没有合适的资源?快使用搜索试试~ 我知道了~
可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记354(2020)17-28www.elsevier.com/locate/entcsMurphreeJ. Mart 'ın Castro-Manzano1,2UPAEP大学哲学系摘要Murphree的数值项逻辑是一种通过修改Sommers的项函子逻辑而能够用数值量化器表示和执行推理的逻辑。for it.保留字:语义树,术语逻辑,数值术语逻辑。1引言在其他地方,我们已经为Sommers和Englebretsen的项因子逻辑[19,8,21],中间项因子逻辑[ 23 ]和Englebretsen的模态项逻辑[ 7 ]开发了表格在这篇文章中,我们将继续探索项逻辑的领域,并为Murphree的数值项逻辑[ 13 ]提供舞台因此,为了更详细地阐述项函子逻辑及其表,我们请读者参考我们以前的工作[4]。同时,为了实现我们目前的目标,我们首先提供了一些初步的概念(三段论,项函子逻辑和项函子逻辑tableaux)的概述,然后我们解释了Murphree逻辑的基础1我们要感谢匿名评论者的准确更正和有用的评论。由UPAEP研究补助金提供的财政支持2电子邮件:josemartin.castro@ upaep.mxhttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2020.10.0031571-0661/© 2020作者。出版社:Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。18J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354(2020)172预赛2.1三段论三段论是一个术语逻辑,起源于亚里士多德一个直言命题是由两项组成的命题,一个量,一个质。一个命题的主语和谓语被称为项:项图式S表示命题的主语项,项图式P表示谓语。量可以是普遍的(全部)或特殊的(某些),质可以是肯定的(是)或否定的(不是)。这些直言命题有一个由标签(a(普遍否定,SaP),e(普遍否定,SeP),i(特殊否定,SiP),或o(特殊否定,SoP))表示的类型,它允许我们确定一种语气,也就是说,三个直言命题的序列以这样的方式排列,其中两个命题是前提,最后一个是结论。因此,一个直言三段论是一个有三个项的语气,其中一个项出现在两个前提中,但不出现在结论中。这个特定的项,通常用项模式M表示,作为其余项之间的链接,被称为中间项。根据这个中间项的位置,可以设置四个数字来编码有效的三段论语气(表1)。3第一个图形第二个数字第三图第四图AAAEAEIAIAEEEAEAEEAIIIAIAIIEIOEIOAOOOAOEIOEIO表1有效三段论语气2.2项函子逻辑项函子逻辑(TFL)[18,19,21,6,8,9]基本上是一个加-减代数,它使用项而不是一阶语言元素,如单个变量或量化器。[17、14、10、19、20、11])。根据这个代数,这四个直言命题可以用下面的语法表示[8]:a. SaP:= −S+Pb. SeP:=−S−Pc. SiP:= +S+P[3]为了简洁,但不失一般性,这里我们省略了需要存在意义的三段论J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354(2020)1719我我d. SoP:= +S-P给定这个表示,这个加减代数为三段论推理提供了一个简单的规则:从一组前提有效地得出结论,当且仅当i)前提的和在代数上等于结论,ii)具有特定量的结论的数量(即,零或一)与具有特定量的前提的数目相同[8,p.167]。因此,例如,如果我们考虑一个有效的三段论,说语气从第一个图形(即,我们可以看到应用这种方法如何产生正确的结论(表2)。TFL提案1.狗都是动物。−D + A2.德国牧羊犬都是狗。−G + D德国牧羊犬都是动物。−G+A表2一个有效的三段论:在前面的例子中,我们可以清楚地看到该方法是如何工作的:(一)如果我们添加起来的处所我们获得的代数表达(−D+A)+(−G+D)=−D+A−G+D=−G+A,所以前提的和在代数上等于结论,结论是−G+A,而不是+A−G,因为ii)具有特定量的结论的数目(在这种情况下为零)与具有特定量的前提的数目(在这种情况下为零)相同。2.3TFL表格如在[4]中,我们说表是由节点和顶点确定的无圈连通图[5,16]。最上面的节点称为根节点。底部的节点称为tips。从根向下的一系列顶点的任何路径都是分支。为了测试一个推论的有效性,我们构造了一个表,它以一个分支开始,在这个分支的节点上出现了前提和结论的拒绝:这是初始列表。然后,我们应用允许我们扩展初始列表的规则(图1)。−A ±B−A ±B+A ±B+Ai±B图1:TFL表格规则在图1中,从左到右,第一个规则是a(e)命题的规则我20J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354(2020)17第二条规则是i(o)命题的规则。 请注意,在应用一个规则,我们引入一个指数i∈ {1,2,3,. . }中。对于命题a和e,索引可以是任何数字;对于命题i和o,如果它们还没有索引,索引必须是一个新的数字。此外,根据TFL原则,我们假设以下拒绝规则:−(±A)= A,−(±A±B)=AB,以及−(−−A− −A)= +(−A)+(−A)。通常,当且仅当所有可应用的规则都已应用时,一个表才是完整的。一个分支是闭的,当且仅当它的两个节点上有±Ai和Ai形式的项;否则它是开的。一个封闭的分支是通过在它的末尾写一个“∞”来表示的;一个开放的分支是通过写∞来表示的。一个tableau是封闭的,当且仅当每个分支都是封闭的,否则它是开放的。因此,再像往常一样,A是项集合Γ的逻辑结果(即,Γ)。因此,接下来我们提供一些基本三段论的例子(图2)。−S1⊥−M+P−S+M► −S+P−(−S+P)+S −P+S1−P1+M1−M1⊥−M −P−S+M► −S −P−(−S−P)+S+P+S1+P1+P1⊥−M1⊥−M+P+S+M+S+P−(+S+P)−S −P+S1+M1−S1⊥−M −P+S+M+S −P−(+S-P)−S+P+S1+M1+P1−P1⊥−S1⊥−M1⊥+M1−P1⊥−M1⊥−S1⊥−P1+P1⊥图2:情绪-1、eae-1、aii-1和eio-1J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354(2020)17213Murphree在Szabolcsi的观点[ 22,p.3]中,一阶逻辑系统中的量化是“极限”的,因为它被限制为代表两个极端:要么是一切,要么是某物。[4]事实上,通常会找到这样的逻辑处理方法,即假设中间的或主观的量化器[22,p.26],例如“许多”,“大多数”或“少数”(参见。[15,23])必须被视为存在性量化器的简单情况,而数值量化器或客观量化器通常也有同样的命运。然而,这样的待遇是远远不够的。有几个理由支持这一说法,但 为了节省时间,考虑到自然语言中的推理包括比通常的“所有”或“一些”更多的量化器。例如,考虑到“大多数”和“一些”都是特殊的(即非普遍的)量化器,但它们并不表达相同的含义:前者意味着后者,但反过来是错误的;当用数字量化 器 进 行 推 理 时 也 会 发 生 同 样 的 情 况 。 在 这 种 情 况 下 , Murphree[13] 和Szabolcsi[22]发展了Sommers的项函子逻辑的数值扩展Murphree因此,NTL为数字量化的命题提供了以下语法:e. 除了nS之外的所有都是P:= −nS+Pf. 至多n个S是P:= −nS −Pg. 至少n个S是P:= +n个S+Ph. 至少n个S不是P:= +nS−P为了更好地解释这种表示,考虑下面的示例:1. 至少有15名美国人是共和党人:=+15A+R2. 除120名学生外,所有学生都能理解逻辑:=−120S+U3. 最多150,000欧洲人是男性:= −150,000E −A4. 至少有33位数学家:= +33M+M5. 至少有66名逻辑学家不是民主主义者:=+66L-D现在,在这一点上,重要的是要注意,当n= 0(n= 1)时,传统的普遍(特殊)直言命题包含在NTL中:6. 所有S都是P=除了0S都是P:=−0S+P7. NoS isP =至多0S areP:=−0S−P8. 一些S是P=至少1个S是P:= +1个S+P9. SomeS are notP =至少1个S不是P:=+1个S−P[4]这并不完全正确,因为,例如,我们有[12,24]提出的建议(然而,由于这些建议不是一阶逻辑的一部分,它们是由一阶语言开发的,并且是为一阶语言开发的,我们在本文中省略了对它们的处理),而且,公平地说,我们可以以同样的理由指控TFL。22J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354(2020)17此外,通过采用Szabolcsi的一些想法,在NTL中,我们可以表示精确(10),分数(12)和主观(13)量化器。这最后一个例子显示了在什么意义上,中间项函子逻辑(TFL+)的中间命题包含在NTL中:10. 恰好n个S是P:= +(+n−1S+P)+(−nS −P)11. S的至多r/q是P:= −r/qS −P12. 许多S是P:= +mS+P考虑到这些语法上的调整,NTL修改了TFL0或1)与具有特定量的前提的数量相同,以及iii)或者(a)普遍结论的值等于普遍前提的值之和,或者(b)特定结论的值等于普遍前提减去特定前提的因此,TFL和TFL+都是NTL的子逻辑。现在,让我们考虑一些有效的推论(表3-6)。命题NTL1.除了6个哲学家外,所有人都是逻辑的。−6P+L2.除了20个聪明人之外,其他人都是哲学家。−20S+P►除了26个聪明人之外,所有人都是合乎逻辑的。−26S+L表3一个有效的数字三段论(改编自[13])然而,在我们继续之前,为了达到我们的目标,我们需要做一个小的语法修改,在适当的时候会派上用场:我们将一个命题的谓词项添加为任意自然数e> n,以获得任何其他自然数n。这将导致NTL的以下语法e '。除nS外的所有都是P:=−nS+eP至多nS是P:=−nS −eP至少n个S是P:= +nS+ePh '。 至少n个S不是P:= +nS −eP有了这些元素,我们现在在图3中介绍NTL的表格规则:从左到右,第一条规则是通用命题,第二条规则是特殊命题。请注意,在应用规则之后,我们引入某个索引i∈ {1,2,3,.. . 就像在TFL表格中一样;但是,注意,在应用规则之后,我们通过跟踪命题的数值n来创建向量v[5]这最后一个条件与Szabolcsi的条件不同,Szabolcsi[22,第45页]。J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354(2020)1723NTL提案1.除了11名无政府主义者外,其他人都是逻辑学家。−11A +eL2.至少有30名墨西哥人是无政府主义者。+30M+eA至少有19名墨西哥人是逻辑学家。+19M+eL表4一个有效的数字三段论(改编自[13])命题NTL1.大多数人都很友好。G+eF2.凡是友好的人都是宽容的。−0F+eT►大多数人都很宽容。−mG+eT表5一个有效的数字三段论(改编自[22,p.53])NTL提案1.除了3名教师外,所有教师都给了5名学生4本书。−3T+(+(+eG +4B)−5S)2.除两名 教师外,其他所有教师都是工资过低的 人。−2T + eU3.每本书都很贵-0B+E4.除了7个学生外,所有人 都 是忘恩负义的人。−7S + eI5.至少有50名学生。+50S+eS6.至少有10名教师。+10T+eT►至少有5个低收入者给了38个忘恩负义的人4个昂贵的+5U+(+(+eG+4E)+38I)的东西。表6一个有效的数字三段论(改编自[13])另一方面,第三个图是一个规则,用于对带有“+”的原子项进行排序。现在,给定这些规则,我们说A是项集合Γ的逻辑后果当且仅当存在一个完全闭表,其初始列表包括Γ的项和A的拒绝,并且v= 0。因此,接下来我们展示一些有效推理的例子(图4和图5),然后我们论证NTL中的有效推理会产生v= 0的闭完备树,反之亦然。命题3.1NTL中的一个有效推理产生一个封闭的完全树,v = 0。证据考虑到NTL中的有效推理可能有两种基本的一般形式(表7)。除了这两种一般形式之外,我们还必须考虑两种情况。对于基本情况,让我们考虑每个基本形式。 对于形式1,取n=m= 0,对于形式2,取n= 0和m= 1。因此,NTL与TFL一起崩溃,在这种情况下,我们只需获得24J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354(2020)17-±−nA ± eBnAieBiv=n+nA ±eB+nAieBiv=n+nA+k≤nA图3:NTL表格规则−6C+eL−20S+eC► −26S+eL−(−26S+eL)+26S −eL+26S1−eL1+20S1−11A+eL+30M+eA2009年+19个月−(+19M+eL)−19M −eL+30M1+eA1+19M1-20S1+eC1−19M1−eL1⊥−6C1+6C1+eL1⊥−11A1+11A1+eL1⊥⊥v=+26− 20− 6 = 0⊥⊥v= +30-19-11 = 0图4:从左至右,表3和表4的表格表格1表格21.−nX ±eY −nX ±eY2.−mZ±eX+m+nZ ±eX−n+mZ±eY+mZ ±eY表7NTL中有效推理的基本一般形式TFL中的闭完全树。对于归纳的情况,取n=k和m=j。这样的替换产生NTL中的有效推断,因为NTL中的有效推断的所有条件被保留。现在,假设每个形式在NTL中也是有效的,对于n=k+1和m=j+1,对于k,j>0,那么树看起来如下:Q命题3.2 v = 0的闭完全树是NTL中的有效推理。±J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354(2020)1725−(+(+G+E)+I−3T+(+(+ eG+ 4B)− 5S)−2T+ eU−0B+ eE−7S+ eI+50S+eS+10T+eT+5U+(+(+eG+4E)+38I−(+5U+(+(+eG+4E)+38I)−5U −(+(+ eG+ 4E)+ 38I+50S1+eS1+10T2+eT2+2T2−2T2⊥+eU2+7S1−7S1⊥+eI1+38I1+3T2−3T2⊥+(+eG+4B)−5S2+eG2+4B2−5S2+0B2−0B2⊥+eE2+4E2+5U2−5U22e4382−(+eG+4E)−38I−38I1⊥−(+eG+4E)−eG−4E1−eG2⊥−4E2⊥v=+50+ 10− 2− 7− 3 + 4− 5− 0− 5− 38− 4 = 0图5:表6的Tableau证据假设有一个v= 0的闭完全树,它不是NTL中的有效推理。然后有一个封闭的完整树,其初始列表包括一组项Γ,结论的拒绝和v= 0,但从Γ我们不能通过遵循NTL的规则来推导结论的证明。不失一般性,考虑对应于表7的有效基本形式的树。然后我们有两个选择,它们的结论分别是−n+mX ±eY和+mX ±eY。现在,因为每棵树都是完整的,所以生成树的规则已经被应用了;因为每棵树都是封闭的,所以每棵树都必须具有以下形式:假设我们有第一棵树的一个实例,但由此产生的证明是无效的,也就是说,其中Γ+= Γ{ +n+mXeY},Γ+e,但对Γ应用推理规则不允许我们产生−n+mX±eY。现在,由于图的树是完整的,所有的尖端都是封闭的,因此前面的节点必须包括形式为−m+nX±eY或−mZ±eY的东西,126J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354(2020)17−k+1X±eY−j+1Z+eX► −k+j+2Z±eY−(−k+j+2Z±eY)+k+j+2ZeY+k+j+2Z1Y1战斗机+k+j+2>j+1,nk,j>0Z1−k+1X±eY+k+j+2Z+eX+j+1Z±eY−(+j+1Z±eY)−j+1ZeY+k+j+2Z1+eX1+k+j+2>j+1,nk,j>0Z1−j+1Z1⊥+eX1+e>k+1,k=kX1−j+1Z1⊥Y1战斗机+e>k+1,k=kX1−k+1X1⊥±eY1⊥−k+1X1⊥±eY1⊥v=+k+j+2−(j+1)−(k+1)= 0v =+k+j+2−(j+1)−(k+1)= 0−n+mXi∈ΓΓ► −n+mX±eY−(−n+mX±eY)+n+mXeY+n+mXi李毅...±eYi∈ΓX±eY−(+mX ±eY)−mX eY+n+mXi∈Γ±eYi∈+mXi...⊥ ⊥−mXi⊥李毅⊥−nX + eZ,也就是说,Γ ={−m+ nX ±eY}或Γ ={...,−mZ ±eY,−nX + eZ,. . }中。但是,在任何情况下,如果我们将条件i)应用于Γ,我们得到形式为−X±eY的东西,而不是由于条件ii)而得到相反的结果;最后,根据条件iii)(a),结论必须是形式为−m+nX ±eY。但是,这与我们不能通过使用NTL规则来证明这样的结论的假设相第二棵树也是如此,做了必要的修改因此,r ={+ mX±eY}或r ={... −nZ ±eY,+m+ nX + eZ,.. . }中。 反正如果 我们将条件i)应用于Γ,我们得到形式为+mX±eY的结果,而不是由于条件ii)而得到相反的结果;最后,通过条件iii)(b),结论必须是形式为+mX±eY的结果。但这与我们无法证明这一结论的假设相矛盾。QJ.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354(2020)17274总结发言在这篇文章中,我们试图通过使用和适应Murphree的系统,这是可能的,因为TFL和TFL+是NTL的子逻辑,因此,在某种意义上,我们为NTL开发的方法代表了这一系列的索默斯逻辑。最后,我们必须提到,为了本文的目的,我们只关注NTL的术语特征,但需要与[3,2]引入的代数证明系统和Szabolcsi [ 22 ]等替代项逻辑进行引用[1] 亚里士多德。先前的分析。Hackett Classics系列哈克特,1989年。[2] Walter A. Carnielli多值逻辑的多项式环演算。第35届多值逻辑国际研讨会(ISMVL[3] Walter A. Carnielli lukasiewicz逻辑的多项式证明系统。第二届国际原理研讨会,2001年8月6日至10日。[4] J. -我是卡斯特罗·曼萨诺和潘尼尔·奥。 雷是卡德纳斯。函数逻辑表。SouthAmerican Journal ofLogic,4(1):1 - 2 2 , 2 0 1 8 。[5] 马尔切罗·达戈斯蒂诺,D o v M. Gabb ay,ReinerHahnle,andJoa chimPosegga. 方法手册。Springer,1999年。[6] 乔治·恩格尔布雷森。 新的Syllogistic。 05. P. Lang,1987年。[7] 乔治·恩格尔布雷森。关于一个新模态三段论的初步注记。Notre Dame J. Formal Logic,29(3):381[8] 乔治·恩格尔布雷森。需要考虑的事情:术语的逻辑。加拿大电子图书馆:藏书。渥太华大学出版社,1996年。[9] 乔治·恩格尔布雷森和查尔斯·赛沃德。哲学逻辑:高级主题导论。Bloomsbury Academic,2011.[10] Steven T.库恩。谓词函子逻辑的公理化圣母大学 Formal Logic,24(2):233 -241,041983.[11] 劳伦斯·莫斯。自然逻辑。In S. Lappin和C.福克斯,编辑,当代语义理论。John Wiley Sons,2015.[12] 安杰伊·莫斯托夫斯基 关于量化器的推广。 Fundamenta Mathematicae,44(2):12[13] 华莱士A.墨菲数字术语逻辑。 圣母大学 形式逻辑,39(3):346 -362,07 1998。[14] 阿里斯·诺亚。逻辑中的谓词函子与可判定性的极限。Notre Dame J. Formal Logic,21(4):701[15] 菲利普湖彼得森论“少”、“多”、“多”的逻辑。Notre Dame J. Formal Logic,20(1):155[16] 格雷厄姆·普里斯特非经典逻辑导论:从If到Is剑桥哲学导论。剑桥大学出版社,2008年。[17] 威拉德·范·奥曼·奎因。谓词函子逻辑。在J.E.芬斯塔德,编辑,第二次斯堪的纳维亚逻辑研讨会论文集。1971年北荷兰[18] 弗雷德·萨默斯。佛莱根的教条。在伊姆雷·拉卡托斯,编辑,数学哲学问题,逻辑和数学基础研究第47卷,第47- 81页。爱思唯尔,1967年。28J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354(2020)17[19] 弗雷德·萨默斯。自然语言的逻辑。克拉伦登逻辑与哲学图书馆。Clarendon Press; Oxford:New York:Oxford University Press,1982.[20] 弗雷德·萨默斯。知识分子自传。 在David S. Oderberg,editor,The Old New Logic:Essays on thePhilosophy of Fred Sommers,pages 1布拉德福德图书,2005年。[21] 弗雷德·萨默斯和乔治·恩格尔布雷森。正式推理的邀请:术语的逻辑。阿什盖特2000年[22] 洛恩·萨博尔奇和乔治·恩格尔布雷森数字术语逻辑北京:人民出版社,2008年.[23] 布鲁斯·汤普森。使用“few”、“many”和“most”的三段论。Notre Dame J. Formal Logic,23(1):75[24] 戴格·韦斯特是个骗子。亚里士多德的三段论和广义条件式。 StudiaLogi ca,48(4):577 -585, Dec1989.
下载后可阅读完整内容,剩余1页未读,立即下载
cpongm
- 粉丝: 4
- 资源: 2万+
上传资源 快速赚钱
- 我的内容管理 收起
- 我的资源 快来上传第一个资源
- 我的收益 登录查看自己的收益
- 我的积分 登录查看自己的积分
- 我的C币 登录后查看C币余额
- 我的收藏
- 我的下载
- 下载帮助
会员权益专享
最新资源
- 保险服务门店新年工作计划PPT.pptx
- 车辆安全工作计划PPT.pptx
- ipqc工作总结PPT.pptx
- 车间员工上半年工作总结PPT.pptx
- 保险公司员工的工作总结PPT.pptx
- 报价工作总结PPT.pptx
- 冲压车间实习工作总结PPT.pptx
- ktv周工作总结PPT.pptx
- 保育院总务工作计划PPT.pptx
- xx年度现代教育技术工作总结PPT.pptx
- 出纳的年终总结PPT.pptx
- 贝贝班班级工作计划PPT.pptx
- 变电值班员技术个人工作总结PPT.pptx
- 大学生读书活动策划书PPT.pptx
- 财务出纳月工作总结PPT.pptx
- 大学生“三支一扶”服务期满工作总结(2)PPT.pptx
资源上传下载、课程学习等过程中有任何疑问或建议,欢迎提出宝贵意见哦~我们会及时处理!
点击此处反馈
安全验证
文档复制为VIP权益,开通VIP直接复制
信息提交成功