非线性三阶微分方程的吸引性研究 - 拉法特·扎伊德

¼¼¼¼二-1¼¼¼2Journalof the Egyptian Mathematical Society（2013）21，241埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章两个非线性三阶微分方程的吸引性拉法特·扎伊德埃及开罗现代工程技术高等学院基础科学系收稿日期：2012年12月30日;修订日期：2013年2月26日;接受日期：2013年3月12日2013年4月23日在线提供本文研究了一类差分方程的全局吸引性、周期性、振动性和所有容许解的有界性xn1A-Bxn-1 ;n0; 1;.CDxn-2其中A、B是非负实数，C、D是正实数，对于所有n P 0，± C + Dx n-2n 0。2000年数学学科分类：39A11？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍差分方程自然地表现为微分方程和延迟微分方程的离散类似物和数值解，在生物学、生态学、其中，a、b、c是非负实数，并且对于所有nP0，c + xnn 0。Xiu-Mei等[3]研究了一类非线性差分方程负解物理等[1]。高阶非线性有理差分方程的研究是非常重要的，因为我们仍然知道，xn11 -xn-k;n0; 1;.ADxn关于这些方程的研究很少。El-Owaidy等人[2]研究了差分方程其中，A （，0），k是正整数，并且对于所有n个P 0.Wan-Sheng等[4]研究了非线性时滞差分方程xn1a-bxn-1;n0; 1;.. .cxnxn1a-bxn-k;n0; 1;.. .一个人，电子邮件地址：abuzead73@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责其中a P 0，b，A> 0，k {1，2，.. . }和A + x nnn 0，nP 0.本文研究了一类差分方程1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.03.009制作和主办：Elsevier关键词差分方程;周期解;吸引性;渐近稳定¼242R. 扎伊德¼ ¼ ðÞDj-j2P¼¼ ¼ ðÞX2-kþ¼ðÞ-k+10i¼- kp¼n-1;n <$0; 1;.. .12：60C2CX¼¼¼xn1A-Bxn-1 ;n0; 1;.. .1：1的比例CDx定理2.4.考虑差分方程n-2其中A、B是非负实数，C、D是正实数，且±C+Dxn-2n0对所有nP0。2. 预赛考虑差分方程x n=1;x n= 1;.. . ; x n-k;n<$0; 1;.12：10设f是一个连续函数，它将某个集合Jk+1映射到J上，其中J是实数的某个区间 不难看出，Eq。（2.1）对于初始解fxng1n¼-k，条件x-k，x-k+1，.. . ，x02J.定义2.1. [五]《中国日报》(1) 一个平衡点<$x为方程。（2.1）称为局部稳定的，如果对于每个e>0，存在d>0，使得对于所有x n1<$fx n-1; x n-2;n<$0; 1;.12：50设[a，b]是实数的区间，并假设f：½a;b] ×½a;b] ！半a;b]是满足以下性质的连续函数：(1) f（x，y）对于每个y2[a，b]在x2[a，b]中不减，并且f（x，y）对于每个x2[a，b]在y2[a，b]中不增;(2) 如果（m，M）2[a，b]·[a，b]是系统fm;Mm和fM;mM;则 m=M 。 那 么 方 程 （ 2.5 ） 有 唯 一 的 平 衡 点x<$2½a;b]，且（2.5）的每一个解都收敛于x<$。变量xnC yn的变化使等式（1.1）差分方程X，x，. . . ，x2J，其中P0jx i-<$xj0，使得对于任何初始条件，其中pAD和qB。在下文中，我们将只考虑对应于可容许初始条件的解，这些初始条件将被称为0i¼- k jx i-<$xj1000万美元11000万美元(2)如果q2<$1 <$2;，则h0（x）0和q-1. 1/1.1个月1个月1个月1个月2q-1-q-13，（即y1q），则2019- 02-22(a)如果p<1y;y;y20;p.考虑函数U1p-qx。它2q-1-q-13，然后是y。 这意味着2002年2月1日很明显U1在x和y方向上都在-1上递减;p×10 ~（-1）; 10 ~（-1）。200q-100 -200q-1000.-ΣI/V-H方程g2（k）=0的根和系数为H定理3.1.(3) 如果2q1，则我们有：2(1) 平衡点y<$1局部渐近稳定的充分条件是q61。(a)如果p2q-1-q-13，则y2q-1-q-13，则yZEq-2ZE2是 不稳定（鞍形(a)如果p>2 <$q-1 <$-<$q-1 <$3，则y<$是局部渐近的2019-02 - 21稳定点3(b)如果p <1，则y<1是非双曲点。2点）。证据 显然，g2（k）在（-1，-1）上有一个零k1。康-函数h（x）=（2-q）x+1-q。然后2019-02 - 21(c)如果p<2q-1-q-13，则点）。2019 -02 - 22y1是 不稳定（鞍形h0（x） = 2-q.（1）若q06q61，则h0（x）>0且h<$y2<$h<$-1-q<$0且h0（x）>0<(3) 如果q P 2，则y<$1是不稳定的（鞍点）。h2-q210-1-q2000.<<因此，如果q2[0，2），则我们有下午2点。 这意味着证据显然，g1（k）在（-1，0）上有一个零k1(1) 如果 q<1， 然后使用 定理 (2.3)与 a0¼y1 ;QGY221岁y21 jk2k3jy2<-1-q，我们有三种情况结果如下。(2) 设h1/4q-1。然后jk1j<10y2 和y2 不稳定（来源）y22-Q.Σ2(b)如果p<$2q-1-q-13，（即y h），则jkjf1hh21qh- pQ-12-Q22011年1月1日Q-12 -q和y2ZEq-2ZE2不稳定201q-101q-1013112y22q-12q-12q-123(c)当p>2019 -02 - 222，（即y2h），则jk1j><210月2日-p1/2-q1/2 -p：而y2是不稳定的（鞍点）。H3(a)如果p>2q-1-q-1，则y2019-02 - 21y1> H. 这意味着定理3.3. 假设Q <1。则区间0;p是一个不变区间（3.1节）。jk1j > j-1y1j.利用r-的根和系数，我们得到了结果。证据 让 fyng1n2-2-1 个0qG1没有真正的根。 利用关系1个月1个月因此，如果q=1，则k1<-J.两个非线性三阶差分方程245Q小时y1(b)如果p¼jk1j 0。31C1k-k第1页第0节：(2) 假设q1，设fyngn1/2是方程的解，那么jkj1<$q <$1<$$>，因此<$k<$1-=limsup y n. 所以我们有p-qK6k6K6p -qk：k3>1，y2不稳定（来源）。(b)如果q>1，则jk1j>1，因此-1克朗这意味着1 克k31和yQ2 鞍点（saddle point）Hp-qK6kkK和KKk6p-qK：定理3.6. 假设Q<1。[1][2][3][4][5][6][7][8][9][9][10][10][10][11][10][10][11][10][11][12][11][12][12][12][13][14][15][16][17][18][19][19][10][10][19][10][10][10][10][11][19][10][10][10][10][11][10][10][11][10][10][11][10][11][10][11][10][11][10][10][11][10][11][10][11]（3.4）。证据 设q<为1，令y<$y4ni和q2n1y-2i1;2k3q1年i克奇伊2011年1月1日1/4;1/4; 2/4;3/60y<4ni 1，则是鞍点。(2) 以下陈述是正确的。(a)如果q<1 ≠2，则y2不稳定（源）。j¼> -2<--一种K 最大k¼0：K(b)如果p>1，256R. 扎伊德¼-证据设fyng1n2和0>y4ni> q2n2y-4i;i¼3; 4;nP¼ 0：2，则y2是不稳定的（鞍点）。这是一个Eq。（3.4）初始条件下，证据（1）可以看出：与方程相关的线性化方程。（4.5）约y1/40为位置y-2，y-1，y02[-q，q]。 然后由定理（3.6）得到1+yn>0，nP-2。即sgnyn1-sgnyn-1;nP0这意味着，和fyg1zn1N-I1; 2;3; 4; 5; 6;7; 8; 9;10; 11;12;13;14;15;16;17;18;19 .以长度为1的半圈振荡。2n-1n¼02nn¼0两个非线性三阶差分方程257FGþ¼ðÞ我2-232211-11FG23-1-12-112-1-22-11个月qy2¼2--1 q-y0n0或y0=0，y-1n0，解yn1n¼-不受约束Hy1--112是的-1ð Þ¼0因此，解决方案1n长度2。现在考虑函数1/4 - 2以半周期2011年1月1日p-qyn-1-1\f25n-2;n <$0; 1;.. .2014 -04-19U x;y-qx：1天很明显● 当y>-1时，U2沿x方向递减● 对于xP0，U2在y方向上增加，对于x60，U2在y方向上减少4.1. 线性稳定性分析我们可以看到，Eq的平衡点。（4.1）是函数f2y<$$ >2-1qy<$-p：即y11qq-1q24p(1) 设y-2，y-1，y02[0，q].所以我们有-qy y4ni和q2n1y-2i1;2k3晶体Q-1yi时间00：04： 03-1yi0y<4nip，则有：(3) 如果q>1，则Eq.（3.4）有无界解。(a)如果 p1，h1（k）有一个<零k1在（-1，-1）中。它遵循H.- -一种y1y1q-y2q<0：1(2) 假设{.. . ，u，w，u，w，.. . }是周期2解等式（3.4）。然后我们有u^-qu;w^-qw。这-11-1100w100u意味着（u-w）（1+q）=0，这是一个矛盾的-当u_w和q^B>0时，那是jk1j j-y1 J. 利用C1的根和系数的方程h1（k）=0我们得到(3) 假设q> 1，且设yn n1/4 - 2为方程的解。（3.4）。只要考虑初始条件，<（>q+1），i=0，2并且如果y-1=0，1，结果如下。（2）假设q> p。也就是y11和h1（k）都是零-2 $>q <$1 $>，（即yq1þ2在这一节中我们研究差分方程的全局性态y1 . 因此，-1岁11岁鞍点（saddle point）是unsta-¼> -¼-1我我258R. 扎伊德23y1¼-22-jj1- -1我þ--121----2 32-2-1-1个月(b)如果pP<$q<$1 $>-2 $> q<$1 $>，（即yqPq<$1），则k1þ2是[l，0]上的连续函数，并且在x上增加，-我是说... 由此可知，- -是unst-对于每个x，y2[1，0]，在y中减小。1年1次有能力。 H现在让fyng1n2这是一个Eq。 （4.1）初始定理4.2. 如果q> 1，则y1鞍点（saddle point）条件y-2，y-1，y0[1，0]，且令m，M[1，0]为a系统解证据假设q>1。然后(1) 如果1且h1（k）在（1，0）中有零k1。它遵循.你好-1V1μm;M1 μm和V1μM;m1 μM：当q1时，我们得到m=M。<应用定理（2.4），结果如下H4.2. p= 0的情况H1-112019-01- 23 2011年-2012年10月0日：在本小节中，我们研究了不同的全球行为即 K< y1. 利用-11能量方程我们得到了方程h1（k）=0的根和系数y1-qyn-1;n <$0; 1;.. .2014年4月5日tainkkk>1和y鞍点（saddle point）n1-1个月(2) 如果q>p，则y11和h1（k）在（-1，k）中具有零k1，<当量方程（4.5）的平衡点为y1<$0和y2<$1-q。1)，k2在（1，0）中，k3在（1，）中。那么y1 不稳定（鞍点）。 H与Eq. （4.5）关于y1;i1;2是定理4.3. 以下陈述是正确的。(1) 若q <1，则y2是局部渐近稳定的.zn1Q-1zn-1QYI— -1zn-21/4;i<$1; 2; n<$0; 1;.. .2014年4月6日(2) 如果q> 1，则y2是不稳定的（鞍点）。与该方程相关的特征方程为：证据k3q-1yi克奇伊2001年1月1日1/4;1/4; 2/ 4;3/4; 4/7(1) 利用定理（2.3），我们得到了一个结果。(2) 显然q>1意味着h1（k）在（-1，-1）中有一个零点k1，并且jk1j>j-y2 J. 也就是说，定理4.7.(1) 平衡点y1/40是局部渐近稳定的。鞍点（saddle point） H定理4.4. Eq.的充分必要条件（4.1）有一个周期为2的解是q= 1。在这种情况下，每-IOD-2溶液的形式为F。. ;u;p;u;p;u;p;. . g，u2R.如果q<>1，则为ble，如果q> 1，则为unstable（鞍点）。(2) 以下陈述是正确的。(a)如果q> 1，则y2是不稳定的（鞍点）。(b)如果 qp1，则y2是 不稳定 （来源） 如果u u u0pq2-1和一个不稳定的（鞍点），如果定理4.5. 假设Q <1。 [1，0]是等式的不变区间。（4.1），l<-p.1-Q证据2- <1q1<。证据 考虑函数Vx;yp-qx：4：4很明显，对于每个y2I，V1在x2I上增加，对于每个x2I，V1在y2I上减少，其中I=（-1，0）。(1) 这是足够的看到：线性方程。（4.6）关于y1/40是z n1-qzn-1<$0;n<$0; 1;.连同其相关的特征方程k3-qk1/40：现在假设y ;y ;y2l<-p.然后-2个-1个01-q-pqlp-qly<电话：+86-021- 8888888传真：+86-021 - 8888888<2<0;1-101y -1l-1lzn1 —zn-1q1/4;n/4; 1;.-pqlp-qly<电话：0531- 8888888传真：0531- 8888888<<第0章：-101y -1l-1l其相关特征方程为：1我们用归纳法得到这个结果. Hk3-k2qq-1 ¼0：定理4.6. 假设Q <1。 那么y2是一个全局吸引子，盆[l，0]为3。61121n-212两个非线性三阶差分方程259Q证据 很明显V1：1/2l;0] ×1/2l;0] ！1/2升;0](a)如果q>1，则该特征方程在（-1，-1）中有零k1，使得k1<-1<$q-1<$ a-nd，因此y2是鞍点。(b)假设Q <1。那么这个特征方程在（1，1）中有一个零k1260R. 扎伊德Q我...ð- ÞffiffiffiQ¼-22j j jj<11-22-2(ii)如果p2- 1q1，那么k<<> -100克-100克它2等式（4.5）这样，埃什 -我...¼-1，并且y2是不稳定的（源）。定理4.10. 以下陈述是正确的。（1）设q1，设fyng1n2是一个非平凡解因此，1 。 设 fyng1n2 是 方 程 的 非 平 凡 解 。 式（4.5），设y2 1/4-q表示非零均衡点的当量（4.5）等的或者，（C1）y01，则Eq.（4.5）有无界解。证据(1) 这足以看出，长度1.此外，y2n+2fi-1（0）和y2n+1fi0（-1）。SGN公司2n-1 公司简介Þ和sgny2nÞ¼sgnðy0Þ;n ¼ 0；1；.. .(2) 假设q1，令fyng1n¼-2是Eq的解。即（4.5）使得y-2，y-1，y02（0，1-q）（或1（-1+q，0））。那么fyng1是积极的（或消极的）。如果y-1y0>0，则解fyngn <$4 - 2是正的或（负的）。1n¼-2如果y-1y00，则解fyg1振荡，此外，fyngn 1/4 - 2收敛到零平衡点。长度为1的半圆nn¼-2证据(1) 考虑函数(2) 根据定理（4.9），我们有. qn1. qn1V/x;y/¼-qx：jy2n1j<1-Q1y和y-12n21-Qjy0j：-1个月很明显，V2在x方向上随着y1的增加而增加<对于x0的y<假设条件（C1）成立。然后我们有0>y1¼V2y1;y2>V2y1;y2¼y-1;但是q2< 意味2n+1 且n=2n+2n=0asnfi。 这是一个很好的例子。 这就完成了证明。(3) 假设q = 1，则{... . ，u，w，u，w，.. . }是等式（1）的周期2解 （4.5）。 然后我们有u¼-u;w¼-w。这意味着uw=0。没有- --1w-1u0y2¼V2y0;y1V2y0;y2¼y0：通过归纳，我们得到y2n2y2n0<< 和0>y2 n= 1> y2 n-1;n<$0; 1;.很容易看出y2n +2fi-1和y2n +1fi0。为失去一般性，如果我们让w=0，我们得到周期-2解决方案{.. . ，u，0，u，0，u，.. . }，其中u2R(4) 假设q> 1，1n 1/4-2是Eq的解。（ 4.5 ） 。 考 虑 初 始 条 件 y-i≥q+1 ） ，i=0，2和dy-i≥q+ 1（

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