埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2011）19，106原创文章多分量应力-强度模型的可靠性N.A. Mokhlisa，*， S.K. 哈姆斯湾a埃及开罗Abbasia Ain Shams大学理学院数学系b埃及开罗赫利奥波利斯，艾因夏姆斯大学女子学院数学系2011年12月24日在线提供本文对几种并联和串联多分量应力-强度模型的可靠度进行了估计本文研究了由k个相依元件组成的系统的可靠性受n个相关应力的元件。我们研究的情况下，当组件被安排在串联或并联。假设构件强度服从（k+1）参数多元2011年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍应力-强度模型的可靠性估计已在文献中广泛讨论。 例如，Hanagal[1]给出了在元件强度服从多元Pareto分布的假设下，在指数共同应力作用下串联系统可靠度的估计。Hanagal[2]给出了k个并联或串联构件的应力-强度模型的系统可靠度估计 他假设，K分量的强度与共同应力的分布都是相互独立的，是两参数指数关系。Hanagal[3]给出了多组分串联应力-强度模型下他考虑了当maxY1;Y2;· ··;Yn][001 pdf1st-31files][001 pdf1st-31files]考虑这个案子。在本文中，我们考虑了问题-Z Hk部件系统可靠性估计的一个小问题承受N个压力。组件可以被布置为并联或串联。组件的强度和施加在系统上的应力均假定具有不同的多元马歇尔-奥尔金指数分布（MVE）[8]。强度和应力是独立的，其中Z = max（X1，X2，.. . ，Xk）和H = max（Y1，Y2，.. . ，Y n）。Z的生存函数由下式给出：[FzzP½Z>z]¼PX1>z或X2>z或···或Xk>z假设分别具有（k+1）和（n+1）参数多元kl¼11升116i1<···z;正如在Proschan和Sullo [9]中，随机变量T1，T2，. . 若T1，T2，.，Tr的生存函数为（r+1）参数MVE分布，则称Tr具有（r +1）参数MVE分布。. ，Tr由下式给出：X i2 >z;···;Xil>z：2： 1：2因此，使用（1.1），我们得到FtPT1>t1;···;Tr>trXkl1X¼exph- XRbt-bmaxt;·· ·;ti;Fzzl¼1-116i1<···0;i¼ 1; 2;···;rg：FH实验室0 lj1lj2···ljsh从现在起，该分布将被表示为MVE（r+1）。MVE（r+1）出现在以下上下文中：假设s116j1<···H¼PM>H时间：2019- 02-01Ti，Tj联合边缘分布是二元指数的1¼0FMh dFHh; 2：2：1tion的T i1;T i2;···;T is是MVE（s+1），使用参数，bi1;bi2;···;bis，以及b0。其中M = min（X1，. ，X k）。注意到M是指数分布的，参数k¼Pk k，M的生存函数由下式给出：在本节中，我们推导出由以下组成的系统的可靠性：k个部件承受n个应力。该公司的优势-在（2.2.1）中使用（2.2.2）和（2.1.4），我们得到分量X1，X2，. Xk，具有MVE（k+1），其中参数ki，i=0，1，2，.. . ，k.每个部件经受n个应力（Y1，Y2，.. . ，Yn）。应力（Y1，Y2，.. . ，Yn），假设到有MVE（n+1）与参数我，i= 0，1，2，.. . ，n. 应力（Y1，Y2，. ，Yn）和强度（X1，X2，.. . ，Xk），被假定为是独立的。我们确定R2¼-1s1s1 16j1<···max（Y1，Y2，，Yn）），并估计概率P（min（X1，X2，.. . ，Xk）>max（Y1，Y2，，Yn）），对于系列案。使用N个观测样本的数据R1¼2s1“100 lsKl¼1-1从MVE（k+1）和MVE（n+1）出发，通过计算Rli=1，2的估计量中样本观测，使得max（x1 j，x2 j，. ，x kj）> max（y1 j，×Xkk16i1<···max（y1 j，y2 j，.. . ，ynj）对于级数的情况，到样本中的观测值，其中（x、）和（y、.....的问题。.得双曲余切值.得双曲余切值.k1j2j kj1j-lX-1l1Xk0ki2···kil-1;y2 j，. ，ynj） 是 的 j-th 观察 对应 到强度和应力，并且j = 1，. . ，N.l¼1这里是L21/4长岛16i1<··· 0，n i和n∈c∈ N的值，公式4.1有很好的定义。由此产生的方程组不能以封闭形式求解。 如果所有的ni> 0，则bi> 0的MLE唯一存在。如果n s=0，对于某些s=0，1，.. . ，r，bi的极大似然估计的显式形式存在（见[9]中的定理4.1）。Proschan和Sullo[9]提出了简单的估计量，他们称之为INT估计量，定义为：而M步仅计算样本的MLE指数分布，使用E步的期望。给定T i的Ui的条件期望Karlis[14]）如下：第一种情况当t1=t2=. =tr.E =0j T1;·· ·Tr; b=1;EUijT1;···Tr;bt1b-1;i1;··· ;r：第二种情况，如果有些t是相等的联系我们ni. XNitij;第1页i¼1;··· ;r;4：2其他 与 较小 价值观， 即t i1;t i2;·· ·;t ik < t j1 ¼ · · ·¼联系我们XRNIcð0Þi¼1i第1页EUibjT1;···Tr;btib;b1;··· ;k;这些估计量是从分布的直观考虑发展而来的他们使用这些估计作为第一步，使用以下方法迭代求解似然方程：EUjbjT1;···Tr;bt0b-1;b1;·· ·;p：最后一种情况如果有一个tj大于其余的逐次逼近，通过将似然方程置于形式bgb中，然后使用泛函迭代b（m+1）=g（b（m）），m=0，1，2， 具体地，令EUjT;·· ·T;btbjJ1;0b 0b0的1bm1hnmnci。XN t;i¼1;·· ·;r;4：3EUjjT1;·· ·T r;bt jbbb;bm1 1/4hN-Xr我不知道。XN马克斯韦尔;t;···;t;EUijT1;·· ·Tr;bti;i1;···;r;i0哪里第一季第1集第1页1 J2 jrj5. 数字说明第0章ni; i ¼ 1;···; rN-nnm bm=bmbmi1;···;r;m 1; 2·· ·：对于所获得的结果的数值说明，进行模拟研究每种尺寸的两千个样品10、30和100是由强度和应力产生的当满足某个收敛准则时，迭代终止Karlis[14]开发了一种EM型算法，用于基于多元归约技术计算MLE他使用考虑T i=min（U0，U i），i = 1，... . ，河根据多元归约推导，分配。取k=3，k1=0.06，k2=0.03，k3=0.07，k0=0.04，考虑两种情况情况1：共应力（n=1），取l=0.25。0.85137720.55555560.85137720.55555560.85137720.55555560.84336520.54725330.84826690.55242750.8500930.55558350.84252240.5471170.84796570.55238570.85000740.55556260.84252240.5471170.84796570.55238570.85000750.55556260.86344360.57960570.85467030.56279210.85221170.55805280.851550.557150.85038330.55550.8502750.5565750.004480150.008561840.001404090.0031405190.000434280.000961210.004473370.008576630.001398000.0031422270.000434410.000960500.004473370.008576640.001398000.0031422280.000434410.000960500.007634430.012082040.002904380.0041774790.000846770.001237440.012317630.025611420.004265290.0086941980.001280190.00252636-0.00801209-0.00830224-0.00311035-0.003128105-0.001284182.79440e-05我ðmÞ最大值t1j;t2j;···;trj：14：1最大值t1j;t2j;···;trj：;J0J我k=3，n=1N=10N=30N=100平行情况系列案件平行情况系列案件平行情况系列案件112N.A. Mokhlis，S.K. 哈梅斯1表3三应力模型下的系统可靠度，当l-1¼a-11a-21a-31.RR（T）R（I）R（EM）R（A）R（N）MSE（T）MSE（I）MSE（EM）MSE（A）MSE（N）b（T）b（一）b（EM）-0.0072856-0.0072856-0.1105593-0.0143893-0.0143893-0.0027870-0.0027867-0.00175116-0.001751150.00196896-0.10252730.00113416-0.01910060.00108563-0.023835990.00400083-0.00089479-0.00089479-0.00089479-0.00123603-0.00231131-0.00231130-0.00946009-0.0013758423情况2：三个应力（n=3），我们取(i)三个应力中的每一个的期望值等于情况1中的公共应力的期望值（l-1<$A-1<$A-1<$A-1，其中ai= l0+ li），即l0= 0.2，l1= 0.0 5，l2=0.0 5，l3 = 0.0 5。(ii)三个应力的期望值之和等于情况1中的公共应力的期望值（l-1¼a1-1a-21a-31，其中ai= -l0+li），即l0=0.3，l1=0.4，l2=0.2，l3= 1.45。应注意，这些值是任意选择的，仅用于说明所获得的结果表1模拟的RT、RI、REM、RA和RN是2000年相应估计数的复制对于计算RI和REM，我们使用相同的收敛准则，即在连续迭代中参数值的变化小于10- 6，并且使用相同的初始值作为INT估计量。为了比较，计算了每种情况下不同估计值的偏倚（b）和MSE其中，偏倚（b）是2000次重复测定估计值的平均值与R真实值的差异，MSE是2000次重复测定估计值与R真实值的差异的平方平均值。显然，并联系统的可靠性比串联系统的可靠性高当三个应力中的每一个应力的期望值等于共同应力的期望值时，系统在共同应力下的可靠性大于三个应力下的可靠性，而当三个应力的期望值之和等于共同应力的期望值时，系统的可靠性小于三个应力下的可靠性一般来说，随着N的增加，所有估计R（T）、R（I）、R（EM）、R（A）和R（N）收敛于R，MSE减小。所有的估计都给出了很好的结果，即使对于小的N（N=10）。表2三应力模型下的系统可靠度，当l-1¼a-11¼a-21¼a-31。k=3且n= 1N=10平行情况RR（T）R（I）R（EM）R（A）R（N）MSE（T）MSE（I）MSE（EM）MSE（A）MSE（N）b（T）b（一）b（EM）0.82176380.8140750.81305450.81305460.83865310.823550.005747010.005758490.005758490.010622110.01482359-0.00768869-0.00870924-0.00870919系列案件0.50303030.49733730.49724070.49724070.52888560.504350.009405720.00940480.009404800.012827290.02652782-0.00569304-0.005789650.016889350.001786233-0.005789650.025855320.00131970N=30平行箱0.82176380.82052310.82021860.82021860.81783320.82268330.001751040.001749670.001749670.004388780.00471909-0.00124065-0.00154515-0.00154514系列案件0.50303030.50360560.50354750.50354750.50182130.50651670.00311970.003121010.003121060.005808260.008341350.000575310.000517170.00051719-0.003930520.00091956-0.001208950.00348636N=100平行箱0.82176380.82196420.82188860.82188860.82405170.822240.000574530.000573260.000573260.001137510.001477810.000200400.000124830.000124840.002287900.00047623系列案件0.50303030.50308310.5030550.5030550.50598670.502250.000959410.000959330.000959330.001300280.002600545.28411e-052.47098e-052.47159e-050.00295640-0.00078030.9105310.67101580.9105310.67101580.9105310.67101580.90380870.65613260.90791350.66918790.90966770.66866440.90324540.65662650.9077440.66926470.90963620.66870450.90324550.65662650.9077440.66926470.90963620.66870450.79997170.56848850.89143040.64717980.90641460.66155570.91250.672150.91161670.67501670.9092950.669640.002003790.007360450.000630140.002239670.000164820.000678970.002002560.007300180.000626360.002238930.000164510.000678220.002002560.007300180.000626360.002238920.000164510.000678220.092903360.069771170.005695410.011717520.000683960.002866920.007737620.022650660.002813450.007356840.000824980.00223186-0.0067223-0.0148832-0.0026175-0.00182795-0.00086337-0.00235146k=3，n= 1N=10N=30N=100平行情况系列案件平行情况系列案件平行情况系列案件多分量应力-强度模型的可靠性113表4达到收敛条件前的平均迭代次数N=10N=30N=100INT（1，1，1，1）INT（1，1，1，1）INT（1，1，1，1）迭代法9.90713.0328.891511.3928.04410.5865EM算法27.915577.94821.59632.966518.315530.065从表1-然而，对于相同的收敛准则，无论是使用INT估计作为初始值还是任何其他初始值（例如将所有初始值设为1），使用迭代方法的平均表（4）显示了当参数的初始值等于INT估计值或全部等于1时，达到收敛标准所需的平均迭代次数关于偏倚，我们发现对于小样本量（N=10），非参数方法给出的偏倚最小，b（T）、b（I）和b（EM）的差异出现在小数点后3位。而对于大样本，偏差的差异关于均方误差，我们发现R（T）、R（I）和R（EM）的MSE差异出现在小数点后第4位。对于大样本，R（T）、R（I）和R（EM）的MSE几乎相同。一般而言，Arnold估计给出的偏差最大。我们可以说，非参数方法给出了可接受的结果。我们还看到，R（T）、R（I）和R（EM）都很小。确认作者感谢编辑和匿名审稿人的宝贵意见和建议，这些意见和建议改进了论文的介绍。引用[1] D.D.陈文辉，多变量帕累托分布，社会科学与统计学，2000，（4）：147[2] D.D.张文，张文忠，等.应力-强度模型中系统可靠度的估计[3] D.D.陈文，多组份应力-强度模型的系统可靠性分析[4] D.D.张文，张文忠，等[5] H.M. 王文，张文忠，张文忠[6] N.陈文辉，张文辉，张文辉，等离子体系统的可靠度分析，硕士论文，（1998）.[7] D.D.陈文，系统可靠度之估计，硕士论文，国立成功大学机械工程研究所硕士论文，1999[8] A.W. 马 歇 尔 岛 Olkin ， Amultivariateexponentialdistribution ， Journal of American Statistical Association 62（1967）30[9] F. Proschan，P.张文龙，多元指数分布的参数估计，中国统计学会学报，2001，[10] G.K. Bhattacharyya，R.A.陈文生，双变量指数模型的最大似然估计和假设检验，北京大学统计学系，1999。[11] 陈志华，多变量指数分布的参数估计，中国统计学会学报，2000，（1998）[12] B.M.张文，张文龙，张文龙，等[13] D. Kundu，D.A. Kumar，通过EM算法估计Marshall-Olkin双变量Weibull分布的参数[14] D.张文，张文龙，张文龙，等离子体动力学模型的数值模拟，中国科学院统计数学研究所学报，2003年，第55卷，第817
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