时滞Volterra积分微分方程的稳定性和有界性新结果-埃及数学学会会刊

+Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，210埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章时滞Volterra积分微分方程的稳定性和有界性的新结果杰米尔·图恩扎YüzüncüYıl大学，数学系，科学学院，65080 Van，土耳其接收日期：2015年6月1日;接受日期：2015年2015年9月9日在线发布摘要本文考虑一类非线性时滞Volterra积分微分方程。我们研究解的稳定性和有界性证明的技巧包括定义合适的李雅普诺夫泛函。我们的结果改进和推广了文献中的结果2010年数学学科分类： 34D05; 34K20; 45J05版权所有2015，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍近年来，关于无时滞Volterra积分微分方程的定性性质，已有许多研究.特别是，读者可以参考Becker[1]、Burton[2，3]、Burton和Mahfoud[4，5]、Dia- mandescu[6]、Hara等人的 文 章 。 [7] ， 米 勒 [8] ， Sta Ragians[9] ， Tunc[10] ，Vanualailai和Nakagiri[11]以及Burton[12]，Corduneanu[13]，Gripenberg等人的书籍。[14]以及其中引用的关于无延迟的各种Volterra积分微分方程的定性性质的一些工作的参考文献一个联系电话： 5375517167。电子邮件地址：cemtunc@yahoo.com，tunccemil@gmail.com同行评审由埃及数学学会负责讨论常微分方程、泛函微分方程和积分微分方程解的定性性质的一个重要工具是李雅普诺夫直接法。从理论上讲，这种方法是非常有吸引力的，有许多应用程序，它是自然使用它。该方法的关键要求是找到一个正定函数或沿着解不增加的泛函。然而，对于非线性常微分方程或泛函微分方程和非线性泛函Volterra积分微分方程，寻找合适的Lya- punov函数或泛函是一项相当困难的任务。当我们用一个泛函积分微分方程代替一个普通的或泛函微分方程时，情况就变得更加困难了。到目前为止，非线性微分和积分微分系统的李雅普诺夫函数和泛函的构造仍然是文献中的一个公开问题。另外，在文献中，也有一些关于时滞Volterra积分微分方程的定性行为的你看，对于前-S1110-256X（15）00052-8 Copyright 2015，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.08.001制作和主办：Elsevier关键词非线性;Volterra积分微分方程;稳定性;有界性; Lyapunov泛函≥ ∈ R ∞ → −∞ R → R≤ ≤∞1τt−τt−τ≤ ≤∞=-/=∞ → ∞ ∞ → RJ=-=/=+∫22= −（）（）+=Σ∫=≥||∞ →∞DT（）=（）下一页（（））+（，）的情况下（（））J≥1，41t−τ |对于每个t ≥ s-τ ≥ 0，|ds 4使得4 x2≤（α − 4）f 2（x），如果|X|≤ N。(A2)a（ t）>0（t≥0），B（ t， s）连续（0≤s≤t<∞，Δta（）不xr（ t）= − a（ t） f（ x（ t））+其中t≥t−τ B（ t， s） g（ x（ s）） ds+p（ t），（2）¸∞ |B（u + τ，s）|du有定义且连续，0 ≤ s −≤t<∞[0，）（0，），p：[0，），f，g：是连续的，对于f（0）g（0）0的连续函数，B（t，s）是0 s t的连续函数<.研究了方程零解的稳定性和所有解的有界性。(2)通过定义新的合适的李雅普诺夫泛函，当p（t）0和p（t）0分别。[11]这是一个关于《易经》和《易经》的问题。对于等式中p（t）= 0的情况，（2），我们有如下结果。定理2. 假设条件（A1）和（A2）成立. 如果km2（1 +α），则方程的零解（2）稳定。证据 我们引入一个泛函V0V0（t） V0（t， x（ t）），定义为：无时滞Volterra积分微分方程然而，在这方面，在本文中，我们考虑一个Volterra integero-di？V1x2白俄罗斯x，f0乌乌杜1F1000f0乌杜延迟的问题此外，Vanualailai和Nakagiri [11]讨论了方程零解的稳定性. （一）. 然而，除了t∞+K|B（u + τ，s）|杜夫2（x（ s）） d s，（3）零解的稳定性，我们还讨论了方程的解的有界性。(2)，当p （ t ） 0 和 p （ t ） 0 时 . 此 外 ， Eq 。 (2) 包 括 并 推 广 了Vanualailai和Nakagiri [11]讨论的方程，当τ 0.我们给出了一些基本信息相关的方程。（二）、我们在本文中使用以下符号0t−τ其中k是一个正常数，将在后面的证明中确定。Q很明显，泛函V0是正定的。对泛函V0关于t进行微分，我们从（3）得到：对于任意t0≥0和初始函数<$∈[t0−τ，t0]，令x（ t）=x（t，t0，t）表示方程的解。(2) 在[t0− τ，∞）上，使得V0r=xxr+α，f（ x） xr 1αf（ x） xr2x（t）=<$（t）on <$∈ [t0-τ，t0].设C[t0，t1]和C[t0，∞）分别表示[t0，t1]和[t0，∞）上所有连续实值函数对于n∈C [0，t0]，|ϕ|t0：= sup {|（t）|：0 ≤t≤ t0}。∞+t−τ |du f（x）− k|du f (x)− k不|f（x（s））d s.|f (x(s)) d s.（四）定义。 Eq的零解(2)是稳定的，如果对每个ε > 0和每个t0≥0，存在δ=δ（ε，t0）> 0，使得ε ∈ C [0，t0]，|（t）|t0<δ意味着|x（t，t0，n）|<ε对于所有t ≥ t 0。那么，很明显，xxra t xf xxtB T S G X S DS（，）（（））t−τ设p t0，（一）.你好，1吨2吨t−τ定理定理1（Driver [19]）。如果存在一个泛函V（t，n（.）），当t≥t0≥0且n∈C（ [0，t]，R）时，≡+a（ t）x21t+4a（ t）t−τ22B（ t， s） g（ x（ s）） ds1张图片2张图片(i) V（ t，0）0，V在t上连续，在t上局部Lipschitz(ii) V（t，t（.））W（n（t）），W：[0，）[0，）是连续的，具有W（0）0的连续函数，如果r>0，则W（ r）>0，并且W严格递增（正定），以及（iii）Vr（t，（.））≤0，=∫Σ、∫0，τ是一个正常数，固定延迟，x∈ R，a（ t）：a（ t）− k= −a（ t） xf（ x） −然后是Eq的零解。（2）稳定，0+4a（ t）|B（t，s）|g（x（s））ds≤ −a（ t） xf（ x）+a（ t） x≤ −a（ t） xf（ x） +a（ t） x1阿勒特t−τ+4a（ t）阿勒特t−τB（ t， s） g（ x（ s）） ds2V（t，t（.））=V（t，n（s）：0 ≤s≤ t）≤ −a（ t） xf（ x）+a（ t） x22|B（t，s）|DS∫2√−∫2∫∫Σ∫22（）−2ρ（）=α0（，）|-两个|+τ，）|（xra（ ta（t）f（ x） x+4a（ t）（xr）（H1）存在正常数α0，m和M，使得g（0）= 0，g2（x）≤ m2x2，如果|X|≤ M，f（0）=0，f（x）≥ α0>（）下一页（）+4个（）下一页（）−2α （）（，）的情况下（（））（，∞）λ=2、12=2x+λ|深水�（s）ds，（五）|dux (s) ds, (5)0λ¸ ¸¸∫X22212 C. 图内什M2+4a（ t）tt−τ|DS |ds1不t−τ2|F 2|f 22（x）ds如果a（ t）−k∞|du ≥ 0，|du ≥ 0,≤ −a（ t） xf（ x）+4αa（t） f（x）−a（ t） f（十）t−τ那么，m2t+Jt−τ |F |f2（x（ s））dsV0r≤ 0.通过定理2的假设和Schwarz不等式，即，（A2）及[不B（t，s）g（x（s））d s] 2≤不|DS|ds不|B（t，因此，我们可以得出结论，方程的零解。(2) 是稳定的个）|g2（x（s））d s.t−τt−τt−τ设p（ t）/=0，此外，如前所述，通过定理2的假设和Schwarz不等式，我们有t a t1吨B T S DS1m2m∞B ut−τ杜f（x）xxrB. 假设Σ√α,,Σ2α2αR20时，当xi=0时，≤4a（ t）（x）+a（ t） f（ x） x（H2）a（ t）>0（t≥0），B（ t， s）连续（0≤s≤t

下载后可阅读完整内容，剩余1页未读，立即下载