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7128≥·移位等方差如何影响实例分割的度量学习Josef Lorenz Rumberger*1,2,Xiaoyan Yu*1,3,Peter Hirsch*1,3,MelanieDohmen*1,2,Vanessa Emanuela Guarino*1,3,Ashkan Mokarian1,Lisa Mais1,Jan Funke4,Dagmar Kainmueller11Max-Delbrueck-Center for Molecular Medicine in the Helmholtz Association(MDC),Berlin,Germany,{firstnames.lastname}@ mdc-berlin.de2Charite´ University Medicine,Berlin,Germany3Humboldt-Uni versit aüt zu Berlin,Faculty of Mathematics and Natural Sciences,Berlin,Germa ny4HHMI Janelia Research Campus,Ashburn,VA,USA摘要度量学习已经收到了相互矛盾的评估,其适用于解决实例分割任务。由于所采用的CNN的移位等方差以及它们各自无法区分相同外观的对象,它被认为是理论上有缺陷的。然而,它已被证明产生各种任务的最先进的结果,和实际问题主要是在瓷砖和缝合方法的上下文中,在瓷砖边界处的不连续性已被观察到。迄今为止,所报告的问题都没有经过彻底的正式分析。在我们的工作中,我们对编码器-解码器风格的CNN的移位等方差特性进行了全面的形式化分析,从而清楚地了解了在面对相同外观的对象时,度量学习可以和不能实现什么。特别是,我们证明了一个标准的编码器-解码器网络,以d维图像作为输入,与l池化层和池化因子f,有能力区分在最fdl看起来相同的对象,我们表明,这个上限可以达到。此外,我们表明,为了避免不连续性的瓷砖和缝合的方法,假设标准的批量大小为1,有必要采用有效的卷积与训练输出窗口大小严格大于 Fl的组合,而在测试时,有必要裁剪瓷砖的大小为n-fl拼接之前,与n-1。我们补充这些理论研究结果,讨论了一些有见地的特殊情况下,我们显示的实证结果的合成和真实的数据。代码:https://github.com/Kainmueller-Lab/shift_equivariance_unet*平等贡献1. 介绍度量学习是一种流行的无命题技术,例如分割,通常会产生最先进的结果,特别是在生物医学领域的应用中,基于命题的技术不适用[6,7,11,13,14,19,24]。与其经验上的成功不一致的是,来自计算机视觉界的许多作品已经注意到度量学习的理论缺陷,例如分割,即看起来相同的对象不能通过移位等变CNN来区分[15,19]。 解决这种明显缺陷的经验尝试包括利用所述的像素坐标或编码作为附加输入或特征[11,18,19,27],或将问题限制为区分相邻对象[6,12],而相关的理论工作限于讨论单个CNN层的移位等方差属性,如池化[2,25,28]和上采样[20]。因此,迄今为止缺乏的是通常用于基于度量学习的实例分割的编码器-解码器风格CNN的移位等方差性质的全面形式分析,以及关于所述 CNN区分相同外观对象的能力的相应含义的评估。为此,在本文中,我们证明了具有l个池化层和池化因子f的编码器-解码器式CNN是周期性的-fl移位等变的,并且因此具有区分d维输入图像中相同外观的至多fdl个关于实际问题,生物医学应用处理大的3d输入图像,因此应用CNN,例如以拼接方式进行分割,以应对GPU存储器约束。这里,已经报告了输出图块边界处的预测中的不连续性的问题,其导致对象的错误分割[13,21]。怎么-71291D××∀∀−∈ {··|}联系我们=xlΣx(k)我Jx(k)> x(k)如果Σx(k)KΣx(k)1个d哪里k kΣΣKKin inin出来i j i j(l)Cxi>xj⇒如果x(k)=ux→RI›→ux(I)= U(I)(x)(二)Ij7130- -D∆x:0120 1212234fl-10 1 2fl-1⇒fl-2fl-1fl瓶颈2fl-1fl+22fl-2最大池化下采样固定上采样图1:一个U-Net实例和一个1维图像I的图示,使得函数ux对于所有其中0≤x fl。对于该图像,在边缘长度为f1的任何图像像素块中的最大强度在最大位置(f11,…f l1)d.因此,当边缘长度为f1的每个不同像素块覆盖唯一的最大位置时,2.2.无效填充移位等方差的概念与无效填充的概念背道而驰,因为后者不允许“干净”的输入图像移位:移位+填充,在gen-xF-1}:(四)eral,改变输入图像超过移位。作为无表的结果,例如,零填充渲染CNNux−∆xi(T−∆xi(I))=ux−∆xj(T−∆xj(I)),即,所构造的U-Net实例实现相对不同的函数u。证明第二部分:参见补充章节二、推论1(U-网的周期-fl移位等变性)。每个U-Net具有周期性移位等价的能力。证据2. 直接从引理1的证明中得出,引理1在第一部分中表明,每个U-网都有能力对任何移位f l是非等变<的,并且在第二部分中,每个U-网都对移位f l是移位等变的。2.1.拼接模式在实践中,为了处理有限的GPU内存,通常在固定大小的输入图像块上训练U-网在测试时,然后以拼接方式获得完整输入图像的输出,其中通常采用与训练期间相同的图块大小,但有时采用更大的图块大小,因为推断比训练对存储器的要求更低。关于在推断期间具有输出图块大小w的图块-拼接方法中的移位等方差,我们得到(1)输出图块内的周期性-w移位等方差,以及(2)平凡地,跨输出图块的周期性-w移位等方差。周期性的-整个输出上的fl移位等方差仅在w是fl的倍数时成立。足够大的感受野位置感知[10,1],从而去除移位等方差。参见[10],了解零填充和其他填充方案的深入3. 度量学习对实例分割我们评估了U-Net的周期性fl移位等方差对经由具有判别损失的度量学习的实例分割的应用的影响相应的损失函数具有三个项,将像素嵌入拉向其相应实例质心的拉力,将质心推开的推力,以及对嵌入向量长度的惩罚给定预测嵌入,实例通过均值漂移聚类来推断。更多详情,请参见[7]。首先,我们评估了用区分损失训练的U-网络可以区分多少我们称两个实例“看起来相同”,如果图像本身是不变的实例中心点之间的偏移量移动。其次,我们展示了遵循一组简洁的简单规则以避免瓷砖和缝合方法中的不一致3.1. 区分外观相同的实例(从而避免错误合并)推论2. U-Net具有区分至多fdl相同外观实例的能力。证据3. 引理1需要U-Net最多可以分配fl. . .432fl-12fl-1. . .2fl-1. . .fl+2. . .fl+2fl+1fl+1flfl+1. . .fl. . .. . .. . .4fl+13fl←位置x图像I2fl-1. ... ..T1(I)T2(I)Tfl−1(I). ... ... ... ..ux(I)ux(T1(I))ux(T2(I)). ..ux(Tfl−1(I))u∆x(T∆x(I))Lflfl+1 fl+2flfl+1 fl+2flfl+1 fl+2flfl+1 fl+2. ... . .. . .flfl+1 fl+2flfl+1 fl+22fl-12fl-12fl-1. . .2fl-12fl-1flfl+1fl+2. . .. . .2fl-17131∈(a) 对象间隔16个像素,即f的倍数l= 8。学习了上采样。(b) 对象间隔15像素,互质,其中fl=8。学习了上采样。(c) 对象间隔15像素,互质,其中f l= 8。修复了上采样。图2:具有l个池化层和池化因子f的U-网不能区分具有相同外观的实例的fl周期d维图像中的任何实例(a)。然而,对于p,fl互质(b,c),它可以在具有相同外观的实例的p周期图像中区分多达fd·l个实例展示柜:l=3,f= 2,fl= 8,fdl= 64。输入图像中的红色框(左上角)显示了有效的输出窗口。对于相同的物体间距和l=4,f= 2(未示出)可以实现类似的结果fdl不同的嵌入到对象实例的代表性像素(比如说其最大池化区域。这成立,当相同外观的实例位于偏移p处,其中p,f,l互质。U-Net是否也能够将相同的嵌入分配给任何实例内的所有像素,从而产生fdl个正确的片段,取决于其容量和训练的成功。推论3。一个U-Net不能区分位于偏移量n·fl,n ∈ N的相同外观的物体。证据4. U-网的周期-fl移位等方差需要它必须将相同的嵌入分配给对象中相同相对位置处的像素。图2展示了周期性排列的磁盘图像上的推论2和3,为此我们训练了具有区分损失的U-网来预测嵌入R3。特别地,它表明可以达到如推论2中所述的分离fdl3.2. 避免拼接中的错误分割错误在下文中,我们分析输出瓦片大小对具有区分性损失的训练以及对推理的影响以平铺和缝合方式。为此,我们评估了U-Net的哪些fdl潜在相对不同的输出函数对损失有贡献,以及哪些预测缝合解决方案中直接相邻输出的函数对在训练期间对实例图3举例说明了我们对包含两个像素宽的实例的一维输入图像的分析。训练输出图块大小fl,但是在推断期间,u2与在训练期间从未发生的u0相邻在(c)中,如在(b)中那样利用训练输出图块大小来训练U-Net然而,在推断期间,输出图块被裁剪为nfl以确保仅在训练期间彼此相邻的函数在图块边界处相邻,从而允许克服不一致性。训练输出图块大小> fl:在训练期间考虑输出函数的所有可能的直接邻域,假定推断输出图块大小是fl的倍数。推断输出图块大小=nfl:类似于训练输出图块大小=fl的情况,预测拼接边界的两侧上的相邻输出的函数在训练期间从未贡献于与相邻者相同的拉力项(假设批量大小为1)。因此,在拼接边界处可能发生不一致。推断输出图块大小=nfl:保证图块和拼接处理对于任何不一致性都不是因果关系,如通过以下推论形式化的:推论4. 如果填充和输出大小为n的切片有效如果采用了I,则平铺和拼接等同于一次处理整个图像。证据5. 这直接来自于相应输出函数的相同布置,即布置成大小为fdl的d维块的规则网格。零填充: 一个零填充的U-Net训练-把窗口大小W,和足够大的感受野实现高达Wd相对不同的功能[10]。如summing批量大小1,这会在缝合边界产生不一致,类似于上面讨论的有效填充情况。相关工作将这种效应归因于零填充[9,21],但据我们所知,缓解措施仅限于在推理期间使用更大的瓦片[9,21]。有效填充已被研究作为一种潜在的补救措施[21],但由于缺乏正式的分析而无济于事。避免拼接边界不一致的必要规则:根据上述考虑,一般来说,为了避免平铺和拼接方法中不一致性,在训练时,假设标准批量大小为1且卷积有效,有必要以输出窗口大小> f1进行训练。此外,在测试时,有必要在拼接(n1)之前将大小为nf1的输出图块裁剪为某个nf1。图4a-4c示出了遵循关于周期性布置的盘的合成图像的规则的必要性。对于零填充的情况,使用批量大小>1的训练���predict=������7133··(a) 输出图块大小16(=fl)(b) 输出图块大小20(> fl),在拼接之前未被裁剪(c)在拼接之前被裁剪为16(=fl)的输出图块大小(d) 来自BBBC 006细胞核数据集的样本mcf-z-stacks-03212011 f22[16](e) 输出图块大小148(>fl),拼接前未裁剪(f) 输出切片大小裁剪为144(=n·fl)缝合前图4:针对l=4且f=2的U-网以及p、f1互质的p周期输入图像的拼接问题以及如何修复它们。(a)使用输出窗口大小w=fl的训练在较大输出中在fl为了避免不一致性,不仅需要(b)用w>fl训练,这在单纯地拼接w大小的图块时仍然在拼接边界处产生不一致性,而且还需要(c)在拼接之前将图块裁剪到大小为nfl(d-f)同样的效果也发生在真实数据上:(d)摘自BBBC006细胞核数据集[16]:原始拼接(e)在图块边界处产生假分裂错误,而正确拼接(f)修复它们。(见附录)图1个用于响应嵌入。)请注意,图块内的(e)和(f)之间存在细微差异,因为预测源于不同的U-Net输出函数。为了避免不一致性,其中一批中的训练输出图块必须直接相邻。然而,请注意,由于GPU存储器的限制,批次大小>1是不常见的,因此可能需要进一步的架构更改才可行。3.3. 位置感知推论5.具有有效填充和学习的上采样的U-Net具有将唯一ID分配给大小为fdl的输出窗口中的每个像素的能力,而与特定像素输入图像。证据6. 施工证明:将第一个卷积设置为权重0和偏置1。这产生恒定的特征图。将所有其他卷积设置为identity。因此,瓶颈层中的特征图将是恒定的。通过将相应的卷积核条目设置为零来忽略跳过连接。构造上采样滤波器核p1。. . 通过用不重复的素数填充它们来实现。为此,需要lfd个质数。每个fdl输出函数7134·图5:具有有效填充和学习的上采样的U-Net可以学习独立于输入图像向大小为fl的输出窗口中的每个像素分配唯一ID这对于最近邻上采样是不可能的展示:l=4,f= 2,输入图像I≡1。输出:fdl=256个唯一ID的重复模式。该U-Net实例的ui产生在l个不同素数的唯一集合上的乘积。由于将任何数分解成素因子是唯一的,因此相应的输出有效地将唯一的ID分配给每个输出像素。图图5展示了可以通过具有有效填充和学习的上采样的U-Net达到的位置感知水平,该U-Net通过具有区分性损失的度量学习[7]进行训练,以在给定恒定输入图像的情况下将像素分割为单独的实例。这证实了类似于证明6中的构造的U-Net实例可以被训练。位置感知的可比较的效果,尽管具有概念上不同的原因,已经描述了零填充[10],我们在补充中展示。图2将唯一ID分配给像素是达到区分fdl实例的上限的又一个示例(参见图1)。图2),即对于恒定输入图像中的每个像素形成单个实例的极端情况然而,这只能通过学习的上采样来实现,或无效填充(参见[10])。这是因为对于有效填充和固定上采样,恒定输入图像总是被映射到恒定输出图像。据我们所知,我们的工作首先是报告给定有效填充的位置感知,从而提出了一个问题,即明确考虑像素位置或其他形式的像素ID作为额外输入的方法在有效填充和学习上采样的情况下是否会过时。4. 实际影响我们经验性地评估了周期性t移位等方差对具有添加的噪声和变形的合成图像上的实例分割的实际影响4.1),以及基准数据(第4.2)。4.1. 噪声和小变形具有l个水平和池化因子f的U-网无法区分周期性-fl排列的对象的无限图像中的任何实例(参见图1)。图2a)。无论如何,我们在补编图从图3a、3b可以看出,向输入图像添加轻微的高斯噪声或小的随机弹性变形以“修复”移位等方差问题可能就足够了在这里,我们随机生成噪声或变形,在每个训练步骤以及测试时间都是动态的。因此,观察到的效果不是由于对特定噪声/变形图像的过拟合。然而,请注意,如果没有根据第2节中导出的规则执行拼接,则噪声和弹性变形都不会解决拼接方法3.2如补充说明所示图3c、3d中所示。4.2. 基准数据避免错误分割:我们评估了正确的平铺和缝合对避免三个细胞核分割数据集(即BBBC006 [16]、DSB2018[26,4]和nuclei3d [8,17])上的错误分割错误的实际影响(参见补充。秒3详情)。我们评估了AP 0.5,以及如[3]中定义的假分裂和假合并错误我们使用一系列输出窗口大小执行正确的拼接即输出窗口大小为nfl,极大地减少了错误分割,并相应地增加了AP 0.5,如图12所示 6,并在图中例示。4d-4f和补充图1.一、区别不同的人:我们评估了实际的影响,pact的周期-fl移位等方差区分的物质BBBC 006。如果周期性fl移位等方差在这里具有实际影响,则我们将(1)期望看到远距离(即非接触)对象的错误合并错误(而接触对象可能由于其他混淆原因而合并),以及(2)我们将期望对于相似外观的对象发生远距离错误合并。平均而言,对于每个测试图像的97.3个实例,发生3.8个错误合并错误,并且合并的实例看起来不相似,如图2所示。7.第一次会议。该实证研究不能证明周期性fl移位等方差对区分实例然而,它确实表明影响可以忽略不计。7135·图6:输出图块大小与假分裂和AP 0.5的三个细胞核数据集,覆盖2d和3d图像数据。2d:左:BBBC006 [16],中:BBBC038v1 [4]的DSB2018 [26]子集。3d:右:核13d [8,17]图7:示例性距离合并对象在原始图像中看起来不相似(摘自BBBC006 [16]),使得周期性移位等方差不太可能是罪魁祸首。5. 讨论和结论我们的工作提供了一个正式的分析常见的编码器-解码器风格CNN的移位等方差属性的度量学习的任务,例如分段的影响。 与一系列由于CNN的假设移位等变性而将其视为根本性缺陷的作品相反,我们的理论分析揭示了U-Net风格CNN的精确移位等变性特性,由此得出具有l个水平和下采样因子f的U-Net确实能够在d维中区分高达 fdl个相同的外观 (就其各自的感受野而言)。假设物体空间在任何维度上与f1互质。特别是,我们的工作驳斥了Novotny等人的一些发现。[19]关于周期性布置的盘的类似合成图像(参见[19]中的图3c):他们将实例内观察到的“接近随机”的噪声样模式归因于度量学习对于实例分割任务的假定不适合性,而我们对可比数据的结果在所有情况下都表现出干净的集群(参见图3c)。我们的图2)。至于我们的模型和他们的模型之间的差异,他们在“简化”的区分损失中此外,他们采用k均值聚类,k是正确的实例数,而我们采用均值漂移聚类,从而避免了在实例之间的恒定嵌入的情况下聚类结果定义不清(参见我们的图2a)。关于其图3c中的盘中的特定模式,移位等变CNN将必然针对相同的实例产生相同的模式。相反,该图示出了实例内的多个周期性交替的不同模式这违反了他们的移位等变性的一般假设,但与我们的理论一致,假定他们的截断ResNet 50体系结构是周期性的-4移位等变性,因为它采用一个f=2的最大池化层和一个步幅为2的卷积层(其中步幅在其对移位等变性的影响方面类似于池化)。除了我们对移位等方差特性的正式分析之外,我们在合成数据上凭经验表明,添加几乎不可见的噪声量或弹性变形可以使U-网能够区分对象,即使在“不幸的”对象间距fl处此外,我们在真实数据上显示,虽然远处的物体偶尔会错误地合并,但这不能直接归因于移位等方差,因为我们没有发现各自的合并实例通过视觉检查看起来相似。我们认为,对从业者的影响更大,我们的理论分析不一致,已经报告了当执行度量学习与判别损失,例如分割在一个瓷砖和缝合的方法,由于大,GPU内存破坏输入。为此,我们的理论分析的移位等方差允许我们导出一组简单的规则,必须遵循,以避免不一致的拼接边界时,执行大数据的推理。虽然我们在这项工作中的影响分析是针对具有区分性损失的度量学习而定制的,但是相同的移位等方差理论对于其他像素预测任务产生了类似的影响,其中已经报告了具有不一致性的拼接问题,如语义分割(例如:在[ 21 ]中进行了实验研究)或图像配准。特别地,在输出图块大小为nfl的情况下,完整图像预测与图块和拼接预测之间的已证明的等效性独立于特定训练任务而保持。鸣谢。我们要感谢Anna Kreshuk和Fred Hamprecht进行了富有启发性的讨论。资金来源:J.L.R.:德国研究基金 会 RTG 2424 。 J.L.R. 医 学 博 士 PH , L.M. A.M. 和D.K.:柏林卫生研究所和亥姆霍兹联合会(MDC)分子医学中心pH值:MDC-NYU交换计划和HFSP资助RGP0021/2018-102 。 X.Y. : HelmholtzEinsteinInternational Berlin Research School in Data Science柏林亥姆霍兹爱因斯坦国际数据科学研究学院V.E.G.:德国研究基金会CRC 1404。J.F.:HHMI。PH,L.M.和D.K.由HHMI Janelia访问科学家计划支持7136引用[1] Bilal Alsallakh,Narine Kokhlikyan,Vivek Miglani,JunYuan,and Orion Reblitz-Richardson.注意Pad-CNN可以开发盲点。arXiv预印本arXiv:2010.02178,2020。3[2] Aharon Azulay和Yair Weiss。为什么深度卷积网络对小图像变换的泛化能力如此之差?arXiv预印本arXiv:1805.12177,2018。1[3] Juan C Caicedo et al.用于荧光图像中细胞核分割的深度学习策略的评估。细胞计数A部分,95(9):952-965,2019。7[4] 胡安角放大图片作者:John W.作者:Beth A.Cimini、Jeanelle Ackerman 、 Marzieh Haghighi 、 CherKengHeng 、 Tim Becker 、 Minh Doan 、 Claire McQuin 、Moham-mad Rohban、Shantanu Singh和Anne E.卡彭特成 像 实 验 中 的 核 分 割 : 2018 年 数 据 科 学 碗 NatureMethods,16(12):1247-1253,2019年12月。 七、八[5] G. 康 托 这 是 一 个 很 好 的 方 法 。 Jour-nalfur ?dierineundange wandteMathematik,84:2422[6] Long Chen,Martin Strauch,and Dorit Merhof.使用通过局部约束学习的对象感知环境对生物医学图像进行实例分割在医学图像计算和计算机国际会议上辅助干预,第451-459页。Springer,2019年。1[7] Bert De Brabandere,Davy Neven,and Luc Van Gool.基于判别损失函数的语义实例分割。arXiv预印本arXiv:1708.02551,2017。一、二、三、七[8] Peter Hirsch和Dagmar Kainmueller三维显微图像中细胞核分割学习的辅助任务。医学成像与深度学习,第304PMLR,2020年。七、八[9] Bohao Huang , Daniel Reichman , Leslie M Collins ,Kyle Bradbury,and Jordan M Malof.平铺和拼接分割输出 遥 感 : 基 本 挑 战 和 建 议 。 arXiv 预 印 本 arXiv :1805.12219,2018。5[10] Osman Semih Kayhan和Jan C.范·格默特。 关于CNN中的平移不变性:卷积层可以利用绝对空间位置。在IEEE/CVF计 算 机 视 觉 和 模 式 识 别 会 议 论 文 集 , 第14274-14285页三、五、七[11] 维克多·库利科夫和维克多·伦皮斯基。使用谐波嵌入的生物图像的实例在IEEE/CVF计算机视觉和模式识别会议的论文集,第3843-3851页,2020年。1[12] 维克多·库利科夫,维克多·尤尔琴科,还有维克多·伦皮茨基。通过深着色进行实例分割。arXiv预印本arXiv:1807.10007,2018。1[13] Kisuk Lee , Ran Lu , Kyle Luther , and H SebastianSeung.学习用于3d神经元重建的密集体素嵌入。arXiv预印本arXiv:1909.09872,2019。1[14] Kisuk Lee,Jonathan Zung,Peter Li,Viren Jain,and HSebas-tian Seung.SNEMI3D连接组学挑战的超人精度arXiv预印本arXiv:1706.00120,2017。1[15] Rosanne Liu 、 Joel Lehman 、 Piero Molino 、 FelipePetroski Such 、 Eric Frank 、 Alex Sergeev 和 JasonYosinski。卷积神经网络和coordconv解决方案的有趣失败 。神 经 信 息 处 理 系 统 的 进 展 , 31 : 9605-9616,2018。1[16] Vebjorn Ljosa , Katherine L Sokolnicki , and Anne ECarpenter.用于验证的注释的高通量显微镜图像集。Nature methods,9(7):637-637,2012. 六七八[17] Fuhui Long,Hanchuan Peng,Xiao Liu,Stuart K Kim,and Eugene Myers.建立了C. elegans及其应用于单细胞分析。Nature methods,6(9):667,2009. 七、八[18] Davy Neven 、Bert De Brabandere、Marc Proesmans和Luc Van Gool。通过联合优化空间嵌入和集群带宽来实现实例分割。在IEEE/CVF计算机视觉和模式识别会议论文集,第8837-8845页,2019年。1[19] David Novotny , Samuel Albanie , Diane Larlus , andAndrea Vedaldi.半卷积算子,例如分割。在欧洲计算机视觉集,第86-102页,2018年。1、8[20] Augustus Odena Vincent Dumoulin和Chris Olah。反卷积和棋盘式伪影。Distill,1(10):e3,2016. 1[21] G 安 东 尼 雷 纳 , 拉 维 Panchumarthy , Siddhesh PravinThakur,阿列克谢巴斯蒂达斯,和Spyridon Bakas.系统评估图像拼接对深度学习语义分割的不利影响。神经科学前沿,14:65,2020。一、五、八[22] Olaf Ronneberger,Philipp Fischer,and Thomas Brox. 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