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−可在www.sciencedirect.com上在线ScienceDirect电气系统与信息技术杂志2(2015)358正弦波调谐方法:频域鲁棒PID控制器设计S.Bucz, A. 我爱你斯洛伐克布拉迪斯拉发斯洛伐克科技大学电气工程与信息技术学院2015年12月2日在线发布摘要本文提出了一种新的鲁棒PID控制器的设计方法,标称性能规定的最大超调量和调整时间。PID控制器设计提供保证的增益裕度GM。调谐规则的参数是通过具有激励频率ωn的正弦波信号获得的设备频率响应的适当选择的点。然后,所设计的控制器将该点移动到具有所需增益裕度GM的相位交叉。耦合(ωn;GM)根据已开发的抛物线依赖关系,在ηmax(最大过冲)和ts(建立时间)方面针对闭环性能要求进行指定新的方法已被验证了大量的基准示例,随后,所开发的算法已被扩展到鲁棒PID控制器的设计与不稳定的零和非结构化的不确定性的植物© 2016 电 子 研 究 所 ( ERI ) 。 Elsevier B. V. 制 作 和 托 管 这 是 CC BY-NC-ND 许 可 证 下 的 开 放 获 取 文 章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。关键词:增益裕度; PID整定;保证性能;不稳定零点1. 介绍控制系统设计者经常要处理表现出逆响应动态的对象;这种对象通常被建模为具有不稳定零点的系统,在电力工程、伺服系统、自动和液压设备中遇到。非最小相位系统的控制是一个众所周知的难题G(s)=(1 αs)/(1 + Ts)n,不稳定零点z =+1/α,即使α值很小;此外,控制复杂性随着α的增加而增加(Yu,2006)。所提出的新方法适用于控制的线性单输入单输出非最小相位系统,即使未知的数学模型的非结构化的不确定性。关于PID控制器整定的调查可以在以下文献中找到:PaströmandHägglund(1995),Visioli(2006)and Yu(2006)。控制目标是提供受控过程变量y(t)所需的标称最大超调量ηmax和稳定时间ts。保证给定值ηmax和ts的关键思想在于将二阶系统(Reinisch,1974)推导的关系式ηmax=f(GM)和ts=f(ωn)的有效性扩展到任意设备阶数;*通讯作者。电子邮件地址:stefan。b ucz@stuba.sk(南非)。Bucz),alena. k oza kov a@stuba.sk(A. 我来了)。电子研究所(ERI)负责同行评审。http://dx.doi.org/10.1016/j.jesit.2015.11.0012314-7172/© 2016电子研究所(ERI)。Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。S.Bucz,A.Kozáková/电气系统和信息技术杂志2(2015)358359.. ..... p. pRTisDRpD pTiωpDp..Fig. 1.为设计的SWT方法循环。针对最大过冲η max= f(G M,ω n)和建立时间t s= f(G M,ω n)获得。由此产生的曲线称为B抛物线,使设计人员能够选择这样一对(G M,ω n),以保证满足指定的性能要求,从而允许对受控对象的闭环阶跃响应进行一致和系统的整形(Bucz和Kozáková,2012)。该设计方法被称为正弦波调谐(SWT)方法,该名称源自用于测量PID控制器设计所需的设备参数的正弦信号发生器2. 具有不稳定零点过程的PID控制器设计目标由于非最小相位行为会导致被控对象的增益裕度发生显著变化,因此在设计PID控制器时,使用增益裕度G M作为性能指标是有益的(Bucz和Kozáková,2012年)。 考虑图1所示的多用途回路。 1(开关在位置SW= 1)。设G(s)为不确定非最小相位对象的传递函数,GR(s)为PID控制器。相应的闭环特征方程c(s)= 1+L(s)= 1+G(s)GR(s)= 0表示闭环稳定性可以很容易地分解为幅值和相位条件G(jωp<$)GR(jωp<$)=1/G M,a rgG(ωp<$)+a rgGR(ωp<$)=−π,(1)其中,GM为所需增益裕度,L(jω)为开环传递函数,ωp*为开环相位交叉频率。表示θ=arg G(ωp*),Θ=arg GR(ωp*),并考虑理想PID控制器的形式G(s)=K1+1+Ts,(2)其中,K是比例增益,Ti、Td分别是积分时间常数和微分时间常数。比较了两种形式的PID控制器的频率传递函数G(jω)=K+jK<$T ω− 1分,(3)GR(jωpθ)=GR(jωpθ)<$cosΘ+jsinθ <$。(四)PID系数可以从ω=ωp*处的复方程获得。K+jK<$T ω <$− 1θ=cos Θ+ jsin Θ(五)TiωpGM G(jω)GM G(jω)S.Bucz,A.Kozáková/电气系统和信息技术杂志2(2015)358360||||. p. pK=cos Θ, KTω− 1θ=sin Θ,(6)..使用由(1a)得到的代入GR(jω p*)= 1/[GM G(jω p*)]。然后将复方程(5)作为两个实方程GM G(jω)TiωpGM G(jω)DpS.Bucz,A.Kozáková/电气系统和信息技术杂志2(2015)358361.Σ--..DpD p- β=TdImM11GM-1n01个ReLPG(j)G卢恩L(j)图二.用图形表示SWT型PID控制器的整定。其中(6a)是用于计算控制器增益K的一般规则;将(6a)代入(6 b),Td中的二次方程获得T2.ω2−TωtgΘ10,β=Ti.(七)计算Td的表达式是tgΘ1。tg2Θ1Td=2 ωε + ωε4+ β。(八)p p因此,(6a)、(7b)和(8)是得到的PID整定规则,其中角度Θ从相位条件(1b)获得。Θ=− 18 0−a rgG。ωp=−180−(9)3. 通过正弦激励输入再次考虑图。 如果SW = 2,则将幅值为U n、频率为ω n的正弦激励信号u(t)= U nsin(ω n t)注入到对象G(s)中。设备输出y(t)=Yn sin(ωn t+ω n)也是幅值为Yn的正弦曲线,其中ω n是y(t)和u(t)之间的相位滞后。在从u(t)和y(t)的记录值中读取值Yn和Y(t)之后,对应于激励频率ωn的Θ=−180<$−argGωp<$=− 18 0−(10)可以在复平面上绘制。激励频率ωn取自ωn∈(0. 5ωc,1. 25ωc±,(11)式中,设备临界频率ωc可通过著名的继电器实验(Eström和Hägglund,1995)获得,即SW= 3。使用系数为K;Ti=βTd;Td的PID控制器,坐标为(10)的识别点G(jωn)可以移动到负实半轴上的相位交叉点LP L(jωp*),如果满足激励和相位交叉频率ωn和ωp*之间的下列等式,则保证所需的增益裕度GMωp=ωn(12)考虑(11),得到以下关系G(jωp)=|G(jωn)|、a rgG(ωp)=a rgG(ωn)=,(13)S.Bucz,A.Kozáková/电气系统和信息技术杂志2(2015)358362Θ= −180−arg G(ωn)(14)并且相位交叉坐标是L P=[|L(jω n)|,arg L(ω n)]=[1/G M,−180Ω].S.Bucz,A.Kozáková/电气系统和信息技术杂志2(2015)358363K=G.Σ|、|, Td= 2 ω+ω4+β,(15)图3.第三章。(a)-(继电器试验时,α/T=将(13 a)代入(6 a),将(12)代入(8),PID控制器系数保证所需的增益裕度GM是使用以下形式cosΘMntgΘn1.一、tg2Θ1nβ=4,Ti=β Td,Θ=-180 −。(十六)4. 所设计的PID控制器本节回答了以下问题:如何将设计人员要求的最大超调ηmax和建立时间ts转换为辨识和PID控制器整定所需的频域参数对(ωn,GM考虑由下式给出的典型增益裕度GM:GMj={3 dB, 5 dB, 7 dB, 9 dB, 11 dB, 13 dB, 15 dB, 17 dB},(17)j= 1,. . . ,8;让我们将(11)分成5个大小相等的部分,并生成激励频率集{ω nk}={0. 5 ω c,0. 65 ω c,0. 8 ω c,0. 95 ω c,1. 1 ω c,1. 25 ω c}。(十八)k = 1,. . . ,6;其元素除以设备临界频率ωc确定由以下集合给出的激励水平σk=ωnk/ωc:{σ k}={0. 五,零。65,0。八,零。95,1。1,1。25},(19)k= 1,. . . ,6. 图图3示出了使用PID控制器设计的不同GM和ω n的闭环阶跃响应成形,该PID控制器设计用于参S.Bucz,A.Kozáková/电气系统和信息技术杂志2(2015)358364数T2= 0.75、α2= 1.3的设备(20 b),并且在不同激励水平下所需的增益裕度GM= 5 dB、9 dB、11 dB和13 dB为σ1= ω n1/ω c= 0.5、σ3= ω n3/ω c= 0.8和σ5= ω n5/ω c= 1.1。S.Bucz,A.Kozáková/电气系统和信息技术杂志2(2015)358365×33n图四、B -抛物线:(a)η max= f(GM);(b)τ s= ω cts= f(GM)对于辨识水平ω nk/ω c,k = 1,2,3,4,5,6,对α/T > 0.3的非最小相位系统有效。考虑以下基准电厂(Eström和Hägglund,1995)G2(s)=−α2s+1,G3(s)=−α3s +1.(二十)(T2s+1)n2(s+1)(T3s+1)(T2s+1)(T3s+1)所提出的方法已被应用于集合(18)和(17)的笛卡尔积ω nk G Mj的每个元素,其中j = 1,. . . ,8且k =1,. . . ,6. 对于基准系统(20),可以观察到在所设计的PID控制器下各个控制回路的动态之间的显著差异。 建立时间t s可由以下关系式表示:γπts=ω,(21)其中γ是阶跃响应的曲线因子。 为了检查各种设备动态的闭环建立时间,最好定义相对建立时间τ s= t s ωc。 代入ω n= σω c,我们得到相对稳定时间的关系式π πts ωc=σγτs=σγ,(22)其中ts与设备临界频率ω c有关。 由于引入了ω c,l.h.s. 对于给定的对象,(22 a)的是常数,与ω n无关。对于不同的激励频率ω nk,根据经验获得的相关性(22 b)如图12所示。 4 b和图。 很明显,随着每个激励电平σ处相位裕度G M的增加,相对稳定时间τ s首先减小,在达到其最小值τ smin后,它再次增加。考虑具有以下参数的基准对象G1(s)和G2(s):G1.1(s):(T1,n1,α1)=(0.75,8,0.2);G1.2(s):(1,3,0.1);G1.3(s):(0.5,5,1);G2(s):T2= 0.5,α2= 1.3。[G2(s),G1.3(s)]和[G1.2(s),G1.1(s)]的主要区别在于α/T比值,第一对的α /T比值为[α2/T2= 2.6,α1.3/T1.3= 2],第二对的α/T比值为[α1.2/T1.2= 0.1,α1.1/T1.1= 0.27]。因此,参数α与被控对象的时间常数T之比对于针对具有不稳定零点的被控对象设计的PID控制器的闭环性能评估具有重要意义。基于前面对一系列基准实例设计结果的分析,具有不稳定零点的未知对象可以根据比值α/T分为以下两类:1. α/T= 0.3的植株2. α/T> 0.3的植物。根据这一分类,在不同的开环增益裕度GM和激励水平σ下,构造了具有不稳定零点的非最小相位系统的经验依赖关系η max= f(GM),τ s= f(GM),并在图中绘出。 4 a(α/T> 0.3),图4 a(α/T> 0.3)。 5 a(α/T<0.3)。相关网络表明,增益裕度GM的增大导致η max的减小。S.Bucz,A.Kozáková/电气系统和信息技术杂志2(2015)358366R→||NN我n||≡N我N我i=1i=1图五、B -抛物线:(a)η max= f(GM);(b)τ s= ω c t s= f(GM),对于辨识水平ω nk/ω c,k = 1,2,3,4,5,6,对α/T = 0.3的非最小相位系统<有效。作为图1和图2中的经验依赖性。图4和图5中的曲线近似于二次回归曲线,它们被称为B抛物线(Bucz和Kozáková,2012年)。B 抛物线是一种 有效的 设计工具,可以进行这种变换:(η max,t s)(ω n,G M),可以分别选择增益裕度G M和激励频率ω n的适当值,以保证设计人员在最大过冲η max和建立时间t s方面指定的性能(Bucz和Kozáková,2012年)。注意,要使用同一水平的成对B抛物线(图4a,图4b)或(图5a,图5b)。当控制一个具有不稳定零点的实际对象时,由于对象模型的不可用性,不能精确地指定比值α/T。为了确定给定设备属于哪一类(α/T> 0.3或α/T< 0.3),在继电器测试期间分析输出变量的上升部分以确定ω c就足够了。如果y(t)具有带微小下冲的S型,则该对象被包括在α/T 0.3的范畴内,而图10中的 0.3的类别,其性能将使用图3d中的B抛物线进行评估。 四、5. 基于SWTM的不确定设备识别的主要思想在于,使用激励信号频率ωn针对个体不确定性变化重复正弦波型激励,从而产生不确定设备频率响应的一组识别点GiG i(jω n)=|G i(jω n)|e jargGi(ωn)=ai+jb i,i= 1,2,. . .,N.(23)设备参数变化反映在幅度和相位变化Gi(jω n)和arg Gi(ω n)中,其中i = 1,. . . ,N;N= 2p是鉴定实验的次数,p是工厂的变化技术量的次数在ωn处的标称对象模型G0(jωn)分别作为Gi(jωn)的实部和虚部的平均值获得G0(jω)=a0+jb0=1<$a+j1<$b,i=1,2,. . 、.中, N.(二十四)表示对象的非结构不确定性的点Gi可以被包围在以G0(jωn)为中心的圆MG中,其中G0(jωn)=(a02 +b02)0.5,其中R0为半径RG R G(ω n),作为第i个识别点Gi(jω n)和标称点G0(jω n)之间的最大距离获得RG=max. .(ai−a0)2+(bi−b0)2<$,i=1,2,. . . N.(二十五)S.Bucz,A.Kozáková/电气系统和信息技术杂志2(2015)358367≡{||}{→||}||||||Krob=G|、|, T下降=+ω4+β,(26)(GS)-1)/G,图六、色散圆MG和ML。以标称点G 0为中心、半径为R G的弥散圆M G包围不确定对象的所有已识别点G i(图1)。 6)。由为标称点G0(jωn)设计的鲁棒控制器G Rrob(s)生成的所提出的控制律实际上执行由MG包围的识别点集Gi(jω n)的变换<$:R G R L:R L= G Rrob R G 并计算了Nyquist图上各点Li(jωn)对应的色散圆ML的半径RLRL(ωn),以保证满足鲁棒稳定性条件。鲁棒PID控制器的设计使用的SWT方法在第2节和第3节中描述;标称模型G0(jω n)的输入数据是其坐标:G0(jω n);0 = arg G0(ω n)。将它们代入(15)和(16),得到用于计算鲁棒PID控制器参数的以下表达式cosΘ0MntgΘ02ωn1.一、tg2Θ01nT irob=βT drob, β= 4, Θ0=-180 −0。(二十七)可以看出,出现在(26 a)中的增益裕度GM同时是保证鲁棒稳定性所需的鲁棒PID控制器整定定理1. PID控制器鲁棒稳定的充分条件考虑一个由非结构不确定性描述的不确定连续时间稳定动态系统。如果标称闭环系统(PID控制器GR(s)下的G0(s))稳定,则控制器GR(s)下的闭环系统T(s)鲁棒稳定,并且1+χL<$RG(ωn)/|G0(jωn)|ΣSS(二十八)其中,GM是所需的增益裕度,ωn是激励频率,χL是安全系数,RG(ωn)是ωn处设备奈奎斯特图的色散圆半径,G0(jωn)是ωn处标称设备奈奎斯特图上的点。证明根据图6可以容易地执行证明。如果标称开环L0(s)= G0(s)G R(s)是稳定的,那么根据奈奎斯特稳定性准则,如果L0和点(−1,j 0)之间的距离,即,|1 + L0(jω n)|大于以L 0为圆心的圆ML的半径RL(ωn),即|R|1 + L0(jω n<)|,(二十九)|,(29)其中ωn是正弦波发生器频率。距离1 +L0(jωn)是与单位值互补的距离0,L0=L0因此|+的|1 + L0(jω n)|= 1,|1 + L0(jω n)|= 1 − |L0(jω n)|.|.(三十)根据所提出的PID控制器整定方法的原理,鲁棒控制器将被控对象频率响应G0(ωn)的标称点移到复平面负实半轴上的一个点L0因此,|L0(jω n)|为|G0(jω n)||G R(jω n)|= 1/G M,得出比率|G R(jω n)|= 1/[G]M|G0(jω n)|[在半径之间R G和R L= |G R|R G分别是圆M G和M L的。GM>1 −χS.Bucz,A.Kozáková/电气系统和信息技术杂志2(2015)358368G s=,3±0n0.10奈奎斯特图-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5电话:+86-0511 - 8888888传真:+86-0511 - 8888888实轴图7.第一次会议。G30(jω)、G3N(jω)、L30(jω)、L3N(jω)的奈奎斯特图:对于所需性能,ηmax0= 5%,τs0= 12。色散圆ML的半径RL计算为:1RL=RGG.(三十一)|G (jω)|将(30 b)和(31)代入一般鲁棒稳定性条件(29)并考虑安全系数χL,以下不等式成立GM−1>XLRG,(32)G MG M|G0(jω n)|在一些操作之后,其与已证明的条件(28)相同 令χ L= 1.2。 根据鲁棒稳定性条件,将所选值GM代入(26a),然后从(26)和(27)获得鲁棒PID控制器参数。所提出的方法的设置在以下示例中被广泛地说明。6. 鲁棒PID控制器设计方法的验证考虑以下具有不稳定零点的不确定对象G3(s() K3(−α3s+1)(33)(T3s+1)3G30(s)=K30(−α3s+1)=0。8(-7。5s+ 1)(三十四)(T30s +1)3(27. 5s+ 1)3参数K3、T3和α3在标称值附近的15%范围内变化;G30(s)为标称模型。对于上述设备,将设计鲁棒PID控制器以保证标称模型的最大超调ηmax0= 5%和最大相对稳定时间τs0= 12(34),以及设备族G3(s)的稳定性(33)(鲁棒稳定性)。1. 标称模型的实测临界频率为ωc= 0.0488 s−1。根据标称闭环性能结果的要求,ts=τs0/ωc= 12/0.0488 = 245.9s。2. 为了实现预期的标称性能(ηmax0,τs0)=(5%,12),使用图5中的“粉色”B抛物线,根据(34)选择增益裕度和激励频率(GM,ωn)=(18 dB,0.65ωc)L3N(jn)MLRLL30(jn)1/1018/20RGL3N(j)L30(j)1/1014.9/20G30(日本)MGG3N(j)G30(j)虚轴MS.Bucz,A.Kozáková/电气系统和信息技术杂志2(2015)358369最大值0_obt。= 4.5%,ts0_obt。=243秒GM =18 dB,n =0.65cG+MN=13.1 dB,=0.65nC最大值N_obt. = 13.5%,tsN_obt. =301秒1.5标称型号G30(s)10.50电话:+86-0510- 8888888传真:+86-0510 - 8888888时间(秒)1.5最差对象模型G3N(s)10.50电话:+86-0510- 8888888传真:+86-0510 - 8888888时间(秒)见图8。 不确定对象G3(s)和要求值η max0 = 5%和τ s0 = 12的闭环阶跃响应。α30/T30 = 7.5/27.5 = 0.27< 0.3。植物的不确定性包含在K3、T3和α3三个参数中,识别实验数为N = 23= 8。3. 使用正弦波法,在给定的频率下识别不确定对象的Nyquist图的八个点。ω n= 0,65 ω c= 0,65.0,0488 = 0,0317 s−1:G31(jω n). . .G38(jω n)(在图7中由蓝色“x”描绘)。根据识别点G3i(j ω n)(i =1,.)的坐标计算出标称点G30(j ω n)的位置。. . ,8位于标称模型G30(jωn)的Nyquist图(蓝色曲线)上,从而证明了辨识的正确性。从标称点G30(jω n)画出的色散圆MG的半径为RG= 0.164。4. 当GM= 18 dB时,r.h.s. (27)G0RS= 3.52dB,满足鲁棒稳定性条件(26)GM>G0RS。所设计的鲁棒PID控制器将负半轴上的标称点G30(jω n)移动到L30(jω n)= G30(jω n)GRrob(jω n)= 0. 12 e−j180Ω,通过该图可以得到标称开环的Nyquist曲线L30(jω n)(图 7为绿色),其中保证增益裕度G M= 18 dB。标称闭环步长响应(图8a,绿色曲线)证明达到了所需的标称性能ηmax0= 4.55%,获得的τ s0=获得的ω c t s0= 0.0488.243 = 11.865. 色散圆ML(绿色)半径RL= 0.0573包含所有点L3 i(jω n)= G3 i(j ω n)G Rrob(jω n),其中i = 1,. . . ,8.PID控制器已将设备的最坏点G3 N(jω n)(图7中的蓝色符号“+”)移动到L 3 N(jω n)= 0.16 e − j 197dB,据此,估计的最坏增益裕度为G MN = 14.9 dB。6. 最小增益裕度与最坏的点G3 N(jω n)的植物(蓝色符号“+”在图。(7)由红色奈奎斯特曲线与负实轴的交点,其中开环增益裕度为G+MN= 13.1 dB;此处预期ηmaxN= 25%,相对建立时间τsN= 16(根据图5中的ωn= 0.65ωc)。实现的性能ηmaxN= 13.5%,tsN= 301s(图8b中的红色阶跃响应)证明了这一事实。确认这项研究工作得到了斯洛伐克研究和发展署的资助,资助额为APVV-0772-12。控制变量y(t)控制变量y(t)S.Bucz,A.Kozáková/电气系统和信息技术杂志2(2015)358370引用K.J.,Hägglund,T.,一九九五年 PID控制器:理论、设计与调试,第2版. 美国仪器协会,ISBN 1556175167。Bucz,S.,Kozáko vá,A.,2012年。 PID控制器的设计,以指定的性能. 在:介绍PID控制器:理论,调整和应用到前沿领域。化学工程系,CLRI,Adyar,印度,ISBN 978-953-307-927-1。Reinisch,K.,一九七四年 Kybernetische Grundlegen und Beschreibung Kontinuierlicher Systems. VEB VerlagTechnik,柏林. Visioli,A.,2006年。 实用的PID控制,在工业控制中的优势。 Springer London Limited,ISBN1846285852。Yu,Ch.-第一章,2006年。PID控制器的自整定继电器反馈方法,第2版. Springer-Verlag London Limited,ISBN 1-84628-036-2.
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