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}={Journalof the Egyptian Mathematical Society(2016)24,585埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate关于nano拓扑空间中的几类近开集A. A. Nasefa,A. I. Aggourb, S. M.达尔维什湾a埃及Kafr El-Sheikh大学工程学院物理和工程数学系b埃及开罗11884纳斯尔市爱资哈尔大学理学院数学系接收日期:2016年1月11日;接受日期:2016年1月25日2016年4月14日在线发布摘要本文的目的之一是研究纳米拓扑空间中的近纳米开集。第二,近纳米开(闭)集的一些性质。同时,我们引入了纳米β-连续的概念,并研究了纳米拓扑空间中某些类型的纳米连续函数之间的关系。最后介绍了两个在纳米拓扑中的应用实例2010年数学学科分类: 54A05; 54C10; 54B05版权所有2016,埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。1. 引言和附录L. Thivagar[1]引入了关于论域U的子集X的纳米拓扑空间的概念。研究了纳米拓扑空间中的几种近纳米开集之间的关系.本文研究了纳拓扑空间中纳开集的某些弱形式之间的关系。*通讯作者。联系电话:+20 2 22629009;传真:+20 2 22629009。电子邮件地址:nasefa50@yahoo.com(A. A. Nasef),atifaggour@yahoo.com(A. I. Agour)。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办:Elsevier此外,我们还引入了纳米拓扑空间之间的纳米β-连续性的概念,并研究了这些类型的近纳米连续性的一些性质最后,我们介绍了两个例子,作为在纳米拓扑空间中的应用。定义1.1. [2]设U是一个非空的有限对象集,称为宇宙,R是U上的一个等价关系,称为不相容关系。对(U,R)被称为近似空间。让XU。(i) X关于R的下近似表示为LR(X).也就是说,LR( X)x∈UR( x):R( x) X,其中R(x)表示由x确定的等价类。(ii) X关于R的上近似表示为 HR(X). 也就是说, HR(X)=<$x∈U{R(x):R(x)<$X/= φ}。S1110-256X(16)30004-9 Copyright 2016,Egyptian Mathematical Society.制作和主办:Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2016.01.008关键词纳米拓扑空间;纳米正则开;纳米半开;纳米γ-开放;纳米β-开;纳米β-连续586A. A. Nasef等人--=→⊆⊆∪⊆⊆={个=图1(iii) X相对于R的边界区域表示为:BR(X). 也就是说,B R(X)= H R(X)− L R(X)。根据PawlakLR( X)/=HR( X)。定义1.2. [1]设U为宇宙,R为等价 关系 对 联合 则对XU,τR(X) U,φ,LR( X),HR( X),BR( X)称为U上的nano拓扑,称(U,τR(X))为nano拓扑空间.τR(X)的元素称为一个nano开集,一个nano开集的补集称为nano闭集。定义1.3. [3]设(U,τR(X))是一个nano拓扑空间,集合βU,LR(X),BR(X)称为U上关于X的nano拓扑τ R(X)的基。定义1.4.[ 1]如果(U,τ R(X))是一个纳拓扑空间,NRO(U,X)(分别)NαO(U,X),NSO(U,X),NPO(U,X), Nγ O(U,X)和NβO(U,X))。定义1.6. [3]一个nano拓扑空间(U,τR(X))的子集K称为 nano 正 则 闭 ( 或 nanoα- 闭 、 nano 半 闭 、 nano 预 闭 、nanoγ-闭和nanoβ-闭),如果其补数是nano正则开(分别为纳米α-开放、纳米半开放、纳米预开放、纳米γ-开放和纳米β-开放)。定义1.7.[ 1]一个纳米拓扑空间(U,τ R(X))称为纳米极端不连通的,如果U的每个纳米开子集的纳米闭包是纳米开的,或者等价地,如果U的每个纳米正则闭子集是纳米开的。定义1.8. 设(U,τR(X))和(V,τRr(Y))是纳拓扑空间s. 计算f:(U,τR(X))(V,τRr(Y))可以说是:(1) nano continuous[5]如果f−1(B)是U中的nano开集,对于V中的每个nano开集B。(2) nanoα-连续[6]如果f−1(B)是U中的nanoα-开集对于每个以V为单位的纳米开放集合B。(3) nano半连续[6],如果f−1(B)是U中的nano半开集,对于V中的每个nano开集B。(4) nano预连续[6]如果f−1(B)是nano预开集,U表示V中的每个纳米开集B。(5) nanoγ-continuous[7](或nano b-continuous)如果f−1(B)对于每个纳米,纳米γ-开放(或纳米b-开放)是否设置在U在V中打开集合B。2. 纳米近开集下图适用于纳米拓扑空间(U,τR(X))的子集A。下面的例子表明,这些蕴涵都不是可逆的。实施例2.1. 设U ={a,b,c,d},U/R={{a},{d},{b,c}}和A= {a, d}。然后一可以推断则τR(A)=关于X,其中X<$U,如果A<$U,则(i) 集合A的纳米内部被定义为包含在A中的所有纳米开子集的并集,并表示为nint(A)。(ii) 集合A的nano闭包定义为所有包含A的nano闭子集的交集,记为ncl(A)。定义1.5.[ 1,4]设(U,τ R(X))是一个纳拓扑空间,A<$U.那么A可以说是:(i) 如果A nint( ncl( A)),(ii) Nanoα-open ifA nint(ncl(nint(A),(iii) 如果A ncl(nint(A)),(iv) Nano preopen ifA nint(ncl(A)),(v) 如果Ancl(nint(A))nint(ncl(A)),(vi) 如果A ncl(nint(ncl(A),则为纳米β-开放(或纳米半预开放)。所有纳米常规开放的家庭(分别为。本文定义了纳米拓扑空间(U,τR(X))中的纳米α-开集、纳米半开集、纳米预开集、纳米γ-开集和纳米β-开集图2⊆关于nano拓扑空间中的几类近开集587我们的优势∩={个⊆⊆={个={个={个={个∪ ⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆-−--−⊆ ⊆=={个U,φ,a,d.这里,集合{a,b,d}是纳米α-开的,但在(U,τR(A))中不是纳米开的。实施例2.2. 设U ={a,b,c,d},U/R={{a},{c},{b,d}}A={a, b}。然后,纳米拓扑被定义为τR(A)={U,φ,{a},{b, d},{a, b, d}}。然后,我们有以下内容:(1) 如果B a, b, d,那么B是纳米开的,但不是纳米规则开的.(2) 如果C a, c,则C是纳米半开的,但不是纳米α-开的.(3) 若D a, b,则D是纳米预开的,但不是纳米α-开的.(4) 若E a, b, c,则E是纳米γ-开的,但不是纳米半开的.(5) 若Gb,c,则G是纳米β-开的,但不是纳米γ-开的.(6) 若F b, c, d,则F是纳米γ-开的,但不是纳米预开的.提案2.1. 对于每个纳米拓扑空间(U,τR(X)),我们有:NPO(U,X) NSO(U,X)NγO(U,X)NβO(U,X) 但这些影响都无法逆转。提议2.2. 设(U,τ R(X))是一个纳拓扑空间,则:(i) 如果A U是纳米开放的,BU是纳米半开放的(分别为纳米预开放、纳米β-开放、纳米γ-开放),则A B是纳米半开放(分别为纳米预开放、纳米β-开放、纳米γ-开放)。(ii) 对于每个子集A U,A nint(ncl(A))是nano预开的。(iii) A是 Nanoγ-开的,当且仅当A是A的并2.7号提案 一个nano α-开集与一个nano的交β-开集是纳米β-开集。证据 明显 Q推论2.8。一个nano α-闭集和一个nano β-闭集的并是nanoβ-闭集。备注2.1. 任意的nanoβ-闭集的交是nanoβ-闭集,但两个nanoβ-闭集的并不一定是nanoβ-闭集。这一点从下面的例子中可以看得很清楚实施例2.3. 设U ={a,b,c,d},U/R={{a},{c},{b,d}}A={a, b}。则τR(A)={U,φ,{a},{b, d},{a, b,d}} , 子 集 F= {b} 和 W= {a ,d} 是 nanoβ- 闭 集 , 但F<$W={a, b, d}不是nanoβ-闭集.2.9号提案每一个纳米半闭的纳米β-开集都是纳米半开的。证据设A是一个nano β-开集和nano半闭集。然后,A ncl(nint(ncl(A)和nint(ncl(A))A。因此,nint(ncl(A))nint(A),因此,ncl(nint(ncl(A)ncl(nint( A ) ) 。 因 此 , A ncl ( nint ( ncl ( A ) ncl ( nint(A))。这意味着是纳米半开放的。 Q2.10号提案 一个纳拓扑空间(U,τR(X))是纳β闭的当且仅当ncl(U−ncl(nint(F))−(U − ncl(F))<$ncl(F)− F。证据 ncl(U − ncl(F))−(U − ncl(F))ncl(F)− F如果且纳米半开集和纳米预开集。提议2.3. 如果(U,τR(X))是纳米极端不连通的仅当(U−nint( ncl( nint( F)−(U−ncl( F))<$ncl( F)−F当且仅当(U−nint( ncl( nint( F)<$ncl( F)<$ncl( F)−F当且仅当(U<$ncl( F))−(nint( ncl( nint( F))<$ncl( F))<$空间那么,以下陈述成立:(1) 每个nano β-open集合都是nanopreopen。(2) 每个纳米β-闭集都是纳米预闭的。(3) 每个nano半开集都是nanoα-开的。(4) 每个nano半闭集都是nanoα-闭的。证据如果(U,τR(X))是纳米外不连通的,则纳米α-开集,纳米半开集,纳米预开集和纳米β-开集的是等价的。 Qncl( F)F如果 和 只 如果 ncl( F)( nint( ncl( nint( F) ncl( F)F当且仅当F init(ncl(ninl(F)当且仅当F是nanoβ-闭的。Q2.11号提案设F是纳拓扑空间(U,τR(X))的子集.如果F是纳米β-闭的和纳米半开的,那么它是纳米半闭的。证据 由于F是纳米β-闭和纳米半开的,U-F 是纳米β-开放和纳米半封闭的提议2.4. 对于一个纳米拓扑空间(U),下列性质是等价的:(1) (U,τR(X))是纳米极端不连通的。(2) NSO(U,X)=NPO(U,X)。(3) NβO(U, X)=NPO( U, X).(4) NγO( U, X)=NPO( U, X).τR(X)),2.9号提案U F是纳米半开放的。因此,F是纳米半封闭的。Q2.12号提案每个纳米β-开集和纳米α-闭集都是纳米正则闭集。证据设AU是一个nano β-开集和nano α-闭集. 然后Ancl(nint(ncl(A)和ncl(nint(ncl(A)A,证据(1)惠(2)和(1)惠(3)这些是显而易见的。显然,(3)(4)和(4)(1)直接从命题2.1Q2.5号提案一个nano预开集和一个nano α-开集的交集是nano预开集。这意味着ncl(nint(ncl(A)A ncl(nint(ncl(A)。所以,A ncl( nint( ncl( A)。这意味着A是nano闭的,所以它是nano正则闭的。Q推论2.13。每个纳米β-闭集和纳米α-开集都是纳米正则开集.证据 设A∈NPO(U, X)和 B∈NαO(U, X),则一⊂nint(ncl(A)), B⊂nint(ncl(nint(B)。那么, 一CIBB2.14号提案 设τ R(X)是X的纳米开子集类,则,⊂nint(ncl(A)) ∩nint(ncl(nint(B) ⊂nint(nint(ncl(A))ncl(nint(B)nint(ncl(A)nint(B)nint(ncl( ncl( A)B)=nint( ncl( A<$B)).因此,AB是nano preopen。Q推论2.6。一个纳准闭集与一个纳α-闭集的并集称为纳准闭集。588A. A. Nasef等人τR(X)=nintNβO(X)。证据 若G∈τR(X),则G∈NβO(X).由于G=nint( G),则G∈nintNβO(X).反之,设G∈nintNβO(X),则G=nint( W),W∈NβO(X). G是开放的。 Q关于nano拓扑空间中的几类近开集589→⇒−=⇒⊆⊆⊆=⊆⊆⊆⊆⇒⊆− =−−−⇒==⊆⇒⊆--联系我们===⇒⊆⊆=⇒⊆--→→--→=图33. 几类纳米连续性定义3.1. 设(U,τR(X))和(V,τRr(Y))是纳米拓扑空间s. f:(U,τR(X))的mapping(V,τRr(Y))被称为纳米β-连续或(纳米半预连续),如果f−1(A)是U中的纳米β-开集,对于V中的每个纳米开集A。上述类型的纳米近连续函数之间的关系通过下图清楚地示出:现在,我们证明,这些影响都是不可逆的,如下面的例子所示。(2) V中的每个nano闭集G的逆像是nanoβ-闭U.(3) f(nβcl(A))<$ncl(f(A)),对于U的每个子集A.(4) nβcl(f−1( F))<$ f−1( ncl( F)),对于V的每个子集F(5) f−1( nint( F))<$nβint( f−1( F)),对于V的每个子集F证据(1)(2):设f是纳米β-连续的,F是V中的纳米闭集。也就是说,V F是以V为单位的纳米开放。因为f是nanoβ-连续映射。则f−1(V F)在U中是纳米β-开的。f−1(VF)Uf−1(F),这意味着,f−1(F)是U中的纳米β-闭集。(2)(1):设G是V中的纳米开集。则f−1(VG)在U中是纳米β闭的。则f−1(G)在U中是纳米β-开的。因此,f是纳米β-连续映射.(一)(3): 让 F 被 纳米 β-连续 和 让一个联合由于f是纳米β-连续的,ncl(f(A))在V中是纳米闭的,因此f−1(ncl( f( A)))在V中是纳米β-闭的。联合由于f(A)ncl(f(A)),f−1(f( A)) f−1(ncl( f( A),则nβcl(A)nβcl[f−1(ncl( f( A)]f−1(ncl( f( A).因此nβcl(A) f−1(ncl( f( A)。因此,对于U的每个子集A,f(nβcl(f(A)ncl(f(A))。(三)(1)设f(nβcl(A))ncl(f(A))对于U的每个子集A. 设F是 纳米 关闭 在 五, 然后 f(nβcl(F))ncl(f(f −1(F) ncl(F)F,即f(nβcl(f−1(F)F。因此nβcl(f−1(F))f−1(F),但f−1(F) nβcl( f−1(F))。因此nβcl(f−1(F)) f−1(F)。因此,f−1(F)在U中是nanoβ-闭的,对于V中的每个nano闭集F。也就是f是nanoβ-连续(一)(4):设f是一个纳米β-连续的,并且设F V,那么ncl(F)在V中是纳米闭的,因此f−1(ncl( F))实施例3.1. 设Ua b c d与U R a d b c是 纳米 β-闭 在 联合 因此,我们认为, nβcl[f−1(ncl( F))]== {,,}/联系我们f−1(ncl(F)). 由于F<$nβcl(F),f−1(F)<$f−1(ncl( F))。和 X= {a, d}。 然后 τR(X)= {U,φ,{a, d}}。 让V={x, y, z, w},V/Rr= {{x},{z},{y,w}},Y= {x,y},则τR<$r(Y) V,φ,x,y,w,x,y,z. 定义f:UV为f( a)y, f( b)y, f( c)z, f( d)w,则f是纳米α-连续但不是纳米连续的。实施例3.2. 设U ={a,b,c,d},U/R={{a},{c},{b,d}}且X={a, b}。则τR(X)={U,φ,{b, d},{a, b, d}}。设V={x, y, z, w},其中V/ Rr={{x},{w},{y, z}}。定义f为; f(a)= y,f(b)= y,f(c)= z,f(d)= w,则:(1) f是纳米半连续的但不是纳米α连续的。(2) f是纳米γ连续的,但不是纳米预连续的。实施例3.3. 设(U,τR(X))和(V,τRr(Y))为纳米拓扑。则nβcl(f−1(F))nβcl(f−1(ncl(F)f−1(ncl(F)).因此nβcl(f−1(F)) f−1(ncl( F))。(4)(1):令nβcl(f−1(F)) f−1(ncl( F))对于V的每个子集F。如果F在V中是纳闭的,则ncl(F)F.通过假设,nβcl(f−1(F))f−1(ncl(F))f−1(F).但f−1(F)nβcl( f−1(F))。因此,nβcl(f−1(F))f−1(F)。也就是说,f−1(F)在U中是nanoβ-闭的,对于V中的每个nano闭集F。因此f是纳米β连续的。(1)(5):设f是一个纳米β-连续的,并且设F V,那么nint(F)在V中是纳米开的,因此f−1(nint( F))在U中是纳米β-开的。因此nβint[f−1(nint( F))]=f−1(nint( F))。此外,nint(F)<$F意味着f−1(nint( F))<$f−1(F)。因此,nβint(f−1(nint( F)))<$nβint(f−1(F))。也就是说,f−1( nint( F))<$nβint( f−1( F))如例3.2所定义的空间,设g:U→V被定义为(5)(1):设f−1nint F简体中文f−1F对于ev-定义如下:g( a)=w, g( b)=y, g( c)=z, g( d)=w。则g(())β(())是纳米β连续的但不是纳米γ连续的。实施例3.4. 设(U,τR(X))和(V,τRr(Y))为如例3.2中定义的纳米拓扑空间,并设h:U V定义如下h(a)y,h(b)x,h(c)z,h(d)W.则h是纳米γ-连续的,但不是纳米半连续的。示例3.5. 设(U,τR(X))和(V,τRr(Y))是如例3.2定义的纳米拓扑空间,设f:U V是定义如下x. 则f是纳米预连续的,但不是纳米α-连续的。Theo rem3.1. 设(U,τR(X))和(V,τRr(Y))为非拓扑空间s,f:(U,τR(X))(V,τRr(Y))是一个映射.590A. A. Nasef等人=⊆⊆⊆那么,以下语句是等价的:(1) f是纳米β连续的。非常F V. 如果F在V中是纳米开的,则nint(F)F.通过假设,f−1(nint(F))nβint(f−1(F)).因此f−1(F)nβint( f−1(F))。但nβint(f−1(F)) f−1(F)。因此,f−1(F)nβint( f−1(F))。也就是说,f−1(F)对于V中的每个纳米开集F都是U中的纳米β-开集。因此,f是纳米β连续的。QRemark3.1.如果f:(U,τR(X))→(V,τRr(Y))是纳米β-连续的,则(U,τR(X))和(V,τRr(Y))是纳米 拓 扑 空 间 . 那 么 f ( nbcl ( A ) ) 不 一 定 等 于 ncl ( f(A))。下面的例子清楚地表明了这一点示例3.6. 设U= {a, b, c, d, e},其中U/ R= {{a, c},{b},{d}、{e}}。 设X ={a,b,c}<$U。 则τR(X)={U,φ,{a,b,c}}。设V={u, v, z, y, z},其中V/ Rr={{u},{z, v},{x,y}}且Y={u,v,z}V. nτRr(Y)={V,φ,{z,u,v}}。定义f:U→V为关于nano拓扑空间中的几类近开集591患者皮肤结 膜 炎干燥疲劳温度麻疹皮疹(S)(C)咳嗽(D)(F)T--f−1F.联系我们联系我们{{}==联系我们={个={个联系我们}个字符。联系我们={个联系我们146528712836457f( a)=x, f( b)=x, f( c)=u, f( d)=v, f( e)=y。显然,f是纳米β连续的。设A= {a,b,c}<$V。则f(nβcl(A))=f({a,b,c,d,e})={u,v,x,y}. 但是,ncl( f( A))=ncl({x, u})=V。因此f(nβcl( A))/=ncl( f( A))。注3.2. 在定理3.1中,陈述4和5的相等性一般不成立,如下面的例子所示实施例3.7. 设U ={a,b,c,d},U/R ={{a,d},{b},{c}}。设X ={a,c}<$U. 则τR(X)={U,φ,{c},{a,d},{a,c,d}}。设V= {x, y, z, w},其中V/ Rr= {{x},{y},{z},{w}}且Y=x,wV. 则τR<$(Y)V,φ,x,w. 定义f:UV作为f(a)x,f(b)y,f(c)z,f(d)W.那么f是纳米β-连续的(i) 设F= {z,w}<$V. 则f−1(ncl(F))=f−1(V)=U和nβcl(f −1(F))= nβcl({c,d})={b,c,d}。因此,nβcl(f−1(F))/=f−1(ncl( F))。(ii) 设 F= {z , w}<$V. 则 f−1 ( nint ( {x , y} ) ) =f−1({x,y})={a,b}和nβint(f −1(F))= nβint(f −1({x,y}))=nβint ({a ,b})= {a}。因此,f−1(nint( F))/=nβint(())U/I(R−(S))= {{p1},{p2,p8},{p3,p6},{p4},{p5,p7}}。因此,τR−(S)(X)={U,{p2,p8},{p2,p3,p5,p6,p7,p8},{p3,p5,p6,p7}} /=τR(X). 如果我们去掉属性“conjunctivitis”,我们得到U / I(R −(C))= U / I(R),因此τ R −(C)(X)= τ R(X)。如果我们去掉“干咳”这个属性我们得到U/I(R−(D))=U/I(R)和因此τR− ( D )(X)=τR(X)。如果我们去掉属性“疲劳”,我们得到U / I(R −(F))= U / I(R),因此τ R −(F)(X)= τR(X)。如果我们去掉属性“ 温 度 ” , 我 们 得 到 , U/I ( R -T ) ={{p1,p2,p8},{p3,p6}{p4},{p5},{p7}}。 因此,τR−(T)(X)={U,φ,{p7},{p1,p2,p3,p6,p7,p8},{p1,p2,p3,p6,p8}}/=τR(X)。从情形I,我们得到core( R)={S, T}。情形II:设X= {p1,p4,p5,p6}为未患麻疹的病人集合 则U/ I( R)={{p1},{p3,p6},{p4},{p5},{p2,p8},{p7}},因此τR(X)={U,φ,{p1,p4,p5},{p1,p3,p4,p5,p6},{p3,p6}}。如果我们重新移动属性 “皮肤 皮疹” 我们 得到, U/I(R−(S))=p1,p3,p6,p4,p5,p7,p2,p8,因此τR−(S)(X)U,φ,p1,p4,p1,p3,p4,p5,p6,p7,p3,p5,p6,p7τR(X).如果去掉“结膜炎”这个属性U/ I( R−(C))= {{p},{p, p},{p4},{p},{p, p},{p}}4. 在纳米拓扑实施例4.1. 麻疹是一种急性病毒性传染病。它在儿童中更流行,但也可能感染成人,这种疾病的原因是麻疹病毒。它通过与受感染的人接触,通过咳嗽和打喷嚏传播,并通过飞沫感染或空气传播。该病毒在受污染的表面上保持活性和传染性长达两个小时。潜伏期由5至10天不等。这种疾病的症状是皮疹、疲劳、干咳、结膜炎和发烧。这种疾病可以通过接种麻疹疫苗来预防。麻疹康复后,人获得终身免疫力下表提供了8例患者的数据。p1是的是的没有没有正常没有p2是的是的没有没有非常高是的p3是的没有没有没有高是的p4没有没有没有没有非常高没有p5没有是的是的是的高没有p6是的没有没有没有高没有p7是的是的是的是的高是的p8是的是的没有没有非常高是的列表示属性(麻疹症状),行表示上表中的对象(患者)。设Up1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,那么:例Ⅰ:设Xp2,p3,p7,p8为麻疹患者的集合.设R是U上关于所有条件属性的集合的等价关系。对应于R的等价类的集合由U/ I( R)={{p},{p, p},{p, p},{p},{p}}给出,因此这是相同作为U/I(R)和因此τR−(C)(X)τR(X). 如果属性“干咳”被删除,我们得到,U / I(R −(D))= {{ p 1 },{ p 3,p 6 },{ p 4 },{ p 5 },{ p 2,p 8 },{ p 7 }},这与U/I(R)相同,因此τR−(D)(X)=τR(X)。当省略属性{{p1},{p3,p6},{p4},{p5},{p2,p8},{p7}},这与U/I(R)相同,因此τR−(F)(X)=τR(X)。 如果去掉“温度”这一项,我们得到U / I(R −(T))= p 1,p 2,p8,p 3,p 6,p 4,p 5,p 7,因此τ R −(T)(X)U,φ,p4,p5,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p8,p1,p2,p3,p6,p8τR(X). 由情形II得到核心(R)S,T.观察:从上述两例病例中,我们探讨了“皮疹”和“体温”是判断麻疹的必要和充分条件。5. 结论本文讨论了纳米近开集和纳米连续性的一些性质。最后介绍了它在纳米拓扑学中的一个应用实例。因此,在现实生活中使用纳米拓扑结构是有利的。引用[1] M.L.蒂瓦加角Riclord,关于弱开集的纳米形式,Int. J. Math.Stat.因文1(1)(2013)31-37。[2] Z. Pawlak,Rough sets,Int. J. Comput.信息科学11(5)(1982)341-356。[3] Z. Pawlok,Rough Sets:Theoretical Aspects of Reasoning aboutData,Kluwer Academic Publishers,Boston,1991.[4] A. Revathy,G.Ilango,关于纳米β-开集,Int.J. Eng. 对流数学科学1(2)(2015)1-6.[5] M.L.蒂瓦加角理查德,论纳米连续性,数学。理论模型。7(2013)32-37。[6] 玛丽检察官,我Arockiarani,在纳米rgb类集在纳米拓扑空间的特征,国际。J. Mod. Eng. Res. 第五条第一款(2015年)68-76.关于X的U上的纳米拓扑由下式给出:τR(X) U,φ,p2,p7,p8,p2,p3,p6,p7,p8,p3,p6.如果我们去掉“皮疹”这个属性592A. A. Nasef等人[7] 玛丽检察官,我Arockiarani,关于纳米拓扑空间中的b-开集和b-连续函数,Int. J. Innov. Res.Stud.3(11)(2014)98
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