.Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）276k-偏群A.M. Abd-Allah，A.I. AggourP.， A. Fathy埃及开罗纳斯尔城爱资哈尔大学理学院数学系（11884）ar t iclei n f o文章历史记录：2016年9月18日收到2017年1月31日接受2017年3月18日在线提供MSC：22A0522A1022A2054H11保留字：部分群拓扑群拓扑部分群k空间恒等拓扑a b st ra ct在本文中，我们引入了k-部分群的概念，并讨论了它们的一些基本性质。 我们引入了k-部分群范畴kpg，它比拓扑群的强半格范畴Sstg[1]更方便，并且满足Sstg同样的好性质.© 2017埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。1. 介绍在[1]中，我们引入了拓扑部分群的概念，并讨论了它们的一些基本性质。作为对象的拓扑偏群的范畴Tpg和作为箭头的拓扑偏群的同态具有以下定义：(i) 设S是一个拓扑部分群，a∈S.然后，右关于包含（i λ）λ∈L的最终拓扑称为S [2]上的和拓扑，S是一个拓扑半群，记为S = λ∈LS λ [1]. 弱积S×WS，这是一个S×S的最终拓扑，关于Inclu，Sion映射（iα×iβ）α，β∈L，使得S是拓扑偏群.我们证明了拓扑群的每个强半格是一个拓扑部分群，但反过来可能不成立[1]。拓扑群的强半格范畴Sstg是一个方便的范畴，正如我们所想的，因为：变换r a：S→S，xx a和左变换4a：S→S，x<$→a x，可能不开。(ii) 设S是拓扑偏群，N是S.那么，具有关于商映射ρ N的标识拓扑的半群S/N：S→S/N，x x N，可能不是拓扑。逻辑部分群，因为ρN×ρN可能不是恒等式。阳离子图如果S是局部紧空间，则S/N也是局部紧的。所以，ρN×ρN是一个识别映射[2]。 所以S/N是一个拓扑部分群。因此，我们引入了局部紧偏群的范畴Lcpg。 Lcpg类别修改了上述的一些缺陷，如（ii），但它没有修改（i）（见[1]中的例（4.1））。设S=L（Si，Y，Si，j）是强半格 组[3]。设（Si）i∈Y是拓扑群族然后，∗通讯作者。电子邮件地址：atifaggour@yahoo.com（A.I.Agour）。(i) 若S和T是拓扑群的强半格，则S×WT也是拓扑群的强半格.也就是说，弱积是Sstg的范畴积(ii) 具有相对拓扑的拓扑群的强半格的宽子部分群[4](iii) 如果S是拓扑群的强半格，N是S，则具有关于商映射ρ N的标识拓扑的部分群S/N：S→S/N，是强半格。拓扑群在本文中，我们引入了k-部分群范畴kpg作为对象，连续部分群同态作为箭头，这比范畴Sstg更方便，并且满足Sstg的同样好的性质。设τ是拓扑空间和连续映射的范畴，τ是τ的非空满子范畴.http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2017.01.0081110- 256 X/© 2017埃及数学学会。Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。可在ScienceDirect上获得目录列表埃及数学学会期刊首页：www.elsevier.com/locate/joems∀--X--=bb∈B∈Sex）在S中是开的。4A是开放的。Q上午Abd-Allah等人 /Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）276-278277设S是一个拓扑偏群，则称映射α：C→S是一个n-检验映射，如果α是连续的，且α−1（Sex）在C中是开的，对每个ex∈E（S），其中C∈obj（S）。S上的k-拓扑是定理3.1. 存在一组足以定义S上的k-拓扑的k-检验映射。证据 设C是S中所有非开子集的族。因为S是a关于所有n-检验映射α：C→S，C的∈obj（n）. 具有k−拓扑的S记为k（S）。S被称为A所以C是一个集合。所以，U ∈ C，我们可以选择F ∈ obj（n）和α U：F−1k−空间，如果k（S）=S。对于kpg中的对象S和T，令S×WrT=k（S×T）是S×T，→S使得αU（U）在F中不开。设L=α U：F→S，U∈C.设Sr具有关于L的最终拓扑。然后，拓扑结构在S上，r比S上的拓扑更精细。设V是一个非空的非关于所有n-检验映射α×β：C×D的最终拓扑S中的开子集，则S是一个可检验映射 α：Fr→S使得α−1（V）V→S × T。 乘积S ×Wr T称为S与rrVr的弱乘积T，它将是kpg的范畴乘积。在S上具有k −拓扑的拓扑偏序群S称为k−偏序群，其中μ：S×WrS→S是乘积映射。范畴kpg是方便范畴，当且仅当范畴满足以下条件[5]：(A) 如果A是一个对象B的闭子空间，那么A是一个k ≠-空间[5]。(B) 如果B和C是A中的对象，那么B×C也是A中的对象。(C) 对于X中的对象X和τ中的对象Y，评估图e：YX×X→Y;e（f，x）=f（x），f∈YX，x∈X，是连续的，其中Y具有紧开拓扑.(D) 如果A和B是一个对象，那么拓扑和ANB也是一个对象。这类非空满子范畴的例子有：所有紧Hausdorff空间的范畴H，所有局部紧Hausdorff空间的范畴LH和所有局部紧空间的范畴L2. 预赛为了便于参考，我们收集了所需的定义和出现在给定参考文献中的结果。设S是一个不完全群[6]。如果x∈S，则ex和x−1是部分恒等式和部分逆的x，分别是唯一的[6]。E（S）是所有部分单位元的集合，S，也是S的所有幂等元的集合[4]。集合Sx={y∈S：ex=ey}是S的极大子群，且S={Sx：x∈S}=在F中不打开。所以，V在S中不是开的。因此，S上的拓扑比S上的拓扑粗糙。Q定义3.3. S×S上的k−拓扑是关于所有形式为α×β：C×D→S×S的n−检验映射的最终拓扑，其中C，D∈obj（n）。具有此拓扑的S×S将表示为：S×Wr S。定理3.2. 设S和T是拓扑偏群。如果f：S→T是连续的，则k（f）=f：k（S）→k（T）是连续的。证据 设α：C→S是一个n-检验映射，则fα：C→T是一个n-检验映射，因为fα是连续的，并且如果Te是T的一个极大子群，则（fα）−1（Te）在C中是开的。则fα：C→k（T）是一个n-检验映射，因为k（k（T））=k（T）。这意味着，k（f）=f：k（S）→k（T）是连续的。Q我们注意到，对于任何k-空间S，下面的结构映射从上述定理是连续的：(i) μ：S×WrS→S，(ii) γ：S→S，(iii) eS：S→S。因此，在S上具有k-拓扑的部分群S是一个拓扑部分群，称为k-部分群。设kpg是一个k-偏群范畴，作为对象，且连续的部分群同态，如箭头。然后我们可以定义一个函子k：Tpg→kpg，S<$→k（S），fk（f）。范畴kpg是一个方便范畴，当且仅当满足引言中的A、B、C和D部分。Sex：ex∈E（ S）. 也就是说，每个部分群都是不相交的并组[6]。半群S是部分群当且仅当它是群的强半格[6]。定理3.3. 设S是一个k-部分群，则映射r a是连续的。和4a设S是部分群，τ是S上的拓扑.那么，S是称为拓扑部分群，如果下列映射是连续的[1]：(i) 乘积映射μ：S×S→S;（x，y）›→xy(ii) 部分逆映射γ：S→S;x x−1证据由于S是一个拓扑部分群，则由定理3.2可知映射r a和4 a是连续的。Q定理3.4. 地图ra和4a是开放的。证据 我们只证明ra是开的，如下：设U∈S是开的。(iii) 部分恒等映射eS：S→S;x<$→ex。然后，S ex 在极大拓扑子群Se x中是开的。设S是拓扑偏群，N是次偏群因为，右变换r a|SeX：S ex→S ex 是一个homeomor[4]S。则具有相对拓扑的N是拓扑部分phism，then，r a|Se（UX（美国）S ex）在S e x中是开放的。自S ex以来 在S中打开，群，称为拓扑子部分群[1]。然后r a|Se（UXSex）=UaS ex 在S中打开。 这意味着r a（U）=设τ是拓扑空间和连续映射的范畴，τ是τ的非空满子范畴.定义3.1. 设S是一个拓扑偏群，则映射α：C→S称为α-检验映射，如果α是连续的，且α-1（S ex）对于每个ex∈E（S），在C中是开的，其中C∈obj（S）。定义3.2. S上的k−拓扑是关于所有n−检验映射α：C→S，C∈obj（n）的最终拓扑。具有k−拓扑的S记为k（S）。 S称为k−空间，如果k（S）= S。根据这个定义，我们有S ex 在S中是开的，对所有的ex∈E（S）。因此，k−空间S，不是群，不连通。同时，我们还知道恒等映射I：k（S）→S是连续的。定理3.5. 设S是一个k-部分群，A，B∈S。 如果A在S中是开的，则AB和BA也在S中是开的，其中AB={ab：a ∈ A，b ∈ B}。证据 由于ABr（A），且r（A）在S中是开的，则AB在S中是开的。类似地，由于BA=bB4b（A），并且4b（A）在S中是开的，则BA在S中是开的。Q定理3.6. 设N是k-部分群S的拓扑子部分群，则k（N）= N。证据 设U<$N使得α−1（U）在C中开，其中α：C→N是一个测试图。设i：N→S为包含。由于iα：C→S是连续的，S ex 在S中是开的，则（iα）−1（Sex）在C. 这意味着iα：C→S是一个n-检验映射。 现在，（iα）−1（U）=e x∈ E（S）ra|Se3. k-偏群X∀∈ni=1∈ −aa2凌晨278点Abd-Allah等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）276α−1（i−1（U））= α−1（U）在C中 是开的。因此，U在S中是开放的。以来U N=U，则U在N中是开的。所以，k（N）= N。Q我们 将 表示 的 拓扑 局部的 组 N 的k-部分群S乘N≤S。定理3.7. 如果S是k-偏群，则S的每个开拓扑子偏群都是闭的。证据 设N是S的开拓扑子部分群。则xN在S中是开的，x∈S。因为S−N=x/NxN，所以S−N是开放的。因此，N是封闭的。Q设{Si：i=1， 2，···，n}是k-部分群族，设S=Si={x=（xi）：xi∈Si ，i=1，2，. . .，n}是 外部k-部分群Si的直积。则S是拓扑部分群[1]。定理3.8. k（S）= S.证据证明了恒等映射Ii：Si→k（Si）和投影Pi：S→Si是连续的.因此，映射IiPi：S→k（Si）是连续的。因此，恒等映射（I Pi）：S→k（S）是连续的。这意味着k（S）=S。 Q4. k-偏群的商与分离性公理定义4.1. 如果S是一个k-部分群且N≤S，则S/N关于商映射ρN具有标识拓扑： S→S/N，x→xN，称为陪集空间。定理4.1. 设S是k-部分群，N≤S.则原映射ρ N：S → S/N是开的。证据 让我们敞开心扉。现在我想，ρ−1（ρN（U））={x∈S：ρN（x）∈ρN（U）}定理4.3. 设K：S→T是一个幂等分离[3]满态射，K= ker →T.然后，存在唯一的双射态射α：S/K→T，使得φ=α ρ K.证据α是连续的，因为α是连续的，ρK是一个恒等映射。这就是我们所需要的。Q定理4.4. 设S是一个k-部分群，M，N是一个S，使得M<$N，则(i) N/M a S/M。(ii) 存在唯一的双射态射α：（S/M）/（N/M）→S/N，使得ρ N= αρ N/Mρ M。证据(i) 参见[4](ii) 设ρN：S→S/N和ρM：S→S/M为商映射。 由于ρ N是分离满射态射的幂等元，且ker ρ N=N，则由上一定理可知，存在唯一的双射态射<$：S/M→S/N，xM<$→xN使得<$ρ M=ρN. 由于ker_n=N/M [1]是一个k-部分群，那么根据最后一个定理，存在唯一的双射同态α：（S/M）/（N/M）→ S/N，使得ρ N= αρ N/Mρ M。 Q定理4.5. 设S是一个k-偏群。 则S是豪斯多夫空间当且仅当S是T0−空间。证据设S是Hausdorff空间。那么，S是一个T0−空间。 假设S是一个T0−空间。设x，y∈S，xi=y.(i) 如果x，y，S，则S 是一个T群，那么两个开集U，V，并且在S中也是开的使得UV=φ且x∈U且y∈V。(ii)若x ∈ Sa，y ∈ Sb. 然后，我们有S a和Sb在S和S aSb=φ。所以S是一个豪斯多夫空间。Q定理4.6. 设S是一个Hausdorff k-偏群。 如果f，g：S→T是k-偏群的态射，则差核A =N={x∈S：xN∈U/N}= U N.因为U在S中是开的，所以U N在S中是开的（定理3.5）。因此，我们认为，ρN（U）是开放的，是S/N。Q定理4.2. 若S是k-部分群，N是S，则S/N是k-部分群.证据首先，我们证明了S/N是一个拓扑偏群。由于ρN是一个开的识别映射，那么ρN×ρN是一个识别映射[2]。因此，乘积映射μ：S/N×S/N→S/N是con-n。连续的，因为μ（ρN×ρN）=ρNμr，其中μr：S×S→S是产品地图部分逆映射γ：S/N→S/N和部分恒等映射eS/N：S/N→S/N是连 续 的 ， 因 为 γ ρN=ρN γr 和 eS/NρN=ρNeS ， 其 中 γr ： S→S ，x<$→x−1和eS：S→S，x ex是连续的。由于IρN=k（ρN）Ir，则I是连续的，其中I：S/N→k（S/N）和Ir：S→k（S）是恒等映射.Q定义4.2. 设S和T是k-部分群。然后，如果S → T是连续的，且是部分群同态，则称S → T是态射[4].{x ∈ T：f（x）= g（x）}是一个闭子部分群。证据 A是封闭的（见[2]）。设x，y∈A，则f（ x）= f（ x） f（ y-1）=f（x）f（y）−1=g（x）g（y）−1= g（xy−1），则xy−1∈ A。所以A是一个闭的次偏群。 Q引用[1] A.M. Abd-Allah，A.I. Aggour，A.拓扑群的强半格，J. 埃及数学Soc. 000（2016）1[2] R. Brown，Topology and Groupoids，McGraw-Hill，Oxon，2006。[3] J.M. Howie，An Introduction to Semigroup Theory，Academic Press，1976.[4] 上午Abd-Allah，M.E.通用汽车Abdallah，Quotient in partial groups，Delta J. Sci.8(no. 2）（1984）470-480.[5] R.M.傅克特，代数拓扑空间的便利范畴，中国科学院学报。Adv. 研究机构Alg.Top. Aarhus XXII（1970）545[6] 上午Abd-Allah，M.E.通用汽车李文，李洪志.
