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Caratheodory-Tchakaloff近优回归设计的MATLAB代码:n次多项式回归的近最佳采样集和权重
n软件X 10(2019)100349CaTchDes:Caratheodory-Tchakaloff近优回归设计的MATLAB代码Len Bosa,Marco Vianellob,a意大利维罗纳大学计算机科学系b意大利帕多瓦大学数学系ar t i cl e i nf o文章历史记录:收到2019年收到修订版2019年10月16日接受2019年10月16日保留字:近似最优回归设计Tchakaloff定理a b st ra ct我们提供了一个MATLAB软件包,用于计算平面,表面和固体域离散化的n次多项式回归的近最佳采样集和权重(设计)。这个主题与计算统计和近似理论有很强的联系。最优性有两个方面,在这里一起处理:样本集的基数,和回归量的质量(在统计方面的预测方差,在近似理论方面的一致算子范数)。回归量质量由阈值(设计G最优性)测量,并通过标准乘法算法达到。然后通过Caratheodory-Tchakaloff离散测度浓度得到低采样基数所有的步骤都是使用本地MATLAB函数进行的,例如qr分解和lsqnonneg二次最小化器。©2019作者由爱思唯尔公司出版这是CC BY-NC-ND下的开放获取文章许可证(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。代码元数据当前代码版本v1.0用于此代码版本的代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX_2019_224Code Ocean computecapsulehttps://doi.org/10.24433/CO.2483727.v1法律软件许可证GNU/通用公共许可证使用的代码版本控制系统无使用MATLAB的软件代码语言、工具和服务编译要求、操作环境依赖性如果可用,链接到开发人员文档/手册问题支持电子邮件marcov@math.unipd.it1. 动机和意义软件包CaTchDes包含两个主要的MAT-LAB函数,用于计算离散设计空间(例如平面、表面和固体域的网格离散化)上多项式回归的近最佳采样集和权重(设计)。这个主题与计算统计和近似理论有很强的联系:例如,在一个实施例中,[1作为相关应用程序,我们可以引用例如地理空间分析,其中人们感兴趣的是通过放置相对小的传感器网络来重建/建模具有可能复杂形状的区域上的标量或矢量场(诸如地磁场)。*通讯作者。电 子 邮 件 地 址 : leonardpeter. univr.it ( L.Bos ) , marcov@math.unipd.it(M.Vianello)。https://doi.org/10.1016/j.softx.2019.100349在回归上下文中,最优性有两个方面,在这里一起处理:样本集的基数,和回归量的质量(统计项中的预测方差,近似理论项中的统 一算子范数 )。 关于基数 ,一个 关键的理论 工具是Tchakaloff定理[4],其一般版本本质上是说,对于任何有限测度,存在一个离散测度,该测度在给定的多项式次数内具有相同的矩,基数不大于相应多项式空间的维数;参见,例如,在一个实施例中,[5]的第10段。我们简要回顾一下最优设计的统计概念。一般来说,设计是一个概率测度μ支持在连续或离散紧集X(设计空间)上。在本文中,我们主要处理有限离散设计空间。下面,我们将用Pd(X)表示总次数不超过n的d-变量多项式的空间,用Nn表示其维数。2352-7110/©2019作者。由爱思唯尔公司出版。这是一篇开放获取的文章,使用CC BY-NC-ND许可证(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页:www.elsevier.com/locate/softx2n˜n≤≤----联系我们˜≥ ≤≤˜˜˜=∈={} ≤ ≤:=- ≥ 100%=×==nnnj=1J2Nj=1正交 多项式 基础 为 程度 n. 观察到解存在于著名的Caratheodory定理有限-nXn次线性收敛(产生一个递增的x∈Xnp∈P2x∈X2升。 Bos和M. Vianello / SoftwareX 10(2019)100349设计最优性有几个概念。在这项工作中,我们主要对G-最优性感兴趣,即当Christoffel多项式(即,再生核的对角线)在所有设计中在X上具有最小可能的最大范数maxKµm(x,x)=Nn=min maxKµ(x,x),(1)革兰氏行列式)到X上的最优设计;参见,例如,在一个实施例中,[12 ]第10段。由于需要大量的迭代来将度量集中在最优支持上,因此我们的方法提供了一种相当有效的混合方法,几乎最小化回归算子范数和回归采样基数。x∈ Xnµx∈Xn事实上,在离散的情况下,Tchakaloff定理可以用稀疏非负解的存在性其中Kµ(x,x) =∑Nn φ2(x) ∈Pd(X)与{φj}Nn是任何一种。欠定线性方程组Vtu=Vtw的解。这样的对于任何设计,max x∈XKµ(x,x)≥N n,因为<$Kµ(x,x)dµ=N n。维圆锥组合[13],应用于列这实质上意味着G最优设计μm最小化了n阶回归(统计解释)的最大预测方差和相应的加权最小二乘算子,V t。该方法可以通过求解非负最小二乘(NNLS)问题min{2,u≥0}(4)最小界Nn(逼近理论解释)。在通过近似理论,这也被称为最佳措施[2,6]。上面的这意味着存在一个最优测度,因为概率测度的格拉姆矩阵集是紧的和凸的;参见,例如,[6,8]对于这些事实的一般证明通过Tchakaloff定理,可以很容易地看出,存在测度,其中N n卡(supp(µ))N2n.关于D-最优设计的计算文献相当广阔的,具有悠久的历史和新的积极的研究方向,见例如[3,9]和其中的参考文献。在连续的情况下,一个典型的方法包括在紧集的离散化,然后在离散集上迭代D-优化。我们强调,由于标量矩阵函数log(det())的凸性,离散情况下的D-优化最终是凸规划问题,等价于最小化具有约束w 0,w11的log(det(Vt D(w)V)(其中V(pj(xi))RM×Nn 范德蒙(Vandermonde)X处的矩阵x i,1我M卡(X),在固定多项式基中 pj,1J并且D(w)是对角概率权重矩阵)。我们注意到矩阵Vt D(w)V等于多项式基pj的Gram矩阵,关于X上支持的权重为w的离散测度。2. 软件描述对G最优性感兴趣的一个相关指标是所谓的G效率,即θ=Nn/maxx∈XKµ(x,x)(2)(the达到G最优的百分比)。我们采用了最近在[10]中提出的以下方法:应用标准迭代算法,如Titteringtonw(即,μ是X上支持的离散测度,权重为wi0,1i M),具有良好的G-效率(例如例如,95%用于修复想法);计算设计μ在2 n次时的我们回想一下,Titteringtonwi(k+1)=Kµ(w(k))(x i,x i)wi(k),1≤i≤M=card(X),k≥0,(三)例如从w(0)=(1/M,, 1/M)开始,并且已知寻求稀疏的解决方案,并通过基本的MATLAB函数lsqnonneg实现。结果表明,u的非零分量决定了Caratheodory-Tchakaloff集中支集.让我们用u表示非零权重的所得压缩向量。这种离散(概率)测量浓度的方法,也可以通过线性规划获得,最近才出现;参见,例如,在一个实施例中,[15我们注意到,稀疏性在这里不能通过标准压缩感知算法恢复(参见图1的最小化或惩罚)。[19]),因为我们处理概率测度,因此权重的1-范数被约束为等于1。在软件包CaTchDes 中,上述近似优化算法由 MATLAB 函数NORD(近似最优回归设计计算)实现,该函数又调用函数CTDC(Caratheodory-Tchakaloff设计集中)。Vandermonde类矩阵V是使用包含以下项的最小盒的Chebyshev乘积基离散集X.这两个例程都自动适应实际的多项式空间维度,通过QR与列旋转和V的数值秩确定(该秩给出X上多项式空间的数值维度)。这样我们就可以处理X在整个多项式空间中不确定的情况,例如X位于代数曲线或曲面上。所有相关步骤(Christoffel函数的多项式正交化和计算、基本迭代、测量集中)都是使用标准MATLAB函数执行的,例如qr因子分解和lsqnonneg二次最小化。米泽尔3. 说明性实例为了展示该软件包的潜力,我们在下面给出了一个双变量的例子,在一个有27条边的非凸多边形区域上,例如,类似于法国大陆的平坦和粗糙的模型;见图。1.一、该地区已被离散相交,与100- 100点网格的最小周围的盒子,这在实践中将对应于地理上的离散与步长约10公里的法国terri- tory。所有计算都是在MATLABR2017b中在2.7 GHz Intel Core i5 CPU和16 GB RAM上进行的。整个离散化网格X约5700点,集中在回归度n8到153个采样节点和权重(压缩比约38)保持95%的G-效率(θ 0。95),在大约2 s。在 确 定 性 回 归 误 差 估 计 方 面 , 用 Lu 表 示 对 应 于 近 最 优 的Caratheodory-Tchakaloff浓度u的加权最小二乘算子,设计和f的连续函数定义的区域,我们可以写max<$f(x)− Lu<$f(x)<$$>≤(1 +<$N n/θ)min max |f(x)− p(x)|··p∈2x∈Pn√{∈}√√√+=+=公司简介+=L. Bos和M. Vianello/SoftwareX 10(2019)1003493在计算过程中所涉及的,即qr因子分解的相关范德蒙矩阵和lsqnonneg二次极小的稀疏非负解的基本时刻系统。我们相信,MATLAB软件包CaTchDes,尽管它的简单性,将是有用的,在许多应用环境,二元和三元回归是一个相关工具,包括但不限于地理空间分析。竞合利益作者声明,他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系,可能会影响本文报告的工作致谢工 作 部 分 得 到 DOR 基 金 和 意 大 利 帕 多 瓦 大 学 BIRD181249“NATIRESCO”项目以及意大利GNCS-INdAM的支持。这项研究是在RITA的“Fig. 1. Caratheodory–Tchakaloff concentratedTitterington的乘法算法(G-效率θ= 0. 95)。≤(1 +Nn/θ)min max |f ( x ) −p ( x ) |.(五)n更准确地说,在这个例子中,我们得到X上的一致回归误差估计(通过仅在Carnodor y-Tchaka145/0。95 7. 88倍的最佳均匀多项式逼近度8至f(与因子1N81457 .第一次会议。71在完全设计最佳状态下)。 如果得到的多项式不令人栅格值 Luf(x),xX 具有良好的精度(取决于平滑度),通过任何局部或全局插值方案,诸如样条或径向基函数。4. 影响多元多项式回归的最优设计的计算是计算统计和数据分析中的相关问题:例如,在一个实施例中,经典教科书[1]和最近的论文[3],以及其中的参考文献。这里提出的方法是混合的,在这个意义上,它通过计算具有给定G最优性阈值的设计开始,比如说95%以修复想法,这在大多数应用中可能是非常合适的,通过执行用于设计优化的基本乘法算法的仅几次迭代(cf.[11、12])。在这个级别上,回归量质量非常好,因为所得近似几乎与最佳多项式近似一样好(当然,应该注意,并非所有数据集都可以很好地拟合多项式)。然而,支持的基数仍然非常高。然而,可以通过简单地诉诸最近的Caratheodory-Tchakaloff离散测度集中的实现来大大减少采样基数:cf。[15只有原生MATLAB函数引用[1]普克尔斯海姆湾最佳实验设计。经典应用数学卷。50,Philadelphia:SIAM;2006.[2]Bloom T,Bos L,Levenberg N,Waldron S.关于最优测度的收敛性。32.第三十二章大结局[3]De Castro Y,Gamboa F,Henrion D,Hess R,Lasserre J-B. 多元多项式回归的近似最优设计。47.第47章大结局[4]Tchakaloff V. Formules de cubatures mécaniques à coefficientsnon negatifs.81.第八十一章:一个人[法语][5]普提纳尔湾关于Tchakaloff定理的一个注记125.第125章:你是谁[6]放大图片作者:Bloom T,Bos L,Levenberg N.多项式回归的最优设计的渐近性,arXiv预印本arXiv:1112.3735。[7]Kiefer J,Wolfowitz J,两个极值问题的等价性。加拿大1 2 .第十二章.[8]博斯湖关于多元Lagrange插值的Fejér问题的几点注记《近似理论》1990;60.[9]王伟康,余勇。搜索最优设计。在:手册的设计和分析的实验。New York:CRC; 2015.[10]Bos L,Piazzon F,Vianello M.近G-最优Tchakaloff设计ComputStat 2019.接受出版。[11]蒂特林顿DM.有限设计空间上d-最优设计的计算算法。1976年信息科学与系统会议。巴蒂莫拉一九七六年[12]作者声明:John B.计算最佳设计的乘法算法。《统计学计划推论》2009;139.[13]卡拉西奥多里角Über den Variabilittsbereich der Fourierschen Konstan-tenvon positiven harmonischen Funktionen.第32章:一个人的世界(2)[14]Lawson CL,Hanson RJ.解决最小二乘问题。经典应用数学,15,费城:SIAM; 1995年,修订重印的1974年原件。[15]李特雷C,莱昂斯T.高阶复合及其在维纳空间上求体积的应用。22.第二十二章:一个女人[16]张晓刚,王晓刚,王晓刚.Caratheodory-Tchakaloff二次抽样白云岩研究笔记约DRNA 2017;10.[17]Sommariva A,Vianello M.多元离散测度的压缩及其应用。36.第三十六章:一个女人[18]切尔尼霍娃湾Caratheodory容积测量。[博士学位数学论文],牛 津 大学; 2015年,(导师:T。Lyons)。[19]Foucart S,Rahut H.压缩感知的数学介绍。Birkhäuser;2013.
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