Kumaraswamy Marshal-Olkin广义分布族的研究及其数学性质分析

Journal of the Egyptian Mathematical Society（2015）23，546埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章Kumaraswamy Marshal-Olkin分布Morad Alizadeha，M.H.Tahirb，*， Gauss M.Cordeiroc， M. 曼苏尔湾，M. Zubaird，G.G.Hamedaniea马什哈德Ferdowsi大学统计系，P.O.马什哈德。盒子91775-1159，伊朗b巴基斯坦巴哈瓦尔布尔伊斯兰大学统计系，巴哈瓦尔布尔63100c巴西，佩南布哥联邦大学统计系，50740-540 Recife，PEd巴基斯坦Khairpur Tamewali政府学位学院统计系美国密尔沃基马奎特大学数学、统计和计算机科学系接收日期：2014年8月5日;修订日期：2014年11月30日;接受日期：2014年2015年2月24日在线发布摘要我们引入一个新的连续分布族，称为Kumaraswamy Marshal-Olkin广义分布族。我们研究了这个族的一些数学性质。它的密度函数是对称的，左偏，右偏和反J形，具有恒定、递增、递减、倒浴缸、倒浴缸和S形危险率。我们提出了一些特殊的模型和研究的渐近性和形状的家庭。我们推导分位数函数的幂级数，并得到了矩、母函数、平均偏差、两类熵和顺序统计量的显式表达式。还提出了一些有用的族的特征。采用极大似然法估计模型参数。我们说明了家庭的重要性，通过两个应用程序的真实数据集。2000年数学潜规则分类：60E05; 62E15; 62N05？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍*通讯作者。联系电话：+92 62 9255454（办公室）。电子邮件地址：mtahir. gmail.com，mht@iub.edu.pk（M.H.Tahir）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevierhttp://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.12.002通过向基线模型引入额外的形状参数来定义单变量连续分布的新生成元或广义类的兴趣越来越大扩展分布吸引了一些 统 计 学 家 来 开 发 新 的 模 型 ， 因 为 R ， Maple 和Mathematica等编程软件中的计算和分析设施可以轻松解决在这些扩展分布中计算特殊函数所涉及的问题。广义分布的几个数学性质1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表关键词表征;估计;Fre'chet分布;Kumaraswamy分布;Marshall-Olkin族;Weibull分布KwMO分布547ð Þð Þ--ð Þ¼ ð Þð Þ¼ ðÞ¼-ð Þð Þ2ðÞð Þ¼1-pGx;nð Þð Þ¼ ð Þ¼ ðÞð Þ¼ ð Þ¼- -一种ð Þ¼ ð Þð Þ¼- -一种ð Þ ðÞ半个月后- [半小时后]Σ ΣΣhx;a;b;p;n。你好，可以很容易地探索使用混合形式的exponentiat-ed-G添加参数已被证明在探索偏度和尾部属性方面是有用的，并且还用于提高生成的族的拟合优度。众所周知的发生器如下：Eugene等人的beta-G[1]和琼斯[2]，Kumaraswamy-G（ Kw-G ） by Cordeiro and de Castro[3] ， McDonald-G（Mc-G）当量（4）提供了更广泛的连续分布族。它包括Kw-G分布族、比例风险率模型和反向风险率模型、MO分布族和其它子族。在表1中，我们提供了KwMO分布族的一些特殊模型对应于（4）的密度函数由下式给出：ab1-pgx; ngx; na-1。Σ Gx; nB-1Alexander等人[4]，Zografos的γ-G 1型，Balakrishanan[5]，and Amini et al.[6]第二代的G-G，fxfx;a;b;p;nα1-pGβx，α1-pGβx：500ti c'andBalakrishanan[7]，andAminietal. [6]，奇-γ-GTorabi和Montazari的3型[8]，Torabi和Montazari的logistic-G[9] ， Alzaatreh 等 人 的 transformed-transformer （ T-X ）（Weibull-X 和gamma-X ）[10]，Alzaatreh等人的离散T-X 。 [11] ， exponentiated T-X by Alzaghal et al.[12] 、Cordeiro等人的奇扩展广义（奇exp-G）[13]、Bourguignon等人的[14]，Cordeiro等人的指数半对数。[15]，Aljarrah等人的T-X{Y}分位数方法。[16]和T-R{Y}由Alzaatreh等人。[17]，Lomax- G by Cordeiro et al.[18]，logistic-X by Tahiret al.[19]和Tahir等人的新Weibull-G。[20]第20段。Marshall和Olkin[21]提出了一个可伸缩的半参数分布族，并通过引入一个附加参数p′定义了一个新的生存函数GMOx，使得p1p′和p′>0。他们把参数p′称为倾斜参数，计量并根据危险的行为解释p′GMO x的速率函数（hrf）。它们的比例在x方向上增加p<$P1，x递减，p<$0;1.对于任意连续的概率密度函数（pdf）gx; n和累积分布函数（cdf）Gx;n，马歇尔-奥尔金（MO）分布族的cdf和pdf定义为（x2ffi;p<$>0和p<$$>1-p<$）。当量（5）当cdfG x和pdfx有简单的解析表达式。此后，随机变量X与密度功能（五）是表示由XKwMO Ga;b;p; n .此外，我们有时省略对参数的向量n的依赖性，而简单地写为G x Gx;n;F x F x;a;b;p; n等等。X的hrf变为ab1-pgx;ngx;na-11-pGx;n 1-pGx;n-Gx;nð6Þ本文的组织结构如下。在第2节中介绍了该族的四种特殊情况。第3节提供了一些数学性质，如密度和危险率函数的形状，cdf，pdf和分位数函数（qf）的有用展开，矩的显式表达式，生成函数，平均偏差，Re′nyi和Shannon熵以及顺序统计量。第4节提到了KwMO家族的一些特征。在第5节中通过最大似然法估计模型参数。在第6节中，我们用两个实际数据集来说明这个新族的潜力。论文是con-GMO xGx;n1-pGxð1Þ包含在第7节中。2. 特价机型和gMOx在这里，我们提供了KwMO-G分布族的一些例子。分别对于p0，我们有G MO xG x; n.对于具有pdf g x的基线随机变量和民防部队G x，Cordeiro和de Castro[3]定义了双参数Kw-G cdf，Fx1- f 1-Gxagb：22.1. KwMO-E（KwMO-Exponential）分布假设父分布是带参数的指数分布k> 0;gx; kke-kx;x> 0和Gx;k1e-kx.然后，KwMO-E（x> 0）模型的pdf由下式给出：对应于（2）的pdf变为abke-kx1-p1-e-kxa-1.1- e-kxfxabgxGxa-1f1-Gxagb-1;3其中g x dG x=dx，a>0和b>0是两个额外的形状参数，其作用是控制偏度和尾部fKwMOE100%1-pe-kx：1-p e-kx权重现在，我们提出了一个新的扩展的MO家庭为一个给定的基线分布与cdfGx;n，生存函数G x; n 1G x; n和pdfg x; n这取决于参数向量n。在（2）中插入（1），我们定义新Kumaraswamy Marshal-Olkin2.2. KwMO-Lomax（KwMO-L）分布考虑具有正参数a和b的父Lomax分布，pdf和cdf由gx;a;ba=b给出1x=b-a;x> 0，G x;a;b1 1x=b-a.然后，KwMO-L分布的pdf简化为aba½1x=b]-a11-pf 1-½1x=b]-aga-1FxFx;a;b;p;n1-。1-神经节，神经节B1-pGx;400fKwMOLx¼.bf1-p½1x=b]-aga11-½1：其中a>0;b>0和p<$0是三个附加的形状参数，米对于每个基线G，×1-1-p½1x=b]-a548M. Alizadeh等人ð Þhx¼ð Þ¼ ð Þ¼ð ÞðÞDX2我知道了ð Þ：P211-pGP21xP21一好吧Σ ΣΣ好吧ΣΣ-ð Þ ~ð-Þð Þ2a-2ð ÞðÞ一个！1表1一些特殊的模型。S. 号一12 13 14 1五6 1B–1–1p0––00GxG x GxGxGxGx Gx简化模型[21]第三章：指数MO分布族[22]比例反向风险率模型[23]比例风险率模型[24]Gx2.3. KwMO-Weibull（KwMO-W）分布考虑具有正参数的父威布尔分布，b G xaFx~1-paas上帝啊 ！0的整数;abgxGxa-1米k和 B. 然后， 的 PDF 和 CDF 是 给出gxkbx b-1 e-kxb 和Gx1-e-kxb。然后，fx~β1-pαas上帝啊 ！0的整数;差值-1KwMO-W分布的pdf变为abkb xb-1e-kxb1-pn1- e-kxboa-1ab g x G xα ~β 1-pα作为上帝啊 ！第0章：f联系我们.1-pe-kxba12号提案E q s 的渐近性（4）给出（“1-e-kxb#a）b-1×1-：1F xa 1p Gxb作为 X1-p e-kxbfx~b½a1-p]bgxGxb-1作为 x的！1个;高密度聚乙烯bgx作为x的！一曰：对于b2，我们得到作为特殊情况的KwMO-Rayleigh（KwMO-R）分布。2.4. KwMO-Fre'chet（KwMO-Fr）分布~G密度和危险率函数的形状进行了描述解析。KwMO-G模型的密度临界点是方程的根现在，假设具有pdf和cdf的父Fre'chet分布g0xgxgx由g xk dk x-1k1e-1k=xk和G xe-1k= kk给出;x>0，分别，然后KwMO-Fr模型的pdf减少到gxa-1Gx-pa11-pGxg x Gxa-1a/101- b/101aa：1000ab1-pkdkx-k1e-d=xkhe-d=xkia-110-pG-10- pG1-pG-GxfKwMOFr x; a; b; p;k;dn1-ph1- e-d=xkioak 1可能有一个以上的根（7）。 设k=1 ×2我们有<82k3a9=b-1×1 -4e-d=x.k5;：kxg00xgxg0x2gx2a-1g0xGx -gx2Gx21-p 1- e-xrd=xxrd图图 1和图 2显示了KwMO-E、KwMO-L、KwMO-W和KwMO-Fr分布对于选定的参数值。图1表明KwMO家族生成具有各种形状的分布，例如对称分布，左偏，右偏和反向J 此外，本发明还— pa1— a/ b-1g0x1-pGxpgx2g0xGxa-11-pGx1-pGx-GxgxGx图 2表明KwMO家族产生了不稳定的危害速率形状，例如恒定、增加、减少、浴缸，倒置浴缸和S.”这说明，KwMO系列在拟合不同的数据集时非常有用，-aβa-1 βb-1 β1-pGβxβ 1-pGβxβag x2Gxa-1p ab-11-pGx;n2.1-pG— Gð xÞaΣ— Gx！1个;¼一KwMO分布549你好！3.数学性质ðÞðÞð Þ2各种形状。gxGxa-1np1-pGx;na-1-Gxa-1o-a/b-1/b1pGx;nG x.Σ1pG x;naG xa23.1. 渐近性和形状提案1. Eqs的渐近性（4）给出如果x^x0是（7）的根，则它对应于局部极大值。mum，如果对所有xx0，k<$x <$0>0，且对所有x>x0，k<$x<$0。<<它对应于局部最小值，如果对于所有xx0<<且对所有x>x0，k∈x∈>0。它指的是一个不确定点，如果或者kx>0对于所有的x- x 0或者k x 0对于所有的<：---550M. Alizadeh等人a=12，b=5，p=0.5a=5，b=15，p=1.5a= 1.5，b = 2.5，p=2a= 0.5，b =2，p=1.5a=15，b=10，p=1.53.5ΣΣð ÞΣΣpG1-pG2-pG3-pG4- pGGxbx1sbGxr;10R2015年12月25日(a)（b）第（1）款 250.0 0.2 0.4 0.6 0.81.0X电话：+86-0510 - 8888888传真：+86-0510 - 8888888X（c）第（1）款 21.5米（d）其他事项1.5米0.00.51.01.52.00.00.51.01.52.02.5 3.0XX图 1密度图：（a）KwMO-E、（b）KwMO-L、（c）KwMO-W和（d）KwMO-Fr模型。如果对于所有xx0，s∈x∈0，且< x0，s x> 0。它给出了一个不确定点，如果对于所有x- x 0，sx>0，或者对于所有x - x 0，s0实数非整数）pG-1-pG-1一r¼0β1-pGβx，β1-pGβx2哪里— a-100gp2α1-pGαx;np2α 2-Gαxα2sb¼X1-1a= 0.5，b =2，p=1.5a= 1.5，b =55，p=2.5a= 2.5，b =200，p=5a=5，b=100，p=1.5a= 3.5，b =150，p=2.5a 1.5 b 1 p 0.3a2.5 b0.5 p0.5a4.5 b4 p0.7a 120英镑3.5英镑0.5英镑a 15人8.5人0.1人1.5 b 1.5 p1.3a 2.5 b 2.5 p 2.5a 4.5 b 4.4 p 4.7a 120英镑3.5英镑0.5英镑1.5英镑a 15人8.5人0.1人2密度1.52.0密度0.00.51.01.52.02.50.00.52.51.03.0密度1.0密度0.00.51.01.50.00.51.52.0þ-我- -p的值KwMO分布5511-pGβ-葡糖苷- 黑腹长吻鳕R1k¼0Kk¼0一如果x^x0是（8）的根，则它指的是局部最大值，如果AI1-pGxbG xkK.b. j：JR（p1-pGx;na-1-Gxa-1）2—agβ1-pGβx，核糖核酸— Gx：然后，使用（10），我们得到Gxa iP1aGxkX1Σ Σ公司简介1/4 cGxk;11一j/ r对于所有xx0，sx<并且对于所有x>x0，<它是-552M. Alizadeh等人a=1，b=1，p=0a=5，b= 1.5，p =0.5a=6，b= 1.5，p =0.5a= 0.5，b = 1.55，p=1.8a= 0.3，b = 1.4，p =1.23.5k kbXKXGðÞð·Þ¼ð·Þ吉尔-吉列尔斯克1.5米(a)（b）第（1）款21.5米（c）第（1）款0.0 0.2 0.4 0.6 0.81.0X2015年12月25日（d）其他事项电话：+86-0510 - 8888888传真：+86-0510 - 8888888X1.5米0.00.51.01.52.0012 345XX图 2危险图：（a）KwMO-E、（b）KwMO-L、（c）KwMO-W和（d）KwMO-Fr模型。哪里一个kX1.ai. jj¼kJKfxfx;a;b;p;nX1bhk1 130克X1jkJ.ai. jk1.1.因此，新分布的一些数学性质-bk<$bka;p;i对于k≥1j¼k-1可以从exp-G分布的这些性质导出基于（13）。例如，普通和X的不完全矩和母函数可以由exp-G分布的这些量得到。c/c/a;p;i/a1.1Kak-b0r1arbk-r！;3.3. 分位数幂级数c0 1/4a0=b0。然后，我们得到FxFx;a;b;p;n1bGxk;12k¼0设QG-1为基线qf。KwMO-G分布很容易通过将（4）反演如下来模拟：如果u具有均匀U0; 1分布，则非线性方程a= 3.5，b = 2.0，p =1.5a=5，b= 3.3，p =2.5a=10，b=5，p=2.0a= 0.5，b = 1.7，p=2.5a= 0.4，b = 1.9，p=2.02.5 b 2.6 p 2.2a 2.3 b 2.35 2.5a 20.9 b 20.6 p 20.5a 2.88 b 2.2 3.1a 0.85 b 0.2 p 0.35a1.9b 1.5p1.1 b1.5a20.7b 20.3p20.1a1.8b1.2 p1.5a/2 b/0.9 p/0.3 p/1.5a20.2b 20.5p 20.3b20.2h（xh（x）0.00.51.02.03.02.50.00.51.51.02.02.53.0h（x）h（x）0.00.51.52.00.00.51.5k10akk¼0其中hk<$1<$x<$1是幂参数;KwMO分布553K1/4我K001 一1-pkP1;b 1/4-a，H1/xP 1/4G1/xP 1/4表示指数，x¼QGB@.hi1CA14其中，1/4 P1 π-1 πi. b ca; p; i;b ¼ 1-a，对于k ka0hi111aed-G最后一个结果对于实非整数a成立。对于整数a，它很明显，指数应该以整数为单位，我们可以很容易地更新公式。X的密度函数可以表示为exp-G密度的无限线性组合，即1-p 1- 1-β 1-uβb具有密度函数（5）可以基于分位数测量来考虑形状参数a和b对偏度和峰度的影响现在，我们推导出qfxQuF554M. Alizadeh等人ð ÞGið Þð Þþ.XXXk1Xð·Þ0G1 一1-p 1- 1-β 1-uβbk½ 0bku0k¼0其中，ωk<$1-p分配。n！ZXX的扩展（14）。首先，如果QG u没有显式表达式，则通常可以表示为幂级数Qu1a ui;151/4其中系数ai对于几个重要的分布，如正态分布、学生t分布、伽马分布和β分布，QG u没有明确的表达式，但它可以扩展为等式。（十五）、从现在开始，我们使用Gradshteyn和Ryzhik[25]对于提升到正整数n的幂级数（n≥1）当量公式（20）是本节的主要结果，因为它允许获得KwMO族的各种数学量，如下面的部分所示。整个文件中推导的公式可以很容易地处理在大多数符号计算软件平台，如Maple，Mathematica和Matlab。3.4. 时刻设Y k<$1（kP0）是一个随机变量，其exp-G pdf h k<$1x具有幂参数k 1。X的第n阶矩的第一个公式由（13）得出：QG11/4n我爱你11/4cn;iui;16EXn1k¼0bk1EYn电话：021 - 8888888其中，系数c n;i（对于i 1; 2;. . ）由nNadarajah给出了一些exp-G分布的矩递推方程（其中Cn;0我-1m¼11/4a0）和Kotz [26]，它们可以用来获得E<$Xn <$。由式（21）得出E<$Xn<$的第二个公式：X1k¼0sn;k;22k显然，量c n;i是从c n;0;.得到的。 ; c n;i-1和然后从量a0;.. . ai.其中sn;kR 1Qunu k du。接下来，我们推导出QG的辐角的展开，（十四）X的第n阶不完全矩被确定为：Zyh1i1¼nmnyx fxdx一1-pP1k0aωkuk-1X1GA¼。hi1π1ωk、nk¼ ðkþ1Þbkþ1QðuÞu du;ð23ÞP.1美元。我的其中，对于大多数G，ð-Þcn;i i a0½mn1-i]amcn;i-m：17E XnG111 2 3 4 56 78 9 9101112 13一我BK ;bω01/4-p，KwMO分布555KXωcuX¼aXωcuKi;k0m¼1Mi; k- mωX1我很高兴。 1美元。我的3.5. 生成函数bk¼p-1i; k¼0a B：556M. Alizadeh等人I k在这里，我们提供了两个公式的矩产生KwMO分布557两个幂级数的比值可以表示为：A¼X1cωuk;18558M. Alizadeh等人ð Þ¼ ðÞ我的天1/4k完全矩由（23）给出，n=1。X的函数（mgf）M t EetX。 显然，第一个可以由（13）表示为KwMO分布559X1560M. Alizadeh等人k¼0其中cω0<$aω0=bω0，系数cωkKwMO分布561我的天k¼0bk 1Mk1t;24562M. Alizadeh等人然后，X的qf通过组合（15）和（18）从（14）得出根据递归方程KwMO分布563其中Mk<$1<$t<$1是Yk<$1的mgf。因此，可以阻止M-564M. Alizadeh等人1 .一、1XK！从exp-G生成函数中挖掘。第二式KwMO分布565ck¼bω0aωk-bω0r¼1