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+Journalof the Egyptian Mathematical Society(2016)24,204埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章非线性偏微分方程的简单方程法及其应用塔赫尔河诺法尔河沙特阿拉伯塔伊夫塔伊夫大学理学院数学和统计系埃及米尼亚米尼亚大学理学院数学系接收日期:2015年3月22日;修订日期:2015年5月17日;接受日期:2015年5月19日2015年6月26日在线发布摘要本文利用简单方程方法研究了Kodomtsev-Petviashvili(KP)方程、(2 + 1)维破缺孤子方程和修正的广义Vakhnenko方程等非线性偏微分方程的精确解。在简单方程法中,试验条件是伯努利方程或黎卡提方程。结果表明,该方法为求解数学物理和工程问题中的非线性波动方程提供了一种强有力的数学工具。2000年数学科目分级: 34A36; 34L05; 47A10; 47A70版权所有2015,埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。1. 介绍非线性偏微分方程在研究物理和地质中的许多问题中起着重要的作用.非线性方程精确解的分类对于理解大多数非线性物理现象是很重要的[1,2]。非线性波动现象广泛存在于流体力学、等离子体物理、最优纤维、生物学、海洋学、固体物理学地址:沙特阿拉伯塔伊夫塔伊夫大学科学院数学与统计系。同行评审由埃及数学学会负责物理、化学物理和几何。近年来,求解非线性方程组解析解的强大而有效的方法引起了众多科学家的极大兴趣,如逆散射变换法[3]、Backland变换法[4]、Darboux变换法[5]、Hirota双线性法[6]、变量分离法[7]、变量双曲正切法[11,8-10]、齐次平衡法[12]、相似性还原法[13,14],(Gr/G)-展开法[15,16],子ODE方法[19]等等。本 文 用 简 单 方 程 方 法 求 出 了 Kodomtsev-Petviashvili( KP ) 方 程 、 ( 21 ) 维 破 缺 孤 子 方 程 和 修 正 的 广 义Vakhnenko方程的精确解简单方程法是求非线性常微分方程精确解的一种非常有效的数学方法。 它由Kadreyshov[20,21]开发,S1110-256X(15)00036-X Copyright 2015,Egyptian Mathematical Society.制作和主办:Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.05.006制作和主办:Elsevier关键词简单方程法;精确解;里卡蒂方程非线性偏微分方程的简单方程法及其应用205+=−== −n==α20=222α0022被许多作者成功地用于数学物理中常微分方程的精确解[22,23]。在第二节中,我们给出了简单方程法的一个简单算法。在第三节中,我们将这种方法应用于KP方程,(2 - 1)维破裂孤子方程和修正的广义Vakhnenko方程。我们在第4节中给出了结论。F()cexp[c(+0)].(2.7)1 +d exp[c(+0)]对于黎卡提方程Fr(ε)=αF2(ε)+β。(2.8)当量(2.8)承认以下精确解[23],2. 简单方程法在这一节中,我们将描述一种直接的方法,即简单方程法,用于寻找非线性发展方程的行波解假设两个独立变量x和t的非线性偏方程由下式给出:F(λ)=−λ−αβtan h。,−αβ<$−νln(0)<$,<$其中αβ0和>0,ν=±1,(2.9)P(u,ut,ux,ut t,u xx,u xt,. . . 其中u(x,t)是未知函数,P是多项式,u( x, t)及其偏导数,其中包含最高阶导数和非线性项。下面我们介绍一下这种方法的主要步骤。步骤(1):将自变量x和t合并为一个变量,我们假设:u( x, t)=u(t),t=x−ct.(二、二)行 波 变 换 方 程 。 ( 2.2 ) 使 我 们 能 够 减 少 方 程 。(2.1)到下面的常微分方程(ODE)Q(u,ur,urr,. . . )= 0(2.3)其中,Q是u(n)及其导数的多项式,其中ur(n)=du,urr(n)=du等等。F(λ)=λαβtan。,αβ(<$+<$)<$,<$是一个常数,(2.10)其中αβ >0。备注1. (i)当cδ,d1时,等式(2.5)有另一种形式的伯努利方程Fr()=δF()−F2(),(2.11)当δ >0时,F(τ)= δτ1 + tanh。δ(θ + θ0)θ θ,(2.12),当δ<0,F()= δ1 − tanh。δ(+0),(2.13)dd2(2)当c= 1,d= −1时,等式(2.5)有另一种形式的Ric-步骤(2):我们寻求方程的解。(2.2)以下列形式:cati方程[20,21]u()=.i=0时a iF i(n).(2.4)Fr()−F()+F2()=0,(2.14)以逻辑函数作为精确解其中a i(i0,1,2,. . . ,n)是以后确定的常数,F(n)是满 足 以 下 条 件 的函数:F(F)11+e−δ .(2.15)普通微分方程(ordinary diffraction equations)这个简单的方程有两个性质,第一,它比方程的阶数小。(2.2),其次我们知道了简单方程的通解。本文将著名的非线性常微分方程Bernoulli方程和Riccati方程作为简单方程,其解可用初等函数表示。对于伯努利方程Fr(ε)=cF(ε)+dF2(ε)。( 二、五)步骤(3):平衡数n可以通过平衡等式(1)中的最高阶导数和非线性项(2.2)。步骤(4):我们讨论简单方程的通解。(2.5)如下:F()cexp[c(+0)].(2.6)1 −d exp[c(+0)]对于d 0,c> 0的情况,这里,ω0是积分的常数,并且<206T.A. Nofal=0+。Σ Σ逻辑Eq。式(2.15)中的函数可以根据以下关系式111tanh tanh(2.16)1+e− 1 23. 应用3.1. Kodomtsev–PetviashviliThe Kodomtsev–Petviashvili (KP)uxt−6u uxx− 6(ux)2+uxxxx+ 3δ2uyy= 0(3.1)或(ut−6u ux+uxxx)x+ 3δ2uyy= 0是 Kdv 方 程 的 二 维 推 广 。 Kodomtsev 和 Petviashvili(1970)首先引入该方程来描述色散介质非线性偏微分方程的简单方程法及其应用207==.+ =的+3- 是的公司简介=-+ −210/=0012中等[24]。当量在研究等离子体中的弱非线性色散波以及弱非线性长水波[3](几乎在一维(即几乎在垂直平面内)传播)的调制过程中出现了δ21的(3.1)的当d>0和c<0时,方程的解为(3.1)使用案例(1) 由下式给出c22 dc2 exp(x+y)+(c2−3δ2)tδ2= −1的方程出现在声学中,并且存在不稳定的孤子解,而δ2=1的解是稳定的。u3(x,y, t)=3+。1+ d经验值(x + y)+(c2 − 3 δ2)t2。(3.12)假设行波变换方程为u(t)=u( x, y, t),t=x+y−wt.(第3.2节)行波变换(3.2)允许我们将(3.1)简化为以下常微分方程(−wur−6uur+urrr)r+ 3δ2urr= 0.(3.3)积分方程(3.3)两次关于积分,设置积分常数为零,我们有urr+(3δ2−w) u− 3u2= 0。(3.4)利用所描述的平衡过程,平衡数n是正整数,其可以通过平衡方程(1)中的最高阶导数项urr与最高幂非线性项u2来确定。(3.4),即,n22n,因此n2.因此,Eq. (3.4)可以表示为:2u=ai(F(n))i=a0+a1F+a2F2.(3.5)i=0时其中F满足Eq.(2.5)因此,我们有:ur=a1cF+(2a2c+da1)F2+2a2dF,(3.6)urr=a1c2F+(4a2c2+3a1cd)F2+(10a2dc+2a1d2)F3+6a2d2F4,u2= a2+ 2a0a1F+(2a0a2+ a2)F2+ 2a1a2F3+ a2F4.替换Eqs。(3.5)和(3.6)的方程。(3.4)然后将COE等于-也是Eq.(3.1)使用情况(2)由下式给出:2dc2 expc( x y)( c23δ2)tu4(x,y,t)=. 1+ d经验值(x + y)+(c2 + 3 δ2)t=0.(3.13)3.2. 简单方程法在计算中的应用(2+ 1)维破裂孤子方程在这一节中,我们用所提出的方法求出了[25]中的下列(21)维破缺孤子方程的精确解,ut+αuxxy+4(uv)x= 0,(3.14)uy=vx,(3.15)其中α是任意常数。Eqs的解(3.14)和(3.15)已经使用不同的方法进行了研究,例如参见[25-27]。Eqs系统式(3.14)和式(3.15)在其他地方还没有用泛函简单方程法求解过。现在我们来解方程。(3.14)和(3.15)使用第2节中提出的方法。为此,我们应用波变换u( x,y, t) u(t),(3.14)和(3.15)转化为以下常微分方程:−cur+αurrr+4(u2)r= 0,(3.16)其中u=v。积分方程(3.16)关于k,我们得到:当i≥0时,我们得到6a2d2− 3a2= 0,(3.7)cuurr−α+4u2α=0,α/= 0(3.17)10a2dc+ 2a1d2− 6a1a2= 0,4a2c2+ 3a1cd+a2( 3δ2−w)− 6a0a2− 3a2= 0,a1(c2+(3δ2−w)− 6a0)= 0,a0(3 δ2−w)− 3 a2= 0.求解方程(3.7),我们找到了方程的解(3.1)仅在以下两种情况下存在案例(1):积分常数为零。现在平衡最高阶导数urr和非线性项u2,我们得到n=2。现在对于n=2,方程的解。(3.16)具有以下形式:u(n)=a0+a1F(n)+a2F2(n),( 3.18)其中a0、a1和a2是要确定的常数,使得a20,c,d为任意常数。替换Eq。(3.18)进入(3.17)并设置系数ac22 2 2f(f)为零,其中f≥0,我们得到0=3,a1= 2 dc,a2= 2 d,w= 3 δ−c,cd/= 0。(3.8)4a2ca0案例(2):a0= 0,a1= 2 dc,a2= 2 d2,w= 3 δ2+c2,cd/= 0.208T.A. Nofal1ΣΣΣ2α- 是的公司简介1201(3.9)当d <0和c> 0时,方程的解是(3.1)使用案例α−α=0,(3.19)ca8a a-α+a1c+α=0,(1)由下式给出3a1cd− CA22α+4a2c+8a0a2α+4a2α=0,c22 dc2 exp(x+y)+(c2−3δ2)t8a a12αu1( x,y, t)=3+。1− d expc. (x + y)+(c2 − 3δ2)t.(3.10)2a1d2+ 10a2dc+4a2=0,也是Eq.(3.1)使用情况(2)由下式给出:2dc2 expc( x y)( c23δ2)tu2(x,y,t)=. 1− d expc. (x + y)+(c2 + 3 δ2)t=0.(3.11)6a2d2+2 =0。求解方程(3.19),我们找到方程的解(3.17)只存在于以下两种情况:非线性偏微分方程的简单方程法及其应用209=-==−ΣΣΣΣΣΣ=ΣΣΣΣΣΣ2 2204α22α阿克斯阿勒特阿克斯2 α 1 − d exp −1。(x+y)+1tk2 Vvrr+2 α 1 + d exp − 1。(x+y)+1tα21 + d exp <1。(x+y)−1tαα在F.将该多项式的每个系数设置为20212122(、 )=的( 、−12kcd−12kdQ1 0 1 21我22案例(1):从Eqs.(3.27)和(3.30),我们有一 =−1,a3=d,a=−3d2α,c= −1。(3.20)∂ ∂∂=(1+WT),∂ ∂=+u,(3.31)案例(2):因此是<$u UX,<$2u UXX。现在,Eq。(3.26)减少到a=0,a=−3d,a=−3d2α,c= 1。(3.21)0 1222α宽X X XT+PW XWXT +q(1+WT)WXX+βWXT =0。(3.32)当d<0和c>0时,方程组的解为(3.17)使用案例(1) 由下式给出假设W( X, T)W(Vt),其中,(3.32)简化为方程-13 dexp-1。(x+y)+1tα4α2u1(x,y,t)=+.α。(3.22)k2大众rrr+(p+q) kV( Wr)2+(βV−q) Wr=0(3.33)也是Eq.(3.17)使用情况(2)由下式给出:零积分常数。设r=1且Wr=v,我们2001年。1ΣΣ有W(ω)=v(ω) dω+d,其中v(ω)满足以下条件u( x, y, t)=−3dexpα(x+y)−αt.(3.23)ODE:22 α。1− d exp 1。(x+y)−1t 21当d>0和c<0时,方程的解为(3.17)使用案例(1)由下式给出-13 dexp-1。(x+y)+1t4α22在等式中平衡vrr与v2(3.34)我们得到n2。因此,委员会认为,Eq的精确解(3.34)可以写成下面形式:2u3(x,y,t)=+.α。 (3.24)也是Eq.(3.17)使用情况(2)由下式给出:3 d实验1. (x+y)−1tα2其中,F(k)满足等式(1)。(2.5)。将公式3.35代入公式3.34,并收集所有具有相同幂的项Fi, i=0, 1, 2, 3, 4αu4(x,y,t)=..(3.25)在一起,Eq的左手边(3.34)转化为聚-3.3. 改进的广义Vakhnenko方程零,我们得到以下代数方程(βV−q) a12+(p+q) kVa=0,[23,28]:<$(<$2u+1pu2+βu)+q <$u=0,(3.26)(k2V)a c2+ 2 a a. 1(p+q) kV+(βV−q)a=0,X2∂ ∂4 c2(k2V)a +3 cd k2V +2。1(p + q)kVa a=220 212其中p、 q、β是任意非零常数。当量(3.26)可以可以追溯到著名的Vakhnenko方程(VE),该方程最初被提出来模拟高频波动,放松介质[28]。最近,Eq。(3.26)讨论了+2(p+q) kVa1+(βV−q) a2=0,10 cd k2Va+2 d k Va+2。1(p+q)kVa a=0,使用(Gr/G)-e扩展方法[15]和使用辅助方法,6d2k2Va12+(p+q)kVa= 0。当量(3.26)一个合理的步骤是变换变量。我们xTxU XrT dXrx t X=+((3.27)求解上述代数方程,我们得到结果:案例(1):、)的内容−∞+0,=,−2k c−12kcd−12kd q其中u( x, t)=U( X, T)且x0为常数。我们引入一个a0=p+q,a1=p+q,a2=p+ q,v = β − k2 c2。(3.36)新函数W定义为案例(2):WX TxU XrT达克斯河(3.28)−∞然后WX( X, T)= U( X, T),12电子邮件X2αααα(p+q) kV v2+(βV−q) v=0。(3.34)α(3.35)v(n)= a0+ a1 F(n)+ a2 F考虑一个修正的广义Vakhnenko方程(mGVE)02线性方程法[23]。计算以下方程的精确解:2)α210T.A. Nofal简体中文2WT( X, T)=XT(Xr,T)dXr(.3.29)a0= 0,a1=p+Q ,a2=p+q,v=β+k2c2.(3.37)当d<0和c>0时,方程组的解为:(3.34)使用情况(1)由下式给出:−∞−2k c12kdc2 exp[c]很容易看出v1()=p+q−(p+q)(1−d exp[c])2,(3.38)∂∂ ∂x∂ ∂t∂∂ 埃克斯· 埃什特T=X=(三点三十分)因此,我们得到非线性偏微分方程的简单方程法及其应用211+W2(n)= −(p+q)(1−d exp[c])2d+d2=−。Σ=−。联系我们=[1]M . Duranda,D.Langevin,物理化学方法-12kd2c2βexp[c β]2K2C方程,我们得到了一个平衡方程。通过W1(p)= −(p+q)(1−d exp[c])2d−p+q+d1平衡方程,我们得到了所研究的精确解类的非线性偏微分方程,我们还证实,解决方案,我们12kcd1p+q1−d exp[c]2K2C-p+q+d1(3.39)已经找到了原始方程的解。最后,我们指出,无论是可积或不可积的非-这个例子的解就是孤子解线性耦合系统u12k2d2c exp[c]2K3C1(x, t)=W1x(t)=(p+q)(1−d exp[c])2−p+q.(3.40)也是Eq.式(3.34),使用情况(2)由12kdc2exp[2c]v2(n)= −(p + q)(1 − d exp[cn])2.(3.41)因此,我们得到12kdc2exp[c]致谢作者要感谢匿名审稿人的有益和宝贵的意见和建议,提高了他们的论文介绍引用12kc1dp+q1−d exp[c]这个例子的解就是孤子解2(3.42)泡沫排水理论,Eur. Phys. J. E 7(2002)35[2] N.A. Kudryashov,关于一类非线性不可积微分方程的精确解,物理学报. A 155(1991)269-275。[3] M.J. Ablowitz,P.A. 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Bluman,S.Kumei,对称与微分方程,W(k)= − 12 kc。 1个月+d4(3.48)Appl. 数学科学,卷81,Springer,New York,1989。4和p+Q1+d exp[c][14] P.J. Olver,应用李群微分方程,SpringerVerlag,New York,1986.[15] 急诊Zayed, K. A.Gepreel,改进的(Gr/G)-e展开方法及其在构造精确解中的应用12k2dc exp[c]u4 (x,t)= W4 x(t)=(p + q )(1 + d exp[c]) 2.( 3.49)4. 结论本 文 用 简 单 方 程 法 成 功 地 求 出 了KP 方 程 的 精 确 解 ,(21)维破裂孤子方程和修正的广义Vakhnenko方程。作为简单的方程,我们使用了伯努利方程和里卡蒂方程。很简单2212T.A. Nofal对于非线性偏微分方程,WSEAS Trans.Math.10(8)(2011)270-278.[16] K.A.张文,张文,等.变系数非线性偏微分方程的精确解. 告知。Comput. Sci. 6(1)(2011)3[17] 张文,非线性波动方程组的一种正余弦方法,计算机工程学报,2000。莫德尔。40(5-6)(2004)499-508。[18] X.华,指数函数有理展开法与非线性格型方程组的精确解,应用数学计算。217(2010)1561-1565。[19] X.Z. 李 明 博 Wang , A sub-ODE method for finding exactsolutionsof a generalized KdV-mKdV equation with higherorder non-linear terms,Phys. Lett. A 361(1非线性偏微分方程的简单方程法及其应用213++[20] N.A. Kudryashov,寻找非线性微分方程精确解的最简单方程方法,混沌,孤子&分形24(5)(2005)1217-1231。[21] N.A. Kudryashov,N.B.李志华,非线性微分方程组的最简方程法,应用数学与计算。205(1)(2008)396-402。[22] N.K. Vitanov,Z.I. 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