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理论计算机科学电子笔记127(2005)107-120www.elsevier.com/locate/entcsPetri网弗拉迪米罗·萨索内苏塞克斯大学Pawel-Sobocin'skiUniversit`adiPisa摘要我们介绍了一种方法,查看Petri网作为开放系统。 这是通过考虑一个bicategory 一类p/t网和嵌入上的余跨距的问题。我们推导出一个标记的过渡系统(LTS)的语义,这样的网络使用GIPOs和slip产生的同余。从技术上讲,我们的结果是相似的米尔纳最近的工作应用理论的双图Petri网。 两个主要的区别是,我们处理p/t网,而不是c/e网,我们直接处理一类网,而不是把它们编码成双图。保留字: Petri网,上下文,同余1介绍Petri网理论是一种有吸引力的图形形式主义,它捕捉了与并发相关的几个有趣的问题最近,进程演算领域一直关注于探索用于描述并发和移动系统的语法形式主义本文试图把Petri网作为一种代数,加上一个标记的过渡系统的语义和相关的互模拟同余的两个角度。* 本 书 部 分 由 E.U.F.E.T-G.C.MY.T.H.S : MODELSANDTYPESFORORSCURITYINMOBILE DISTRIBUTEDSYSTEMS ',IST-2001 -32617和' A GILLE:A RC HTECTUR E SFORORMOBILITY ',IST-2001 -32747;和ECRTN 2-2001-00346 S EGRA V提供。1571-0661 © 2005 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi:10.1016/j.entcs.2005.02.008108V. Sassone,P. Sobocinn'sk i/ElectronicNotesinTheoreticalComputerScience127(2005)107我们引入的概念,Petri上下文,这是一个标记的Petri网丰富的内部和外部接口,对我们来说,一个接口只是一个任意子集的地方的网。具有基数m的内接口和基数n的外接口的网是双范畴的箭头两个这样的网的组成仅仅是将网粘合在一起 在它们的共同界面上。网的通常的事实上,每个反应规则都模拟了一个净转移的触发,在这个意义上,规则的左手边是输入位置被标记而输出位置未被标记的转移,而右手边是输入位置未被标记而输出位置被标记的转移。我们关注项(基网)、上下文(Petri上下文)和归约语义的事实澄清了我们先前关于将Petri网视为一种过程演算的评论。这种方法的优点是,我们现在能够使用来自进程演算领域的直觉和技术来推理网络的行为。事实上,而不是研究一个(地面)网我们相信,这是一个有效的和有趣的方式对待网络作为开放系统。在本文中,我们开始研究这样的网,并刻画了正则强双相似性,它是通过使用Leifer和Milner [6]介绍并由作者[9]扩展的技术合成一个标号转移系统而Leifer和Milner在[6]中引入了反应系统的概念,作为过程计算领域中发生的几种情况的概括。事实上,自从Berry和Boudol关于化学抽象机的论文发表以来一个带标签的转移系统通常随后给出;这些是至关重要的,因为互模拟的概念和相关的共归纳推理是关于上下文等价的推理的有力工具,只要双相似性对于这样的等价是合理的莱弗和米尔纳特别感兴趣的是使用他们的理论的例子中的上下文不是长期代数,而是一个图形的性质。这项工作在Leifer的论文[ 5 ]中得到了一定程度的发展 Bigraphs是 一种强大的形式主义,旨在作为一种统一的语言,为康,V. Sassone,P. Sobocin'ski/ElectronicNotesinTheoreticalComputerScience127(2005)107109当前的形式主义不幸的是,相对推出(RPO)典型地不存在于这种情况下,基本上是因为上下文的代数结构诱导非平凡的上下文自同构。Leifer和Milner解决了这个问题,他们给对象或相关范畴的箭头添加了内涵信息,消除了自同构的可能性。作为一个侧射箭头组成成为一个部分的运作,从而产生米尔纳本文作者在[9]中提出了另一种方法。他们没有忘记自同构,而是将它们作为范畴的第一个类成员--这意味着在2-范畴或双范畴中工作,而不是在普通范畴中工作。由此得到的相对推出、群面相对推出或GRPO的推广满足与RPO相似的性质。此外,Milner和Leifer提出的解决方案可以在这种更抽象的方法中自然地重新设计,如[8]所示最近,作者证明了GRPO存在于第二作者和S.缺乏[4]。本文的技术细节在很大程度上可以被看作是该一般定理在Petri网和嵌入MNet的粘附范畴中的应用(参见。第2条)。最近,Milner [7]将双图理论应用于c/e Petri网,将网编码为双图并研究其行为理论。不幸的是,为了使这项工作,米尔纳不得不介绍了进一步的复杂化理论的bigraphs -即一个类型系统。这是必要的,以限制允许的上下文-因为有可能构建不在编码图像中的双图。我们避免这样的编码问题,直接与一类Petri网。我们的工作与Baldan、Corradini、Ehrig和Heckel [1]关于开放Petri网的工作有关。虽然我们把它作为未来的工作,以确定确切的首先,在他们的术语中,开放的地方是我们外部界面的地方。Baldan等人区分了输入位置和输出位置,其中输入位置能够从环境接收令牌,输出位置能够向环境贡献令牌。我们接口中的所有位置都是输入和输出,因为它们既可以从环境接收令牌,也可以向环境贡献令牌在第2节中,我们介绍了网络的类别,这将是相关的整个文件。在第3节中,我们通过为这些网络提供内部和外部接口,将它们转变为开放系统。我们提供了110V. Sassone,P. Sobocinn'sk i/ElectronicNotesinTheoreticalComputerScience127(2005)107,z,J,·,`,\J,J,·,`,\JJ,J,J·,`2,\、,J,,`,\、、,Jz,,`,\,J,,`,\,sJ、、,J,,`,\Fig. 1. 嵌入的例子模型是第4节,并继续使用GRPO导出标记的转换语义在第5节中,我们使用一个更简单的LTS来证明所得到的互模拟同余。我们在第6节中总结并提出了未来工作的方向。为了增加这篇介绍性论述的可读性,我们省略了大部分证明。2Petri网与嵌入一个标记网p是一个带有标记的位置转移网;更具体地说,它是一个四元组P,T,K,s,t,k,其中P,T和K分别是位置、转换和标记的有限集合,s,t:T→S分别是转换的源和目标,k:K→P是转换的位置代币在地方上。为了本文的目的,我们排除了具有自环的网,例如,我们假设转换具有不相交的前置集和后置集。我们将定义Petri网态射的结构概念,与通常的行为概念相反;这是因为我们将使用态射来谈论网的拓扑而不是其行为。一个netmorphismf:p→PJ由映射f0:P→PJ,f1:T→TJ和f2:K→KJ使得sjf1=fs和tjf1=ft和kjf2=f0k。因为我们有兴趣0 0仅在嵌入中,我们将假设f0,f1和f2是单射的。设MNet是标记网和嵌入的范畴。例2.1考虑图1所示的两个带标记的网络。 有一个明显的嵌入左网到右网,如箭头所示。命题2.2 MNet是粘性的。证据范畴MNet实际上是一个前层topos的monos的子范畴。 我们把细节留给读者。QSV. Sassone,P. Sobocin'ski/ElectronicNotesinTheoreticalComputerScience127(2005)107111z,sJ、、,z1J,,·`,\,2,J,,`,\1,J,,`,\1,J,,`,\J、、J、、、、,J,·,`,\,s、、、、,J,·,`,\,J,,`,\1,J,,`,\,s1,Jz,·,`,\2,z,sJ,J,,`,\1图二. 网p1,p2和它们的组成p2p1:1 →1。3带接口的我们现在准备赋予我们的网络接口,使我们能够组成它们。定义3.1(有接口的网)给定有限序数m和n,一个有内接口m和外接口n的(标记)网,记为p:m→n,是一个标记网p= P,T,K,s,t,k加上内射函数i:m→Po:n→P。用图形表示,我们用1到m(内面)和1到n(外面)标记一个位置子集来表示这样一个网。我们将遵循这样的惯例:在一个位置下画出对应于内部接口的数字,在一个位置上画出对应于外部接口的数字。我们有时会把一个有接口的网p:m→n称为Petri上下文。当m= 0时,我们将把这样的网称为Petri项。例3.1考虑图2所示的三个网络。 最左边的网具有内界面1和外界面2,第二个网具有内界面2和外界面1,而最右边的网具有内界面1和外界面1。定义3.2(带接口的双类别网)带接口INet的双类别网具有:• 对象:有限序数0,1,... ;• 箭头:从m到n的箭头是具有内接口m和外接口n的标记网p:m→n;、、112V. Sassone,P. Sobocinn'sk i/ElectronicNotesinTheoreticalComputerScience127(2005)107• 2-胞腔:保持内外界面的标记网同构-换句V. Sassone,P. Sobocin'ski/ElectronicNotesinTheoreticalComputerScience127(2005)1071131,J,,`,\1...n,J,,`,\n图三. 标识ID:n→n。α:p→pJ,它在位置、变迁和标记上满射,而且α i=iJ(内部接口被保留)和αo=oJ(外部接口被保留)。我们在图3中展示了INet的标识箭头。INet中的组合可以直观地描述为沿着其公共接口粘合标记网络。更正式地说,给定网p1:k→l和p2:l→m,复合网p2p1:k→m通过在MNet中对o1:l→p1和ι2:l→p2进行推出而得到。因此,结果是通过将两个网并排放置,将具有共享接口的位置等同,并将这些等同位置上的令牌例3.2图2中最右边的网络是其他两个网络的组合。我们可以说,当一个有标记的网不包含变迁和记号时,它是离散的--换句话说,它是一组位置。双范畴INet实际上(双等价于)双范畴Cosspan(INet)的全子范畴,离散网作为对象。 这个事实对我们很有用,因为我们能够应用[10]的中心结果,该结果提供了在某些cospan双类别中GRPO相对于粘合剂类别的构造。引理3.3 INet有GRPO。证据因为INet可以看作是粘附范畴上的cospan双范畴的一个全子范畴(见命题2.2),所以[10]的主要定理适用于更大的cospan双范畴。因此,只需要验证,从INet中的图表开始,在更大的双类别Cosspan(INet)中构建GRPO会导致INet中的图表。我们省去了这种例行的计算。Q4代币游戏作为反应在本节中,我们通过反应规则来形式化网络的令牌游戏语义。这使我们能够使用反应系统的框架(cf. [6,8,11]),并导出一个规范的标记转移系统,其上的双相似性是一个同余。定义4.1(P)我们从INet得到一个反应系统P,114V. Sassone,P. Sobocinn'sk i/ElectronicNotesinTheoreticalComputerScience127(2005)1071、2• n1,J·,J.K.,`1,\2,J·,J.K.,'2,\,. . .、、M·,J,k,`m,\1,J,,`,\2,J,,`,\,, . . .、、M,J,,`,\K2 、、、KMK2 、、、KMK1z,sk1z,sl1l2,lnl1l2,lnm+,1m+2,m,+nm+1m + 2,m,+n,J,,`,\sJ,,n,`,\,o...,,Jz,,`,\,J·,l,`,\,s,J·,l,`,\,o...,,Jz,l,`,\见图4。 反应规则<$l:0 →m + n,r:0 →m + n <$∈ R.M3f,d,,α,,m1,、、、zm2、p ,0l图五. INet中的GIPO产生LTS(P)中的标签。反应集R包括,对于每个m,n∈ N和k1,.,k m,l1,.,l n∈ N +如图4所示的反应规则。我们还需要为在前置集和后置集都有位置的转换提供反应规则;我们把细节留给读者。令D表示通过闭合定义4.1中详细描述的反应规则在任意Petri上下文的组合下获得的反应关系。直觉上,这个关系对应于普通的Petri网语义,因为我们有pDpJipJ可以通过触发一些转移从p使用GIPOs,我们可以生成一个标记迁移系统LTS(P)来推理带有接口的标记网。状态是Petri项模同构。标签是允许反应发生的最小上下文,在这个意义上,所得到的redex图是GIPO。我们引导读者到[9,8,11]了解这种构造的背景和进一步的细节。定义4.2(LTS(P))标号跃迁系统LTS(P)有:• 状态:Petri项模同构;• transitions:pfdr如果存在一个反应规则rl,r∈ R,一个Petri上下文d和一个网同构α:fp→dl,那么图5中的图是INet中的GIPO。例4.1我们在图6中举例说明了一个转换的例子。相应的GIPO如图7所示,图中的四个Petri网分别描绘了αredex-正方形各边上的箭头。V. Sassone,P. Sobocin'ski/ElectronicNotesinTheoreticalComputerScience127(2005)107115、3C31c,J,,J,,J,·,`,\cc,,J,·,`,\,J,,`,\1 2►1ccc c c2,.,J,,`,\,J,·,`,\z见图6。 典型的过渡。3c,J,z3,J,f=1ccc cc2d=132,J,,J,J,1 2c3,,,,1,,vz2f、c、dcccα,,2,p,01 2zccc c,cccl3J,P=,J,l=1c,J,ccc cc2z,J,1,J,2见图7。 GIPO对应于图6中的转换。作为Leifer和Milner的一般结果[9](它是原始结果[6]的推广)的结果,LTS(P)上的强双相似是一个同余。在本文中,我们只专注于强双相似性,我们离开弱双相似性的治疗作为未来的工作。弱双相似性有望成为一个更有趣的等价,因为它不区分仅基于内部行为的术语。然而,强双相似性已经对Petri项进行了几个有趣的识别,其中一些我们在图8中说明。5特征双相似性利用GIPOs导出的标号迁移系统LTS(P)是正则的,其上的双相似性是一个同余。然而,由于底层反应系统的性质,LTS(P)很容易被视为无限分支,并且最初可能看起来相当复杂。在这里,我们将互模拟、12116V. Sassone,P. Sobocinn'sk i/ElectronicNotesinTheoreticalComputerScience127(2005)107,J,,`,\,J,,`,\c、1,J,,`,\1,J,,`,\,J,,`,\,1 1,J,,`,\,,J,`,\,J,,`,\,J,,`,\,J,J,1cc ccc,,zz2,J,,`,\,J,,`,\,J,,`,\J,,`,\,,、、、Cc,J,,`,\,J,z,`zc,\,J,,`,\Ccc,J,,`,,\ss, ,J,,`,\1cc ccc,,zz21sss2J,,`,\,,、、、Cc,J,,`,\,J,,`,\,J,,`,\,J,,`,\,J,z,`zc,\,J,,`,\Ccc1,J,,`,,\2,J,,`,\,Cc、,zz,J,,`,\1、2、、、、cc,,J,,`,\,J,,`,\,J,,`,\,J,z,`zc,\、、、zz,J,,`,\见图8。 双相似Petri项对。我们将使用更简单的设置来定义同余;事实上,我们将在Petri项上定义另一个简单的标记转移系统,并证明由此产生的双相似性与LTS(P)上的双相似性一致。定义5.1我们将T±定义如下:• 状态是Petri项模同构;• 有三种类型的过渡:· p+i<$pJ,如果pJ是p在其第i个外部位置加上一个记号所得到的网,J,,`,\,J,,`,\、、、、、V. Sassone,P. Sobocin'ski/ElectronicNotesinTheoreticalComputerScience127(2005)107117· p−i<$pJ,如果p在其第i个外部节点有一个令牌,并且pJ是p从其第i个外部位置移除一个令牌后的净结果;· p τpJ,如果pJ通过一个过渡的触发而 由 p 产 生 (没有118V. Sassone,P. Sobocinn'sk i/ElectronicNotesinTheoreticalComputerScience127(2005)107n+1个,J,·,`,\,on+1个,J,,`,,\100万人1m ,n,J,,`,\ .... . . 你好 。 .,J,J,.S. . ,J,,`,\,J,,`,\ .... . . 你 好 。 . ,J,,`,\J,,`,\,...........1m n1m n见图9。 inm,n:n→n+1 andoutm,n:n→n+1n+1个,J,,`,\,on+1个,J,·,`,\、1mn1m ,n,J,,`,\ ...,J,J,.S. .,J,,`,\,J,,`,\ ...,J,,`,\J,,`,\,1m n1m n图10个。inm,n:n→n+1和outm,n:n→n+1。与环境的相互作用)。令±表示在这样的lts上的(强)双相似性。下面的引理给出了π±的一些性质。引理5.2(i) 如果p≠±q,则p和q具有相等的接口,在每个外部位置上具有相同数量的令牌;(ii) 如果p∈±q且p包含消耗k i1,. ...,第i个外部位置,则q包含也消耗k i1,.,k ih令牌来自q的第i 1个,. 在外面的地方。回到LTS(P),很容易看到通过GI-PO生成的标签最多包含一个Petri网转移,因为每个单独的反应对应于令牌游戏中单个转移的触发命题5.1如果pf<$pJ,则f至多包含一个跃迁。很明显,如果pf∈pJ且f是离散的,则跃迁对应于跃迁的内部激发,而没有与环境的任何相互作用。下面的引理将这两个跃迁系统中的内部跃迁给我5分。3p−τ→pJ在T±i <$pi dn<$pJinLTS(P)中。证据 省略QV. Sassone,P. Sobocin'ski/ElectronicNotesinTheoreticalComputerScience127(2005)107119K1JL1K1JL1LJ王空王空LJ1m−1 mn−1,J,,`,\ .... . . 你好 。 . ,J,,`,\ ,J,,`,\ ,J,,`,\...,J,,`,\1m−1mm+1n见图11。 \m,n:n→n−1。也有可能f不包含转换,而是将token添加到p的一个或多个外部位置,这允许p内的转换到fire。GRPO的属性保证了添加的令牌正是过渡到FIRE所需的令牌,也就是说,没有添加不必要的令牌。下面的引理将这些跃迁与T±中的迹联系起来。引理5.4 假设p f∈pJ,f不包含跃迁,也不是离散的。则存在m > 0 ,1≤i1,.,i,m≤n且k1,.,k m> 0,的+i1+imτJp−→k1. −→km −→ p,其中−→i表示i个跃迁的序列。现在我们将注意力转向f的唯一另一种可能的情况,通过在下面的引理中联系LTS(P)中包含Petri转移的标记转移和T±中的某些迹。引理5.5考虑如图5所示的图,其中f是一个Petri上下文,它包含一个具有m个输入位置,n个输出位置的转移t,其中ki个令牌在第i个输入位置被消费,li个令牌在第i个外部位置被产生,如图4所示。设i1,. ,i mJ是p的位置,其与输入位置标识,让kJ,. ,k,j,J表示从 这 些 消 耗 的 令 牌 的数量。1m因为有了转型的契机。同样地,令iJ,.,iJJ “P”的位置与“P”的位置相同。1Nt的输出位置,并且令lJ,. ,l,j,J是产 生 的 令 牌 的数量,1N启动过渡。然后,下面的事实成立,其中−→i表示i个转移的序列,f表示f在发射后的剩余。(i) 如果pf∈pJJ是LTS(P)中的跃迁,则存在pJ使得pJJ=−i1−iJ+iJ1+iJfpJ和p−→J . . . −→m−→MJ. . . −→nn pJ是T±中的迹;−i1−iJ+iJ1+iJ(ii) 如果p−→J. . . −→m−→MJ. . . −→nn pJ是T±则pffpJ是a在LTS(P)中转换。证据 省略QLTS(P)中跃迁的两个特定标记将是有用的,在m、n和outm,n:n→n+ 1,如图9所示。m,n的跃迁导致JJ120V. Sassone,P. Sobocinn'sk i/ElectronicNotesinTheoreticalComputerScience127(2005)107,J,我i,n我我在网络的第m个外部位置引入令牌。类似地,从m,n向外的过渡导致从第m个外部位置拿走一个令牌。 在m,n的跃迁和在m,n中的跃迁与+m和因为它们在m,n和m,n外留下一个余数,如图所示在图10中。在m,n的情况下,余数可以被忽略,正如我们现在所证明的。在下文中,让\m,n为图11中所示的Petri上下文。我们使用\n作为\n,n的简写。引理5.6给定一个任意的具有外部接口n的Petri项p,我们有\n+1inm,n p<$p。推论5.7对于任意两个Petri项p和q,如果在m,n中p∈ m,nq,则pq.证据利用引理5.6的结论和m是一个同余的事实,我们有p<$\n+1inm,np<$\n+1inm,n q<$q。Qout的情况稍微有点棘手,因为引理5.6的类似物实际上是假的 一个简单的反例是Petri项p=1.一、 虽然p显然不能执行任何内部行为,我们知道1,1p中的12可以进行反应。幸运的是,推论5.7的类比成立。引理5.8对于任意两个Petri项p和q,如果out m,n p<$out m,n q则p<$q。证据 省略Q现在我们准备证明本节的主要结果,即两个标记跃迁系统的观测能力是一致的。定理5.9.证据(1)不合理的行为。首先,我们将证明T±的标签至少与通过GIPO生成的标签一样强大。这足以证明{(p,q)|p<$q}是T±互模拟。的确,假设p+−→p J. 那么p在i中,n在i,n使用引理5.5的第2部分。利用p<$q的事实,我们有qini,n<$qJJ和in pJqJJ;使用第1部分在引理5.5中,存在一个qJ,使得qJJ=ini,nqJ和+q−→ q J. 此外,委员会认为,我们有ini,n pJ<$ini,n qJ,使用推论5.7得到pJ<$qJ。的情况−p−→ pJ类似,引理5.8起着关键作用。首先,使用引理a5.3,ifp−τ→pJ,则npid∈pJ。ThenqidqJfor所以我的qJsuchth a tpJqJ。再次使用引理5.3yi eldsq−τ→qJ。V. Sassone,P. Sobocin'ski/ElectronicNotesinTheoreticalComputerScience127(2005)107121(2)不规则±规则。 我们将证明,A±,A ={(cp,cq)|p<$±q}是LTS(P)-互模拟。事实上,假设对于某个p <$±q,我们有cp f<$pJ。使用标准理论[9],我们 可 以 分 解 对 应 于 标 签 的 GIPO , 并 获 得 转 换 pfJpJJ 和 上 下 文dJ , 使 得dJpJJ=pJ。我们现在使用fJ是离散的,仅由令牌组成,或仅由一个过渡组成的事实。如果fJ是离散的,则使用引理5.3为了得到同样的qfJ<$qJJ,其中pJJ<$qJJ。 因为GIPO的组成,得到cqf<$dJqJJ,显然(pJ,dJqJJ)∈A。如果fJ不是离散的,但只包含标记,我们使用引理5.4得到一丝+i1+imtJJ+i1p−→k1 ... −→km−→p;产生相应的迹q−→k1+imτJJJJ JJ... −→km−→q与p±q. 使用引理5.2的第二部分,我们能够得出结论,q有一个过渡,这正好需要增加这意味着我们可以导出qfJ<$qJJ。我们现在能够使用GIPO像前一个案例中那样组成的事实最后,如果f包含单个变迁t,则使用引理5.5的第1部分,存在着我, 我和j,. ,j使得−i1−im+j1+jn1m1np−→k1 ... −→km−→l1 ... −→ln使得PJJ= FJPJJJ。然后我们有q也可以执行上述跟踪并到达qJ,使得pJJJ<$qJ。使用引理5.5的第2部分,qfJ<$fJqJ。利用GIPO组成的事实,我们有cqfdJfJqJ.Q6结论和今后的工作我们已经描述了一种使用Petri网来建模开放系统的方法。该方法是基于以前的理论工作,并继承了一个典型的标记转换系统和由此产生的强互模拟同余。我们已经用一个简单的过渡系统的特点的同余。我们的工作在技术上非常类似米尔纳的治疗Petri网内的双图。作为未来的工作,我们计划分析我们的方法与开放网的确切关系[1]。我们还计划研究弱双相似性,从操作的角度来看,这可能比强双相似性更有趣。确认作者感谢匿名裁判的几个有用的意见,使我们能够改进文章。±122V. Sassone,P. Sobocinn'sk i/ElectronicNotesinTheoreticalComputerScience127(2005)107引用[1] Baldan,P.,A. Corradini,H. Ehrig和R. Heckel,Compositional modeling of reactive systemsusing open nets,in:CONCUR502- 518[2] Berry,G.和G.Boudol,化学抽象机,理论计算机科学96(1992),pp. 217-248.[3] Jensen,O. H.和R. Milner,Bigraphs and mobile processes,Technical Report 570,ComputerLaboratory,University of Cambridge(2003)。[4] Lack,S.和P.Sobocin'ski,Adhesivecategories,in:FoundationSofSoftwareSienceandComputation Structures FoSSaCS273-288。[5] Leifer,J.,[6] Leifer , J. 和 R. Milner , Deriving bisimulation congruences for reactive systems , in :International Conference on Concurrency Theory243-258[7] 米尔纳河,Bigraphs for petri nets,in:Lectures on Concurrency and Petri Nets 2003,LectureNotes in Computer Science3098(2004),pp.686-701.[8] 是的,V.的ndP.Sobocin'ski, Deriving Bisimulation congruences: 2-categoriesvs.precategories , in : FoundationsofSoftwareScienceandComputationStructuresFoSSaCS' 0 3 , L N C S ( L e c t u r eN o t e si nC o m p u t e rS c i e n c e ) 2 6 2 0( 2 0 0 3 ) .[9] 很好,小维。 和P. Sobocin′ski,Derivingbisimulationgruenceusing2-categories,NordicJournal ofComputing10(2003),pp.163-183.[10] 很 好 , 小 维 。和 P.S obocin′ski , Congruencesfor corntextualgraphh-rewriting ,TechnicalReportRS-04-11,BRICS,University of Aarhus(2004).[11] Sobocin'ski,P. ,“Deriving p r o ces c o n g r u e n ce s f rom r e ac t o n rule es,“Ph. D.thehesisBRICS,奥胡斯大学(2004年)。
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