Jordan左-I-素数和半素对合Gamma环

22ð ÞJournalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，8埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章关于Jordan左-I-素数的与半素对合Gamma环Kalyan Kumar Deya，*， Akhil Chandra Paula， Bijan Davvazba孟加拉国Rajshahi 6205 Rajshahi大学数学系b伊朗亚兹德亚兹德大学数学系接收日期：2014年1月17日;修订日期：2014年6月19日;接受日期：2014年8月2015年2月11日在线发布设M是2-挠自由C-环，对合I满足条件xaybz^xbyaz，对所有x;y;z2M和a;b2C.本文的目的是证明对合为I的半素C-环上的每一个Jordan左I-中心化子都是逆左I-中心化子。我们解决了一些功能利用上述结果，讨论了具有对合Ⅰ的素和半素C-环中的微分方程。此外，我们还讨论了一些相关的结果.2010 AMS数学学科分类：16N60; 16W10？2015制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍C-环的概念首先由Nobusawa[6]作为环的推广而引入，然后Barnes[2]将Nabusawa的C -环的定义对于C-环，我们参考Barnes[2].设M和C是加法阿贝尔群。 如果存在一个映射M × C × M！ M（发送-inga;a;b#aab）这满意的条件（1）aa b bac c;aab b c ; aa b b c; a a bb c c;（2）aa b b c c;对于所有a; b; c2 M和a; b 2 C。则M是Barnes意义下的C-环.设M是*通讯作者。电子邮件地址：kkdmath@yahoo.com（K.K.Dey），acpaulrubd_math@yahoo.com（A.C. Paul），davvaz@yazd.ac.ir（B.Davvaz）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevierhttp://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.08.002C 形 环 。 一 个 映 射 I ： M！ 称 M 为 对 合 ， 如 果 （ 1 ）Iab<$<$Iab;（2）Iaa b<$Ia;（3）I2a<$a;对所有a;bm和C.在环理论中，阿里、达尔和Vukman[1]证明了每个Jordan左H-中心化子在具有对合的半质环，其特征R不等于2，一个反左H型扶正器。他们利用这一结果，使人们有可能解决一些基本方程的总理和半素环。见[3，4，7]。本文研究了对合为I的素C-环和半素C-环的Jordan左I-中心化子，这是受[1]工作的启发。在整个过程中，M将表示中心为Z<$M<$的C环。我们用CM表示素C-环M的扩张质心.对于C M的解释，我们可以参考读者在Escherturk的论文[8]中的内容。给定一个整数nP2，一个C-环M称之为n-挠自由的，如果对于x2M;nx<$40蕴涵x <$40。通常，1/2x;y]a和hx;yia将分别表示交换子x a y-y a x和反交换子x ay-y a x，对于所有x;y2M和a2C。一个可加映射T：M！M被称为左中心化器，如果Txay≠Txay对所有1110- 256 X？ 2015制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表关键词素C-环;半素C-环;对合素和半素Gamma环的左I-中心化子922P2P2ð Þ¼¼¼ ¼¼ð Þ ¼ ð Þ2 2ð Þ ¼ð Þ ð Þ2 21/1Pn1/1我1/1我特征不同于两个和T：M！M是添加剂i¼1ii¼1i我Ji¼1iJ我Ji¼1i¼在上面表达式的两边，我们得到J我Pn.PCUPP nP n。Pn我x;y M和C. 正确的中心化者的定义应该是不言自明的。一个可加映射T在T：M的情形下称为双边中心化子.M是一个左和一个右中心-M C b iC Minto M. 因此，wi给出一个元素b i，使得wi<$bi<$2C<$M <$。此外，根据定义wib ib i。因此，aia xbbi<$aia xbwbi<$waiaxb bi<$0。通过伊泽。一个可加映射T：M！ M被称为左乔丹扶正器，如果Txaxl/Txax对所有x2M成立，M的素性，我们得到n1/1 aia x bi<$0，因为ai是a2C. 设M是对合为I的C-环.添加剂在C上线性无关，我们必须有wi 1/40。但是，通过定义wi;MC biCM0，映射T：M！ M被称为左I中心化器（resp.反向左I扶正器），如果Tx a ylxaiy（分别Txay<$TyaIx）对所有x成立;y2M和a2C。一个可加映射T：M！ 若T∈x a x∈T∈x∈aI∈x∈对所有x;y2M成立，且aC. 右I-中心化者和若当的定义右 I扶 正 器 应 该 是 不 言 自 明 的 。 对 于 某 个固 定 元素a2M，映射M！定义为x#aaIxa的M是约当左I-中心化子，映射x#Ixaa是约当右I-中心化子。b i¼0。 H引理2.2. 设M是素C-环，其对合I满足条件x a y b z x b y az，对所有x; y; z 2 M; a; b 2 C，设T：M！ M是M 上的Jordan左I-中心化子。如果对于所有x2M，T x 2 Z M，则T¼ 0。证据假设我们有1/2T<$x<$;y]a1/40，x;y2M和a2C。在上述关系式中，将xb x替换为xI-M 上的扶正器。很明显，每个C形环上的左I型扶正器M是一个约当左I中心化器.进一步，我们建立了关于可加映射T：M的一个结果！ M对所有的x 2 M和a 2 C都满足关系Tx a x axl xaTxaIx. 证明了如果M是2-挠自由半质C-环，和S;T：M！M是左扶正器使得关于， 然后 我们 获得0.01Txbx;y]a<$.01TxbIx;y]a<$.01对于所有的x ; y 2 M和a ; b 2 C，1/2T<$x<$;y] a b I <$x <$T <$x <$b 1/2 I <$x <$; y ]a。根据我们的假设，最后一个表达式得出，对于所有的x;y2M和a;b2C，T <$x <$b 1/2 I <$x <$; y ] a 1/4 0。由于素C-环的中心是无零因子的，所以T_（？）x_（？）½Sx;Tx]bSx Sxb½Sx;Tx]0对于所有x;y2M或对于所有x ;y 2 M和a 2 C，均为1/2I<$x<$;y]a1/40。让和b一那么，一S x; T xM和CA<$fx2MjTx<$$>0g和B<$fx2Mj½Ix<$;y]a<$40，;2C½ ð Þ所有x2的1/42所有y 2 M和a 2 Cg。可以看出，A和B是设M是素C-环且S我们将限制我们的注意力在约旦左-I-中心化，因为所有的结果前-由于左右对称性，本文中所提出的方法对于Jordan右I中心化器也是正确的。在本文中，M表示C-环，Z<$M<$是C-环的中心.一个C-环M是素的，如果xC MC y <$0蕴涵x<$0或y<$0，并且是半-环。素数如果xC MC x<$0蕴涵x<$0。设x;y2M和a2C，交换子xay-yax将表示为1/2x;y]a。我们知道，1/2xby;z]a1/4xb 1/2 y;z]a1/2x;z]aby1/2x 1/2b;a]zy和对于所有x;y; z 2 M和a ; b 2 C，均为1/2x; y bz]a1/2 y b 1/2x; z ] a 1/2x;y] ab z 1/2 y b ; a ]xz。我们将假设xa ybz xbya z对所有x;y;z2M和 a;b2C 。 根 据 这 一 假 设 ， 上 述身 份减 少到1/2xby;z]a1/4xb 1/2 y;z]a1/2x;z]aby;1/2x;ybz]a1/4yb1/2x;z]a1/2x; y]abz ， 对 于 所 有 x;y;z2M 和a;b2c。还有，hx;ybzia 1/4hx;yiabz-yb1/2 x;z]a1/4ybhx;zia1/2x;y]abz;hxby;zia1/4xbhy;zia1/2x;z]aby1/4hx;ziaby1/2xb1/2y;z]a， 在我们的结果中被广泛使用。2. 基本结果引理2.1. 设M是素C-环，其中心闭包为C<$M<$.假设元素ai;bi2C0。如果对于某个i，b i 1/4为0，则a i是C M-独立的。证据 我们证明了α i在C_∞ M_∞上是线性无关的。如果不是，则存在最小n个元素a1;a2;. . ;一条n2M线-我M的两个加法子群，其并集为M，因此通过Brauer技巧，我们得到AM或BM.如果BM，然后M是可交换的，这就产生了矛盾。因此，唯一的可能性仍然是A/4M。 也就是说，对于所有x2M，T均为1 ×1/40。这就完成了证明。H定 理 2.3. 设 M 是 对 合 为 I 的 半 质 C- 环 ， 满 足 条 件xaybzxbyaz，对所有的特征不同于2的x;y;z2M和a，b2C，且T：M！M是一个可加映射，它满足Txax ^TxaIx，x2 M 和 2C 。 则 T 是 一 个 逆 左 I- 中 心 化 子 ， 即 T<$ xay<$ $> T<$ y<$a I<$ x<$对所有x; y2 M和a2C。证据对于所有的x M和一个C，我们有T x a x T x a I x。将对合I应用于上述表达式的两侧，我们得到ITxaxxa ITx，对所有x2M和a2C。定义一个新的地图S：M！使得对于所有的x2M和a2C，然后，我们看到，对于所有的x2M和a2C，Sxaxltxl因此，我们得到S x a x x a S x，对于所有xm和C.因此，S是M上的Jordan右中心化子。根据[5]，S是一个右中心化子，即对所有x;y2M，S∈xa y∈xa S∈y∈和一个2C。 这意味着，对于所有人，x;y2M和a2C。通过将对合应用于最后一个关系式的两边，我们发现Txay<$TyaIx对所有x;y2M和a2C。这就完成了证明。H引理2.4.设M是素C-环，其对合I满足对于所有的x;y;z2M和a;b2C，在C上是早期独立的，使得Pnaxb <$0，所有x2M和a;b2C，其中bi是M的非零元素。因为M是素数，所以n>1。假设xi;yi2M使得我映射满足Tx ax ax lxaTxaIx对所有x2M和a2C。然后，Tx ayTyaIxIyaTx，Pnx ic x d y ¼ 0.如果r 2 M，则Pnaia rb xjc bid y¼1/1 aa rb bd y¼Pnaar b.Pxc bdy1/11/4。以来J阿阿所有x; y 2 M和a2 C，即T是M上的逆I-中心化子。bxjc bi0，我们得到一个比n更短的关系，我们有，证据 根据假设，我们有对于所有i，Pn x ic b id y<$0。 因此，地图w：M C b iC M！M 已定义 由wn uc bdvni1jTx a x a x lxaTxaIx对于所有x 2 M和a 2 C。应用定义。wi是理想的可加映射是平凡的对于所有的x2M和a2 C，我不知道x a x a x a x a x b x a xa x a x b x a。德费恩uc bd v¼0 得很好我1/1Ji1j我J10K.K. Dey等人ð Þ ¼ ð Þ2222新地图S：M！使得对于所有的x2M，然后，我们看到，对于所有的x 2 M和a 2 C，Sx a x a x lltx a x ax l l x alxl a x l xl a x l l x la x l l x lla x ll因此，我们得出结论：对于所有的x 2 M和a 2 C，Sx a x a xx a S xax。 因此，S是一个加法映射，使得S x a x a x a Sxax。鉴于[5]，我们不得不得出结论，S是双边中心化子，是，对于所有x，Sx a yx aSyxay;y2M和a2C。这意味的我不知道你在说什么为所有x;y2M和a2C。再次将对合的两边应用到最后一个关系式，我们发现Txay<$TyaIx<$IyaTx对所有x;y2M和a2C。H引理2.5. 设M是素C-环，对合I满足条件x;y;z2M和a;b2C，且S; T：M！M是乔丹左I中置器。假设1/2Sx;Tx]a1/40对所有x2M和a2C成立。如果T½0，则存在p2C M，使得SpT。证据由定理2.3我们得出S和T是M上的逆左-I-中心化子.根据假设，我们有½Sx;Tx]a¼0;1对于所有x2M和a2C。线性化（1）并使用它，我们得到½Sx;Ty]a½Sy;Tx]a¼0;2引理2.6. 设M是素C-环，对合I满足条件x;y;z2M和a;b2C ， 且 S; T ： M ！ M 是 乔 丹 左 I 中 置 器 。 设hS<$x<$;T<$x<$ia1/4 0对所有x 2 M和a 2 C成立。 如果T- 0 ， 则 存 在 p 2 C M ， 使 得 S < $ p T 。证据 根据假设，我们有hSx;Txia¼0; 7对于所有x2M和a2C。在（7）中用xy代替x，我们得到hSx;T x ia h Sx;T y ia h Sy;T x ia h Sy;T y ia1/4：18秒使用（8）中的（7），我们得到hSx;TyiahSy;Txia0：9用z b y代替（9）中的y，并利用S和T是反向左-I-中心化子 这 一 事 实 ， 我 们 发 现 0 <$hSx;Tz b yia<$hSz by;Txia<$hSx;TybIzia<$hTx;SybIzia<$hSx;TyiabIz-Tyb<$Sx;Iz]a<$hTx;Syia b I zbIz-Syb <$Tx;Iz]a。应用（9）得出，Tyb½Sx;Iz]aSyb½Tx;Iz]a¼0：10在（10）中用wd y代替y，我们得到对于所有的x，y，M和C。在（2）中用zb x代替x，我们得到TybIwd½Sx;Iz]aþSðyÞbIðwÞd½TðxÞ;IðzÞ]a20：111分½Sx;Ty]abIzSxb ½Iz;Ty]a½S1/4：30应用（2）得出，Sxb½Iz;Ty]aTxb½Sy;Iz]a¼0：44在（4）中用wd x代替x，我们得到SxbIwd½Iz;Ty]aTxbIwd½Sy;Iz]a0：15在（5）中，用Iw代替w，用Iz代替z，我们得到在（11）中，用Iw代替w，用Iz代替z，我们得到Tybwd1/2Sx;z]aSybwd 1/2Tx;z]a1/40：12使用类似的方法，我们已经使用后方程的阻碍。（6）在引理2.5的证明中，我们得到了所要求的结果。这就完成了引理的证明H3. 主要结果本文的主要结果是由[1]得到的如下定理。定理3.1.设M是2-挠自由半质C-环，Sxbwd½z;Ty]aTxbwd½Sy;z]a¼0：16对合I满足条件x a y b zx b y a z，对所有x;y;z2M和a;b2C，和S;T：M！我是乔丹左-我-从 引 理 2.2 可 以 得 出 ， 存 在 y;z2M 和 a2C ， 使 得 从 T - 0 开 始 ，1/2T<$y<$;I<$z<$]a1/40。根据引理2.1和关系式（6），我们得出结论：SxpTx，其中p 是 CM 。 因 此 ， 关 系 式 （ 6 ） 迫 使 对 于 某 个p;q2CM;0<$pTxbw d 1/2Ty;z]a-Txb w d 1/2Ty;z]a<$pTxbw d 1/2Ty;z]a-Txb w d 1/2 Ty;z]a<$p-qTxbwd1/2 T y;z]a ， 对 于 所 有y;z2M和a;b;d2C。由于M是一个素C-环，上面的表达式得出要么是[p-q<$T<$x<$$> 0，要么是[1/2T<$y<$;z]a<$0。 由于1/2Ty;z]a-0，我们有对所有x 2 M和a 2 C的p - q T x 0。 这意味着，对于所有x2M。这给出了所有x2M的SxpTx。扶正器 假设 hSx;TxiabSx-SxbhSx;对于所有的x 2M和a; b 2C，T x i a 1/4 0成立。 然后，½Sx;Tx]a1/40（所有x2M）和a2C。此外，若M是素C-环且S-0 <$T-0 <$，则存在p 2 C <$M <$使得T <$pS（S <$qT ; q 2 C<$M <$）.证据根据引理2.3，我们得出结论：S和T是逆左I中心化子.根据假设，我们有hSx;TxiabSx-SxbhSx;Txia¼0;13如果我们用反换位子代替引理2.5中的换位子，相应的结果也成立。H对于所有的x M和a;b C.关系式（13）的线性化得到：素和半素Gamma环的左I-中心化子11¼ð Þð Þ ð -þ一一一一一hSx;T x iabS y h Sx;T y iab Sx h S x;Ty iabSy在（20）中用y c I T x替换y，我们Tx iab S x h Sy;T x iabS yS x d T x c I y b S x;T xlSxSy;T x iab S x-Syb h Sx;T x iað Þ ð Þð Þ ½ ð Þð Þ]að Þ— Sxbh Sx; Tya- Sybh S x; Tya— SxbSxdTxcIyl½Sx;Tx]a¼0：121— Sxbh S y; Txa- Sybh S y; Txa— SxbhSy;Tyia¼0;14对于所有的x;y2M和a;b2C。在（14）中用-x代替x，我们得到将（20）左乘Tx给出TxcSxdIyb½Tx;Sx]alS x— TxcSxbSxdIyl½Tx;Sxa2019 -04-22hSx;T x iabS y h Sx;T y iabS x-h Sx;T y iabSyhS— hSy;T y iab Sx-Syb h Sx;T x ia— Sxbh S x; Tyia Sybh S x; Tyia— Sxbh S y; Txia Sybh S y; TxiaS结 合 （ 14 ） 和 （ 15 ） ， 我 们 得 到 2hSx;TxiabSy 2hSx ，TyiabSx 2hSy ， TxiabSx- 2SybhS x ， Tx ia- 2SxbhSx ， Tyia-2SxbhSy，Txia¼ 0。由于M是2-挠自由的，上述关系简化为：hSx;TxibSyhSx;TyibSx hSy;TxibSx— Sybh S x; Txa- SxbhSx; Tya— SxbhSy;Txia¼0：16在 （ 16 ） 中 用 ydx 代 替 y ， 我 们 得 到hSx;TxiabSxdIyhSx;TxdyiabSxhSxdTy ，TxiabSx-SxdIybhSx;Txia-SxbhSx，TxdIyia-SxbhT结合（21）和（22），我们得到½Sx;Tx]acIyd ½Sx;Tx]alSx— ½SxSx;Tx]acIyl½Sx;Tx]a¼0：123根据我们的假设，0¼ hSx;TxiaSx-SxbhSx，Txia¼ SxaTxbS x b TxaSxbS xb-SxbTx a S x b S xb S x a T x。上述表达式可以进一步写为1/2SxbSxb;Tx]a1/40：124使用（23）中的（24），我们得到½Sx;Tx]cIyd½Sx;Tx]lSx0：125在（25）中用ycIS x代替y，我们得到：½Sx;Tx]cSxlIyd½Sx;Tx]lSx0：26我是说，我是。利用反换位子恒等式，上述关系可以写成hSx;S x iadS xbI y h Sx;T x iadI ybS x— Txd½Sx;Iy]abSxhTx;SxiadIybSx— Sxd½Tx;Iy]abSx -SxbIydhSx;Txia— Sxbh Sx;TxiadIys xbTxd½Sx;Iy]a— SxbhTx; SxiadIyS xb Sxd½Tx;Iy]a¼0：由于M是半质C-环，所以从关系式（26）可以得出：的½Sx;Tx]alSx¼0：027根据关系式（24）和（27），我们有Sxl½Sx;Tx]a1/40：128根据（13）和（17），hSx;T xiadIybS x-Txd½ Sx;Iy]abSxhS-S xdIyb h Sx;T x ia-Sxb h Sx;T x iadIyð17Þ用xy代替（28）中的x，并使用与我们从（13）获得（16）相同的技术，我们得到Syl½Sx;TxaSxl½Sy;TxaþSðxÞl½SðxÞ;TðyÞ]a¼0:ð29ÞS在（18）中用ISxy代替y时，我们得到hSx;TxI 和IylSxbSx -Txd½Sx;IylSx]abSxhTx，SxiadIylSxbSx -Sxd½Tx; I ylSx]abSx-Sxd I y l S xb S x，T x I a dIylSx b SxbTx d½S x; I y l S x; Iyl S xd½Tx;Iyl S x]a¼0。这意味着hSx;TxiadIylSxbSx-Txd½Sx;Iy]alS x我的意思是我的意思是—SxdIyb½Tx;Sx]alSx -SxdIylSxbh Sx;T xia—S x b h Sx;TxiadIylSxbTxd½Sx;Iy]alSxS用y b x代替（29）式中的y，我们得到SxbIyl½Sx;Tx]aSxlSxbIy;Tx] a S x l ½ S x;T x] a b I y S x l½S x;Tx]abIySxlTxb½Sx;Iy]a¼0。这意味着SxbIyl½Sx;Tx]aSxlSxbIy;Tx]aþSðxÞlTðxÞb½SðxÞ;IðyÞ]a¼0:ð30Þ因此，我们有关系SxbIyl½ Sx;T x]aSxlSxb½ Iy;T x]aS xlTxb½ Sx;I y]a¼0;其可以进一步写成以下形式：应用（18）得出，SxdIyb½Tx;Sx]lSx -SxbSxdIyl½Tx;Sx]ð19Þ¼0：SxbIyl½Sx;Tx]aSxlSxbIyaTx-SxlTxbIyaSxSxb½Tx;Sx]abIy0：a að20Þ（28）使用武力，12K.K. Dey等人ð Þð Þþð Þð Þ我知道了 ð Þð Þð Þ ð ÞSxbIyl½Sx;Tx]aSxlS xbIyaTx-SxlTxbIyaSx0：331TxdSxbIyl½Sx;Tx]a¼0：443如果我们用y代替（43）中的y，我们发现，（31）与T x的左乘给出TxdSxbTxaIyl½Sx;Tx]a1/4：444秒TxaSxbIyl½ Sx;Tx]aT xa SxlS xbIyaTx— TxaSxlTxbIyaSx¼0：032在用yaITx代替（31）中的y时，我们有Sx lTxbIya½Sx;Tx]aSxlSxbTxaIyaTx— SxlTxbSxaIyaSx¼0：033结合（32）和（33），我们得到½Sx;Tx]alIyb½Sx;Tx]a½SxaSx;Tx]abIylTx½Tx;Sx]abTxlIyaSx0：34使用（24），上述表达式简化为½Sx;Tx]abIyl½Sx;Tx]aþ½TðxÞ;SðxÞ]abTðxÞlIðyÞaSðxÞ¼0:ð35Þ用zbSx Iy代替（35）中的y，我们得到½Sx;Tx]abIylSxbIzd ½Sx;Tx]a半T另一方面，右乘（35）乘以I zd S x，我们得到½Sx;Tx]abIyb½Sx;Tx]adIzlSxþ½TðxÞ;SðxÞ]abTðxÞlIðyÞaSðxÞdIðzÞdSðxÞ¼0:ð37Þ通过比较（36）和（37），我们得到1/2Sx;Tx]abIydAx;z0;38哪里Ax;z1/2Sx;Tx]bIzlSx-SxlIzb/2Sx;Tx]。从左边乘以（43）T x，我们得到TxdTxlSxbIya½Sx;Tx]a¼0：445从（44）中减去（45），我们得到Txd½Sx;Tx]alIyb½Sx;Tx]a1/40：146将公式46中的y替换为ITxdy，我们得到：Txd½Sx;Tx]abIydTxl½Sx;Tx]a1/40：147也 就 是 说 ， 对 于 所 有 x 2 M ， Tx<$C½S<$x <$;T<$x<$]CCMCT<$x<$½S<$x <$;T<$x <$]C<$40。M的半素性产生，TxC½Sx;Tx]C¼0：148在（42）中用ITxay代替y，由于（48），1/2Sx;Tx]abIydTxlSx1/49用xy代替（27）中的x，并使用与我们从（13）获得（16）相同的方法，我们得到½Sx;Tx]abSy½Sx;Ty]abSxþ½SðyÞ;TðxÞ]abSðxÞ¼0:ð50Þ在 （ 50 ） 中 ， 用 yx 代 替 y ， 我 们 得 到1/2Sx;Tx]abSxbIyTxb1/2Sx;Iy]abSxl/2S x;Tx] a b I y b S x l/2Sx;Tx]abIybSx l/2S xbIy;Tx]abS x l/ 20。应用（27）得出，½Sx;Tx]abIybSx Txb½Sx;Iy]ab Sx½Sð51Þ一用ydISxlz代替（38）中的y，一这意味着1/2Sx;Tx]abIzdSxlIydAx;z0：139左乘（38）由SxlIz，我们得到SxbIzd½Sx;Tx]abIylAx;z0：140从式（39）和式（40），我们得到Ax;zlydAx;zl/0。也就是说，Ax;zCM C Ax;z0。M的半素性迫使A=x;z=0。换句话说，½Sx;Tx]abIzdSx;SxdIzl½Sx;Tx]a：41在（41）中用ylI½Sx;Tx]abTxlIydSx¼SxdTxbIyl½Sx;Tx]a：42结 合（ 三 十 五 ）和（42 ） ，we获 得½Sx;Tx]abIyd½Sx;Tx]a-SxdTxbIyl½Sx;Tx]a¼0。这进一步减少到2½Sx;Tx]abIybSx Txb½Sx;Iy]abSxþSðxÞb½IðyÞ;TðxÞ]abSðxÞ¼0:ð52Þ这可以进一步写为2½Sx;Tx]abIybSxTxbSxbIyaSxb -TxaIybSxbSxaIybTxbSxb-S xb T xaIyb S xb，它简化为½Sx;Tx]abIybSxSxbIyaTxb Sx— TxbIyaSxbSx¼0：53利 用 （ 53 ） 中 的 （ 41 ） ， 我 们 得 到 0<$SxbIyb½Sx;Tx]aSxbIyaTx b Sxb-TxbIybSxaS x b I y a S x a T xT x b I y a S x b S x.以上表达式得出，SxaIyb Sxb Txv Txb Iya SxbSx：54将yaI ttx替换为（54）中的y，我们有素和半素Gamma环的左I-中心化子13222 2þð ð ÞÞð Þ ¼一22！一SxaTxb Iyb Sxa Txb Txa Iya SxbS xb：左乘（54）乘以Tx导致：Txa Sxb Iya Sxb Txa T xb Iyb Sxa Sxb：通过结合（55）和（56），我们得到ð55Þð56Þ— SxbIyd Sxl½ Sx;Tx]a— SxbTxd½Sx;Iy]alSx— Sxb½Sx;Tx]anddIylSx— Sxl SxbIyd½Sx;Tx]a— SxbSxd½Iy;Tx]alSx0：462使用（62）中的（61），我们得出结论，½Sx;Tx]abIybSxaTx0：57由 式 （ 49 ） 和 式 （ 57 ） ， 我 们 可 得 到1/2Sx;Tx]abIyb1/2Sx;Tx]a1/40。也就是说，½Sx;Tx]CCMC½Sx;Tx]C¼0。M的半素性得出，对于所有x，M和C 如果M是素数，则根据引理，2.5 我们得到了所需的结果。因此定理的证明 完成了H定理3.2. 设M是2-挠自由半质C-环，其对合I满足条件x a y b zxb y a z，x;y;z2M和a;b2C和S;T：M！我是乔丹左I扶正器。 假设有1/2Sx;Tx]abSx-Sxb1/2Sx;Tx]a1/4 0持有为所有x2米和a;b2C. 然后，½Sx;Tx]a1/40（所有x2M）和a2C。此外，如果M是s，一个素C-环和S证据通过引理2.3，我们注意到S和T是逆左-I-中心化子. 假设我们有关系½Sx;Tx]abSx-Sxb½Sx;Tx]a¼0;58对于所有x M和a;bC用x代替x（58）和使用与我们从（13）获得（16）类似的技术，我们发现，½Sx;Tx]abSy½ Sx;Ty]abSx½Sy;Tx]abSx— Syb½Sx;Tx]a-Sxb½Sx;Ty]a— Sxb½Sy;Tx]a¼0：159用yd x代替（59）中的y，我们得到½Sx;Tx]abSxdIy½ Sx;Tx]adIybSxTxd½Sx;Iy]abSxd ½Sx;Tx]abIydSxsxb½Iy;Tx]adSx -SxdIyb½Sx;Tx]a— SxbTxd½Sx;Iy]a-Sxb½Sx;Tx]adIy— SxbSxd½Iy;Tx]a-Sxb½Sx;Tx]adIy0：ð60Þ第58章：力量，2½Sx;Tx]bIydSx Txb½Sx;Iy]dSxSxbIyd½Sx;Tx]alSx— SxbSxdIyl½Sx;Tx]a¼0：163在上述关系式中，将y替换SxbTxbIyd½ Sx;Tx]alS x— SxbSxdTxbIyl½Sx;Tx]a¼0：164另一方面，（63）与T x的左乘给出TxdSxbIyd½ Sx;Tx]abS x— TxbSxdSxIyb½Sx;Tx]a¼0：165通 过 比 较 （ 64 ） 和 （ 65 ） ， 我 们 得 到0/4½Sx;Tx]abIyd½Sx;Tx]adSx -½SxbSx;Tx]aIyb½Sx;Tx]a1/4半Sx;Tx]adIyb 半Sx;Tx]abSx -½Sx;Tx]abSxb 半Sx;Tx]aIyb半Sx;Tx]a. 鉴于假设，上述表达式简化为½Sx;Tx]和Iyb ½Sx;Tx]和Sx— 2Sxdb½Sx;Tx]abIyd½Sx;Tx]a：66如果我们将（66）乘以从左开始的Sx，我们得到Sxd½Sx;Tx]adI yb½ Sx;T x]aSx— 2SxdSxb½Sx;Tx]aIyb½Sx;Tx]a¼0：167另一方面，在（63）中将y代入y½S<$x<$;T<$x <$]a，我们得到Sxb½Sx;Tx]abIyb½ Sx;Tx]abSx— SxbSxd½Sx;Tx]abIyd½Sx;Tx]a¼0：168通过合并（67）和（68），我们得到Sxb½Sx;Tx]dIyb½Sx;Tx]bSx0：169在上面的表达式中使用（58），我们得到Sxb½Sx;Tx]adIybSxb½Sx;Tx]a¼0：170以来 M是 半质数， 它 如下 的 Sxb½Sx;aaTx]a¼0.从 （六十九） 和 （58）， we 得到½Sx;Tx]aS— SxbTxd½Sx;Iy]a-Sxb½Sx;Tx]adIy— SxdSxb½Iy;Tx]a¼0：61用ISxy代替（61）中的y，我们有2½Sx;Tx]alIybSxdSx;Txb½Sx;Iy]alSxdSx;Tx]alSxdSxSbS x0。最后两个表达式与Eqs相同。 因此，通过使用与我们在定理3.1的证明中在（27）和（28）之后使用的类似的方法，我们得到所需的结果。定理由此得到证明。H推论3.3。设M是2-挠自由半素C-环，对合I满足条件x a y bzx b y a z，对所有x;y;z M和a;b C，且T：M M是Jordan左I-中心化子。14K.K. Dey等人22XM22H 我的天啊，阿吉什 ð Þ 联系我们2222XM(1) 假设hT x;IxiabIx-IxbhTx;Ixia¼ 0对所有和 a;b C成立。则T是M上的逆I-中心化子.(2) 假设 T x;I xabT xT xbT x;I xa 0对所有x成立M和a;bC. 那么，T是一个反转I-M上的扶正器 。(3) 假设有1/2Tx;Ix]bIx-Ixb1/2Tx;Ix]1/40引用[1] S. Ali，N.A. Dar，J. Vukman，Jordan，带对合的素环和半素环的左H- 中心化子，Beitr. Algebra Geom. （2012 ），http://dx.doi.org/10.1007/s13366-012-0117-3.[2] W.E. Barnes，On theC-rings of Nobusawa，Paci fic J. Math.18（1966）411-422.一a[3] M. 布雷萨尔湾 关于JordanH-导子的结构，M和a; bC. 在这种情况下，T是M上的反I型扶正器。(4) 假 设 对 于 所 有 的 和 a ; b C ， 有 1/2Tx;Ix]abTx-Txb1/2Tx;Ix]a1/40 成 立。在这种情况下，T是M上的逆I-中心化子.确认作者非常感谢审稿人为改进论文提出的宝贵意见和建议Colloq。数学 63（2）（1992）163-171。[4] Y. Ceven，Jordan在完全素C-环上的左导子，C.U. Fen-Edebiyat Fakultesi Fen Bilimlere Dergisi 23（2）（2002）39-43.[5] M.F.霍克足球俱乐部Paul，On centralizers of semiprinegammarings，Int. Math. Forum 6（13）（2011）627-638.[6] N. Nabusawa，关于环理论的一个推广，Osaka J. 1（1964）65[7] M.A. Ozturk，Y.B. Jun，关于素Gamma环的质心，Comm.Korean Math.Soc.15（3）（2000）469-479。[8] M.李文，李文辉，等.带导子的素伽玛环中的交换性.数学学报，1994年，第18卷，第2期 ， 第 149-155页.