二维数字系统的模型降阶及在滤波器中的应用

制作和主办：ElsevierJournalof King Saud University沙特国王大学沙特国王大学学报www.ksu.edu.sawww.sciencedirect.com二维数字系统的有效低阶模型：在二维数字滤波器q中的应用Lahce`neMitiche*，AmelBahaHoudaAdamou-Mitiche阿尔及利亚杰尔法大学科学技术系接收日期：2013年9月7日;修订日期：2014年1月7日;接受日期：2014年3月13日2014年5月9日在线发布本文研究了基于模型降阶的二维数字系统的分析与综合，以及在二维数字滤波器中的应用。二维系统的综合在空间域中用Prony方法（Prony modified）和迭代方法两种方法进行，在频域中用半定迭代规划（SDP）方法进行。 综合后，我们通过准Gramians方法对综合模型进行降阶。从几个结果和他们的解释，2D滤波器合成的模型降阶建议的方法，呈现出的优势相较于传统的直接合成滤波器。2014年沙特国王大学。制作和主办：Elsevier B.V.All rights reserved.内容1.导言. 3092.2D IIR数字系统3092.1.设计问题3102.2.稳定性问题3102.3.空间域合成310(A) Prony(B) 迭代算法3112.4.通过迭代半定规划进行频域设计311*通讯作者。联系电话：+213 27 90 90 15.电子邮件地址：l_mitiche@yahoo.fr（L.Mitiche），yahoo.fr（A.B.H. Adamou-Mitiche）。q这项工作部分在法国Cergy-Pontique大学LPTM进行。沙特国王大学负责同行审查1319-1578年< $2014年沙特国王大学。制作和主办：Elsevier B.V.All rightsreserved.http://dx.doi.org/10.1016/j.jksuci.2014.03.003关键词二维数字系统稳定性;状态空间;平衡实现;模型降阶;模型降阶二维数字系统的一种有效低阶模型309符号和缩略语列表1D2DIIRFIRSDP一维二维无限脉冲响应有限脉冲响应半定规划H（z1，z2） 2D传递函数（n，r）SSX原始系统的完整顺序状态空间状态向量a（.，.）和b（.，.） 模型系数h（n1，n2） 2D脉冲响应（A，B，C，D）全序实现（Ar，Br，Cr）降阶实现SISO单输入单输出dp，ds通带和阻带容差（模板）2.4.1.问题表述3122.4.2.设计步骤3123.2D数字系统模型简化3123.1.2D状态空间模型3123.2.模型降阶方法3133.2.1.平衡实现近似3143.2.2.计算准Gramian的迭代算法 3154.示例性模拟3164.1.第1部分：2D-滤器设计3164.2.第2部分：订单减少3164.3.口译3175.结论317致谢317参考文献3171. 介绍在过去的四十年里，二维数字动力系统和硬件技术的进步提供了以前与大型计算机相关联的信号处理芯片和微处理器的这些进步允许以大幅降低的成本实时实现复杂的信号和图像处理算法在控制、通信、消费电子、医学、国防、机器人和电子物理学等不同领域，新的应用不断被发现，现有的应用不断扩展（Salam，2011; Ramamoorthy和Bruton，1979）。在概念层面上，一维系统和二维系统之间有很多相似之处（Sontag，1978）。另一个问题是缺乏二维多项式的代数基本定理一维多项式可以分解为低阶多项式的乘积。实现一维系统的一个重要结构是级联结构（Antoniou，2001）。在这种情况下，脉冲响应的z变换被分解为低阶多项式的乘积，并且这些低阶因子的实现为级联。二维数字系统脉冲响应的z变换一般不能分解为低阶多项式的乘积，因此，级联结构不是实现二维数字系统的一般结构（Lim，1990）。另一二维多项式的不可因式分解的结果是与系统稳定性相关的问题相关的困难在一维系统中，极点位置可以很容易地确定，并且可以通过简单的极点位置操纵来稳定不稳定系统而不影响幅度响应。在二维系统中，由于极点是曲面而不是点，并且没有代数的基本定理，因此极的位置极难确定（Gonzalez和Woods，2007）。本论文特别涉及的二维无限脉冲响应（2D IIR）动力系统的综合使用模型降阶。在本文的第一部分中，给出了在空间域中用两种方法（改进的Prony方法和迭代方法）和在频域中用迭代半定规划（SDP）的综合。在本文的第二部分中，我们描述了一个使用拟Gramians方法的综合系统的降阶。2. 二维IIR数字系统具有任意脉冲响应h（n1，n2）的2D IIR系统不能被创建，因为计算每个输出样本需要太多的算术运算（Lim，1990;Gonzalez和Woods，2007），这导致对所需算术运算数量的高估计。因此，除了要求h（n1，n2）是实的和稳定的，我们还要求h（n1，n2）具有对应于递归可计算系统的有理z310L. Mitiche，A.B.H. 阿达穆米蒂什ð Þ ¼PðÞ¼1 2P.P. --Xa k; k z-k1 z-k2Ra-1;k2- 2Ra-1; k0- 2 R a12Ra-1;k2- 2Ra-1; k0- 2 R a121122PX X上述方法不能用于测试2D2.1. 设计问题IIR系统设计的问题是确定一个有理且稳定的函数H（z1，z2），该函数具有满足给定设计规范的楔形支撑输出掩码换句话说，我们希望确定一个稳定的计算程序，该程序可重复计算并符合设计规范。然而，给定的有理系统函数H（z1，z2）可以导致许多不同的计算过程（Lim，1990）。为了使关系唯一，我们将在表示H（z1，z2）时采用一种约定具体地说，我们假设a（0，0）总是1，所以H（z1，z2）的形式PPbk1;k2z-k1z-k2121122H（z1，z2）的分子多项式中的系数个数另一种方法是在不考虑稳定性问题的情况下设计一个系统，然后测试所得到的系统的稳定性，并试图稳定如果它不稳定的话。然而，测试的稳定性和stabilizing- ING一个不稳定的系统是不容易的问题。2.2. 稳定性问题在一维情况下，测试因果系统的稳定性，其系统函数由Hz1给出是非常简单的。Az由于一维多项式A（z）总是可以直接分解为一阶多项式的乘积，我们可以很容易地确定H（z）的极点因果系统的稳定性H z; zRb1;Rb2;Rb3;100%等于所有极点都在单位圆内。的和a（0，0）导致将传递函数H（z1，z2）置于标准型，Ra-（0，0）表示支集a（k1，k2）的无原点区域，（0，0）. Rb表示b（k1，k2）的支撑区域.对应于（1）的唯一计算过程则由下式给出：第一象限支持系统。这种方法需要特殊的-确定所有极点的位置。部分原因是2D多项式A（z1，z2）一般不能分解为低阶多项式的乘积，因此很难确定-我 所有 的 极 表面 z; z1;及A z1; z2基于全极点曲面y<$n;n <$←-XXak;kyn-k;n-k并没有为该系统带来成功的实际程序稳定性测试（Lim，1990; Gonzalez和Woods，2007）。þðk1X;k2Þ2RbXbk1;k2xn1-k1;n2-k2;22.3. 空域综合其中序列a（k1，k2）和b（k1，k2）是模型系数，x（.，.）是输入信号。IIR模型设计的第一步通常是初始确定Ra和Rb ，分别是a（k1，k2）和b（k1，k2如果我们试图通过在空间域中近似某个期望的脉冲响应hd（n1，n2）来确定模型系数，我们将希望选择Ra和Rb，使得h（n1，n2）至少具有与hd（n1，n2）近似相同的支持区域另一个考虑因素与模型规格参数有关。例如，在低通滤波器设计中，小的dp、ds（滤波器模板）和过渡区域通常需要大量的滤波器系数。通常很难确定满足以下条件所需的模型系数数量特定设计算法的给定规范，以及可能需要迭代过程（Lim，1990）。IIR和FIR（有限脉冲响应）系统之间的一个主要区别FIR系统总是稳定的，只要h（n1，n2）对所有（n1，n2）有界（Antoniou，2001; Lim，1990），所以稳定性从来不是问题。然而，对于IIR系统，确保稳定性是一项主要任务。设计稳定IIR系统的一种方法是在H（z1，z2）上施加一种特殊的结构，使得测试稳定性和稳定不稳定系统成为相对容易的任务。然而，这种方法往往会对设计算法施加严格的约束，或者高度限制可以设计的系统类别（Lim，1990）。例如，如果H（z1，z2）具有形式为A1（z1）A2（z2）的可分分母多项式，则测试稳定性并稳定不稳定的H（z1，z2）而不影响幅度响应是一个-在IIR系统设计中经常使用的输入是d（n1，n2），并且假定给定的期望冲激响应由hd（n1，n2）表示空间域设计可以看作是一个系统识别问题。假设我们有一个未知的系统，模型具有有理系统函数H（z1，z2）。估计系统模型参数（模型系数a（k1，k2）和b（k1，k2））的一种方法是要求所设计系统的脉冲响应在某种意义上尽可能接近hd（n1，n2）。系统设计中使用的误差准则为：错误：%n%1; %n%2; % n %3n1;n2哪里e n1; n2h n1; n2- h n1; n2;3bRe是误差序列的支持域理想情况下，Re与（n1，n2）的所有值一致。关于a（k1，k2）和b（k1，k2）使（3）中的误差最小化一种方法是稍微修改（3）中的错误，使得所得算法导致仅需要求解线性方程组的封闭形式解（Lim，1990）。考虑由（2）给出的计算过程。 我们假设a（k1，k2）有p个未知值，b（k1，k 2）有q + 1个未知值，因此对于给定的对（n 1，n2），总共有N = p + q +1个模型系数要确定。用d（n1，n2）和y（n1，n2）代替（4）中的x（n1，n2），并注意到，k1;k2 k 2Rbb k1;k2dn1k1;n2k2 是b（n1，n2）， 我们有一维（1D）问题（Mandal等人，2012年）。然而，可以用可分离的分母多项式设计而不显著增加系统hdn1;n2←k1;k2Xak1;k2hdn1-k1;n2-k2bn1;n2：ð4Þ1þ二维数字系统的一种有效低阶模型311P PXXMMÞ ¼P-M12D1212D12M12● 步骤 第三章： 我们尽量减少ne2n1;n2 相对于12k1½0k2½01212Rk¼012akz-k，a（0）=1。e n1; n2v n1; n2ω eM n1; n2：10n1¼-1 n2¼-1由于我们希望用h（n1，n2）来近似hd（n1，n2），因此可以将误差序列eM（n1，n2）定义为（4）从 （6）、 e（n1，n2）=h d（n1，n2）-h（n1，n2） 是相关 到eM（n1，n2），eM n1; n2a n1; n2ωe n1; n2：9e n-XXak;khn当量（9）可以改写为-k1;n2 -k2-bn1;n2：5显然，（7）中的eM（n1，n2）与（3b）中的e（n1，n2）不同。eM（n1，n2）中的下标M用来强调eM（n1，n2）是e（n1，n2）的修改极小化eM（n1，n2）序列v（n1，n2）是a（n1，n2）的逆。从（5）和（10），e n1; n2v n1; n2ω eM n1; n21;n2 ωan1;n2 ωh dn1;n2-bn1;n2：ð11Þ对于未知系数a（k1，k2）和b（n1，n2）是一个线性问题。从（11），如果v（n1，n2）以某种方式给定，则e（n1，n2）是线性的。在a（n1，n2）和b（n1，n2）中，n ne2<$n1;n2<$关于a（n1，n2）和b（n1，n2）是线性的在Prony问题.演算法：误差¼X1X1e2n;n;6其中eM（n1，n2）由（5）给出。对于实际计算，将使用有限项的总和● 第二步：我们得到v（n1，nP2）fProma（n1，n2）.n12（6）中的误差是未知参数的二次形式设a（k1，k2）和b（n1，n2）。仔细观察（6）表明它可以通过首先求解p个线性方程a（k1，k2），然后求解q+1个线性方程b（n1，n2）来求解。将（6）改写为错误：%1错误%2;% 7错误哪里a（n1，n2）和b（n1，n2）通过解一组线性方程组而得到。● 步骤4：我们现在有了a（n1，n2）的新估计，这个过程继续下去，直到我们得到所需的a（n1，n2）和b（n1，n2）。2.4. 用迭代半定规划法进行频域设计E1¼n1;n2n 2Rb和E2¼n=1;n=2Xe2<$n1;n2<$;n 7bnXe2n1;n2：7c半定规划（SDP）最近吸引了大量的研究兴趣。除其他事项外，优化工具已被证明是适用于各种类型的FIR数字系统的设计。 Lu（2000）尝试将SDP方法扩展到2D IIR滤波器。（7 b）中的表达式E1由q+1项组成，（7 c）中的E2由大量项组成关于a（k1，k2）最小化（7）中的E2得到p个未知数的p个线性方程，由下式给出：在本节中，假定IIR系统具有可分离的滤波器。这个假设只是简单地对IIR系统的类型施加了一个约束，即IIR系统是二次对称的。然而，这类系统足够广泛，几乎涵盖了所有类型的IIR系统，k1;k2Xak1;k2rk1;k2;l1;l2在图像/视频处理中非常有用（Lu，2002）。考虑二次对称2D IIR数字系统1/4-r0;0;l1;l2;l1;l22Ra-r 0;0;l 8其传递函数由下式给出：哪里Hz;zBz1;z212;2012年AzAzrk1; k2; l1; l2X Xh dn1-k1; n2-k2h dn1哪里 Bz;zPnPnbk;kz-k1z-k2和 一个人-l1;n2 -l2：8一旦确定了a（k，k），我们就可以最小化（7a）中的误差。由于系统是二次对称的，我们有b（k1，k2）=b（k2，k1）. 因此，在本发明中，只有R+12（n+1）（n+2）/2个未知变量（12），它们形成一个关于b（n1，n2）。由于Prony(B)迭代算法迭代算法是Steiglitz和McBride（Lim ，1990; Gonzalez和Woods，2007）开发的一维系统识别方法的扩展。[r+（n+1）（n+2）/2]维向量x1/2a1· ··arb00· ··bnb10b20b21·· ·bn0· ··bn;n1]T;n13其中a（i）=ai，b（i，j）=bij。将第k次迭代中的向量x表示为xk，系统的频率响应为：x=xkasHejx1;ejx2;x k。 在xk的邻域内，设计变量可表示为x =●Ra-1;k2- 2Ra-1; k0- 2 R a1(A)Prony步骤1：我们从a（n1，n2）的初始估计开始，得到使用一种方法（例如，Prony's）。n=1;n=2312L. Mitiche，A.B.H. 阿达穆米蒂什xk+ d。传递函数可以用d的线性函数近似为：二维数字系统的一种有效低阶模型313K-a0Yk6677D*Kd2QK-Kð Þ ¼1/4j¼01/1可以证明，具有系数的IIR系统KK我JHejx1;ejx2;xHejx1;ejx2;xkTd;14jx1其中gk是deHe的梯度;e;x，x=xk。哪里D^k¼不KI^r：127元2.4.1. 问题公式化最最小化c^T^d;1015mm以Sk0P016为准21 3当P固定在Y k中时，（15）、（16）中的最小化问题是大小为1 + r +0.5（n +1）（n +2）的SDP问题。2.4.2. 设计步骤输入：IIR系统的阶数（n，r），所需的频率响应Hd（x1，x2）和W（x1，x2）。● 步骤1：所提出的设计方法从初始点x0开始，该初始点对应于使用以下公式获得的稳定系统：常规方法。0关于C^.;四、50^d¼l;17步骤2：有了这个x0，可以通过求解李雅普诺夫方程获得正定矩阵P。（26），并且可以通过使用（20）-（22）来评估数量Qk、qk和ck● 步骤3：接下来，我们解决（15），（16）中的SDP问题。其中，l被视为附加设计变量，并且● 步骤4：得到的解dωT]T可用于S¼diagfUx1;x1;·· ·;UxL;xMg;18将x0更新为x1= x0+ d。迭代继续，直到*k k1 2k1 2kdk小于规定公差e。Ukx1;x2¼241I Q2d不1Kl-2dTqK35P0;219P 0Q¼Wx1;x2ffiegkgT;20W<$x1;x2<$P0是一个加权函数，ffi<$：是（.）的实部，和q<$Wx1;x2ffief<$Hejx1;ejx2;xk-Hdx1;x2]g<$kg;21ckex1;x2;xk：22Hd（x1，x2）是针对（x1，x2）eX的期望频率响应，其中X 1/4 f=x1;x2f=-p6x1;x26pg，并且“P-1-s Ir Dk#D不通常希望用低阶系统来表示高阶系统一个合适的模型简化程序应该提供一个近似于原始井的模型它应该从稳定的原始模型中产生稳定的模型，并且应该能够在具有高计算效率和减少内存需求的计算机上实现在状态空间（SS）实现环境中的模型约简具有明确的优势。在分析中可以应用矩阵理论的大量知识，而SS实现的非唯一性允许我们选择一个更好地适用于手头的目的（Premaratne等人， 1990年）。Yk¼kP-sIrP0;2303.1. 二维状态空间模型其中，P定义如下，s是指定系统稳定裕度的正标量，不假设Hz;wP1P1hi;jz-iw-j是转移-“#i¼01/1Dk¼-akd1I^r：124小时阶（m，n）的离散2D IIR滤波器的函数，其中z和w-1是单位后向算子，H（z，w）可以写为形式表示由以下第一个分量形成的向量：PmPnhi;jzm-iwn-jx k+ d乘以a k+ d1. 由于H（z1，z2）的分母是分离的，Hz;wQmz-z-向量xk+d是稳定的当且仅当矩阵Dk的特征值的大小严格小于1，其中I^r表示大小为（r 1）·r的矩阵，该矩阵是通过在单位矩阵的右侧增加零列而获得的。应用著名的李雅普诺夫理论（Kailath，1981），可以得出结论，矩阵Dk是稳定的，当且仅当存在正定矩阵P，使得P-DT PDk>0;≤ 25μ m其中M0表示矩阵M是正定的。（23）中的矩阵P不被认为是设计变量。相反，这个正定矩阵在每次迭代中是固定的，并且可以是通过求解李雅普诺夫方程K这表明2D IIR滤波器属于具有可分离分母的滤波器类，即，这些滤波器的传递函数的具有两个独立变量的分母多项式可以被写为两个多项式的乘积，每个多项式仅依赖于单个变量。传递函数这些滤波器的表达式如下：H z;wNz;w。D1 z D2w具有带可分离分母的传递函数的任何因果2D系统都可以 在 局 部 状 态 空 间 Roesser 的 表 征 中 建 模 ， 其 形 式 为（ Premaratne 等 人 ， 1990;Adamou-Mitiche 等 人 ， Adamou-Mitiche和Mitiche，2013年）Σxhð i; jÞΣP-D^TPD^k1/4I; 2/2/6 Ixi;jxvi;j;28a●-ck3.二维数字系统模型简化第1页314L. Mitiche，A.B.H. 阿达穆米蒂什ΣΣ- 是的ΣΣΣΣB2Σ ΣΣðÞΣ其中，X是局部状态;Xh，n向量，是水平状态;Xv，m向量，是垂直状态;以及显然，在Roesser的模型和具有延迟元件z -11和z -21的电路实现之间存在一一对应。xhi1;jxvi;j1的1A2x h i; j¼一个3A4x vi;jþΣB1Σuði;jÞ;ð28bÞ注意，最小状态空间实现对于所有2D传递函数都是不可能的（Kung等人，1977;Attasi，1975）。然而，最小状态空间实现已被确定为一个系统与可分离的分母[y =i;j= 1/2C1C2]xhi;jxvi;jdu（Givone和Roesser，1973年; Antoniou等人， 1988年）。所寻求的状态空间模型是Givone-Roesser类型的（Shanks等人，1972），描述为l=p= 1，且A1，其中，输入u是l向量，输出y是p向量。显然，通过一阶差分方程，水平状态xh是水平传播的，垂直状态xv2D传递函数可以写为：A2 、 A3 、 A4 、 B1 、 B2 、 C1 和 C2 分 别 为 （ n·n ） 、（ n·m ） 、 （ m·n ） 、 （ m·m ） 、 （ n·1 ） 、（m·1）、（1·n）和（1·m）维。3.2. 模型降阶方法H =1; z=2 ℃z1I00z2I-1-ABd; 29最流行的1D模型简化技术是基于平衡实现的概念，该概念最初由Moore（Moore，1981）提出。给定一个离散系统，其中A、B和C是（28 b）和（28 c）中的分块矩阵。平衡实现是在状态空间中描述系统图1低通IIR滤波器。（a）通过迭代法计算原始5· 5滤波器的大小（b）降阶4· 5滤波器的幅度（c）原始滤波器和缩减滤波器之间的频谱误差二维数字系统的一种有效低阶模型315TTTTÞ表示，其中第i个状态变量A1P1AT-P1B1BTA2P2AT1/4 0的重要性;1 1 2可以通过系统的第i个Hankel奇异值来测量透射电镜这表明，获得低阶A4P2AT-P2B2BTA3P1AT1/40的一种方法;4 2 3状态空间模型的近似是形成平衡的实现（Laub，1980），然后保留相应的状态-AT Q A1-QC1AQ A3¼0;11 11 32响应于r个最大汉克尔奇异值，其中r是降阶系统的阶数。Q A4-QCC242 22 21二维模型降阶研究中的一个问题是将一维模型降阶算法扩展到二维模型（Xiao等人，1998年、2001年）。在我们的例子中，平衡实现的概念被扩展到2D的情况下。由于平衡实现基本上由系统的可控性和可观测性Gramian确定，并且由于对于 给 定 的 2D 系 统 可 以 适 当 地 定 义 系 统 的 几 种 类 型 的Gramian，因此对于2D离散系统存在不同类型的平衡实现，从而导致不同的平衡近似（Lu等人，1987年，1996年）。考虑单粒子系统的3.2.1. 平衡实现近似通过使用例如Laub算法（Zhou等人， 1994年），实现其特征是T-1AT;T-1B;CT;D平衡。一个降阶系统的阶数为（r1，r2），记为∑Ar;Br;Cr;d，可以通过截断矩阵A，B，C作为输入单输出（SISO）系统（28）中描述的，A1rA2rB1r可控性和可观测性准Gramian（Wang等人，1991; Zhou 等人 ，1994 ） 由正 定块 对角矩 阵 Pq= diag（P1，P2）和Qq= diag（Q1，Q2）定义，其中Pi和Qi（i =1，2）满足李雅普诺夫方程Ar¼A3RA4R;Br¼B2R;Cr¼½C1rC2 r];图2低通IIR滤波器(a)原件的大小13· 13过滤器通过SDP方法。(b)SDP法原13·13滤波器的幅值-dB。图3低通IIR滤波器。（a）降阶8· 8滤波器的大小（b）降阶8· 8滤波器的幅度-dB316L. Mitiche，A.B.H. 阿达穆米蒂什不22 2311不13234222221312222121111111我42422我一个有效的低阶模型二维数字系统315图4低通IIR滤波器。(a)直接SDP 8· 8过滤器的量值。(b)直接SDP 8· 8滤波器的幅度-dB。图5（a）模型降阶的误差幅度。(b)直接合成的误差幅度。哪里Tk-1不其中F½B B AP A;一 =A（1：r，1：r），A=A（1：r，1：r），A=A（1：r，1：r），1 1122 21r1 1 12r2 1 23r3 2 1A4r=A4（1：r2，1：r2），B1r=B1（1：r1），B2r=B2（1：r2），C1r=C1（1：r1）和C2 r= C2（1：r2）（Lu等人，1987年）。G¼C CATQ● 第3步：求解以下1D李雅普诺夫方程3.2.2. 计算拟Gramian的迭代算法描述了一种计算拟Gramian的迭代方法，其中每次迭代涉及求解两个一维李雅普诺夫方程。 对于二维稳定系统，收敛 非常 迅速 到 的 2D 拟Gramian（Luo和Qk：APkAT-PkF2200亿美元ATQkA — QkG1/40;300分贝● 步骤1：设置P=0，Q=0，k= 1。其中F<$B BT<$A P<$k <$AT;第2步：求解以下1D李雅普诺夫方程和Qk不克雷奇G 公司简介答：APkAT-PkF1/40;300000● 步骤4：设置k=k+1，重复步骤2和步骤3，直到ATQkA— QkG20美分kPk-Pk-1ke;i¼1;2;<●1例如，1993年）。42111316L. Mitiche，A.B.H. 阿达穆米蒂什MOR最大误差直接合成我我函数h=impulse_2D（N，M，a，b）计算2D IIR滤波器的2D脉冲响应。输入变量N、M、a和b分别是h（，）的行数、列数、分子多项式A（，）和分母多项式B（，）。函数输出变量h（，）是2D滤波器的脉冲响应。kQk-Qk-1ke;i¼1;2;<降阶（8，8）滤波器的脉冲响应其中e是规定的公差（Luo等人， 1993年）。总体算法可以总结如下：(1) 使用一种设计方法（Prony(2) 应用模型降阶过程以获得低复杂度系统。4. 示例性模拟0.150.10.050-0.05-0.1我们将模拟分为两个部分，2D滤波器设计和30降阶2030本节末尾给出了结果的解释。K2100010K1204.1. 第1部分：2D过滤器设计该设计在两个域中进行- 对于空间域，使用两种方法：Prony生成分子b（n1，n2）和分母a（n1，n2）矩阵，然后，我们使用函数Impulse_2D. m（ε）来产生冲激响应和频率响应。原始IIR低通滤波器的阶数是（n，m）=（5，5），并且相应的通带和阻带由Rp1/20：4]和Rs1/20：51]给出。- 对于频域，我们使用半定义编程（SDP）来做同样的事情。原始IIR低通滤波器的阶数是（n，m）=（13，13），并且相应的通带和阻带由Rp= 1/200：4]和Rs=1/20：51]给出，并且迭代次数是它=2。4.2. 第2部分：订单减少我们将准Gramians方法应用于第一部分设计的低通滤波器。首先，我们使用我们的函数tf2ss2_2D.m将传递函数矩阵a和b转换为状态空间模型（A，B，C，d），然后应用拟Gramian方法生成降阶模型（Ar，Br，Cr，d）（参见图1对于迭代方法，原始滤波器的阶数为n=5和m=5，number系 数 为 （ 5· 5_ （ 矩 阵 b ） +5· 5_ （ 矩 阵a））·4= 200。图6降阶8·8滤波器的脉冲响应10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-1-0.8-0.6-0.42019 - 06 - 24 00：00：00实部图7稳定性计划。0.80.70.60.50.40.30.20.100 10 20 30 40 50 60 70误差矩阵图8直接综合和所提出方法的最大误差分布。稳定计划Original 13x13 filterReduced 8x8 filterDirect 8x8 filter列的最大值虚部你好，二维数字系统的一种有效低阶模型317表1 直接和降阶滤波器的极点幅度|p1||p3||p3||p4||p5||p6||p7|直接合成0.6783 0.6783 0.58460.58460.56610.56610.1291拟议办法0.65070.62990.71380.6507矩 阵 A 、 B 和 C 的 维 数 分 别 为 （ n+2·m）·（n+2·m）、（n+2·m）·1和1·（n+2·m），迭代次数为it=10。简化滤波器的阶数为r1=4和r2=5，系数总数为（4· 5（矩阵b）+4· 5（矩阵a））·4= 160。对于SDP方法，原始滤波器的阶数为（n，m）=（13，13），总系数为13· 13（矩阵b）+13· 13（矩阵a）=338。矩阵A、B和C的维数分别为（n+m）·（n+m）、（n+m）·1和1·（n+m），迭代次数为it=2。简化滤波器的阶数为r1=8和r2=8，系数总数为：8· 8（矩阵b）+8· 8（矩阵a）=128。为了通过降阶彻底评估我们的合成滤波器的性能，我们使用SDP方法按照相同的频率规格（模板）合成了一个阶数为（8，8）的直接滤波器，并比较了两个滤波器。4.3. 解释对于设计步骤，Prony方法和迭代方法之间没有太大的区别。然而，我们确实观察到对于阻带（衰减）有小的改进。当应用迭代方法时。对于Prony方法，min H = 1 ; x 2 = 1 - 4 9：09 dB ;对于迭代方法，minH = 1 ; x 2 = 55：77 dB。用SDP方法得到的结果是可比较的但是我们发现在两个频带（通带和阻带）中的性能下降。可以通过增加系数（n，r）的数量或迭代次数来改善结果该方法的一个好的方面是稳定性，其可以通过稳定性标准来验证，即，max（abs（roots（a（：，1）1，其中（a）是分母矩阵。<在所提出的示例中，我们发现max（abs（roots（a（：，1）=0.8926，其中max、abs和roots是MATLAB函数（MATLAB）。对于降阶步骤，我们注意到，由Prony和迭代方法设计的滤波器使用SDP方法，降阶滤波器的稳定性总是保持的。拟议举例来说，Max（ABS（根（a（：，1）=0.8926，而max（abs（roots（ar（：，1）=0.9119。所得结果表明，降低的低通滤波器是可以接受的。请注意，系数的数量从338减少到128，减少后的滤波器和原始滤波器之间的最大误差为max（E）60.06（参见图10）。图5a）. 图8显示了通过直接合成和所提出的方法的最大误差的分布。对于（8，8）降阶滤波器，通过SDP合成的（13，13）滤波器的降阶获得，我们注意到，它紧密地遵循完整顺序的原始滤波器的频率行为（参见图3和图8）。降阶滤波器总是稳定的（见图6和图7）。为了突出使用我们提出的方法的降阶滤波器，我们直接使用SDP方法合成了另一个相同阶数的滤波器（8，8）（见图4）。显然，通过模型降阶实现的（8，8）滤波器的频率响应比直接设计的滤波器更符合所需规格（见图5）。另一个重要的结果表明，我们的滤波器的性能来自降阶，极点（见图7和表1）更接近单位圆，这是滤波器选择性的表征5. 结论本文提出了一种新的二维数字系统综合降阶方法。在第一步中，我们使用两种方法（迭代和SDP方法）设计了全阶2D IIR系统。在各种模拟之后，SDP技术被保留，因为它总是产生稳定的滤波器。在第二步中，基于原滤波器的拟Gra- mians实现降阶。近似降阶滤波器呈现出一些有趣的关键特性，例如稳定性和原始滤波器行为的完美频率拟合。该滤波器优于SDP法直接合成的同阶滤波器。这一优越性已被多个动力系统仿真所证实。通过模型降阶获得的模型的优越性是由于在降阶操作中，对滤波器的完整行为贡献较小的初始模型的状态被消除，并且仅保留占主导地位的状态。致谢作者感谢匿名审稿人为提高论文质量提出的宝贵意见和建议。他们还感谢主编Mansour Alsulaiman博士处理我们的文件。引用Adamou-Mitiche，A.B.H.，米蒂切湖2013.一种通过2D-FIR滤波器模型简化的2D-IIR滤波器综合新算法。WSEAS传输信号处理。9（4），E-ISSN：2224-3488。Adamou-Mitiche，A.B.H.，米蒂切湖Sima，V.，2013.基于FIR滤波器逼近的二维数字滤波器综合。在：IEEE第五届建模，仿真和应用优化国际会议，突尼斯，pp。一比六，二十八比三十。doi：10.1109/ICMSAO.2013.655266，印刷版ISBN：978-1-4673-5812-5.318L. 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