S-统一与逻辑程序设计：模糊常数与相似性，基于相似性的逻辑程序设计与S-统一的讨论

86理论计算机科学电子笔记66第五届会议（2002年）URL：http://www.elsevier.nl/locate/entcs/volume 66. html18页sVague Domain、S-统一与逻辑程序设计哈利·E维他宁1计算机科学AboAkademi大学芬兰KUNAbo摘要本文的目的是给一些见解使用的模糊（模糊）常数和相似性的逻辑程序设计。提出了基于相似性的逻辑程序设计（SbLP）的语义基础S-统一，或基于相似性的统一进行了讨论。 本文还结合一个实例介绍了S-归结的 原 理 。1介绍逻辑编程的模糊化可以说是从70年代[8]的出版开始的。当然，甚至在此之前，多值逻辑的讨论已经出现在[4]这样的论文中。作者第一次对逻辑编程的模糊化产生兴趣是在90年代初。第一次尝试定义模糊统一的作者，是在论文研究模糊逻辑编程，[11]。[12]这是另一个早期的，但更广泛的尝试[13]。文[12]的实质也在本文中找到。在第二节中，我们形式化了vague域和特殊域的概念。这遵循SbLP的语义。我们还表明，理论语义可以简化，反驳可以在这种方法中使用。第4节给出了S-统一的重要定义和原理下面的部分给出了对S-归结的一些见解2Vague Domain和Special Domain我们首先定义模糊等式xy∈[0，1]，对于某个论域：1电子邮件：harry. abo.fi2002年由ElsevierScienceB. V.操作访问根据C CB Y-NC-N D许可证进行。VIRTANEN87×→|∈∈ }DJ ∈RrSs我我我我JJS我1我2我1S2定义2.1[模糊等式]一个运算（即：：Ω[0， 1]）被称为一个集合上的模糊等式关系，当满足以下公理时，（其中，f是t-范数）：(i) ωω= 1（反射率）(ii) ω1<$ω2=ω2<$ω1（对称性）(iii) （ω1<$ω2<$ω2<$ω3）≤ω1<$ω3（ω-传递性）当我们不要求对称时，我们可以称之为相似或相似关系[1]，[2]。通常，上述定义被称为相似性。我们也将这样做。相似性的度量我们用[ω1<$ω2]可以创建一个特殊的域，由语言值（模糊常数）组成，通过使用另一个域上的相似关系来构建定义2.2 [特殊域]设s类的宇宙是 有 限的。设r是R上的相似关系。设Vk=[wi，wj]是λr中的一个区间，称之为原型.设对应的标签（名称）为vk。vk的含义是原型的外延，即vk是原型的外延，vk是原型的外延。 µvk（ωi）=sup{[ωisω j] ω iV k，ω j<$.一个特殊的域s可以由tupples（vs，µvs）的集合，vr的原型集合。KK一般来说，特殊整环Ds的R_r是R的有限区间。在续集中，我们假设这是特殊域的情况定义2.3[完备特殊域]一个特殊域，称为完备的，如果，<$ω i∈ <$r我们有Vi={ω i}和（v s，µ vs）∈Ds。给定任何域，即使是完全特殊域，我们对每个s类的域Ds包含一个相似关系s，从而创建一个域Ds。这意味着D的每个元素 可以与D中的任何其他元素进行比较，并且可以测量它们的相似程度也就是说，<$xs，ys∈ D：[x ssy s] ∈[0，1]。 对于特殊的整环，我们有<$（v s，µ vs），（v s，µ vs）∈ D：[µ vsSµ vs] [0，1]。我们假设一个特殊的关系之间的相似关系在一个特殊的域举行。定义2.4[比例相等相似关系]设Ds是基于r和r的完全特殊域。设s是上的相似关系，S sDS。 设v1，v2是Ds中的两个语言值，V1，V2的值r是它们的值对应的原型。 则s和r按比例相等，如果（一）sup{inf{[ωrrω] |ω∈V1，ω∈V2}}=[vsv]如果所附的相似关系s是普通的清晰等式，则称Ds是清晰域，否则称其为vague域。设[as]表示as∈ Ds的相似类，定义为模糊集[as]（xs）= [ass xs]。我们假设(i) Ds是一个有序集;R我1我2我VIRTANEN88∈SSsDD•∈«[λ]«[λ]Ss(ii) 对非特殊整环Ds，对任意的as∈ Ds，[as]是严格凸正规的<<(iii) 让hpt（D）= |Ds|然后S-12n∈ D：|Supp（[a s]）|≤hpt（D）+hpt（Ds）ss2(iv) 对于完全特殊整环Dr，我们要求：（v）hpt（s），μ vr）∈ Dr：|补充剂（µ vr）|≤ hpt（μ s）+ μ 2在非特殊域的情况下，很容易看出每个[as]都是一个三角模糊集，核的基数为1。 （c）和（d）的思想是限制任何相似类的任何α-割的大小严格小于域。因此，例如，如果定义域的基数是10，那么任何相似类的任何α-割（α]0，1]）的最大基数是7。这三个假设对我们在后续的研究中的方法至关重要下一步是包括λ∈[0， 1]，相似性的最低界，并用λ-集扩展语言的域对于每个a∈ D，我们定义相应的λ-集，[as]λ={bs∈ D因此，我们设Dλ={[as]λ|as∈D}。3语义| [asb] ≥λ}，λ∈[0，1].给定扩展域sλ，我们定义[λ]-解释[λ]如下：定义3.1[[λ]-解释]设d（p）给p分配一个排序。的解释语言l的[λ]是一组非空域siλ和一个映射，该映射关联：每个常数csil都有元素[csi«[λ]]λ∈ Dsiλ;• 每个n元函子f ∈ l，其中d（f）= s1，s2，. ，Sn→ Sm，和一个映射f<<[λ] ：Ds1λ× Ds2λ×. ×Dsnλ→Dsmλ;• 每个n元谓词符号p∈l，其中d（p）= s1，s2，.，sn λ → L; p~[λ]：Ds1λ×Dsnλ× ··· ×Dsnλ→ L;定义3.2[术语的语义]让[1]是一种解释。 设φ为评价 我会的。f的第n个意义φ<$（n）是一个元素，Dsλ定义如下：(i) ifisaconstantcsthenφ<$（λ）=[cs]λ(ii) 如果在一个特定的领域Ds中有一个语言（μ）= [μ（vs）]λR«SVIRTANEN89«[λ]S我1n1n1n我我12(iii) 如果n是一个变量X s，则（）=φ«[λ]（X秒）(iv) if是形式f（1， . . ，n），则nφ<$[λ]（φ）=f<[λ]（φ<$（）， ... ，φ′[λ]（λ））有了这些定义，我们就可以解决SbLP公式的语义问题了。在经典逻辑中，一个公式的真实性取决于它的项在给定的解释中的明确相等。 看看定义3.2，很明显，我们的理论框架需要λ-集之间的关系。但是，我们稍后将证明，程序语义（即，SbLP的实现）不需要考虑λ-集的概念定义3.3[λ-集的近似等价]两个λ-集[as]λ和[bs]λ被称为近似等价，记为[as]λ<$[bs]λ，如果且除非。as∈[bs]λ<$bs∈[as]λ，如果s是非特殊整环（二）bs∈[as]λ，如果s是特殊整环对于非特殊区域，对称性是自然的，因为λ-集是围绕一个单一元素（原型元素）形成的。因此，对于λ= 1，没有两个原型元素可以相等，除非它们相同。对于完备的特殊区域，我们可以要求as∈[bs]λ<$bs∈[a]λ，但这样模糊逻辑的非对称性特征将被破坏。然后，我们允许完全特殊域的非对称性，例如，[tallheight]1<$[approximately190height]1是真的。使用这个定义，我们可以定义一个关于[λ]-解释的预测的清晰模型关系，如下所示：[λ]|=p（as1， . . ，asn）iφ<$（s1）， .. . ，φ<$（sn）<$∈p<$S.T.j，i：但是定义3.1要求我们知道任何查询与SbLP的实际相似程度。为此，我们定义了λ-集的两个相似性函数：第一个函数，1只能用于非特殊域中的λ-集| [v s] λ∩ [v s] λ|(3)[[vs]λ1[vs]λ]=12最大值|[v s] λ|、|[v s] λ|}对于特殊领域，我们需要考虑元素的原型。我们首先定义一个函数，它返回λ-集中所有值的原型集设V是V的原型集。 德费恩（四）nuc（[vs]λ）=vJs∈[vs]λViJ我们要做的第二件事是把v在[v]λ中的原型V算作一个元素。剩下的则包含在nuc−（[vs]λ）中：(5)nuc−（[vs]λ）=nuc（[vs]λ）\V[λ]«««[λ]12VIRTANEN90DSS211n⟨φ¯（1），... ，φ′（n）n∈p[λ]1[λ]n[λ]«[λ]1z«[λ]1«[λ]nznλsλ[λ]Xsφ然后我们定义一个二元真值函数：S(6)τ（V2nuc（[v1]λ））= inf{µnuc（[vs]λ）（v）}v∈V2这当然回答了近似等价的问题（真值=1），但是为了知道集合的相似度，我们最终定义了τ（V2nuc（[v s] λ））+|（nuc−（[v s] λ）<$nuc（[vs] λ）|(7)[[vs]λ2[vs]λ]=1 211+ max（|nuc−（[v s] λ）|、|nuc−（[v s] λ）|）例3.4设s=[0，9]，V=[0，2]为小的原型。德费恩ωi4不|)for Ω s. 设Dt是完全特殊的不域，基于Ωs，其中[at b] = infω{ min（1−µbs（ω）+µas（ω），1）}为这是一个类似的关系。 假设eλ=0。5. 让我们用数学的方法来说明语言学的价值。 Then[µs m alltt<$4t]=0。5and[4ttµs m allt]=0。让我们计算[[µs malls]0的值。520。[5]and[[4<$]0. 52[µs m alls]0. 5]。首先计 算 nuc（[µs m alls]0. 5）={0，1，2，3，4}，nuc（[<$4]0. 5）={2，3，4，5，6}，nuc−（[µs m allls]0. 5）={3，4}且nuc−（[<$4]0. 5）={2，3，5，6}。然后，和[[µs m alls]0. 520。5]=[[4]0. 52[µs m alls]0. 5]=τ（{4}<${0，1，2，3，4}）+|{2，3，5，6}{0，1，2，3，4}|1+4τ（{0，1，2}<${2，3，4，5，6}）+|{3，4}{2，3，4，5，6}|1+43== 0。652== 0。45第355章：让我来解释一下吧设z为1或2，取决于域sλ是非特殊域还是特殊域。设νφ[λ]（λ）表示λ的真值，[λ]和估值φ：• Vφ[λ]（p（t s1，. ，t sn））= supss{在f{[φ]中， .. . ，[（sn）（tsn）]}• νφ[λ]（<$）=νφ[λ]（λ→<$0）• νφ[λ]（λ）=（νφ[λ]（λ））• νφ[λ]（）=νφ[λ]（（→）→）（（→）→）• νφ[λ]（λ→λ）=（νφ[λ]（）νφ[λ]（））• νφ[λ]（参与）=（νφ[λ]（→）νφ[λ]（→））• ν[λ]（λX s（λ））=inf{r|[cs]∈DS.T.ν[cs]λ[λ]Xs（λ）=r}其中[cs]λ是与[λ]相同，除了将[cs]λ分配给变量Xs，Dλ是一个域的排序s。φ«[cs]λ• ν[λ]（λX s（λ））= sup {r|[cs] λ∈ Dλs. t. ν[λ]Xs（λ）= r}到目前为止，该理论是基于每个域都扩展了相似性关系和域元素之间的相似性下限λ这个理论的任何实际实现，在实际建立Dsλ的地方，显然是可疑的。另一方面，很容易看出，4 −««[λ]112ωj[ω isω j] = max（0，1−|VIRTANEN91SSs∧±SSS的1一个的1是B1BNB1BMSSSSSSS⇔S⇔S之间，存在。这种联系由以下两个定理正式表示：定理3.6设Dsλ是非特殊整环Ds的λ-集划分。λ-集和.设Ds具有线性顺序关系（±）。 (i.e.s）。 对于任意的a s，b s∈ Ds，a s≤b s，且λ∈]0，1]，我们有（八）和（九）[a ssb s] ≥λ惠[[a s] λ1[b s] λ]> 0。5[a ssb s] <λ惠[[a s] λ1[b s] λ] <0. 5证据 如果s是清晰的或者λ= 1，那么定理显然成立。 让λ∈]0，1[. λ-集[as]λ∈ Dλ的特征为[a s] λ={r s，.，r s ，as，ts，...，ts}，t±a±rn，m≥ 0令[bs] λ={rs，...，rs，bs，ts，...，t s}，则[as bs] =λ惠as∈[bs]λ惠bs∈[as]λSSSSa=rb1bS s=tams sss s s惠[a]λ[b]λ={a，ta1， . . ，tam}={rb1， . . ，rbn， b}，{tai， .. . ，tam}{rb1， . . ，rbj}， j≤bmssmax{|[a s] λ|、|[b s] λ|}（十）⇔|[a] λ [b] λ|>2个惠[[a s] λ1[b s] λ]> 0。5和（假设交集至少包含一个元素）[ass bs]<λ惠as/∈[bs]λ惠bs/∈[as]λa±rb1b塔姆s s s s惠[a]λ[b]λ={tai， .. . ，tam}={rb1， . . ，rbj}，以及0 0。5[美国b s] <λ惠[[a s] λ2[b s] λ] <0. 5这两个定理表明：（1）反驳可以用于用λ -集扩充的语言;（2）[ λ ]的指定真值是D =]0。5，1]。VIRTANEN93≥λ≥λ>1−λ≥λ>1−λ>0。5<0的情>0。5defdef我们有以下等价链（十四）让[a s] λ [b s] λ惠[[a s] λz[b s] λ]> 0。5惠 [ass bs] ≥λ=]0. 5，1]。 我们可以这样写：（十五）和[λ] |= ϕ iff νφ[λ](ϕ) ∈（十六）[λ] |= ϕ iff[λ] |= ¬ϕ iff νφ[λ](¬ϕ)/∈定理和方程14似乎暗示着，在我们理论的实际实现中，λ-集的费力计算是不必要的显然，在元素的简单相似关系（）和近似等价的计算（）之间存在联系。设λ为[λ]但不含λ-集，即当[λ]基于Dsλ时，λ基于Ds 和λ仅用于检查项的相似性。 问题是 如果我们可以这样写：(17)[λ]|=优惠λ|=是否可以将反驳从[λ]转移到λ？如果表示]0。[5]在[λ]中，则= [λ，1]是其在λ中的对应物。在[λ]中的所有λ-集的代表。 接下来，我们定义def交由[1-1， 1]，它变成了. 换句在经典解释中，{false，true}的推广是在[λ]中{，}，在λ中{>1−λ，}。基于上述讨论，提出以下建议：提案3.8（十八）提案3.9λ|=（，）i λ|=（<$，）(19)[λ]|= λ（t）|（t）证据 假设否定，<$x是通常的1−x。我们证明[λ]|=（t）λ|通过以下顺序计算：[λ]|=（t）[λ]|（t）<$νφ[λ]（<$ν（t））∈<$νφ[λ]（<$（t）→0）∈≥λ<0的情<0的情<0的情>0。5>0。5>0。5VIRTANEN941−νφ[λ]（tJ∈ ：1 − [[t] λ[tJ]λ]∈<$[[t]λ[tJ]λ]∈[ttJ] ≥λ>0。5<0的情<0的情VIRTANEN95>1−λ>1−λ（二十）<$νφλ（<$（t））∈⇒λ|（t）我们证明λ|=（t）[λ]|通过以下顺序计算：λ|=（t）λ|（t）（t））∈νφλ（1−νφλ（⇒ ∃tJ∈ϕ«λ: 1 − [ttJ]/∈[ttJ] ∈≥λ<$[[t]λ[tJ]λ]∈νφ[λ]（（二十一）[λ]|（t）✷4S-统一在本节中，我们将创建一个算法，用于相似性统一或简称S-统一。我们使用λ而不是[λ]，因为已经证明它们是可互换的。在S-统一和一般的S-归结中，我们可以发现的一个问题如果我们允许非对称相似性，这个问题会变得更糟。我们可以将SbLP中的知识分为一般知识和特殊知识，因为知识越一般，它在搜索树中的位置就越高。最特殊的知识在搜索树的叶子中找到。这就相当于在事实和规则的核心中拥有具体知识，而在规则的主体中找到一般知识。在经典的情况下，一个变量将被替换为一个唯一的项。在相似项的情况下，我们自然会得到变量的一组候选项。那么，候选人该怎么办？我们可以选择一些策略：要绑定到变量的项可以是（a）包含所有相似项（或λ-集）的集合项（云）;（b）相似项中的选择;或（c）基于相似项的新构造项（如区间值模糊集）。在本文中，我们选择实现（b）。如果我们有一组表达式和一个在某个表达式中出现不止一次的公共变量，那么很明显，在关于表达式的一切都知道之前，不能选择要绑定到变量的项。这导致了一种形式的统一（和解决），我们称之为暂停替代（决议）。≥λ>1−λ>0。5>0。5VIRTANEN962KSrSISIKsisiK12nMnMnM12KKJKKK1公里KX我 KYKJKKKK1nSsS因为我们允许具有非对称相似关系的特殊排序，所以当试图统一两个谓词时，知道谓词在程序中的位置是很重要的。让我们看看一些个案，以及我们决定如何处理这些个案。 让我们假设第一个谓词是在子句的主体，并且比第二个谓词更一般，并且s是具有非对称相似关系的特殊域(i) 如果我们有p（as）vs.p（aJs），那么就没有问题，只要[assaJs] ≥λ。(ii) 如果我们有p（Xs，Xs）vs.p（as，aJs），那么Xs的值是通过使用某些标准选择as或aJs来假设选择了as，那么两个谓词的相似度值为[assaJs](iii) 如果我们有p（Xs，aJs）vs.p（as，Xs），那么，由于aJs是更一般的知识，它可以代替Xs。 本例中两个谓词的相似度值为[aJssas](iv) 如果我们有p（Xs，aJs，Xs，bs）vs.p（as，Xs，bJs，Xs），那么aJs和bs是常识，其中之一将被选择作为Xs的替代。假设选择b s，则两个谓词的相似度值为min{[bssas]，[aJssbs]，[bssbJs]}。这一选择基于定义4.3让定义4.1[相似性参考（SR）]相似性参考是有限的把所有的 元素都放进去。 . . i/α，其中reα=inf{[assa]|[asa]≥λ和a s，a s∈λ a s，a s，.. . 其中s是一个vague sort。的目的是跟踪不会被变量替代的类似常量。 若E1= p（Xs1，as2），E2= p（Ys1，bs2）且s2是Vague排序，则若[as2sbs2] = α≥λ为真，则SR={aas2，bs 2<$/α}.定义4.2[预替换（PS）]候选术语集ctssi是一个集合一个变量的候选绑定，V si。所有候选人， 所以cts是彼此相似。中旅西 ={c si/{α12，α13，.，α1m}，.，c si /{α m1，αm2，.、α mm−1}}，其中α xy= [c sisc si]≥λ，xi = y。 每个c si ∈ cts 是一个术语区别于vsi。一个预置换是一个集合（22）{V /cts|k = 1，.，r}其中每个V si 是一个排序为s i的变量，每个cts si 是候选术语集。 的K K变量V si，.，V是不同的。Vsi/ctssi称为Vsi的预绑定。1rk k k第二步是找到所有预绑定的最重要项（mst）定义4.3[Most Significant Term（mst）]设Vsi/ctssi为预绑定，K K其中cts si ={c si/valset1，...，c si/valset n}并且valset j={α j1，.，αjj−1，α jj+1，. ，α j m}。 最重要的 是，V是计算如下：VIRTANEN97JJSr⟨E SR ⟩⟨E⟩2111nn我我4224低点：（二十三）mst（cts si）= sup {c si/α |c si/valset j∈ cts si且α = inf {valset j}}kj jkJI从[λ]的角度来看，csi/αj可以用[csi]α（α≥λ）来识别，j jj其自然包含所有候选项。定义4.4[相似替换]相似替换θ是计算的PS，我是我（24）{V /c/α1，... ，V/c/α n}其中每个Vsi都是一个变量;每个csi都是一个最重要的项，不同于V si，V si，.，Vsi是不同的。每个αj都是一个模糊的j1n将csi绑定到Vsi的值，并且si是第i个J J定义4.5[恒等替换]由空集和非空SR给出的相似替换称为模糊恒等替换，用E，SRE表示。如果SR也是空的，则它被称为恒等替换，并表示为E。定义4.6[替换值]设θ是一个替换，一个相似性参考。则S-替换值α为1，ifEinfβ{βi∈ SRE}，如果ε E，SREε（二十五）α=i在fαi{αi∈θ}，if<$θ<$min（infβ{βi∈ SRθ}， infα{αi∈θ}）， minθ，SRθS-置换在下文中表示为εθ，SRθ，αε或εθ，αε，模糊恒等置换表示为，E，α，恒等置换表示为。 α是S-替代值，但不一定是被统一的项的统一值（相似值）（参见定义3.5）。当对一个（或多个）项应用替换时，α被省略我们现在准备好定义S-统一器了。定义4.7 [S-unifier]设E1和E2为简单表达式，λ为阈值。一个S-代换<$θ，SRθ，α<$称为S-一致子，如果[E1θ E2θ] = α≥λ.一个关于E1和E2的S-单位元<$θ，SRθ，α<$，α ≥ λ称为最一般S-单位元（mgSu），如果对于E1和E2的每个S-单位元<$σ，SRσ，β <$，β≥λ，存在一个S-代换<$γ，SRγπ<$，π≥λ，s.t. [σθγ] ≥λ。声明[σθγ] ≥λ意味着左侧的每个绑定是λ-类似于右侧的组合绑定。例4.8设E1=a（Xs1，Ys2，Ys2）且E2=a（p（Zs3），cs2，cs2）为21 2简单的表达。 如果[c s2scs2]≥λ，则E1和E2是S-一致的，因为σ1={Xs1/p（cs3）/1，Ys2/cs2/α，Zs3/cs3}VIRTANEN984524642616111MM5123这是一个S-单位。 如果也[c s2scs2]≥λ，则σ2={Xs1/p（cs3）/1，Ys2/cs2/α，Zs3/cs3}4 2 5是另一个S单位。 同样，如果[c s2Sc s2] ≥λ且[c s2Scs2] ≥λ，然后226126σ3={Xs1/p（cs3）/1，Ys2/cs2/α1，Zs3/cs3}又是一个S-单位。 这些都不是mgSu。θ={Xs1/p（Zs3）/1，Ys2/cs2/α}是一个mgSu。注意，[σ1θ{Zs3/cs3}]=1，但[σ3θ{Zs3/cs3}]=min{[cs2s中二]、[中二S4 4cs2]}。现在我们继续创建一个S-统一的算法。由于预绑定中的相似项和候选项集，使用[9]中的多重方程是一种很好的方法。然而，由于具有非对称相似关系的特殊区域，我们将混合单项方程和多项方程。一个简单的方程是一个方程t tJ，其中t和tJ是一个单一的变量，常数或结构（谓词/函数）。例如，X p（a s），a sb s和p（X s1，a s2）p（bs1，ys2）是一个单项方程。对于简单项方程，我们定义模糊项约简定义4.9[模糊项缩减（FTR）]设λ为阈值。设E1E2是一个简单的项方程.(i) 如果E1和E2是常数或变量，那么，如果E1=E2，那么方程被删除。(ii) 如果E1和E2是常数，那么，如果[E1E2]=α≥λ，那么E1E2<$→E1，E2<$/α∈ SR，和E1E2已删除。 否则FTR失败。(iii) 如果E1= p（t s1，t s2，.，t sn）和E2= pJ（tJs1，tJs2，.，t，J，n），m > 0且p = p，J，1 2m1 2m则方程E1E2替换为{t s1StJs1，.，t snStJsn}。文[9]中的项约简定理对模糊项约简成立。一个多元方程的形式是V T，其中X是一组变量，T是一组除变量以外的项，即常数、谓词和函数（T或V可以是空的）。 如果集合V只包含一个变量，而T是一组模糊常数，则VT对应于一个简化的预绑定V/T，其中T不包含候选项的任何值集一组术语的模糊公共部分被定义为从根开始，关于相似性的下限λ对所有人都是公共的 例如，g（Xs1，Xs2，bs5）和g（h（as3，Xs4），Xs2，1 3 2s1s2s5c s5）是，假设[b s5sc s5] ≥λ，g（X ，X ，b）中所示。边界被定义为一组多重方程，其中每个多重方程都与公共部分的一个叶相关联，并由所有子项组成22nVIRTANEN991联系我们1321324对应于这片叶子。例如，上述两项的多重方程组为{{X s1}{h（a s3，Xs4）}，{X s2，X s2}{}，{}{b s5，c s5}}。项，然而，方程变成了多重方程。定 义 4.10[FuzzyMultiequationreduction] 设 VT 是 一 个 FuzzyMultiequation，其中V是一组变量，T是一组谓词/函数。求T的模糊公共部分C。如果不存在公共部分，则还原失败。如果C存在，则找到边界F，并将V T替换为{V C}{F}例4.11令{g（Xs1，Xs2，bs5），g（h（as3，Xs4）s1，Xs2，cs5），g（h（Zs3，bs4）s1，Xs2，Ys5）}是一组项，其中S5是一个模糊的排序。则公共部分为g（Xs1，Xs2，1 3Ys5）。集合中的项的模糊多方程约简导致：多重方程组{{Xs1}{h（as3，Xs4）s1，h（Zs3，bs4）s1}，S2S2S2{X3，X2，X4}{}，{Ys5}{cs5，bs5}}文[9]中的多方程归约定理3.1也适用于模糊多方程归约。对于我们的模糊情况，我们写道：定理4.12设VT（T=）是集合Z的模糊多重方程方程（多项方程和单项方程）。如果T没有模糊公共部分，或者如果V中的某个变量属于T的边界F中某个多重方程的左侧，则不存在S-唯一子。另外，通过对多元方程VT应用模糊多元方程约简，我们得到了一个等价的方程集ZJ。证明也遵循[9]，除了考虑S-单位元，而不是普通的单位元和=T中的项和相应的子项。模糊紧化作用于三个不同的方程对，即单项方程、多重方程以及单项方程和多重方程的组合。定义了两种模糊聚类方法。第一个（Compact1）对模糊多重方程进行运算，并基于[9]中的多重方程分解：多重方程对（VT）R1（VJTJ）之间的关系R1存在当且仅当V<$VJ/=Vj成立。 如果这对多重方程之间存在这种关系，那么这两个多重方程就合并成一个多重方程。多方程，通过取其左侧和右侧的并集。如果合并后的右边只包含常量，那么它们必须是相互相似的，并且它们必须属于同一个vague排序。否则，Compact1失败。第二种方法（Compact2）对单项方程进行运算，也是基于多方程的简化，但由于存在非对称特殊域，我们确定了几种情况：VIRTANEN100∈∈联系我们--(i) (caseR2a）一元方程组（V1t1）R2a（V2t2）之间的关系R2a存在当且仅当V1=V2。 若一对一元方程之间存在R2a，则将这两个方程化为{V1}{t1，t2}.如果t1和t2是常数，那么我们可以检查[t1t2]≥λ成立。如果没有，则统一失败。(ii) (caseR2b）一对一元方程（V1t1）R2a（t2V2）之间的关系R2b存在当且仅当V1=V2且t1，t2是结构（不是变量或常数），且t2包含特殊类型的常数。若一对单项方程之间存在R2b，则这两个 方程可变换为o（t2t1）<$（{V1}{FCom（t2，t1）}），其中FCom为模糊公共部分.(iii) (case R2c）由于R2b但t2不包含特殊类型的常数（可能包含特殊类型的变量），则这两个方程被变换为{V1} {t1，t2}.(iv) （情况R2d）一元方程组（t1V1）R2d（t2V2）之间的关系R2d存在当且仅当V1=V2且t1，t2是具有特殊分量的结构.如果一对一元方程之间存 在 R2d ， 则将 这两个 方程转 化为 SpecialReduct （ t1， t2）V1FCom（t1，t2）. ”SpecialReduct” is defined(v) (caseR2e）一元方程对（t1V1）R2e（t2V2）之间的关系R2e存在当且仅当V1=V2，t1，t2是特殊类型的常数，且[t1t2]≥λ.若一对一元方程之间存在R2 e，则第n个方程可变换为{t1，t2}{V1}.我们还必须考虑单项方程和多项方程之间的区别。一元方程与多元方程（V1t1）R3a（VT）存在当且仅当V1V和t1是与T中的术语相同的一个单项方程与一个多项方程（t1V1）R3b（TV）之间的关系R3b存在当且仅当T是一个特殊类型的常数集，t1是一个常数且V1∈V.一元方程与多元方程（t1V1）R3c（V）之间的关系R3cT）存在当且仅当V1V和t1与T中的项具有相同的结构。然后，将单项方程的分量代入多项方程。接下来，我们表示一个非确定性算法：(a) 选择任何形式为t1v1的简单方程，其中t1不是变量，特殊类型的常数或包含特殊类型分量的结构，并将其重写为v1t1(b) 选择形式为V1其中V1和V2是2VIRTANEN101∅- -可区分变量，并将其写成一个乘法方程n{V1，V2} n。(c) 选择任意形式为t1t2的简单方程，其中t1和t2不是变量，并应用模糊项推导。(d)选择R2c中的任意两个一元方程，即（V1t1）R2c（t2V2），并将min构造为{V1}{t1，t2}。(e) 选择形式为VT的任何多重方程，并应用模糊多重方程归约。(f)选择两个在R 1中的多重方程，即（VT）R1（V JTJ），以及把它们紧化为V<$VJTTJ.(g)选择R2a中的两个单项方程，即（V1t1）R2a（V2t2），并将min构造为{V1}{t1，t2}。(h)选择R2b中的两个单项方程，即（V1t1）R2b（t2V2），并将minto（t2t1）（{V1} {FCom（t2，t1）}）进行比较(i) 选择两个在R2d中的单项方程，即（t1V1）R2d（t2V2），并将min化为（SplReduct（t1，t2）<$（{V1} {FCom（t1，t2）}）.(j) 选择R2e中的两个单项方程，即（t1V1）R2e（t2V2），并将min化为{t1，t2} {V1}。(k) 选取R3a中的一个多元方程和一个单项方程，即（V1t1）R3a（VT），将min化为V<${V1} T<${t1}(l) 选取R3b中的一个多元方程和一个单项方程，即（t1V1）R3b（VT），并将min化为V<${V1} T<${T1}(m) 选 择 R3c 中 的 一 个 多 元 方 程 和 一 个 单 项 方 程 ， 即 （ TV ） R3c（t1V），并将min化为T<${t1} V<${V1}(n) （*）选择一个与另一个方程没有关系的简单项方程t1V1，其中t1是一个特殊类型的常数。将其重写为{V1}{t1}。 这意味着t1是V1 的最大值。应用p*，{V1} {t1}立即。(o) （*）选择一个多元方程T V或V T，它与另一个方程，其中T是一组特殊类型的常数将其重写为V{mst（T）}。也就是说，我们为变量V选择一个mst。(p) （*）选择一个方程V T，其中T是单例或空的，并对V（或V中的变量）出现的其他方程应用变量替换如果T=，则替换成分是，“无关”变量。（n−p）只有在其他任何一个都不能应用时才应选择。如果多重方程归约生成一个多重方程T ， 其 中 T由相互相似的常数组成，则T形成一组相似的常数，这些常数被移到集合SR，{} T被擦除。如果所有的多重方程V T都是VIRTANEN10222342342212234输入：E1，E2，λ程序Funify（E1，E2，λ;θ，SR，α）输出值： θ、SR、α开始return False;虽然没有完成，DONE = true; OrigSet = Set%（c）而FuzzyTermReduction（Set，λ; NewSR，NewSet）集合={E1E2}; NewSR={}%（e）Set = NewSet; SR =SR新SR而FuzzyMultiEquationReduction（Set，λ;NewSR，NewSet）%（a）、（b）Set = NewSet; SR =SR新SRReWrite（Set，NewSet）; Set = NewSet%（d）、（f）、（g）、（h）、（i）、（j）、（k）、（l）、（m）end WhileifOrigSet/ = Setthen DONE = False%（*n），（*o），（p*）MST（NewSet，ThetaSet，AlphaSet）%（*p）Substitute（ThetaSet，θ，Alphaset，α）结束程序使得（i）V仅包含变量或为空;（ii）T包含非变量项或为空;（iii）不能对任何T执行变量消去。例4.13令E1=p（Xs1，q（Zs2，cs3，Xs4）s1，Zs2，r（Ys2，bs4），ts5，ts4）2 3E2=p（q（Ys2，as3，bs4）s1，Xs1，ts2，r（ts2，Xs4），ts5，Xs4）1 2 2 4 2两种表达方式要统一起来。S1到S3是模糊排序，S4是特殊排序。然后可以应用模糊项缩减两次，给出：{X s1 q（Y s2，a s3，b s4）s1，q（Z s2，c s3，X s4）s1X s1，Z s2ts2，Y s2ts2，2 1 2b s4X s4t s4Xs4}+SR={<$ts5，ts5<$/α1}通过（d）和（j）紧致化得到：{{X s1} {q（Y s2，a s3，b s4）s1，q（Z s2，c s3，X s4）s1}，Z s2t s2，Y s2ts2，2 1 2{bs4，ts4} {Xs4}}+SR={ts5，ts5<$/α1}第一项上的模糊多方程约化给我们：{{X s1} {q（Ys2，as3，Xs4）s1}，{Ys2，Zs2} q，{X s4}{bs4}，Zs2ts2，Ys2t s2，{b s4，t s4} {X s4}}+ SR ={<$t s5，t s5<$/α1，<$a s3，c s3<$/β}通过（k）的进一步修饰完成了while循环：{{Xs1} {q（Ys2，as3，Xs4）s1}，{Ys2，Zs2} {ts2，ts2}，{Xs4} {bs4}，s4s42S4S5S51 2 2s3s3{b，t } {X2}}+SR={λt3，t4λ/α1，λa，c/β}VIRTANEN103←←34111111在while循环之后，我们选择最合适的术语并做一些替换（n*/o*）。结果（取决于mst）为：{{Xs1} {q（ts2，as3，bs4）s1}，{Ys2，Zs2} {ts2}，{Xs4}{bs4}}+1 1 2SR={<$ts5，ts5<$/α1，<$as3，cs3<$/β}5S-归结中的S-统一很容易看出，当允许与变量有关的模糊域时，在两个术语的统一层次上遇到的问题被转移到子句层次上。 换句话说，规则p（Xs）q（Xs），r（Xs）有 变量X的至少两个候选常数的潜在问题。由于页面限制，我们将在一个例子中展示如何处理它的原理，而不给出任何必要的背景定义。在一个目标的解析过程中不进行任何替换（特殊类型除外）.因此，我们从S-统一（如果涉及特殊排序，则包括替换θ）中收集多重方程，而不是mgSu，如果找到空目标，则处理mgSu以找到目标的答案。需要一个目标扩展E来计算目标的最终值。目标展开是目标的例5.1设程序为p（A t）←q（X w，A t