matlab求解二维非线性偏微分方程代码

对于二维非线性偏微分方程，通常需要使用数值方法求解。下面给出一种使用有限差分方法求解二维非线性偏微分方程的 Matlab 代码。

首先，假设要求解的方程为：

$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=f(u)$$

其中 $f(u)$ 是非线性函数。我们采用有限差分方法，将二维空间离散化成网格，并用中心差分公式近似求解该方程。具体地，设 $u_{i,j}$ 表示网格点 $(x_i,y_j)$ 上的解，$h$ 表示网格大小，则有：

$$\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{h^2}+\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{h^2}=f(u_{i,j})$$

上式中的差分公式可以写成矩阵形式：

$$AU=F$$

其中 $A$ 是一个 $N\times N$ 的矩阵，$N$ 是网格点的总数，$U$ 是一个 $N\times 1$ 的向量，$F$ 是一个 $N\times 1$ 的向量，分别表示：

$$A=\begin{bmatrix}
T & I & & & & \\
I & T & I & & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & & \\
& & I & T & I & \\
& & & I & T & \\
\end{bmatrix},\quad U=\begin{bmatrix}
u_{1,1} \\
u_{1,2} \\
\vdots \\
u_{i,j} \\
\vdots \\
u_{m,n} \\
\end{bmatrix},\quad F=\begin{bmatrix}
f(u_{1,1}) \\
f(u_{1,2}) \\
\vdots \\
f(u_{i,j}) \\
\vdots \\
f(u_{m,n}) \\
\end{bmatrix}$$

其中 $T$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵，表示：

$$T=\begin{bmatrix}
-4 & 1 & & & & \\
1 & -4 & 1 & & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & & \\
& & 1 & -4 & 1 & \\
& & & 1 & -4 & \\
\end{bmatrix}$$

然后，我们可以使用 Matlab 自带的矩阵求解函数 \ 可以解出 $U$ 的值，即为所求的解。完整的 Matlab 代码如下：

function [U,x,y] = solve_pde_nonlinear(f, g, h, xmin, xmax, ymin, ymax)
% f: 非线性函数，g: 边界条件，h: 网格大小，xmin, xmax, ymin, ymax: 网格范围
x = xmin:h:xmax;
y = ymin:h:ymax;
m = length(x);
n = length(y);
N = m * n;

% 构造系数矩阵
T = -4 * eye(n);
T = T + diag(ones(n-1,1),1) + diag(ones(n-1,1),-1);
I = eye(n);
A = kron(T,eye(m)) + kron(eye(n),T);
for i = 1:m-1
    A(i*n+1:(i+1)*n,(i-1)*n+1:i*n) = I;
    A((i-1)*n+1:i*n,i*n+1:(i+1)*n) = I;
end

% 构造右端项
F = zeros(N,1);
for i = 1:m
    for j = 1:n
        k = (i-1)*n+j;
        F(k) = f(x(i),y(j));
        if i == 1
            F(k) = F(k) + g(xmin,y(j))/h^2;
        end
        if i == m
            F(k) = F(k) + g(xmax,y(j))/h^2;
        end
        if j == 1
            F(k) = F(k) + g(x(i),ymin)/h^2;
        end
        if j == n
            F(k) = F(k) + g(x(i),ymax)/h^2;
        end
    end
end

% 求解线性方程组
U = A\F;

% 转换为网格形式
U = reshape(U,n,m)';
end

其中，输入参数 `f` 和 `g` 分别表示非线性函数和边界条件，`h` 表示网格大小，`xmin`、`xmax`、`ymin`、`ymax` 表示网格范围。输出参数 `U` 是一个 $m\times n$ 的矩阵，表示网格上的解。示例代码如下：

% 定义非线性函数和边界条件
f = @(x,y) x^2 + y^2;
g = @(x,y) 0;

% 求解二维非线性偏微分方程
[U,x,y] = solve_pde_nonlinear(f, g, 0.1, 0, 1, 0, 1);

% 绘制解的图像
surf(x,y,U)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('u')