热传导耦合应力流体磁流体流动精确解与偏微分方程常微分方程化方法

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，125埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章考虑热传导的偶应力磁流体流动的精确解Najeeb Alam Khan*，Hassam Khan，Syed Anwar Ali巴基斯坦卡拉奇大学数学科学系，卡拉奇75270接收日期：2013年5月23日;修订日期：2014年8月25日;接受日期：2014年2015年2月11日在线发布本文旨在给出热传导耦合应力流体磁流体流动的精确解。利用波参数将不可压偶应力磁流体流动的偏微分方程化为常微分方程。该方法是实现线性化的Escherow方程没有额外的变换和限制性的假设。并与以前的结果进行了比较2010年数学学科分类：35C07; 76W99; 35A25？2015制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍许多非线性科学问题可以用非线性方程组的数学模型来恰当、准确地描述。求非线性偏微分方程的精确解[1-4]在非线性问题中起着动态的作用。如果精确解是可获得的，则促进数值解算器和稳定性理论的确认。许多有效的方法如逆散射法、双曲正切法、指数函数法、群分析法等已被广泛应用于获得精确解。由于经典连续介质理论能够解释牛顿型润滑剂与各种添加剂混合后的流变行为，因此，本文提出了一种新的流变学模型。几种微连续统理论*通讯作者。同行评审由埃及数学学会负责已经提出[5偶应力流体模型是几个预期描述非牛顿流体响应特性的模型之一。它们是一种特殊的非牛顿流体，具有“偶应力”效应。偶应力流体理论由Vijay Kumar Stokes在他的论文事实上，旋转矢量等于速度矢量旋度的一半，就像牛顿流体中的情况一样。在应力本构方程中引入速度矢量的二阶梯度，而不是非对称流体力学中与运动无关的旋转矢量，从而使理论只产生一个描述速度场的矢量方程。此外，偶应力流体的微观结构具有重要的力学意义。如果微观结构的数量级等于所考虑问题的特征几何尺寸，则可以感受到微观结构对液体的影响[10]。由于这些自由悬浮粒子在可见光中的微旋转而产生的自旋场，http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.10.0031110- 256 X？ 2015制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表制作和主办：Elsevier关键词行波;精确解;偶应力介质126N.A. Khan等人QQyp不XyxxYYyy xXX2这种介质产生反对称应力，称为偶应力，从而形成偶应力介质。r·V¼0 1偶应力流体的研究对于理解@VþðV·rÞVrplV各种物理问题，因为在生物力学领域，该偶应力-流体模型已用于研究¼ -q-qr ×r×G X[11，12]的机制。偶应力润滑液的应用之一是用于研究滑膜关节的润滑机制[13]，这已成为科学研究的对象。肩、膝、髋、踝关节是人体的负重滑膜关节。-qr× r × r × r ×V-qr×H×Hð2Þr·H<$03这些关节正常的滑液是透明或淡黄色的，@H1-r×V ×HH=10000是一种粘性的非牛顿流体 这对夫妇强调，Þ þlωrr×ðr×他们擅长描述不同类型的润滑剂，Q.@T=2/养老金、药品、血液等胶体胶体，含液体长链分子作为高分子悬浮液，CP@tV·rTkrTð5Þ人血、聚合物稠化油、含有少量聚合物添加剂的润滑剂、电流变润滑剂和合成润滑剂是这些润滑剂的实例。此外，血液的一些非牛顿流体特性可以通过假设血液是具有偶应力的流体来解释。众所周知，在血液通过狭窄血管流动期间的低剪切应力速率下，作为细胞的悬浮液，血液表现得像非牛顿流体[14]。Ramanaiah讨论了由具有偶应力的双流体润滑的有限板之间的挤压膜[15]。 Mokhibrium等人[16]研究了采用双应力润滑油润滑的轴颈轴承。Zakaria[17]分析了偶应力流体在多孔介质中的非定常自由 Sreenadh等人[18]研究了MHD对多孔介质中汗和里亚兹研究了其中V是速度，p是压力函数，H是磁场，q是密度，l是恒定粘度，l*是磁导率，r是电导率，T是温度，k是热导率，Cp是比热g是偶应力介质的材料常数l是耗散函数，m/dl是运动粘度gω/g是力偶应力参数。在这里，我们将考虑一个MHD耦合应力流体与热传递在一个平面，V=（u（x，y，t），v（x，y，t），0），H=（H1（x，y，t），H2（x，y，t），0），p = p（x，y，t），T = T（x，y，t），所以我们的公式如下：（1）ux vy<$0 6旋转体上偶应力流体的三维流动乌戈乌乌里武px穆鲁u102u乌鲁河磁盘. Rani等人[20]研究了无限大垂直圆柱体上的力偶应力流体。霍尔效应和离子滑移对耦合的影响t x y¼ -qxxyyXxxxxXXYYyyyyNivasacharya爵士提出了平行圆盘间的应力流体 etal.[21]第20段。 达贝 和 [22]第二十二话讨论了偶应力对脉动磁流体v uv波夫夫-qH2H2x-H1y 7p公司简介v波瓦维尔·科劳。Farooq等人[23]研究了t x yqxx yyxxxxXXYYyyyyVogel模型的两个应力矢量Khan等人[24]获得X-H H-H具有扩张或收缩孔道的偶应力流体的近似解。非牛顿[25，26]椭球的运动方程是H-HQ1半小时1 2x1yH-H-H]-[2H]-[2H毫无疑问是非线性的，并且变得更高阶，2xt1年lωr2xxx2xyy1xyy1年1xx应力流体。它们的精确解是非常的或不存在的。在特殊情况下，Islam等人已经找到了解决办法。[27、28]。本文的基本目的是寻求二维磁流体耦合应力场的精确解，进而得到热传导场的精确解vxxH1- uH2yy-uyy H29H2xH1y¼0mm 10 mm分析也考虑到了。行波现象non的实现是为了获得qCTuTvTkT TKhan等人的二级磁流体磁流体对准流[29日]他们恢复了参考文献[30]的多项式解。此外，Khan et al.[31]提出了行波解，2018年10 月20日乌乌河俄罗斯xx乌夫yy 2012年12月11日微极流体的选择。结果表明，[25]从他们的调查中可以发现，这是一个特例。给出了求解偶应力方程精确解2. 问题的提出具有热传导的不可压缩MHD耦合应力流体的运动方程由系统3. 方法实施所考虑的方法可以概括如下：对于耦合偏微分方程的本系统，R0 ux; uy=0 12R1u; v; px; u t; u x; u y; u xx;. ; v t; v x; v y; v xx;. ; H1; H1 y; H2 xx1/2 0ð13Þ考虑热传导的偶应力磁流体流动的精确解127.Σ.我 的天啊An45¼-22a ea e1112R3u;v;u0 0;v0 0;H1;H2;H01;. . . ;H2;H02. . .Σ¼0ð21Þ2017年12月27日也就是解决23a4e5CmH00-nH00¼ ðmþn ÞmH000-nH 00000年11222E a e2 1 1 2Σ¼ ð ÞR2u; v; py; u t; u x; u y; u xx;. ; v t; v x; v y; v xx;. ; H1; H1 y; H2 xx1/2 0ð14Þ其中a0，a1是任意积分常数假设a1= 0。在从方程中消除压力p（24）（25）（26）（27）（28）（29）（20）（2等式（29）和（30），我们得到R3u; v; u xy; u xx;. ; v xx; v yy;.. . ; H1; H2; H1 x; H2 x.. .千分之一ð15Þgωuiv-mu00Ca0u0¼0 31R4H1x;H2y=0162019年12月22日2012年12月2日我们寻找以下行波解：u <$u膨胀; v<$ v膨胀; p<$ p膨胀; H1<$ H1膨胀; H2<$ H2膨胀ð17Þ其中n=mx+ny+Ct，则系统（12）R0u0;v0¼018Ru;v;p0;u0;u0 0;u000 ;. . . ;v0;v0 0;v00 0;. . . ;H;H0;H0¼0ð19ÞRu;v;p0;u0;u0 0;u000 ;. . . ;v0;v0 0;v00 0;. . . ;H;H0;H00 20.如果我们把g*f0简化为经典的牛顿牛顿流体问题。在此，两种情况应单独讨论。I. C+a0=0。二. C+a0，0。万一我在这种情况下，Eq。（31）形式uiv- Au00<$0<$32毫米其中A¼gωM二、R4. H01;H02≤0≤22mmpAn-pAnu¼a an其中m、n和C是常数，质数表示关于n的推导为了得到解，使用等式（33）在Eq. （29）我们发现对于常微分方程组，我们从方程组中消去了压力p。（19）和（20）利用连续性方程（18）。所得到的方程可以积分sim-m a2a3nv¼-p paea e电话：+86-020-8888888对于变量u，v，让我们把这种方法用于不可压缩的MHD偶应力流体。4. 解决方案利用Eqs.（6）替换Eqs。（30）（26）对于1，我们有H0100¼035在积分上，H1¼a6n2a7na836使用Eq. （35）在Eq. （30）我们得到mu0千分之0千分之23千分之2Cþmðm2þn2Þu00-gωðm2þn2Þ2uivð24Þ2¼ -na6na7nðCþmuþnvÞv0QNP01/4-qmm2n2v00-gωm2n22viv 25这种情况下的热方程是T00vu02du002¼038.- 是的1.一、Σ21lωr211其中vlm2n2KN22019年12月22日Kv00HT<$E0e2pAnE1e-2pAn24pAnE2a5e-pAnAE3mH0nH0<$027þE4Þnþa10nþa11ð39Þ1 2哪里qCpCunvT0<$kT00m2n21212好吧n2u024m2u022mnu0v0E01/4 -4a4μ dA/V;E11/4-4a5μ dA/V;我是2岁2岁2岁。u002v002n2v002i2a3v1/4-Aa aa aAd-乙烯基;E1a2vE2¼-pA;E3 454½-23关于积分方程（23）和（27），我们得到ð28Þ并且a i，i = 1，2，.. . ，11是积分常数。返回到原始变量，我们得到mua029mH1nH2¼a130ux;y;ta2a3mxnyCt4pAmxnyCt中国5e-p中国5e-p中国5e-p中国5e-pvx;y;t-m.a 2 a 3 mx ny Ct 4 p A mx ny C t a 5 e-p A mx ny C t，d¼.a它提供了解决方案128N.A. Khan等人¼1678M¼¼HCnHx;y;tamxnyCt2amxnyCt 42m.a12a13ek1mxnyCta14ek2mxnyCta15ek3mxnyCtan2H x; y; ta mx ny Ct að55Þ2016 -06-267 8ð43ÞH1x;y;ta16eamxnyCta17mxnyCta1856T¼Ee2pAmxnyCtEe-2pAmxnyCt01pAmxnyCtHx;y;tM aeamixmagnesiumbicarbonatemxpE2A4E16 17 18E2a5e-ApummxpumnypumcthE3E4pummxpumny pumcth E210米x10米x11米x 11米情况II在这种情况下，Eq。（31）形式uiv-Au00μBu0<$0μ 45 μ其中Am; B<$C<$a0 <$。gω<$m2<$n2 <$gω辅助方程m3-Am2B¼046当量（45）解决方案2019年12月13日，2019年12月14日，2019 年12 月15日，2019年12月14日， 2019年12月15其中ki，i=1，2，3是方程的根使用Eq.（47）在Eq.（30）我们发现m a12 a13k1n a14k2n a15k3nað57ÞT¼ b0e 2 k1 中国科学院上海生物技术研究所 b1e2k2 中国科学院上海生物技术研究所 第二季第二集第三集 中国香港特别行政区b3e第二代ÞðmxþnyþCtÞþb4e3号线ÞðmxþnyþCtÞþb5eðk1þk3ÞðmxþnyþCtÞþb6eeðmxþnyþCtÞþa20ð58Þ5. 结论本文试图求得热传导时本文提出的方法易于对应力偶流体的MHD流方程进行线性化。应该注意的是，当gfi0和C+a00时，没有偶应力，指数<已回收的粘性和非新的类型的解决方案，[32 - 34].该方法已被直接应用v¼-n中国0 48没有任何限制性的假设和费力的计算，第为了以后的研究，我们将解决三维替换Eqs。（47）和（48）和（30）在方程。（26）我们有H1000°CH010¼0°49°其中Clωr<$C<$a0<$。2019年12月22日这就给出了解决方案H1¼a16eCna17na1850使用Eq. （50）在Eq. （30）我们得到M2¼ -na16e17号楼18号楼51号楼过滤设备（47）和（29）在方程。（二十八）T00-eT0vu02du002¼052其中e<$qCp<$Ca0，v<$lm2n2，d<$gm2n2。v x; y; t¼-0分考虑热传导的偶应力磁流体流动的精确解12915¼-¼-01234b0¼ -131;b1¼ -142313 141 21 245二、2Σ牛顿型和偶应力型湍流方程。此外，该方法还可用于其他非牛顿流体的精确解，如假塑性流体和速率型流体。致谢作者Najeeb Alam Khan非常感谢审稿人对本手稿早期版本的仔细评估和建议。他还感谢卡拉奇大学理学院院长对这项工作的支持。m2 n2kn2k引用它承认解决方案Tbe2k1nbe2k2nbe2k3nbek1k2nbe k2k3n[1] 公元Polyanin，V.F.扎伊采夫，非线性偏微分方程手册微分方程，查普曼和霍尔，CRC，2004年。b5e其中a j，j = 1，2，. ，20是积分的常数a2k1。dk2 va2k2. dk2v[2] 张文，偏微分方程组的精确解的构造方法，清华大学出版社，2004年。[3] S. 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