埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，90原创文章具有不耐烦行为的两异构服务器排队的瞬态分析谢里夫岛Ammar*埃及梅努菲亚大学理学院数学系接收日期：2013年2月10日;修订日期：2013年4月23日;接受日期：2013年5月6日2013年6月28日在线提供摘要最近，文献[1]得到了具有退缩和中途退出的多服务台排队的瞬态解。在本文中，一个类似的技术是用来驱动一个新的优雅的显式解决方案的两个异构服务器队列不耐烦的行为。此外，稳态概率的系统的大小进行了研究，并讨论了一些重要的性能指标所考虑的系统。2000年数学潜规则分类：60K25; 68M20; 90B22？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍在大多数关于排队系统的研究中，顾客总是在系统中等待服务完成。在许多实际系统中，例如电话交换机客户、医院急诊室对危重患者的处理以及易腐货物存储库存系统，客户可能变得不耐烦并离开（即，当等待时间无法忍受时，拒绝或食言）系统而得不到服务例如，对于不能立即得到服务器服务的呼入客户，他/她被告知他/她需要等待多长时间。的*电话：+20 483674082。电子邮件地址：sherifamar2000@yahoo.com。同行评审由埃及数学学会负责客户可能挂断（犹豫）或等待（无犹豫和等待）。这是当排队长度或等待时间过长时客户的一种犹豫行为。此外，等待的客户可能会挂断（反悔），如果他/她变得不耐烦。想买火车票（或饭票）的人可能会决定不进入系统（犹豫），如果等待的队伍太长。作为一个在排队等候的顾客，他/她可能会离开队列（反悔），选择自动售货机（或速食）。具有畏缩不前、或食言、或两者兼有的模型受到了众多研究者的极大关注。有关文献，感兴趣的读者可参考[1，2]和其中的参考文献。另一方面，服务的异构性是许多实际的多服务器共享情况的共同特征。异构服务机制是非常宝贵的调度方法，它允许客户获得不同的服务质量。异构服务显然是几乎所有制造系统运行的主要特征。质量和服务绩效的作用是客户感知的关键方面，公司必须特别关注它们1110- 256 X？ 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.05.002制作和主办：Elsevier关键词M/M/2队列;异构服务器;阻塞;放弃;稳态概率具有不耐烦行为的两异构服务器排队的瞬态分析91-12DT122DT212DT2在设计和实施其业务时。由于这个原因，具有异构服务器的队列在文献[3]中受到了相当大的关注。在文献[4]中，作者指出，对于具有两个以上异构服务器的排队系统，解析结果是难以处理的。因此，许多研究者开始研究具有两个异构服务器的集群系统。在文献[5]中，作者研究了一个具有两个异构服务器的带有阻塞的M/M/2排队系统。在文献[6]中，作者讨论了在选择服务员时考虑不同概率的具有止步、非均匀性的双通道排队M/M/2。在文献[7]中，作者提出了非截断M/M/2排队的一个瞬时解，并对较长的排队系统提出了一个附加服务台。在文献[8]中，作者用矩阵几何解法分析了具有两个异构服务台和多重休假的M/M/2排队系统。在文献[3]中，作者通过定义一个合适的概率母函数，导出了两个服务台的随机系统中一个服务台比另一个服务台快的概率的瞬态解。在文献[9]中，作者给出了服务站处具有突变的M/M/2排队的瞬态解作者在[10]中进一步考虑了[8]中的模型。得到了速率矩阵的显式表达式，并给出了队长和等待时间的条件随机分解结果。在文献[11]中，作者研究了具有Bernoulli时间表和单重休假策略的M/M/2排队，其中两个服务台为顾客提供异时指数服务。他们获得了服务器各种状态下系统规模的稳态概率母函数。在[12]中，作者介绍了(a) 客户到达系统一个接一个根据泊松过程与率k。(b) 这两台服务器以先到先服务（FCFS）为基础向客户提供异构指数服务，第j台服务器的服务速率为lj，j=1，2。(c) 一个顾客在到达时发现系统中至少有两个顾客，要么以概率p决定进入队列，要么以概率1p拒绝。设kp= kp。(d) 在加入队列之后，每个客户将等待一定长度的时间T以开始服务。如果到那时还没有开始，他会不耐烦，没有得到服务就离开队列。假设该时间T按照平均值为1/a的指数分布。由于没有服务的不耐烦的顾客的到达和离开是独立的，当有n个客户时，违约率为（n-2）a。(e) 设{X（t），t2R+}为时间t时系统中的客户数n = 2、3、4、. 表示存在n个在时间t时系统中的客户。(f) 设P0，0（t）=P（X（t）=0）是系统在时间t为空的概率，P1，0（t）=P（X（t）=1）是系统中有一个客户并且他由服务器1服务的概率，P0 ，1（t）=P（X（t）= 1）是系统中有一个客户并且他由服务器2服务的概率(g) 如果客户到达一个空的系统，它总是加入服务器1。根据上述假设，提出了一种带阻尼的M/M/2型双自由度混沌系统在伯努利时间表下的均匀服务器和单个dP0;0 t阿提斯特·阿提斯特山口阿提斯特·阿提斯特山口《古兰经》2：1休假政策他们提出了模型B的一个推广在[11]中，得到了稳态dP1; 0t/h-1k/h特什特什托克山口2019 - 02-22 00：01：02条件，系统大小的平稳分布，以及平均系统大小。在[13]中，作者讨论了一个dP0;1 tðtÞþlPðtÞ;ð2:3Þ下具有两个异构服务器的M/M/2调度系统一个变量休假政策，其中两个服务器可以采取-dP 2 π-π kþlÞPðtÞ þkðPðtÞþP你好，当系统为空时，最多可获得J个假期。在[14]中，作者展示了一个具有异构服务器的M/M/2共享模型，其中一个服务器保持空闲，但和Because I'mabad guy，I'ma bad guy.另一个在没有等待的顾客的情况下去度假dPntl我的天这两个异构服务器被广泛研究为dtp上面提到的，但是，在文献中没有工作n pn-1具有不同服务台的M/M/2排队模型.在此基础上，我们研究了两个服务员在犹豫和反悔情况下的概率的瞬态解。本文的其余部分组织如下。第二节给出了一个模型描述，并得到了系统中数在第三节中，我们得到了稳态概率的解第4节，我们þ ðn-1ÞaÞPnþ1ðtÞ;nP3 2： 5mm其中l=l1+l2我们假设系统中没有客户，t= 0，所以P0，0（0）= 1。我们定义概率生成函数给出了系统的一些性能指标。Pz;tRtX1PðtÞznþ1ð2:6Þ2. 模型描述和主要结果0哪里n¼0n13本文考虑了一类具有不耐烦顾客的M/M/2排队系统，其中两个服务员具有不同的费率. 系统模型的假设如下：R0tP0; 0tP0; 1tP1; 0tP2t初始条件P（z，0）=1DT0;01;00;11;00;00;1p0;11;092S.I. AmmarB@nn- 我...IJ-@t@zpω不一Eqs系统（2.1）@Pz;t-a1-z@Pz;tl½l-az-1-1kz-1]×½Pz;t-R0t]kpz-1P2t其中我们使用了 I-k（ k）=Ik（ k）。在 （ 2.9 ） 式 中 使用（2.11）式大大简化了工作，并得到Pn（t）的优美表达式。这产生，对于n=1，2，. .ZtPn2bn-1exp-kpl-at-u0×½kfIrt-ur t-Irt12： 70pn-1n1式（2.7）的解很容易得到，Pz;texpf-1/2l-az-1-1kpz-1]tgZtþ½kpz-1P2ufl-az-1-10-u gP2u]du22：12现在，概率P0，0（t），P0，1（t），P1，0（t）和P2（t）仍有待发现。（2.1）等式（2.1）-以矩阵形式压制，kpdPtlPte布雷尔·普特雷2012年2月13日kp众所周知，如果r<$2pkpklll-alll，且b<$pkpl=ll-a ll l l，然后DT哪里22112 20-kl11l21经验;kpzl-a=0¼X1bzPtP00t;P01t;P10ttt;Ak-kl 00 0- 100克，2克，n¼-1其中，In（n）是第一类n阶修正贝塞尔函数。将其代入Eq。（2.8），将P（z，t）展开为z中的一个级数，并比较z n在两侧的系数，我们得到，对于n= 1，2，3，. . 、e1=（0，1，0）T，且bf e2=（0，0，1）T。在续集中，设Pωns表示的拉普拉斯变换，Pn（t）。现在，通过Laplace变换，（2.13）可以这样得到：P =0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000þðl-aÞ]tgbIðrtÞPωs½sI-A]-1lPωse1lPωse2P02：14n=2B-N-1p n不exp-kpl-at-u02212与P <0.01/P>×½kpfIn-1rt-u-bInrt-ugP2udu因此，只有P2是可以找到的。我们注意到，如果e=（1，1，1），-bn-1exp-kpl-at-uω不ωω0×½kpfIn-1rt-uIn1rt-ug-bkl-aIrt-uRu]du2：9R0se PsP2s：利用上式（2.10）并加以简化，我们得到，q=s+kp+（l-a），p n0并且对于n=0，Pω2π1seTsI A-1P 0. p22-2bR0t expf-½kpl-atgbI0tZtþexp-kpl-at-u0斯诺克让q-q-r2seT[第1卷第1页]2012年2月15日×½kpfI1rt-u-bI0rt-ugP2uduZt- R0uexp-kpl-at-u0sI-A3×3×½2kIrt-u-bk你是我的朋友我们可以使用通常的方法来找到（sI-A）-1，并由下式给出：p1p02019 - 02-1010Bskl1s kl2l1skl2l2skl11C由于P（z，t）不包含z的负幂项，jDsj@kskl2skskl2kl20 0在公式2.9的右边，用n代替n，必须为零。因此，在本发明中，2012年2月16日其中，e_D（s）_D=s3+（3k+l）s2+（3k2+k（l+l） +ll）zZCA具有不耐烦行为的两异构服务器排队的瞬态分析93nZN1公司简介第2节;第3节1/4 11节：s+Ztk2（k+l2）0 exp-kpl-at-ukpfIn1rt-u2 1 2In-11/4expf-1/2kpl-a]tgbIntjDðsÞj ¼0ð2:17Þ设sk，k=1，2，3是（2.17）式的特征根。然后，不b-exp0s1kl2;-2klp4kll22bn-1矩阵A的特征根由下式给出：-bI nrt-ugP2u]du22：1194S.I. Ammar2p-4kl蒸馏水p4kll21.st2Z- ð Þ1ΣΣðÞ ¼ðÞ þðÞ1 11211ω114kl 布里尔1l1-2l2 -11s2t2111l1-2l211s3t2114kl1 第1章bω0tdt。a13吨/升e1 -p2212221132333Ze3！XX22112110211我们观察到aωk j<$s <$s是s中的有理代数函数。经过相当大的简化，（2.20）式简化为：（sI-A）的第（i，j）个元素的余因子是多项式，“的。Σ1个= 2个p产品编号-122ω22度-αi-jα。由于A的特征根都是Pωs.1-bωs1-l-aq-q-r1 -b2双排2qpq2-r2122朝鲜人民党1个= 2个L-a实的和不同的，aωij的逆变换ai j（t）可以是ob-i j（t）。.p！“的。Σp产品编号-1通过部分分数分解得到，并在下面给出1/42q-q-r.1-bωs1-l-aq-q-r1-b2双排l1 p4kl1l21111-p4kl1l2s3tr r1朝鲜人民党L-aa11吨/小时2p4kll2eL-2p4kll2e;在反演时，我们得到P（t）的显式表达式为：Ka12吨/年的石油价格上涨，-e;11X1Xmm<$0k<$0.我很抱歉。rl-m.KKP1克朗l2l1-l22211s1tl2t一个13吨的水，— p4kll2×b2u-v½exp-kpl-aufImru.lp4kll2l-p4kl l2l！Zu0ks t s t-av fImrv-Im2rvgdv]du2：24其中bωk是b（t）与自身的k重卷积。我们注意到a21吨/小时 -e3美元;2 2美元p411s2tp4kl1l2l111s3t利用式（2.21）a22t2p4kll2 e-2p4kll2 e;ZtP00吨/小时11吨/小时2a12b1a13b 2b1 a 2b 1b2b 3 b 4 b5b 6c 4b6 b 7 c 8b 9 c 10 d 10kl2s t2kl2Zt22114kl2l101×p --一种11s tp1不P01 ta31tl2a32ul1a33uP2t-udu;2：27l1-2l2- 4kl1l2a33吨/吨;l1-2l24kl1l20因此，（2.12）、（2.24）、（2.25）、（2.26）和（2.27）式完全确定了所有系统规模的概率。并且a31（t）=a32（t）=0。现在使用公式2.16，我们得到X3备注。当c=0时，我们的结果与Kumar和Madheswari的结果一致。l1= l2，b = 1，a = 0。seTsI-A-1P0s和第1页aωj1s2：183. 稳态概率3 3seT½sI-A]-1½le1le2] ¼s½laωslaω s]2：19在本节中，我们将研究稳定的行为212j2第1页1j3第1页具有异构服务器的M/M/2排队系统的状态概率、止步概率和中途退出概率。值得一提将公式2.18和公式2.19代入公式2.15，我们得到：系统对于a> 0总是稳定的。Pω2ssk1bωs— 1q-pq2-r2bωs2：20定理1. 得到了具有异质服务率、止步和中途退出的M/M/2排队系统的稳态分布p22哪里如下所示(i) 对于kl，则bωs aωs aωs;bωssl. aωsaωsl. aωsaωsaωs：P2¼1q22kp-la1s2tst3s2t联系我们-1L-a2×;-我是2002年 出生的-b1u-vexp-kplP10 21岁以下儿童你好，1992年2月22日ðuÞþl1a23ðu ÞÞP2 ðt-uÞdu;ð2:26Þωk具有不耐烦行为的两异构服务器排队的瞬态分析952¼ ðÞ122212121;0dDd d22222Σ0; 12kp3：10使用等式（2.16）在（2.14）中，我们有1电话：+86-21-2222222.巴本R1/2kpl-aqkpl-a2-r2]nP2;n1;2;3;.. .3：2分Pω0;0sjDs j½skl1 skl2P1l12l13：30ll0; 0k2kll2kl1PωsksklklsksklPωs2017年12月22日星期二P1; 0¼kklP23：42和1 21Pω0;1μs2Σðl1ðsþkÞðsþkþl1Þ -kl1ÞPω2ðsÞΣð2:23Þ第一卷第三章第五节克鲁勒河dDd d296S.I. Ammar2- ð Þ12ð Þ¼1l2n=22XPPNP2NPX2lf 4l-bracket斯诺克山口别-别 -l-alimsPωðsÞ¼limq2- r2]n sPω s; nZ0(ii) 对于k=l，则1利用式（2.12）、（2.19）和（2.20），上述关系式可以写成P2¼拉克-拉克拉qkl-a2-r23：60不EN211/2l2a22t-ul1a23t-u2电话：+86-21-2222222p.巴本Rp1/2kpl-aqkpl-a2-r2]nP2;0[2019- 03-23]第2页第2页第2页第1、2、3、...2013年3月7日21号线不nexp-kpl-at-u三升一升二P/P2013年3月8日n100; 0Plll22l2公司简介22013年3月9日×½kpfIn-1rt-ut-In1rt-ugP2u]du2014 -04- 191; 0和ll2其中P2（t）在式（2.24）中给出。如果knl，则系统中的客户的平均数量在L1P/P222013年3月10日稳态计算为0; 1lqEðNÞ¼q22名P-2证据 对于knl，由公式2.20，我们有f2l-birkpl-a-kll1l2l2kpPω2ssk1bω s— 1q-pq2-r2bωsP2并且对于k=1，2014 -04- 24将上述等式两边乘以s，限制为sf0，我们得到2lf4l-kpl-a-qkpl-a2-r2 gEð NÞ¼q22名P-2limsPω2ss！02kp-la1qkl-a2-r2f2l-birkpl-a-lll1l2l22kp— r2β g结果（3.1）由陶伯定理直接由（3.11）对式（2.12）进行拉普拉斯变换，我们有2014年4月3日其中P2在式3.1中对k n 1给出，在式3.6中对k = 1给出。到达客户需要加入的概率Pωn2 联系我们.巴本R½q pq2-r2]nPωs;n<$1;2;3;. . .2013年3月11日在时间t的队列由下式给出PNP2X1P如前所述，将公式3.12两边都乘以s，取limit为sf0，我们得到：n¼0X1Zt. 巴本s！0n=2s！0Rp2粤ICP备16032888号-1 n1 bn-1exp-kpl-at-u1/4; 2; 3;.2013年3月12日再次应用陶伯定理，得到式（3.2）类似地，结果（3.3）当k=1时，可直接得到式（3.6）2014年4月4日类似地，到达的顾客加入队列的稳态概率为1n= 2n¼02lP2在公式3.1 - 3.5中代入k=lH^^^kpl-a -kp-r22014年4月5日4. 业绩计量设N（t）为时间t时系统中的客户数。令随机变量M（t）表示在时间t时繁忙服务器的数量。系统有n个繁忙服务器的概率如下：在时间t时系统中的客户的平均数量是gi-8>PNt1P1;0ðtÞþP 0;1 第1页甚至比ENt P1; 0t P0;1t1n¼0你好，我是说，1Zppp22½q×½kpfIn-1rt-ut-In1rt-ugP2u]du：2具有不耐烦行为的两异构服务器排队的瞬态分析97：XPMtn>PNt>11n¼0Pn2;n22014年4月6日98S.I. Ammar：XEMPðtÞ þPðtÞ þ2PðtÞðð Þ¼2000万美元2¼并得到相应的稳态概率为克勒阿斯[2] C.- H.吴，J. - C. Ke，具有不可靠服务器的多服务器系统的计算算法和参数优化8吨1 .一 、1例ð22kl-a-rp和 不耐烦 顾客， 杂志 的 计算和应用数学235（2010）547公司简介kpl-a-p2lll llllllll2014年4月7日[3] B.K.库马尔，S.P.马代斯瓦里K.S.Venkatakrishnan，一类异质M/M/2排队系统的瞬态解易受灾难影响的服务器、信息和管理类似地，上述概率可以直接获得，k= l，将公式4.7中的k = l代入。此外，在时间t的繁忙服务器的平均数量由下式给出：11; 0 0; 1n2n¼0这可以简化为E M对于kn，相应的稳态结果给出为. 2½k2kl -ll 2kl]klkl2Sciences 18（2007）63-80.[4] M.F. 中性， Y. 高桥， 渐近 行为 的具 有 异 构 服 务 器 的 GI/PH/c 队 列 中 的 平 稳 分 布 ，Zeitschriftfur？wahrscheinlickeitsh57（1981）441[5] V.P. Singh ， Two-server Markovian queues with balling ：heterogeneous vs. homogeneous servers，Operations Research18（1969）145[6] 作 案 手 法 About-El-Ata ， On Poisson queues with ballkingandheterogeneous servers ， Delta Journal of Sciences 2（1983）292- 303。[7] R.O. Al-Seedy，非截断M/M/2排队的一个瞬态解电子邮件2 1 2 2k2klP22014年4月9日（克里希那摩提）纪律），应用数学 和计算3（2004）763[8] B.K. Kumar，S. P. Madheswari，一个具有异构服务器和多个假期的M/M/2调度系统，并且对于k=1，.2.5升[l][l] [l][l]数学和计算机建模41（2005）1415-1429。[9] B.K. Kumar，S.P. Madheswari，M/M/电子邮件2 1 2 2lkl2P22014：10分2 有灾变的队列，Statistica 62（2002）129[10] D. Yue ， J. Yu ， W. Yue ， A Markovian queue withtwoheterogeneous servers and multiple vacations ， JournalofIndustrial and Management Optimization 5 （ 2009 ） 453-465.[11] K.C.马丹湾Abu-Dayyeh，F. Taiyyan，一个两服务器队列确认作者要感谢主编，教授，Abdel-shafiObada，副编辑和审稿人的建设性和宝贵的建议和意见，大大改善了本文的介绍。引用[1] R.O. Al-Seedy，A.A. El-Sherbiny，S.A. El-Shehawy，S.I.Ammar ，M/M/c 队列的瞬时解 ，计算机数学与应用57（2009）1280Bernoulli时间表和一个单一的休假政策，应用数学和计算145（2003）59-71。[12] D.岳，W. Yue，一个具有阻塞和Bernoulli休假时间表的异构两服务器网络系统，在：第四届国际会议论文集理论和网络应用，文章编号20，2009。[13] D.岳，W. Yue，具有可变休假策略的两个服务器队列的分析，第九届运筹学国际研讨会及其应用（ISORA'10）（2010）483-491。[14] A.克里希纳穆尔西角Sreenivasan，一个M/M/2的异构服务器，包括一个工作休假的调度系统，国际随机分析杂志2012（2012）1-16。
我的内容管理
展开
