埃及数学学会：q-欧拉多项式的应用及新关系的研究

q-1S2fgeePJournalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，1埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章关于q-Euler多项式族及其应用Serkan Aracia，Mehmet Acikgozb， Hassan Jolanyc，*aHasan Kalyoncu大学经济、行政和社会科学学院，27410 Gaziantep，土耳其b加济安泰普大学，科学与艺术学院，数学系，27310加济安泰普，土耳其c伊朗德黑兰大学数学、统计和计算机科学学院接收日期：2013年11月21日;修订日期：2013年12月20日;接受日期：2014年2014年4月20日在线提供本文主要讨论q-欧拉多项式的应用，并利用Zp上的p -进q -积分得到了一些新的组合关系。此外，我们还导出了q-Euler数和权为a的多项式的Dirichlet型分布公式（乘法定理）.并应用了本文的主要结果q2000年数学潜规则分类：05A10; 11B65; 11B68; 11B73？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍本文用N、R和C表示自然数集，R表示实数域，C也表示复数域号码当人们谈论q-扩张时，q被认为是不定数、复数或p进数.在本文中，我们将假设q2C，jqj<1. q-符号qx-1（参见[1 最近的工作，包括q-欧拉多项式和它的p-adic插值函数已被广泛研究（详见[1从我们的研究中，我们将集中在q-欧拉多项式的应用，并得到新的关系，利用p-进q-积分在Zp。此外，我们还研究了q-Euler多项式的解析延拓.2. q-Euler数和带权多项式的性质为 一N0， 的 生成 功能 的 的 加权q-欧拉 多项式 是 给定 如： 为 x2C;P1n0Een;qtn1nnt½nx：qa]¼*通讯作者。电子邮件地址：mtsrkn@hotmail.com（S.Araci），acikgoz@gantep.edu.tr（M. Acikgoz），hassan. khayam.ut.ac.ir（H. Jolany）。同行评审由埃及数学学会负责我也是！ 1/2：q]n/1/2：q。在x=0的情况下，我们有En;q<$0jan：<$$>En;q<$an称为加权q-欧拉数。通过加权q-欧拉多项式的生成函数½2：q]ALS， 我们 容易 导出 以下得双曲余切值.Een;qxja½a：q]n1-qnPn. n-1lqalx。n是二项式系数。通过加权q-欧拉多项式的生成函数1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.03.002制作和主办：Elsevier关键词欧拉数和多项式;q-欧拉数和多项式;加权q-欧拉数和多项式;加权q-欧拉-泽塔函数;Zp上的p进ql¼0L100qal1L2S. Araci等人~e#E-s：af sja.qEq！122联系我们电子邮件X1Meen;qQ][]]QE;qQ设Heax;t是加权q-Euler的生成函数，SQn¼0你好！由此，我们得出以下结论：对于k（=偶数），l¼0Een;qxja< $q-axqakxEek;qal/2x：qa]n-k：那我们 就去找他！1 Eeq-n：alim你好！1~fE;q1/4-q2/2：q-1]。由此，我们注意到，Eeq-n：af / q~fn-1ns：很明显，q-欧拉多项式已经被定义，l¼0L[xjax 1 /2：q]1-10000给出了加权q-欧拉-泽塔函数m²0½m²x：qa]sn我们也可以用f~0表示Ee0qs：aqn¼0eX. 乌伦湖eE;q此外，我们还可以看到，Eexjaq-axqaxEeax：qaQn(see[24]）。tn~0Ees：af -sja;Ee0s：af-sja：多项式如下：我知道了。然后，~0E;q=2 nja. 我是探员-对于n;a2Nf0g，Ee0q2n：af我们很容易注意到，Heax;t½2：q]P1-1能对函数方程进行微分，等等。端口Eeqs：a和Ee′qs：a与Een;qa和~F好的。从加权q-欧拉的解析延拓n;a2NSf0g，weehaveEen;qa-qkEen;qkja1/2：q]E;q~Pk-1-1lql½l：qa]n. 对于k（=奇数）和n;a2NSf0g，我们有n;qn;q数，我们得到Eeqs：afE;q-sja，~Eeq-s：al¼0qkEekja[001 pdf 1st-31files]Pk-1lql：qa]n. 以根，~fE;q好的。 此外，我们得到Ee-n;q a加权q-欧拉多项式的迭代函数，我们很容易地获得以下结果：对于n2N，1/4fE;qnjan。 曲线Eq是：点Ee-s;q∈a∈n，且渐近增长~n∈-n∈ ！ -一个Xn . nk¼0K曲线Eeqs：a通过点Eeq-n：a。因此，我们陈述以下两个定理。定理1. 设k为偶数正整数。然后我们有Xk-1Llank1-aa n~;备注1. 在[3]中，q-Euler多项式首先由Kim定义如下：½2：q]-1Een;ql¼0X-1qm-qk1-aX。qalkEeðaÞ½k:qa]n-l:ð2:1Þm¼1½m：q]定理2. 设k为正奇数。然后，我们得到以下Xk-1“重”，金。我们的加权q-Zeta函数与Kim的q -Zeta函数略有不同我们的加权zeta函数意味着Kim我的腿！1~fE;qsjafE;qs。½2：q]l¼0-1qk1n-1 n22：22你们要听我的话，注释： 假设p是一个固定的奇素数。在本文中，我们使用以下符号。通过Zp我们表示p-adic有理整数环，Q表示3. 权为a的q-欧拉-泽塔函数欧拉多项式的定义如下：有理数，Cp表示代数Qp的闭包设N是自然数的集合，Nω^N[f0g.p-adic绝对值定义为jpjp<$p。在本文中，我们假设jq-1 jp<1作为一个indetermi-1，2ext¼X1Ext;jtjEk;q<$xja<$成立。×证据 将s/4-k代入公式3.8，我们得到所期望的成立。1/2：q]k¼0l¼0k¼04S. Araci等人¼1/2x1：qa]结果.H现在，我们定义偏狄利克雷型zeta函数如下：利用式（3.10）和推论1，我们得到了在s0处权为a的q-欧拉L-函数的Dirichlet型的性质如下：关于q-Euler多项式族及其应用QXLlk;qanpnX.卢恩XXl;q一1½-c：q]一n¼[la;bapnZpjvvaqfk;pnja：bn;qn;q将xEeva：bn;qLl;qk;qppnn;qppn×ðlogq Þ Sðn；n—l þ j Þn！：dlk;q xjvEk;qa：b：Eevxja：bXnnLEeva：b XLLJdlk;qxjvvpp：-qb]Ek;qpa：b：½x：q]1/4k！公司简介我的天啊！ ;P1P1P1dla;bcxjvvEEVk; c;qk;qp1定理8. 以下恒等式成立：1/2pn：qa]k. fagLv= 0;xj=11/2：q]d-1½2：qd]-1k;q½pn：-qb]pnl¼0现在，我们定义Dirichlet型q-Euler多项式，其权重为a和b，表达式如下：定理11. 设a;k2N. 然后我们指定l∈a;b∈是Zp上的p进测度当且仅当EEVxja：b½xg：q]vgdl-qb时间：2019 -03-12. 一个½pn：qpa]kXp-1bbpn.一个人n; qZpfk;qpnpnja：b1/2pn：-qpb[英]b¼0-1fk;qpnpja：b：这就是Dirichlet型q-Euler数。然后，由式（3.12），我们可以很容易地得出以下结论：nEevðxja:bÞ ¼qalxEevða:bÞ½x:qa]n-l:ð3:13Þl¼0证据通过类似的方法在21]中，我们可以陈述这个定理的证明。因此，我们省略它。H我们现在设为fn.aja：bEen. a：b. 根据公式4.1，a;b1/2pn：qa]k一个 一个。 一 个定理9. 以下等式成立：lk;q apnja：b：vn;qxja：bnl¼0. nLEeva：bLj¼0. lJ2014 - 04-24我们使用与[21]中相同的方法来证明以下内容你好！-1定理所以我们忽略了他们的证据。×X1 . n-l j m-1 anqam定理12. 对于a; k 2 N，我们有m; n<$0mnxnZa;bevX证据为了证明这一点，通过应用（3.13）式，我们很容易发现下面的断言定理13. 对于任意k2n，我们得到. -是的 Σn;ql;qZa;bpX半p：qa]evl¼0j¼0定理14. 对于cXω，我们有在文献[7]中，第二类Stirling数定义为：ð Þ2ofP1Sn;ktnet-1k .这里用axlogq代替t，1. p半p：qc]n¼0你好！国王！dla;bcxjvvhiEevpa：b：则我们得到以下结果pXk;qccp：-qbck;qcak kX1. k m-1 n a mnx n2013年3月14日哪里m; n每平方米n/4 0。因此，通过（3.14），我们得到了所需的. 1Σk;qcCk;qca：b：结果和证明是完整的。H利用（3.3）和（3.12），我们导出了带权a和b的Dirichlet型q-Euler多项式的乘法公式.现在我们可以定义1akla;bUjvla;bUjv-c-1la;bcUjv：定理10. 以下等式k;c;qk;q½c-1 ：-qb]1k; qc这里U是Zp的任何紧开子集，它可以写为EEVxja：bd：qa]nXd-1-q. xaja：b作为集合Uk的第1页 ajn; q都是真的½d：-qb] 一个半n;qddn2 N和a1; a2;.. . ; a k2 Z，其中0 6 a i

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