高阶非线性有理差分方程的全局吸引性研究

=-+/=≥+±C +Dxn−2Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，392埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章递归序列xn+1=（A−Bxn−2）/（C+Dxn−1）上午Ahmeda，N.A.埃什泰维湾a埃及开罗纳斯尔市11884爱资哈尔大学理学院数学系b苏伊士运河大学阿里什科学学院数学系，41522，伊斯梅利亚，埃及接收日期：2015年6月13日;修订日期：2015年7月31日;接受日期：2015年2015年10月21日在线发布本文研究了一类差分方程的全局吸引性Xn+1A−Bxn−2，n0，1，.. . . 、C+Dxn−1其中A，B是非负实数，C，D是正实数，且C+Dxn1/=0，−n≥0。2010年数学学科分类： 39A10; 39A11版权所有2015，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍微分方程作为微分方程和时滞微分方程的离散类似物和数值解，这个主题的重要性来自于这样一个事实，即许多现实生活中的现象都是用差分方程来模拟的。研究∗ 通讯作者。联系电话：+20 1067179166。电子邮件地址：ahmedelkb@yahoo.com（上午） Ahmed），neveena@ymail.com（N.A. Eshtewy）。同行评审由埃及数学学会负责高阶非线性有理差分方程的研究是非常重要的，因为我们对这类方程的了解还很少R. Zhao-Zeid[1]研究了两个非线性三阶微分方程的吸引性x n1=A−Bxn−1，n=0，1，. . . 、其中A，B是非负实数，C，D是正实数，且C Dxn−20对所有n0。El-Owaidy等人[2]研究了系统的全局吸引性，微分方程xn1=α−βxn−1，n= 0，1，. . .、+γ+xn其中，α、β、γ是非负实数，并且对于所有n≥0，γ+xn/=0。S1110-256X（15）00068-1 Copyright 2015，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.08.004制作和主办：Elsevier关键词微分方程;吸引性;吸引盆2=-≥=++i==211+yi2||[0，≥3390>33九，1λ（、2+1+yn−1Q≤Q递归序列xn+1的吸引性=（A−Bxn−2）/（C+Dxn−1）393M. A. El-Moneam [3]研究了高阶非线性有理差分方程的整体性态和Xn+1=Axn +Bxn−k +Cxn−l +DX n−σbxn-k，|dx nk− ex nl|y=1（−（1+q）−，（1+q）2+4p）。n= 0，1，. . . 、- -与Eq. (2.1) 关于y i哪里 的 科埃·阿森特 一、 乙、 C、对 D， b、将所述第一d， e ∈（0，∞），z一问而k、l和σ是正整数。 初始条件n+1 +1 + y zn−1+1 + y zn−2= 0，n = 0，1，2，. . . .x−σ，. . . ，x−l，. . . ，x-k，. . . ，x−1，x0是任意正实数ii这样的数字，k l<σ<。A. E. Hamza等人[4]研究了全局渐近稳定性，其相关特征方程为：递归序列的能力λ3+yi λ+q=0。Xn+1α− βxn，n0，1，.. . . ，γ+ x n−11+yi假设1+yi其中α，β，γ0.其他相关结果见[5，6]。本文研究了一类差分方程的全局吸引性A-Bxg（λ） λ3yiλ1+yiQ1+yi，i= 1，2.（二、二）Xn+1=n-2，n0，1，. . . （1.1）C+ Dxn−1定理2.1.其中A，B是非负实数，C，D是正实数，且C+Dxn−1/=0（对于所有n≥0）。定理1.1（[6]）. 考虑三次多项式方程（1）平衡点y1局部不对称，达到稳定的充分条件是q≤1。(2)如果q>1+4p+4，则y1不稳定。λ3+a2λ2+a1λ+a0=0，（1.2）其中a1，a0和a2是实数。然后给出了方程所有根的充要条件。（1.2）躺在打开的圆盘|1是|<1is（3）y2是鞍点平衡点。证据(1) 如果q≤1，则通过使用定理1.1，其中a0=q，a1=yi ，0。我们可以很容易地证明y是局部渐近的-1+yi稳定的。|1+ a 1，|0，则 λ1−1 = 0|λ2|为广告B1+y21+y2其中p=C2 q=C。2. 递归序列yn+1 =（p−qyn−2 ）/（1+yn−1）λ3> 1，这意味着y2是不稳定的平衡点（鞍点）。Q引理1. 假设Q1。则区间[0，p]是等式的不变区间。（2.1节）。在这一节中，我们研究了差分方程的全局吸引性P roof. 设{yn}∞n=−2是方程的解。（2.1）y−2，y−1，y0∈Q考虑函数U1（x， y）=p-qy，U1在x方向上递减yp−qyn−2n0 1（2.1）而y在（−1，∞）×（−∞，p）上。1+xn+1=1+y、n−1=，，. . .、Q因此0=U1（p，p）≤y1=U1（y−1，y−2）U1（ 0， 0）=pp，<其中p和q是正实数。Eq的平衡点。（2.1）是函数的零点2QQQ通过归纳，我们得到0 ≤yn≤p n≥ 1。假设存在k2，满足以下条件p≥kq2和1 ≥kp。 Qf（ y）= y即12+（1 + q）y − p。、λ1），y1 =（−（1+q）+（1+q）2+4p）+≥yn+i∈[0，p]<$i≥ 3.QQQ引理2.假设条件（2.3）对某个k2成立. 让{y n}是方程的解。（2.1）如果yn，yn+1，yn+2∈[−（k−1）p，p]，其中n≥−2，则Q+Q≤ ≤≤pQQQ+Q≤ ≥≥n+11+yn1p−（k−1）qp≤q。p p、1+Λ+<$1+λ−<$我们得到不等式−（k−1）q，−（k−1）q1+Λ≤q。1+λ−（k−1）q，QQp−（k−1）q，MKPQ=0和y2QQ0=U394 A.M. Ahmed，N.A. 埃什泰维证据(i)如果yn，yn+1，yn+2∈[−（k−1）p，p]，其中n≥−2，则P roof. 设atq<1和let{yn}∞n=−2是方程的解。（2.1）其中y− 2，y− 1，y 0 ∈ S。 然后，通过Lemma 2和Lemma 3，我们QQ0U. pp yU y y有yn∈ [0，q]，n ≥ 6.设λ = lim inf y n和Λ = lim sup y n。=1 q，q.≤U1≤n+3=p）q，1（n+1，n）Σ设<$> 0使得<$ f（y，y）= y.假设如果yn， yn+1，yn+2∈[−（k−1）q，Q ]，对于一些l−1l−2111n≥ −2，S ∈ Z+，则0 ≤ yn+i≤ p，<$i ≥ 6。pS 1kp(3) 假设 一 积极 半周期 开始 与 三个术语yl−2，yl−1，yl，则yl−2，yl−1，yl≥y1，条件是现在，假设yn， yn+1，yn+2∈[−（k−1）]、（+）QQ]，则yl−2y，yl−1 ，yl/=y1 同时还研究与讨论−（k−1）p−（（S+ 1）k−1）pqp−（S+1）kpl+1=f（ yl−1，yl−2）≤f（ y1，y1）=y1 且yl+1=y1iq≤q+（S）+1）kp≤1+（S1）kpQ≤yn+3y l−1=y l−2=y1 这意味着y1>y1。 在所有情况下y l+2= f（y l，y l−1）0，n≥−2，thatsgn（yn+1）= −sgn（ yn−2），n≥ 0。（1+yi）21+yi这意味着，3n−2}∞n0 ，{y3n−1}∞n0和让{y3 n}∞n0振荡环与长度为e的半环TheREFORE，The3qyiq解i=onyn∞n三. Q=−2振荡的半周期长度最多为g i（λ）=λ−（1 +y）2λ+1 +y，i= 1，2.1我我定理3.1.定理3.4. 如果1，如果q=1则为非双曲。|y| 1，并且是非双曲的，如果 q=1。(2) 关于y2= −1−q的特征方程为：λ3+1（1+q）λ− 1= 0，g（λ）有一个根λ∈（0，1），则||1，这意味着作者感谢审稿人的大量评论，这些评论提高了论文的质量。引用[1] R.张文，两个非线性三阶微分方程的吸引性，J。埃及数学Soc.21（3）（2013）241[2] H.M. El-Owaidy，A.M.艾哈迈德Z.Elsady，全局吸引性αβx递归数列 xn1=，应用数学计算151+21λ2λ3 >>γ+xny2= − 1 −q 鞍点（saddle point）Q定理3.2. 假设Q<1。[1][2][3][4][5][6][7][8][9][9][10][10][10][11][10][10][11][10][11][12][11][12][12][12][13][14][15][16][17][18][19][19][10][10][19][10][10][10][10][11][19][10][10][10][10][11][10][10][11][10][10][11][10][11][10][11][10][11][10][10][11][10][11][10][11]（3.1）（2004）827-833。[3] M.A. El-Moneam，高阶非线性有理微分方程的动力学，数学科学。Lett. 3（2）（2014）121-129。证据 假设q1<并让|y|

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