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联系我们公司简介ð Þ ¼ð Þ ¼ð Þ¼ð Þ ¼ð Þð Þ¼Journalof the Egyptian Mathematical Society(2014)22,55埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章经由理想q的MehmetGürdal*,HalilSarSarSuleyman Demirel University,Department of Mathematics,32260 Isparta,Turkey接收日期:2013年4月2日;接受日期:2013年2013年7月26日在线发布摘要在本文中,以下线最近的工作萨瓦,s等人。[20]我们将理想的概念应用于实数序列的A-统计极限上和下。2000年数学潜规则分类:小学40 A35;中学40 C 05?2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 导言和背景Fridy和Orhan在文献[8]中引入了统计极限的上极限和下极限 的 概 念 。 Connor 和 Kline 在 [1] 中 把 数 列 的 统 计 极 限(簇)点的概念推广到A-统计极限(簇)点,这里A是非负正则可和矩阵。Demirci在[3]中将统计极限的上、下概念推广到A-统计极限的上、下,并给出了实数序列统计极限的上、下性质的一些A从文献[4]中可以看到更多关于矩阵可和性的工作,其中有许多参考文献。另一方面,理想收敛的概念首先由Kostyrko等人引入。[12]作为一个有趣的gener-*通讯作者。电子邮件地址:gurdalm e hmet@sdu.ed u.tr(M。Gürdal),halilsar-统计收敛性[5,22]。从[2,9本文的目的自然是统一上述方法,提出关于理想概念的A-可和性的思想,并作一些观察。首先,我们介绍一些符号。设A=(ank)表示一个可和矩阵,它变换一个数列x=(x k)到序列Ax中 ,其第 n项由下 式 给出:Axn1k¼1an kxk。一个统计收敛序列的概念可以被定义为:使用正整数集N 1; 2;...的子集的渐近密度来确定。. .对于任何KN和nN,我们表示Kn:¼cardK\f 1; 2;. ; ng我们定义了集合K的上下渐近密度由式ail.com(H. SarZi')。同行评审由埃及数学学会负责DK :极限信息你好!1金河K:Limsup你好!1金河q这项工作得到了苏莱曼·德米雷尔大学项目3463-YL 1 -13的支持。如果dK<$dK:dK,则公共值d(K)称为集合K的渐近密度,dKlimKn:你好!1 n1110- 256 X? 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.06.005制作和主办:Elsevier关键词集的密度;集的理想;统计收敛;AI-统计收敛;AI-统计聚点;:ð Þ ð Þ¼ ð Þ2我我我我我 是一个虔诚的人IPingyang我我2ðÞ不不n不nnnnnII56米。 Gürdal,H. 萨尔河显然,所有三个密度dK;<$dK和d(K)(如果它们存在的话)都位于单位区间[0,1]内。其中,K=k2N:jxk-LjPeg。 在这种情况下,我们写L¼ I-stA - limxk.我们表示所有AI的类-统计地1dKjKnj <$limitC1vKn<$lim 1XnvKk;收敛序列。我n nnn n k¼1我们说一个集合K∈N有A-密度,如果如果它存在,其中C1是一阶Cesaro平均,vK是集合K的特征函数[6]。统计收敛的概念最初在文献[5]和[21]中定义为数列。我们说一个数列x1/4xk1/2N统计收敛到一个点L,如果对于每个e>0,我们有:dKe0;其中Kefk2N:jxk-LjPeg在这种情况下,我们将写为L=st-limxk。用正则非负可和矩阵A代替C1可以推广统计收敛性.根据Freedman和Sunday[6],我们说一个集合K∈N 有A-稠密性,如果dAKXankXankvKAvKnk2Kk¼1其中A是一个非负的正则可和矩阵。dAIK:<$I-limXank<$I-limXankvKk< $I-limAvKn;k2Kk¼1其中A是一个非负的正则可和矩阵。 则称序列xx kkN是AI-统计收敛于L的,如果对于每个e>0,集合K(e)具有AI-密度零,其中K∈e∈fk2N:jxk-LjPeg.设f是N的所有有限子集的族。则f是N中的一个容许理想,且A的I-统计收敛性是由[1,14]引入的A-统计收敛性.此外,A-I密度与文献[6]中的通常A-I密度一致.2. 主要结果在这一节中,我们研究极值AI-统计极限点(AI-统计liminf x; AI-统计limsup x)的概念。所得结果类似于Fridy[7],Fridy[13][14][15][16][17][18][19]这些概念一般-定义了A-统计极限点和A-统计聚类的概念,数字序列x¼xkk2N 据说是A-统计学-这一点。遵循Sava,s等人的路线。[20]我们现在介绍cally收敛到L如果为每e>0;dA=k2N:jxk-LjPeg =1/4 0。在这种情况下,它被记为stA-limxk=L[1,14]。统计收敛的概念在文献[12,13]中使用集合N的子集的理想的概念进一步推广。我们说,一个非空的集合族I是 N 上 的 理 想 , 如 果I 是 遗 传 的 ( 即 , BA2I)B2I)和加性(即A;B2 I)A[B2 I)。N上的理想I,其中-N称为真理想。一个真理想称为容许理想,如果它包含N的所有有限子集。如果不是否则在下文中说明将表示容许理想。回想一下[12,13]中统计收敛的推广。设I是N上的一个容许理想,且x<$$>xk<$k2N是用理想来定义。定义2. 让是N的理想。数字f表示是数列x=(xk)的A I -统计聚类点If为每个e>0,dAIKe其中Ke1/fk 2 N:jx k-fj 0或Ke不具有AI密度。在整个论文中,A=(annk)将是非负的reg。奇异矩阵 summability 法 为 数字序列x=(xk),我们写tM¼ fk:x>tg和M<$fk:x 0我们有Aefk2N:qxk;nPeg 2I:这推广了通常收敛的概念,当我们取N的所有有限子集的理想f时,可以得到通常收敛的概念。一个序列是统计收敛的当且仅当它是d-收敛的,其中d: KN:dK0是零渐近密度集的容许理想。AI-统计收敛的概念在[20]并给出了以下定义:定义1.设A=( ank )是一个非负正则矩阵。一个序列<$xk<$k2N称为AI-统计收敛于L,如果对任意e>0和d>0定义3.设A=(ank)是一个非负的正则矩阵求和方法,x是一个数列. 如果有一个tR使得dAIMt- 0,我们定义I-stA-limsupx¼supft2R:dAImt-如果 dAImt¼0 持有 为 每个 t2R, 然后 我们 定义I-stA-limsupplyx¼-1.此外,如果存在t2R使得dAII-stA-liminfx1/4infft2R:dAI-liminf如果 dAIM0 持有 为 每个 t2R,则 我们 定义I-stA -lim infx¼ 1。(n2N:kX2Ke述的nkPd)2 I备注1.如果I <$If,则上述定义3产生由[8]引入的st-limsupkfi 1x k和st-liminf kfi 1x k的通常定义。不I/I我我我0吨¼I一不不我我第1页我I/I一1/2英尺2加仑g一一极值A-通过理想的统计极限点57定义4.实数序列x=(x k)被称为AI-统计有界的,如果存在一个数K使得dAI≠ fk2N:jxkj>Kg≠0。注意,如果我们在定义1和2中取A = C1(1阶Cesaro矩阵)和f,则我们得到[8]的定义1和2。下一个陈述类似于定理1和2,bt)dAIAMt0 和dAIM-0:但这意味的I-st A- lim inf x k¼inf ft:dI m t– H备注2. 如果-stA-limxk存在,则序列xk是A-I-统计有界的.[3]的文件。定理1.b1/4-stA -lim supxk当且仅当对于每个e>0,dAII fk2N:xk>b-eg k 和dAIfk2N:xk>beg0:02:1证据我们首先要证明必要性。设e>0。由于b+e>b,we有ðbþeÞRft:dAIðMtÞ且dA|fk2N:xk>b∈N/20。同样地,以来b-eb,那里 存在一些 的t0等 的b-et0b和t02ft:dAIt=0 g。因此,dAI=k2N:x k>t0gg-0和d A I = k 2N:x k > b - e gg- 0。现在让美国证明的足够的能力。如果e>0然后最后,请参阅:dAImt-0 g和I - s t A - lim supx 6 b e。On备注3.注意实数序列的理想有界性意味着-stA- lim sup和-stA- lim inf是有限的。定理4. 一个实数序列x k是I-st A-收敛的当且仅当I-st A-liminf xI-stA-lim sup x.证据我们首先要证明必要性。设L-stA- limxk.然后dAII fk2N:xk>Legl/20 和dAIfk2N:xk0,dAII fk2N:xkaggg和dAIfk2N:xkinfft:dAIM- 0 g<$$> inf R <$-1和I-st A-lim infxk6 I-st A-lim supxk.(3) -1\f25< I-st A- lim supply x k<-1\f25 1 - 1\f6。对于这种情况,存在一个b2R,使得b1-st A- lim supxk 1-supft:dAI-lim t= 0 g。对于任何t2R,在fft0:dI=t0-0 gPL-e中。与Theo合作rem 3,我们得出L<$I-st A-lim infxk<$ I-st A-lim supxk.为了证明充分性,设e>0且L<$I-st A-lim infxk<$ I-stA-lim supxk。以来fk2N:jxk-LjPegfk2N:xk>Leg[fk2N:xkt-0.如果L0>L,然后那里存在一些e>0等即dAI∈k2N:xk>L0-eg l/20. 这意味着存在某个e>0,使得dAI∈ fk2N:jxk-L0j0,存在某个t2( L-e,L+e ),使得dAIfk2N:xk>tg-<0,这意味着d A I f k 2 N:j x k - L j e g-0。 H设f.所有这些结果都包含了文献[3,13]中关于序列的A-统计量和极值点的类似定理。58米 Gürdal,H. 萨尔河引用[1] J.A. Connor,J. Kline,关于统计极限点和统计收敛的一致性,J. 数学Anal. Appl. 197(1996)392-399。[2] P. Das,E. 萨瓦,斯 ,斯,克。 Ghosal,在 推 广的某些summability方法使用理想,应用数学快报。24(2011)1509-1514。[3] K. Demirci,A-序列的统计核心,Demonstr。数学33(2)(2000)343-353。[4] 哦 Edley , M. Mursaleen , 论 统 计 A-summability , Math.Comput。莫德尔。49(8)(2009)672-680。[5] H. Fast , Sur la convergence statistique , Colloq.Math.2(1951)241-244。[6] A.R. J·J·弗里德曼 密度与可求和性,太平洋数学杂志,95(1981)10-11。[7] J.A. Fridy ,统计极限点,Proc. Am. 118 (1993 )1187-1192。[8] J.A.弗里迪角Orhan,统计上限和下限,Proc. Am。125(1997)3625-3631。[9] M. Gürdal,关于2-赋范空间中的理想收敛序列,泰国。J.Math.4(1)(2006)85-91。[10] M. 居尔达尔岛2-赋范空间中的一个c-cauchy序列,数学不平等。Appl. 11(2)(2008)349-354。[11] M.Gürdal , A.S ,ahiner , ExtremalI-limitpointsofdoublesequences,Appl. Math. E-Notes8(2008)131-137.[12] P. Kostyrko,M. Macaj,T.礼拜,I-收敛,真正的肛门.Exchange 26(2)(2000)669-686。[13] P. Kostyrko,M. Macaj,T.萨拉特湾李文,"收敛性与极值点“,国立台湾师范大学硕士论文,(2005).[14] H.I. Miller,统计收敛的测度理论子序列表征,Trans. Am.数学Soc. 347(5)(1995)1819-1881。[15] M. Mursaleen,S.A. Mohiuddin,O.H.H. 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