时间分数阶生物种群模型的解析解方法及其应用

eGYPTI anjournalofbasI cand aPPlI e d sciences 1（ 2014）71e76制作和主办：Elsevier可在www.sciencedirect.com在线获取ScienceDirect杂志主页：http://ees.elsevier.com/ejbas/default.asp二维时间分数阶生物种群模型及其解析解维尼特湾Srivastavaa，*，Sunil Kumarb，Mukesh K.AwasthiC，Brajesh Kumar Singhda印度卡纳塔克邦班加罗尔560058，印度空间研究组织遥测、跟踪和指挥网b印度贾坎德邦Jamshedpur 831014国家技术学院数学系cDepartment of Mathematics，University of Petroleum and Energy Studies，Dehradun 247008，Uttarakhand，IndiadDepartment of Mathematics，School of Allied Sciences，Graphic Era Hill University，Dehradun248002，Uttarakhand，IndiaA R T I C L E I N F O文章历史记录：2013年11月22日收到2014年3月6日星期四2014年3月8日接受2014年3月27日在线发布保留字：GTFBPMFRDTMMittag-leffler函数Caputo分数阶导数精确解AB S T R A C T本文建立了广义时间分数阶生物种群模型（GTFBPM）的数学模型分数阶导数已在Caputo意义下描述。该模型已解决了最近的近似解析方法，所谓的分数阶约化微分变换法（FRDTM）。利用这种方法，可以求出微分方程的精确解和封闭的近似解。为了验证该方法的有效性、准确性和收敛性，给出了三个GTFBPM的数值算例使用这种计算技术的特殊优点是，它是非常容易实现的，并采取小规模的计算相反，其他数值方法，同时处理复杂和繁琐的物理问题，在自然科学和工程的各个分支版权所有？2013，曼苏拉大学.制作和主办Elsevier B.V.所有权利reserved.1.介绍利用分数阶微积分理论建立模型，可以成功地解释自然科学和工程中的各种物理现象分数阶微分方程由于其响应最终收敛到整数阶而受到越来越多的* 通讯作者。联系电话/传真：091- 8050682145。方程近年来，分数阶微分在地震模拟、分数阶导数交通流模型、粘弹性材料性能测量等实际物理问题的数学建模中得到了广泛的应用在十九世纪以前，即使是线性分数阶微分方程也没有解析解电子邮件地址：vineetsriiitm@gmail.com，vsrivastava107@gmail.com（V.K.Srivastava）。曼苏拉大学http://dx.doi.org/10.1016/j.ejbas.2014.03.0012314- 808 X/版权所有2013年，曼苏拉大学。制作和主办Elsevier B.V.保留所有权利。72《埃及生物安全和生物多样性科学杂志》1（ 2014）71e76ZZZBð Þvfpvta¼ vx2 vy2hp.ΣB2Q方程最近Keskin和Oturanc[1]发展了分数阶微分方程的分数阶约化微分变换方法（FRDTM），并证明FRDTM是最容易实现的分析方法，能给出线性和非线性微分方程的精确解。FRDTM非常可靠、高效和有效用于解决物理问题的强大计算技术;参见参考文献[2e5]。矩形网格，其中在每一步中，动物可以停留在其当前位置，或者可以向最低种群密度的方向移动。这两种可能性之间的概率分布由有关网格侧的粒子数密度梯度的大小决定这是一个很好的例子。（3）在不超过（p）1/4p2的情况下，vapv2p2v2p2vta¼vx2vy2 f p;t≥0; x;y <$R;（4）给定初始条件p（x，y，0）。对于1/4 1，等式（4）重新─2.广义时间分数阶生物种群模型生物科学家认为，扩散或迁移在物种的种群调节中起着至关重要的作用生物物种在区域C中的扩散描述为：这是一个非常有趣的问题！x¼x;y在RegionCndtimet中[6]namely popl at i ond en sity palace！x;t，difu sionv el ocityv！我不知道，而且他的pop ul at i onsuppply，f！x;t=0。 这是一个很好的选择！x;tobrigiv esthenumberofi v id ual s，peruitvolume，atp o-s ition！x和ti m et;它是R e g i o n C的大量子区域D，这使得D的所有p o l p p u l a t i o n t i m e t。这不是你的错！x;t=0每单位体积的个体供应率，在p o s it ion！x通过births和deat hs。 这是一个充满活力的地方，你会发现！x;t代表了那些占据正态生物种群模型（normal biological population model，NBPM）vpv2p2v2p2vt¼vx2vy2fp;t≥0; x;y ≤R：（5）Eq的一些性质（4）如Holder估计及其解已在[8]中得到研究。f（p）的本构方程的三个例子可以给出为：a) f（p）constant，马尔萨斯定律[6]。b) f（p）1/4c1p-c2p，c1，c2/4正常数，Verhulst定律[8]。c）f（p）¼cp，（c>0，00，l（p）>0，并且V是拉普拉斯算子，可以获得以下关于种群密度p的二维非线性退化抛物型偏微分方程：它们与生物系统中大量存在的分形密切相关文献[11，12]中用变分迭代法（VIM）、Adomian分解法（ ADM ） 、 同 伦 分 析 法 （ HAM ） 和 同 伦 扰 动 法（HPM）求解了线性和非线性种群系统这些方法的主要缺点是它们需要复杂和大规模的计算。为了克服复杂的计算工作，FRDTM已被用于解决问题。利用分数阶约化微分变换方法求解广义时间分数阶生物种群模型所得结果与VIM、ADM、HPM和HAM等方法所得结果进行了比较。vapvta¼ v2fpvx2 þ2vy2f当量（3）称为时间分数阶生物种群模型（TFBPM）。Gurney和Nisbet[7]使用了p（p）作为动物种群建模的特殊情况。这种迁移通常是由成熟的动物在成熟的入侵者的驱使下进行的，或者是由刚刚达到成熟的年轻动物离开它们的父母领地建立自己的繁殖区。在这两种情况下，更有可能的假设是，它们将被引向附近的空置土地。因此，在这个模型中，迁移几乎完全沿着人口密度梯度发生，并且在人口密度高时比在人口密度低时更快。为了模拟这种情况，他们考虑了一个步行通过3.分数阶微积分理论在本节中，我们提出了一些符号，定义和初步的事实，将在本研究中进一步使用。分数阶微积分理论是存在于文献中的200多年的理论。分数积分和导数的几个定义已经提出，但第一个主要贡献，使适当的和最有意义的定义是由于刘维如下。定义3.1.一个实函数f（x），x> 0被称为在空间Cm，m中，如果存在一个实数q（>m），使得一从我到你。 这不是我的错！vanddfmustbeconsistent1- lpb;t≥0; x;y <$R;（6）73eGYPTI anjournalofbasI cand aPPlI e d sciences 1（ 2014）71e76M公司简介XXX-≤M一00f（x）^xq g（x），其中g（x），则称它在空间Cm中。定义3.2.对于函数f，阶为a≥ 0的Riemann-Liouville分数次积分算子[15]定义为：定义4.1. 如果w（x，t）是解析的，并且在所关心的区域内关于空间变量x和时间变量t连续可分解，则t维谱函数1“vk#8>ZxWkxG ka1vtkwx;tt¼t0（十一）1Jf x格萨河>：J0fxfx：如果t =0，则t=0;a>0;x>0;（七）是w（x，t）的分数阶约化变换函数，其中a是描述时间分数衍生物 在本文中，（n）w（x，t）表示Riemann-Liouville导数有很大的缺点而模拟现实世界的问题与分数dif-微分方程为了克服这种差异，卡普托[16]马云提出了一种改进的分数阶微分算法。作用算子Da在他关于粘弹性理论的工作中。原始函数，而（X）Wk（x）代表frac-简化的转换函数。微分逆Wk（x）的变换定义为：Nkawx;twkxt-t0：（12）Caputo分数阶导数允许利用初始和边界条件，涉及整数阶de-对应词，有明确的物理解释。k¼0合并等式（11）和（12），可以发现，XN1“vk#k定义3.3. Caputo中f（x）的分数阶导数w=x;t= ¼k¼0 Gka1vtkwx;tt¼t0t-t0（十三）74《埃及生物安全和生物多样性科学杂志》1（ 2014）71e76MXZ我XJI jDk¼0Dk！K><[17]定义为：当t 1/40时，方程（13）减少到1Z“#DafxJm-aDmfx-x-tNw=x;t=¼k¼0表1e分数阶约化微分变换方法的基本运算分数阶约化微分变换函数RD[u（x，t）v（x，t）]Ukx5Vkx¼PkUrxVk-rxr¼0RD[au（x，t）bv（x，t）] aUk（x）b V k（x）RD[（vl/vxl）u（x，t）][（kl）！/k！] （vl/vxl）Ukl（x）RD[（vNa/vtNa）u（x，t）][（G（ka<$Na<$1））/（G（ka<$1））]Uk<$N（x）RD[xm tn u（x，t）] xmUk-n（x）RD[elt]lk/k！KR D[sin（wt a）]（w/k！）sin[（pk/2！）[KR D[cos（wt %）]（w/k！）cos[（pk/2！）[75eGYPTI anjournalofbasI cand aPPlI e d sciences 1（ 2014）71e761Gka1VKvtkwx;tt¼0（1 4）第 一次见面76《埃及生物安全和生物多样性科学杂志》1（ 2014）71e76X X对于m1 0; f <$C m.-177eGYPTI anjournalofbasI cand aPPlI e d sciences 1（ 2014）71e76Caputo分数阶的基本性质在下面的引理中给出了派生词78《埃及生物安全和生物多样性科学杂志》1（ 2014）71e76引理若m-1a≤m，m≠0且f≠Cm;m≥-1，则<79eGYPTI anjournalofbasI cand aPPlI e d sciences 1（ 2014）71e76从上述定义可以看出，分数阶约化微分变换由下式导出：80《埃及生物安全和生物多样性科学杂志》1（ 2014）71e76函数的幂级数展开确定4。二、Ifux;tR-1½Ukx]，vx;tR-1½Vkx]，81eGYPTI anjournalofbasI cand aPPlI e d sciences 1（ 2014）71e768DaJafxfx;x>0;>：JaDafxfx -Pfk0x;x>0：（九）82《埃及生物安全和生物多样性科学杂志》1（ 2014）71e76在表1中表示。卷积5表示分数阶约化微分乘法的变换版本，那么基本的83eGYPTI anjournalofbasI cand aPPlI e d sciences 1（ 2014）71e76分数阶约化微分变换运算84《埃及生物安全和生物多样性科学杂志》1（ 2014）71e76在这项研究中，Caputo分数阶导数已经被选择它是因为它允许传统的初始和边界85eGYPTI anjournalofbasI cand aPPlI e d sciences 1（ 2014）71e76物理制剂中应包括的条件86《埃及生物安全和生物多样性科学杂志》1（ 2014）71e76在表1中，G表示伽马函数，定义为87eGYPTI anjournalofbasI cand aPPlI e d sciences 1（ 2014）71e76N88《埃及生物安全和生物多样性科学杂志》1（ 2014）71e76问题分数阶的其他一些重要特征在[17，18]中可以看到衍生物。格但斯克州：1/40e-ttz-1dt;zC：（15）89eGYPTI anjournalofbasI cand aPPlI e d sciences 1（ 2014）71e764.分数阶约化微分变换方法（FRDTM）90《埃及生物安全和生物多样性科学杂志》1（ 2014）71e76在本节中，将介绍分数阶约化微分变换方法已经被