对合群的量子表示

x-y+2x−y可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记276（2011）145-158www.elsevier.com/locate/entcs对合群的量子表示坦纳·克劳德1，2海军研究实验室Center for High Assurance Computer Systems华盛顿特区20375摘要我们回答了Martin等人在MFPS XXVI上提出的一个问题：一个有限对合群除了在[8]中已经证明存在的经典表示外，还有一个量子表示。特别是，这意味着在每一个维度上都有非平凡类的量子通道，它们具有在较低维度上不存在的经典表示。在建立这一结果的过程中，我们给出了对角n量子比特通道的两个特征（其中一个是（1）和Bloch矩阵满足的必要条件关键词：布洛赫表示，自由物体，量子通道，对合群。1引言具有m个输入和n个输出的经典信道可以由m×n随机矩阵表示;这些信道的集合记为（m，n）。通过量子比特信道传输信息的一种方法是在状态空间中固定一个基，|×，|φ×}，令|×和|φ×分别表示0和1。使用这个基础，我们可以定义一个（2，2）经典信道，它具有容量C（x，y）=log.2x<$H（y）−y<$H（x）yH（x）−xH（y），其中x= P（0 |0），y = P（0，1）和H（x）=−xlog 2（x）−（1−x）log 2（1−x）。容量测量可以通过量子比特信道传输的经典信息的量。对于一个量子比特通道，每个基的选择都定义了一个经典通道，每个通道都有自己的容量。量子位通道的范围是1作者是霍华德大学数学系的研究生2电子邮件：tanner. nrl.navy.mil1571-0661由Elsevier B. V.出版，CC BY-NC-ND许可下开放获取。doi：10.1016/j.entcs.2011.09.0192146T. Crowder/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 276（2011）145HΣ我nn我在状态空间中的所有基上变化时获得的容量范围。计算任意基的C（x，y）是一项乏味的任务，考虑计算状态空间中每个基的容量使我们不寒而栗。在[11]中，Martin将作用域的计算简化为一个简单的特征值计算.此外，有几类（m，n）信道携带关于某些类单位量子比特信道的信息论数据。这些类被很好地研究，并且被证明与它们的量子对应物是共轭的[4，5，9];由于共轭保留了本征值，因此这些通道的范围和容量可以从经典表示中计算出来。自然的问题是，是否存在更高维的模拟计算范围，以及是否存在携带关于多量子比特通道的类似信息理论数据的（m，n）类经典通道。试图从量子比特的情况下扩展的结果需要更多的信息更高维量子信道的布洛赫表示在量子比特的情况下，布洛赫矩阵的集合是SO（3）的凸闭包然而，当n ≥ 2时，只知道n比特布洛赫矩阵的集合是SO（2 2 n −1）的凸闭包的真子集。本文给出了任意维对角Bloch矩阵的两个特征. 第一个给出了对角矩阵元素的22n不等式 这些是[1]中所述的必要和充分条件，我们将在完全一般性中证明。然后，我们将证明这些条件相当于采取凸封闭的有限集的22n-许多对角矩阵。更重要的是，对于22n阶和22n−1阶的对合群，有一个同构，定义为从它们的自由α-幺半群的经典表示通过布洛赫表示共轭到单位n最后，我们将把在[11]中找到的迹条件扩展到任意n-量子比特通道，并给出通道范围2个房间为了讨论量子信道，我们需要一种方法来讨论环境如何作用于量子系统，以及一种方法来描述一个系统，该系统的状态 并不完全清楚。我们使用密度算符/矩阵（这两个术语可以互换使用）来描述量子系统。设2n是一个维数为2n的Hilbert空间.定义2.1量子态是一个自伴的、正半定的、迹1的线性算子ρ： →H2 称为密度算子;当算子用一个矩阵来表示，它被称为密度矩阵。密度矩阵集2N在n个量子比特上表示为Ω.如果一个量子系统可以处于|如果n × ∈ H2n的 概 率为p，则密度矩阵可以写成sρ=Ipi|ψi×⟨ψi|，当我们谈论时，|i×进行归一化。 显然，ρ是n量子比特系统的密度矩阵，当且仅当 如果它是一个2n× 2n迹1半正定Hermite矩阵.2n×2n厄米特矩阵构成R上的一个维数为22n的向量空间，因此有22n−1个T. Crowder/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 276（2011）14514722N，我2-≥∈埃尔米特矩阵，λ={λi}i=2，使得{I2n}<$λ是基。 众所周知，对于2× 2厄米特矩阵的实向量空间，恒等式以及自旋算子或泡利矩阵是一个基：σ=0.10μm，σ=0.01μm，σ=0−i，σ=1001⎝0 1⎠2⎝1 0⎠32014年4月24日⎝0−1⎠定义2.2定义1σ2n−11···σjn|ji∈{1,2,3,4},tobethesetofn-量子位自旋运算符;我们将使用字典顺序对它们进行我们把这个阶的第i个矩阵称为λn（n表示系统的维数，当不出现混淆时将被丢弃）。通常我们将最后22n− 1个元素以向量形式表示为λ= [λ2λ3···λ22n]。给定两个向量空间V和W及其各自的基，{|vi×}和{|wj×}，{|vi×|wj×}是V<$W的基（关于张量积的性质，参见[ 13 ]）。 这是直接的，n维自旋算子形成一个线性独立的集合，包含在2n×2n厄米特矩阵，因为有22n个，它们必须形成一个基础因此，每个密度矩阵可以被写为n维自旋算子的某种线性组合（具有某些约束），即，n量子比特系统的每个密度矩阵可以写为：ρ=I+cr·λ，2N其中C =。22n−2n，λ是n维自旋算子的向量（没有身份）。定义2.3密度矩阵的上述展开式中的向量r称为布洛赫向量。众所周知，对于描述量子态的这种分解，rB22n−1（维度为22n1的单位球），但对于n2，布洛赫向量形成B22n−1的真子集[6]。注意，有时我们会将c吸收到Bloch向量中。一个密度算符ρ描述一个纯态，如果它的态|x是完全已知的，即，ρ = |ψ×⟨ψ|，否则它是混合态;常数c确保纯态的布洛赫向量具有范数1。量子信道是用于发送量子态的介质。这些通道可以通过密度矩阵集上的映射来建模，这些密度矩阵集满足某些自然条件。直觉考虑一个量子信道：Ω2n→ Ω2n。如果我们选择一个量子态的分布{|如果我们以概率pi选择一个量子态，然后应用p i，我们将期望输出与从{|概率为pi.因此，我们可以预期，它是凸线性的。由于矩阵将密度矩阵转化为密度矩阵，因此它应该是一个正映射，即，它将正半定算子转化为正半定算子。类似地，它必须采用跟踪一个运算符来跟踪一个运算符，因此必须148T. Crowder/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 276（2011）145ΣΣ我Σ2Nj=22Nρ2=iyiλi= Φ（ρ1）. 设M =（aij）是算子Φ的矩阵，则y2..yNaN1aN 2···aNNXN保持痕迹。此外，（应该是正的;这个性质称为完全正性。完全的正性确保了，如果I只作用于联合系统的一部分，Im仍然是一个量子通道。定义2.4量子通道Φ：Ω2n→ Ω2n是一个完全正的、保迹的凸线性映射。如果恒等式是一个固定点，那么它就是唯一根据ChoiMN→MN，是完全正的当且仅当它具有形式Φ（ρ）=EiρEi†，我其中Ei是复数矩阵。我们在[12]中找到了量子通道的以下特征，称为算子和表示：映射Φ：Ω2n→Ω2n是完全正的、保迹的、凸线性映射当且仅当它具有以下形式Φ（ρ）= AiρA<$ii=1其中{A}是Ω2n，AiAi =I. 这张地图形式清楚地保持厄米性，所以给定Choi量子信道的表示，每个量子信道都是Hermitian矩阵上完全正的线性映射的限制。由于我们已经用厄米特矩阵公式化了密度矩阵，我们将在Ω2n作为2n×2n厄米特矩阵上的映射，H.因为量子通道2N将一个密度矩阵映射到一个密度矩阵，它必须在Bloch向量上导出一个映射φ：Φ。I + cr·λ= I + cφ（r）·λ。这些映射对于理解量子比特通道的范围和容量至关重要，我们将在这篇笔记中投入大部分时间来研究它们。引理2.5每个量子通道在布洛赫矢量上诱导出一个α-量子映射。当通道是单位的时，a-Chronne映射是线性的。证据 设N = 2n，Φ：HN→ HN是具有性质Φ（I+）的线性映射r·λ）λ=I+s·λ。考虑HN的一个任意元素，ρ1=ixiλi，100万美元a11a12···a1N别这样 你好⎟⎠根据假设，如果x1 = 1，则y1= 1。如果x1 = 1则对于i≥2，yi=<$Naijxj+ ai1。令b=[a21a31···aN1] t，y=[y2y3···yN]t，以及我T. Crowder/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 276（2011）145149⎜2n−. . ..⎟Ω、我 我 我我 我 我1x=[x2x3· · ·xN]t. y=Mx+b，其中22· · ·a2N阿斯塔纳M =..N2-2-- aNN因此，若ρ1是稠密矩阵，则Φ（ρ1）=1/2n（I+（Mx+b）·λ）. 为了计算Φ（I），我们取x为零向量;对于Φ（I）= I，直接的是b也必须是零向量。Q定义2.6设ρ=1/2n（I+cr·λ）是一个密度矩阵，设Φ是一个量子信道，定义为Φ（ρ）= I+ c（Ar + b）·λ。2N这是信道Φ的布洛赫表示，并且A是与信道Φ相关联的布洛赫矩阵。用Φ表示。我们有时将Φ称为ΦAx+b，以强调布洛赫表示。定义n个量子比特上的布洛赫表示的集合为Qn，单位布洛赫表示为Un。对于一个量子通道，存在多个算符和表示;例如，如果Ui和Vi被相位分开，则对于n每个ρ∈2U ρU<$=V ρV<$. 为了让定义2.6有意义，我们需要确保算子和表示与Bloch表示之间的对应关系是良好定义的，并保持凸和和组合。我们声明以下内容是完整的，但证明是例行的，因此省略了它引理2.7(1) 算子和表示与Bloch表示之间的识别是明确的。(2)量子通道的凸和的布洛赫表示是各个布洛赫表示的凸和。(3)单位信道的组合的Bloch矩阵对应于Bloch矩阵的乘法。3单位对角通道的一个特征对应于完全正映射的Bloch矩阵的集合，n= 1是SO（3）的凸闭包。不幸的是，当n≥2时，Un不是一个已知的集合.一个量子比特上的布洛赫对角矩阵集已经得到了很好的研究，并且在[1]中给出了n个量子比特上的布洛赫对角通道的特征，但没有对任何有限维系统进行严格证明。我们将给出一个证明，但首先我们需要一个小结构来证明定理。可以计算出σjσiσj= ±σi。 对于m×m矩阵r，s，t和u，（r<$s）（t<$u）=（rt<$su），我们有λjλiλj=±1λi。为了表征对角单位信道，我们需要一种有效的方法来跟踪符号。150T. Crowder/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 276（2011）145H=⎝⎠j=1ΣD NN⎜⎟J 我 J2k−1IJ我⎝⎜⎝⎟⎠2）H（λ）=HH σλ =Hλ2引理3.1λnλn的符号由H<$n确定，H <$n是n重的（i，j）项张量积JI jIJ⎛⎜1 1 1 1⎞⎟1 1 −1−11−1 1−11−1−1 1证据 在一维中，如果i或j为1或i=j，则σjσiσj=σi。自从泡利矩阵a nti-com，如果ij和i，j/=1，σjσiσj=−σjσjσi=−σi。你好，你好对于一维自旋算子，现在假设对i，j≤22 k，λkλk= 1H<$kλk. 建筑，为任意两个（k+1）维自旋算子λi和λj（注意我们去掉了k+ 1（对于禁欲主义者），存在IJ，JJ≤22k且i1，j1∈ {1， 2， 3， 4}，使得1k1kλi=<$2 σi1 <$λi′和λj=<$2 σj1 <$λj′。通过归纳，λkλk=1H<$kλk，因此j′i'j'2k−1i′j′i′λj λiλj1= （σj1σi1σj12kk k k1j′i′j′2ki1j1Ki′j′i1k1k+1i′2kijiQ现在假设{Aj}k是一组线性无关矩阵，令Φ：H2n→H2n由yΦ（ρ） 定义=iβiAiρA<$i. 根据[1]中的一个结果，Φ是完全正的当且仅当对每个iβi≥0，我们将在下面使用这个结果。请注意，下一个定理是由Bourdon和Williams在[1]中提出的，但他们只给出了证明的草图。我们声称没有独创性的陈述定理，但由于这一结果将用于整个说明，我们给一个充分的证明和纠正一些差异。定理3.2设N= 2 n，r∈R22n-1，Φ ：H→H被定义为ΦD（r1I+r·λ）=r1I+（Dr）·λ哪里2019年00月00日⎛1⎞⎜ ⎟⎜d ⎟D=0 . . .00 0天设DJ=dj。.DN则D ∈ Un当且仅当HndJ具有所有非负项。N⎠T. Crowder/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 276（2011）145151n−2≥n−122其中每个βi∈R。1.1.1（1）（1）（2考虑线性算子Φ：H2n →H2n 已定义 通过<$Φ（ρ）=<$iβiλiρλi，iHijnβi）λj.Let2n−2n−22证据 这个算子定义为线性的，并且是保迹的，与D无关;还有，Φ D（I）= I。接下来，我们可以计算ΦD对λj的作用，对于每个j≥2：ΦD（λj）= ΦD（ej·λ）=（Dej）·λ=djλj，其中ej是第j个坐标向量。因此我们在n维自旋算符的基础上用ΦD的作用量刻画了β=2n−1HndJ，thendi=11jHijnβj且11iβi=1。这个fβi的选择给出了Φ（λj）= ΦD（λj），因为线性算子是完全确定的，根据他们的行动，这意味着ΦD = Φ。根据前面关于完全正性的讨论，并给出n维自旋算子线性无关的事实，ΦD是完全正的当且仅当每个βi0。这相当于1β=HndJ具有所有非负项。Q对于持续时间，我们将把DJ称为与对角通道D相关联的向量。4对合群定义4.1对合群是具有二元运算（S，·）和单位元1的集合，其中（S，·x∈S）x·x= 1。通过有限交换群和一些基本代数的分类，S是有限对合群当且仅当它同构于Z2k次的直积Zk。（2，2）中的2阶对合群是V=1000I= 1010 F=1001000⎩⎝0 1⎠ ⎝1 0⎠⎭从[9]（也是在[3]中不知不觉），我们可以递归地在（2n， 2n）中生成Zn。渠道给定V2n ={Pi：i = 1，.，2n}在（2n， 2n）中，我们构造V2n+1 ={I2<$P，f <$P：P ∈ V2n} ∈（2n+1，2n+1）.注意V22n={I2<$I2<$P，I2<$f<$P，f<$I2<$P，f<$f<$P：P∈V22n−2}。给定这个结构，一个简单的归纳论证（省略了）表明，对于每个v ∈ V22n，有v1，...， vn∈ V4使得v = v1<$··<$vn.我们也可以递归地构造一个22n阶的对合群作为子集152T. Crowder/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 276（2011）145⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟010 010 010 0D=D=100%1000B我D1=，D2=−，D3=，D4=−10.我n我 i=1I1In我J j=1我我我ni22n的n。 首先我们得⎛1 0 0⎞⎛1 0 0⎞⎛−1 00⎞⎛−1 00⎞⎝0 0 1⎠⎝0 0−1⎠⎝0 0−1⎠⎝0 0 1⎠集合{D1，D2，D3，D4}<$SO（3）是U1中Klein V群的一个副本。我们可以通过将H的第i行的全部从第二列开始放置在Di的对角线上来获得Di，即2019年12月20日我的天0Hi300 0Hi4我们可以用类似的方法系统地定义SO（22n− 1）中的一组对合;尽管可能不能立即清楚这些对合也是Un的元素。2N定义4.2定义G={Dn}2为原函数的自然表示SO（22n− 1）中的22n阶解群，其中⎛Hi⊗2n0 0 0⎞0Hi3n我⎝⎜000 0;⎟0 00洪注意，指数是用来记账的，不是用来把Di提高n次方的。回想一下，对于两个矩阵A和B，A和B的直和为AB= A0。根据张量积的性质和Dn的构造，对于Hn的每一行，都有指数i1，...，in∈ {1，2，3，4}使得行等于（1 <$D1）的对角线..（1 <$D1）。因此，每个Dn可以写成的n倍张量积的元素从集合{1<$D1}4。 因此，每个Dn有决定因素一。另外，由于Dn的所有元素都是±1，所以Dn是对合，所以Dn∈ SO（2 2 n−1）。我们将在下面证明，<$Gn×是凸线性同构于<$V22n ×，G n的凸闭包等于U n中的对角矩阵集。.⎠⎟⎠. . .0T. Crowder/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 276（2011）1451531n2N我我⎠n定义4.3设G是（m，n）的子群G的凸闭包<$G×在Ql中的嵌入是一个函数<$G：<$G× →Ql，使得对所有x，y∈ <$G×，• I=I，• （xy）=• 当p∈[0， 1]时，<$（px+（1−p）y）=p <$（x）+（1−p）<$（y），并且• （x）=也就是说，嵌入是单射的凸线性同态。然后，通道集合<$（<$G×）被称为具有经典表示。在[9]中，Martin构造了（4，4）中Klein V到Q1的嵌入。在[4]中表明，没有其他可嵌入到量子比特通道集合中的对合群。问题自然出现了，在更高维的量子通道中是否还有其他具有经典表示的对合群？我们将证明，对于每个有限对合群，答案都是肯定的引理4.4设hn是Hadmard矩阵的n1⎛1 1⎞h=102mm.1−1则h∈2n对角化V22n 到1 Dn：Dn∈ Gn}。证据 由[5]可知，hh可将V2对角化为1<$G1.设v∈V22n2 ⊗2而v1，...，vn∈V4使得v = v1<$··<$vn.令1Dij =hvjh.则h2nvh 2n=h2v1h2···h2vnh2=（1<$Di）···（1<$Di）。 通过前一段中的讨论，后者是1Gn的元素。推论4.5阿达玛矩阵的n重张量积使V2n对角化. 我们所证明的是，有一个同构之间的α-幺半群V22n×和一个A-幺半群是一个凸子集包含单位元且在乘法下闭的实代数的。例如，给定一个群G，G的凸闭包，记作G×，是一个α-幺半群。在某些情况下，α-幺半群G×称为G上的自由α-幺半群。定义4.6有限群G上的自由α-幺半群是α-幺半群α-G×，使得每个到α-幺半群A的同态f：G→A对α-幺半群α-G ×的全体都有唯一的凸线性扩张。由[8]可知，在每个有限群上的自由a-幺半群都存在，并且直到凸线性同构为止都是唯一的。更重要的是，[8]证明了，n ×V2n×是2阶对合群上的自由a-幺半群。定理4.7F或任何j∈N，r∈n∈N，使得n∈V2j×可通过共轭嵌入到Qn中.也就是说，每个有限对合群都有一个经典和量子表示。此外，<$Gn ×<$Un和<$Gn×是2阶对合群上的自由α-幺半群.154T. Crowder/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 276（2011）145我我∗我我Σ ΣΣ2NΣ2N乌恩ΣΣΣ01-02ixi（1Di））=ixiDi.这显然是一个凸-证据注意，对于所有i j，阶为2j的对合群具有阶为2 i的对合群作为子群，并且嵌入的限制仍然是嵌入。所以我们将检查对阶为22j的对合群的声明。首先证明了对所有Dn∈Gn，Dn∈Un.回想一下HH= 4I4，H的行是正交的;由于H<$nH<$n=（H H）<$n，H<$n的行也是正交的设d是与Dn相关联的向量。由于Hn是对称的，d是Hn的列向量，这意味着Hnd的元素都是零，除了第i个元素是22n。因此，Hnd的所有项都是非负的，并且通过定理3.2Dn是一个单位信道。根据引理2.7，单位通道的凸和是单位的，意味着<$Gn×<$Un。由于1Gn和V22n之间的同构是由共轭定义的，所以它是单射的，保持乘法、凸和和恒等式。注意如果ixi=1且xi≥0时，ixi（1Di） =1ixiDi. 德费恩线性同构，并利用凸-线性同构的传递性，证明了V22n×与Gn ×是凸-线性同构的. 因此，V22n×是Gn×.利用自由对象的唯一性，证明了Gn×是2阶对合群上的自由α-幺半群。Q不需要将V22n嵌入到Un中，就可以直接证明，<$Gn×是2阶对合群上的自由α-幺半群。以其独特性，对于任意的V22n么半群，V22n与Gn之间必然存在凸线性同构，但同构不保持特征值.由于这种同构是由共轭定义的，它保留了特征值，因此将保留信息理论量。由于这些信息理论量是保留的，所以在这种同构下有可能用经典信道进行量子信息我们现在已经为对角单位通道的第二个特征化奠定了所有必要的基础。在[11]中表明，对角量子比特通道的集合是G1的凸闭包;我们对n-量子比特通道的集合有一个自然的扩展。定理4.8n -量子比特上的对角通道的集合是<$Gn ×.证据 首先假设D ∈ Un且D是对角的。 设d =[1d2···d22n] t是与D相关联的向量。设β为向量，使得d=H β。由于H的列定义了ea chDi∈Gn的对角线，因此di=jHi<$jnβj= jβj（Dj）i i。因此22ND=βiDi.i=1因为我们假设D是Bloch对角线，定理3.2指出β的项是非负的。由于d的第一个元素是1，而H n的第一行都是1，1 = i β i ;因此D ∈ <$G n ×。相反地，通过定理4.7，Gn×包含在对角单位信道的集合中。QT. Crowder/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 276（2011）145155ΣΣ⊗n⊗n⊗n⊗n⎜222222KnK IIkjjk=122nKKnkiKJH（n+1）=洪-洪洪市-洪⎟由定理4.7我们可以看出，任何阶小于2 n的对合群在U n中都有一个经典表示。应该清楚的是，<$Gn×不包含任何其他对合，因为<$Gn×\Gn中的任何元素在对角线上都有一个不是±1的元素。这意味着最大的对合群在Un与对角表示的顺序为2 2 n。更重要的是，Gn×为对角量子比特通道集提供了一个合理的高维模拟。该集合不是人为的，在n-量子比特对角通道集合和NIG1×之间有一个明确的概念联系。这提供了更多的证据表明，在单位量子比特通道集上所做的工作将可扩展到Un。5任意单位通道就我们所知，目前还没有关于n量子比特上Bloch矩阵的刻画.本节将给出任意（22n−1）×（22n− 1）矩阵不具有单位元素的条件。引理5.1设f∈ Un. 那么f的对角线也定义了一个单位通道。证据 回想一下引理2.7，Un在乘积和凸和下是闭的。设f∈Un，通过对f进行一系列只涉及单位通道的凸和与凸积的运算，证明了f可以约化为它的对角线. 设Dk∈Gn，当ii = j且（Dk）ii= ±1时，（Dk）ij = 0.因此，在本发明中，（DkfDk）ij=22n−1r=1（Dkf）i，r（Dk）r，j=±（Dkf）ij=±22n−1l=1（Dk）i，lfl，j=±fij，其中，如果（D k）ii =（D k）jj，则（DkfDk）ij的符号为正，否则符号为负。所以f和DkfDk的对角线是相同的，因此（1f+1Dkf Dk）ii=fii对于每个i∈ {1，.，2 2 n−1}。而且，对于每一对（i，j）其中（Dk）ii=（Dk）jj，（1f +1Dkf Dk）ij= 0;否则，（1f +1Dkf Dk）ij= fij。还注意到1/ 2（f+DkfDk）∈Un由上述备注。所以如果对于每个i j，有一个D∈G使得（D） =（D） ，则n = 22n1D fD∈U，且它将具有与f相同的对角线，其中每隔一个条目为0为了完成证明，我们需要证明对于每一对（i，j），1 ≤

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