,Qstec(t)=−J[f(x(t))]TQ(9)其中[f(x(t))] T是(1)中振荡函数f的转置雅可比矩阵。这个定理与仓本在1984年的方法是相同的在Winfree的工作(1967)中,通过施加幅度为A的脉冲刺激来实验性地接近PRC。然后通过观察由刺激引起的相移来测量称为线性响应或灵敏度函数Z(θ)的函数,PRC是Z(θ)除以幅度A。PRC(θ)Z(θ)一(十)该方法灵活、直观。然而,作为实验,它遭受更多的变化和不准确性。然而,当非线性振子方程不可微或不连续时,它是有用的一种用于振荡器计算系统仿真的简化相位模型十四ACM Journal on Emerging Technologies in Computing Systems,卷。号132、第十四条,公布日期:2016年11月ω0我不是.3.3. 我们的简化模型从上面讨论的先前模型,如果我们将方程(2)和(5)、(3)和(6)以及(4)和(7)配对并比较它们,我们可以注意到它们具有相同的模式,因为这些模型背后的内在方法是相同的,即量化振荡如何受到外部扰动的影响然而,这些模型使用不同的方法来计算这一项,无论是分析推导还是数值测量。此外,PPV模型研究的振荡变量本身,而Izhikevich从解决实际问题的角度出发,通过耦合引起的振荡器的频移或锁频来实现模式模式向量的元素由频率表示,匹配程度由振荡器同步的程度来评估因此,为了预测耦合振子的频率,我们将Izhikevich模型中的我们假设有n个不同频率的振荡器:ω0,ω1,ω2. ωn-1。由于方程(5)和(6)要求振荡器以归一化的固有频率运行,到1,我们将这些频率标度到1,λ1,λ2。.λn-1,其中λi=ωi=T0.所以对于一个任意的振荡器i,在PPV模型中,等式(3)可以被改变为类似于(5)的相位形式,θi(t)=λi(t+α(t))=λit+λi(t)(11)i(t)=λi(α(t))(12)等式(11)表示Izhikevich模型中的相位偏差和PPV模型中的相位的时间偏移的关系对(10)求导,我们得到:θsteci(t)=λi+λiαsteci(t)(13)用(4)代替,我们有,θsteci(t)=λi+λi<$(θi(t))Pi(t)(14)其中,θi(θi(t))仍然是(4)中的PPV,但由相位而不是时间确定。该方程将PPV从时域转移到相域,并将仿真时间跨度替换为振荡周期数。Pi(t)是该模型中的耦合项,定义为:nPi(t)=gij xs(θj(t))(15)j=0其中gij是成对耦合系数,j是系统中其他振荡器的指数。因此,解(13)可以提供耦合振荡器系统的频率和相位响应。在我们的简化模型中,PPV函数也等价于由其他方法获得的PRC函数在下一节中,我们将给出这些方法的示例。我们注意到,有几种方法是有用的,因为某些方法可能被证明是不准确的或无法收敛到特定的非线性振荡器系统。3.4. 振荡器示例在本节中,我们以理想环形振荡器为例,演示了三种不同的方法来获得其PPV/PRC函数。一个简单的环形振荡器由三个反相器和RC电路组成,如图4(a)所示,其分析模型在Lai和Roychowdhury [2005]中给出,如下所示的电压导数,十四Y. Fang等ACM Journal on Emerging Technologies in Computing Systems,卷。号132、第十四条,公布日期:2016年11月233==-233见图4。环形振荡器模型。(a)简单原理图模型;(b)节点v3处的输出波形和(PPV)。三个节点是:vstec(t)=f(vip(t))−vi(t),i=1, 2, 3(16)iRC其中ip是i的前一节点,f(v(t))是反相器的简化响应:+1,如果v > 0-1,其他智慧(十七)通过将标准频率和周期归一化为1,我们可以将三个节点的电压状态响应写为,v1(t)=1−ε e−γt, 0≤t≤ 1/ 21+ε e−γ(t−1),1/ 2≤t≤ 1v2(t)= v1。t− 2,v3(t)= v1。t−1(18)其中γ1+γ5,γ6ln(n).因为频率是1,RC 1/γ。类似地,PPV方程可以解析求解为,1(t)=t−22(t)=t−1-11 +13。Σ-1。1吨/年3(t)=γ.f(v)=.−十四Y. Fang等ACM Journal on Emerging Technologies in Computing Systems,卷。号132、第十四条,公布日期:2016年11月4 −2ψ32+2−u(t)+(−1+2<$)u t− 2e(十九)一种用于振荡器计算系统仿真的简化相位模型十四ACM Journal on Emerging Technologies in Computing Systems,卷。号132、第十四条,公布日期:2016年11月图五. 马尔金对PRC的态度。(x轴:相位,y轴:振幅)和从后向积分获得的节点v3和PRC处的输出波形。图4(b)示出了节点v3的振荡响应和PPV的波形。从这个图中,我们看到环形振荡器的PPV函数是周期性和非线性的。有时很难直接从常微分方程中获得状态响应和PPV函数。对于这些情况,我们可以得到相应的PRC通过应用马尔金 求解方程(9)实际上与Maffezzoni [2010]中PPV的解析推导非常相似。然而,当分析方法不起作用时,我们可以使用一种称为向后积分的技术来获得雅可比矩阵[Izhikevich 2007]。图5显示了该方法的PRC结果,4个循环的向后积分。PRC曲线的最后一个周期由于特殊的积分技术而不准确,通常应被丢弃。第一个循环中使用的是PRC在少数情况下,当系统的雅可比矩阵不存在时,Winfree的方法可能是唯一的选择,特别是对于那些具有复杂数学模型的非线性振荡器,即使这种方法是“实验性的”,往往是不准确的作为一个例子,我们应用Winfree图6示出了通过Winfree方法在不同刺激幅度下生成的PRC曲线中的小故障显示了这种方法的问题。然而,值得注意的是,这里的PRC幅度与刺激幅度成2倍的比例,这不仅对应于等式(10),而且还拟合了图5(b)和图6(b)中的前两种方法的PPV/PRC幅度。这三个环形振荡器相位偏差的例子表明PPV和PRC函数彼此相同,并增强了我们模型的基础。4. 实验与模拟4.1. 系统配置在本节中,我们将简化的相位模型应用于耦合振荡器系统,并分析它们的同步行为。我们还比较了性能和效率的模型得到的不同的方法,以及准确性和加速比相比,直接模拟的振荡器系统。正如我们在前一节中所讨论的,弱耦合系统(如图2所示)可以简单地由方程(14)和(15)描述。在这种结构中,十四Y. Fang等ACM Journal on Emerging Technologies in Computing Systems,卷。号132、第十四条,公布日期:2016年11月=-..Σ===见图6。Winfree见图7。 比较三个耦合振子的模拟,其固有频率为λ[1.0,0.95,1.05],ε0.4和0.2。(a)末级的缠绕相位波形;(b)振荡器之间的相位差的演变振荡器之间的耦合强度相同。因此,对于图4中节点v3处的每个振荡器,我们有,其中ε是耦合系数。nθsteci=λi+ελi<$node3(θi)vnode3θj,i,j∈[1,n](20)j=04.2. 振荡器行为分析我们从一个三振子系统(n=3)开始我们可以很方便地预测通过数值求解(20)来确定每个振荡器的最终频率如果θtec1=θtec2=θtec3,系统同步并锁定频率。我们使用Matlab来运行等式(20)的仿真。图7示出了锁定和非锁定系统的示例对于这些示例,我们将初始频率设置为:λ [1,0。95,1。05],但使用两个不同的ε,0.2和0.4。在左图图7(a)中,我们在仿真的最后步骤中给出了包裹相位的放大观察,其中ε 0。4导致锁定的最终频率[0.8717 0.8717 0.8717],而ε 0. 2生成去噪声化的最终频率[0.9644 0.9298 1.0263]。图7(b)示出了一种用于振荡器计算系统仿真的简化相位模型14点ACM Journal on Emerging Technologies in Computing Systems,卷。号132、第十四条,公布日期:2016年11月===- {− + −}三个振荡器在第一种情况下,相位差是恒定的,而在第二种情况下,相位差是从这些仿真结果中,值得注意的是,频率锁定的条件由耦合系数ε和每个振荡器的自由运行频率λ i之间的缩放比确定这一有趣的现象对于未来基于并行计算的计算系统的设计是重要的这意味着具有高频率的设备可以为信息编码提供更宽的带宽。此外,即使振荡器无法彼此锁定,它们的频率也会彼此靠近基于这种观察,我们说同步程度可以提供度量来测量每个振荡器的初始频率(以及因此输入)的距离或相似性,如下所为了验证这一点,我们通过固定第一个振荡器的频率并将其他两个振荡器的频率从0.8扫描到1.2来多次运行仿真。我们使用同步度1(f2f1)2 (f3f1)2作为函数来评估振荡器同步的程度。通过该函数,我们测量这些最终频率与参考振荡器的接近程度,以比较相位模型和直接仿真,从而验证我们的相位模型在基于振荡器的计算仿真中的能力注意,这里的f1、f2、f3在本测试中,我们使用三种不同的方法来获得PPV/PRC,如第3节所述此外,我们直接模拟耦合振荡器与振荡器方程(16)作为性能标准。 图8展示了所有模型,其中包含两种ε 0情况下同步程度的3D图。4和ε0。2. 当耦合强度较弱时,表面光滑,初始频率更容易区分,而更强的耦合使我们获得更多的非线性特征和更宽的锁定范围。表面顶部的平坦区域表示最高程度的同步,为我们提供了模拟扫描的频率锁定范围。因此,非常强的耦合系统可能缺乏模式匹配或最近邻搜索的区分。但是对于像图像分割这样的聚类操作,更强的耦合强度可以提供更好的抗噪声能力。由于快速的仿真速度,我们的模型也非常适合于模拟大量耦合振荡器的系统。为了理解振荡器的数量如何影响同步,我们使用相同的二维频率扫描但不同数量的振荡器进行模拟。由于我们不能显示更高维的频率扫描图,我们保持除了两个振荡器之外的所有振荡器的频率固定为1,并扫描最后两个振荡器。图9显示了n3、4、8和16的结果。在这些模拟中,我们使用解析PPV作为PPV/PRC功能。从这些结果中我们可以注意到,具有相同频率的振荡器的数量越多,频率锁定范围越大也就是说,由于系统的稳定状态接近于大多数振子的状态,所以与具有不同频率的那些振子的有效耦合这可能是一个优点或缺点,在设计的制冷系统,这取决于所需的应用和计算。4.3. 性能和加速对于我们的相位模型的性能比较,我们计算图9中每种情况下振荡器的直接模拟与分析PPV之间的均方根误差。正如我们在表I中所看到的,与同步度的绝对值相比,误差相对较小。这表明,我们的相位模型与PPV/PRC的不同方法兼容,并且对这些方法之间的变化具有鲁棒性。与直接振荡器模拟相比,分析PPV十四Y. Fang等ACM Journal on Emerging Technologies in Computing Systems,卷。号132、第十四条,公布日期:2016年11月==-=图八、同步度为逆欧几里德距离,初始频率范围为λ2.3[0.8至1.2],固定频率为λ11.0,左列:ε 0.4,右列:ε 0.2;第1行:Winfree方法,第2行:Malkin方法,第3行:分析PPV,第4行:用振荡器方程直接模拟。一种用于振荡器计算系统仿真的简化相位模型十四ACM Journal on Emerging Technologies in Computing Systems,卷。号132、第十四条,公布日期:2016年11月见图9。不同数量耦合振子的模拟。除了两个振荡器之外,所有振荡器都保持在频率1,而最后两个振荡器被扫频。表I.基于不同方法的模拟均方根误差比较温弗里的马尔金的分析PPV振荡器,ε= 0。2127e-04133e-04121e-04振荡器,ε= 0。4276e-04297e-04271e-04分析PPV,ε= 0。258e-0463e-04/分析PPV,ε= 0。4128e-04142e-04/Winfree的实验方法误差最大接下来,我们通过比较振荡器网络的直接仿真速度来评估我们的模型的效率。这里的加速比定义为两种方法(均在Matlab中)在相同模拟时间长度下的模拟实时比。由于我们总是使用随机阶段初始化系统,因此我们对每个配置运行100次测试,并对加速进行平均以进行评估。图10中的结果仅作为我们模型效率的近似值,因为耦合振荡器系统的模拟受多个因素的影响,例如振荡器模型,初始状态和收敛过程。尽管如此,我们仍然从我们的简化阶段模型中观察到非常有希望的加速,类似于Lai和Roychowdhury [2005]。由于原振子的微分方程是非线性的,而简化的相位模型是具有更简单的周期函数的线性方程,所以加速比是这样的。第二个优点是,在相位域中,仿真是通过循环的分数而不是时间步长来完成的,因此运行时间是频率不变的。这在模拟中是一个优势,十四Y. Fang等ACM Journal on Emerging Technologies in Computing Systems,卷。号132、第十四条,公布日期:2016年11月见图10。不 同 PPV/PRC方法的简化相位模型相对于直接模拟的加速(因子)。图十一岁基 于 振子簇的手写数字识别和DoM的模式匹配仿真。与常规PPV模型相比,在常规PPV模型中,用户必须优化时间步长以实现准确模拟,性能4.4. 系统级仿真为了说明我们的系统级评估模型的实用性,我们给出了第2节中讨论的振荡器计算范例的三个例子。第一个示例应用程序是我们在2.1节中讨论的一个简单的模式匹配任务。目标是从MNIST数据集中识别手写数字图像,如图11所示。 在这个任务中,存储的模板是10个平均灰度图像从10000分类的手写图像在MNIST的训练数据集[LeCun和Cortes 1998]。图像大小为784像素(28× 28),像素强度范围为一种用于振荡器计算系统仿真的简化相位模型十四ACM Journal on Emerging Technologies in Computing Systems,卷。号132、第十四条,公布日期:2016年11月=×∼∼见图12。(a)具有四个区域的测试图像;(b)来自振荡器网络的每个区域的分割结果。每个子方块是原始图像,分割区域标记为白色像素。0比1。每个模板是以0.4的阈值二值化的对应数字中的所有图像的像素平均值 在我们以前的工作中,我们直接使用平方欧氏距离,而不是振荡器的模拟[Fanget al. 2015年]。 在MNIST手写数字数据集上对该系统进行了评估,准确率达到94%。对于这个模拟示例,测试输入模式是从测试数据集中随机选取的“7”。我们将每个图像的784个像素划分为49个向量,每个向量16个像素,并使用我们的振荡器集群基于这些较短的向量进行模式匹配我们划分图像向量的原因来自于我们在振荡器电路方面的经验,以及我们预见到的大规模联想记忆实际实现所面临的挑战。通过划分每个向量,我们可以克服在对称网络中耦合大量振荡器的挑战对于这项任务,我们使用了一组17个环形振荡器,如图2所示的模型,使用我们的相位模型的分析技术进行初始化频率为1的一个振荡器用作参考振荡器,同时其余振荡器用于处理矢量差。归一化振荡器频率的范围从1到100。1.5,耦合系数设为0.01。每个振荡器簇执行16像素长度匹配操作。测试图像和一个模板之间的每次比较需要49个这样的图11给出了输入图像和10个模板之间的标准化匹配度,并给出了正确的分类。每个操作的平均仿真加速比与原始振荡器方程的仿真相比约为780第二个系统模拟示例是第2.2节中提到的图像分割 在这个测试中,我们生成一个16 × 16灰度图像,它由4个不同强度范围的区域组成,如图12(a)所示。该测试的目的是将每个区域与其他区域分开。每个区域由64个随机放置的像素组成,其强度为0 - 1范围的四分之一。所有256个像素都具有唯一的强度,因此强度直方图是均匀分布的,这对于那些仅基于强度直方图的分割算法来说是我们将图3(a)中给出的振荡器结构应用于此任务,将振荡器耦合强度设置为0.2,并将振荡器频率初始化为1 - 2范围内的相关像素强度。当系统演化到稳定状态时,振荡
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