理论计算机科学电子笔记269（2011）125-137www.elsevier.com/locate/entcs逻辑分析工具希拉河M. Veloso2系统与计算机工程系，法克UERJ：里约热内卢州立大学天气-里约热内卢，巴西保罗·A S. 维罗索系统和计算机工程计划，COPPE UFRJ：里约热内卢联邦大学天气-里约热内卢，巴西保拉·M Veloso3数学系，ICEXUFMG：巴西米纳斯吉拉斯贝洛奥里藏特摘要我们介绍并研究了一个分析逻辑的工具。这个代数工具，来自J.皮亚杰介绍的一些想法，提供了关于逻辑的浓缩信息（强调一元符号的行为），因此，它可以用于分析，并在一定程度上比较逻辑。保留字：逻辑，解释，变换，群，么半群，同态。1引言我们介绍和研究的代数工具，分析和比较逻辑。这个工具源于让·皮亚杰（JeanPiaget）引入的一些想法，用于分析经典命题否定的行为[10] [11]。我们将把它们扩展到一元符号（e）。G.否定或模态）。这个代数工具提供了关于逻辑的浓缩信息，就像本征值（或本征向量）提供了关于矩阵的一些信息一样因此，它可以1由巴西机构CNPq和FAPERJ部分赞助2电子邮件：sheila.murgel. gmail.com3电子邮件：pmv@mat.ufmg.br1571-0661 © 2011 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2011.03.010126S.R.M.标准Veloso等人理论计算机科学电子笔记269（2011）125·IN RCINR CNI CR RCIN C CR NI在某种程度上，它是用来分析和比较逻辑的。 比较逻辑不是一件容易的事;我们的工具可以用来简化这项任务，因为我们把它简化为比较代数结构。本文的结构如下。在第2节中，我们将重新回顾皮亚杰在第三节中，我们将皮亚杰在第4节中，我们说明了我们的变换幺半群如何用于比较逻辑。在第五节中，我们将这些思想扩展到否定以外的一元符号（如模态），在普遍逻辑和制度的一般背景下将它们表述出来。最后，第6节介绍了一些关于我们的方法和正在进行的工作可能的扩展。2逆向工程现在我们将重温皮亚杰2.1皮亚杰现在我们将考察皮亚杰皮亚杰有三种自然的否定方式：否定结果，否定论点或两者兼而有之。这就产生了皮亚杰例如，命题p q）和相关命题q）。这三种变换定义如下。（N） 倒位N ：（p 1，.，p n）→ <$n（p 1，.，p n）（R）倒数R： （p 1，.，p n）<$→n（<$p 1，.，n）（丙） 相关C：n（p 1，...，p n）→ <$p（<$p 1，.，n）皮亚杰在逻辑等价论的背景下工作。例如，对于命题p→ q，我们有N（p→q）：=<$（p→ q）<$（p <$$> q），R（p →q）：=（<$p→ <$q）<$（q →p），C（p →q）：=<$（<$p→ <$q）<$（<$p <$q）[10] [11]。 通过检查重复应用上述三个变换的效果，皮亚杰发现它们形成了一个4元素组，如下表[4]：S.R.M.标准Veloso等人理论计算机科学电子笔记269（2011）125127他还注意到，这个群同构于一个熟悉的重要群：平面矩形对称的所谓克莱因群[8][9]。2.2皮亚杰皮亚杰我们经常使用p来表示n元组p1，...，p npn备注2.1下图为n（p） →NC¬ϕ(p)R ↓\ ↓ R（<$p）→N<$推论2.2变换具有下列性质。(i) 反演和倒数可换：N（R（））= R（N（））。(ii) 导出了相关函数：C（R）= N（R（R））。否定图描述了否定如何作用于命题的等价类（的代表）。在经典的情况下，我们有两个这样的代表，和，否定把它们绕来绕去。因此，否定结构NC有两个元素，<$0和<$1表示~<$0<$同构于模2的整数群：Z2。1欧元。 所以，NC因此，我们有4 = 22种可能的经典变换：对于i，j∈ {0， 1}，：<$（p）<$→<$i <$（<$jp）.这4个可能的经典变换构成一个群TC（同构于直积Z2×Z2）.其结构由Z2的两个作用获得：在水平（N）和垂直（R）方向上：~N0R0参与 N1R0垂直R RN0R1参与者N1R1Z2水平参与2我们有四种可能的经典变换。它们真的都是不同的吗？答案取决于可用的连接词。如果我们只有否定，则N和R成为同一变换（N（p）=<$ p =R（p））。这导致了崩溃PCNC：~N0R0参与者N1R0||||N1R1参与者N0R1128S.R.M.标准Veloso等人理论计算机科学电子笔记269（2011）125NR我们现在介绍一种分析其他情况的工具。考虑到复合变换， 我们注意到Ni <$Rj[p]=<$i<$jp。一个可能的变换的类权是它模2取反的总数，i。e. wC（NiRj）：= i +2j. 4种可能的经典变换的权重如下： wC（N0R0）= 0，wC（N1R0）= 1，wC（N0R1）= 1和wC（N1R1）= 0。我们现在可以看到一些除了否定之外还有其他连接词的情况。(i) 如果我们有零元常数R（R（R）= R），那么我们在以下情况下没有标识：N1<$R0（） =< $$> N0<$R1（） =(ii) 如果我们有二元连接词（，，→，Participants），那么我们没有标识，因为在：= p q上的变换表现如下：1 0（）=<$（p<$q）pN0q在这两种情况下，我们都没有标识，因此PCNC×NCZ2×Z2。因此，我们对皮亚杰的分析有了一个解释3直接工程现在我们将皮亚杰的经典分析扩展到变换的幺半群。我们将给出一些逻辑幺半群的例子（在3.1中），并介绍我们构造这种幺半群的方法，给出一些界限（在3.2中）。注意，变换的定义（在2.1节中）不依赖于逻辑。因此，我们可以在其他情况下检查它们，例如直觉逻辑。3.1例子：直觉否定我们现在来考虑直觉主义否定的情况我们将像在2.2节中那样研究变换。在直觉否定中，我们不再有经典的“”和“”之间的等价[12]。因此，直觉否定的迭代应用仅在延迟之后才导致等价基本的直觉否定结构有3个元素，<$0，<$1和<$2，作为~1参与者2. SO，NI同构于具有1的循环幺半群权重复合变换0N0<$R0（） =<$N1<$R1（） =< $1权重复合变换0N0q）普什克1S.R.M.标准Veloso等人理论计算机科学电子笔记269（2011）125129和周期2：1C2[5]。 其表格如下：∗ 0 1 20 0 1 21 1 2 12 2 1 2因 此 ， 我 们 现 在 有 9 = 32 个 可 能 的 直 觉 变 换 ， 即 NiRj ： n （ p ） →<$i<$（<$jp），对于i，j∈ {0， 1， 2}。这9个可能的直觉变换形成幺半群TI（同构于直积1C2×1C2）。它的结构是由1C2在N和R方向上的两个作用获得的。现在，我们有9种可能的直觉变换。和前面一样，它们是否真的不同取决于可用的连接词。如果我们只有否定，那么N=R，导致坍缩PINI。我们现在调整我们的工具来分析其他情况：一个可能的变换的直觉权重是它在1C2内计数的否定总数：wI（NiRj）：=i<$j（其中<$j是1C2的运算）。9种可能的直觉变换按权重的划分如下：N2 R0， N1 R1， N0 R2， N2 R2我们现在可以看到一些除了否定之外还有其他连接词的情况。(i) 如果我们只有常数k，那么我们有以下情况：权重复合变换Ni<$Rj（n）/Ni<$Rj（n）0N0R0/1N1R0€ 10/ €2N0R1N2R1/2019-02 - 23N1R2€ 10/ €22N2R0€2/ €3N1R1€ 10/ €2N0R2N2R2/2019-02 - 23然 后 ， 我 们 有 3 个 定 义 ： N0 ， R1=N2<$R1 ， N1<$R0=N1<$R2 和N2<$R0=N2<$R2=N0<$R2。 因此，变换幺半群P_n是1C2×1C2的5元同态象.(ii) 如果我们有二元连接词（，，→，Participate），那么我们可以看到我们正好有2个概念：N1<$R0=N1<$R2 N2<$R0=N2<$R2。4Thus，4双重否定分布在除之外的二元连接词上，我们有德摩根权重可能变换0N0R 01N1 R0， N0 R1， N2 R1，N1 R22130S.R.M.标准Veloso等人理论计算机科学电子笔记269（2011）1250002变换幺半群PI是一个1C2×1C2的同态像，有7个元素，如下：~NR→NN1位R0位参与者N2<$R0=N2 <$R2NN1ǁ2EURRR↓NRRRK-R（N0R1→NN1位R1位参与者 N2-R13.2方法：monoid construction现在我们将介绍构造皮亚杰幺半群的方法。我们将研究上述逻辑的否定和皮亚杰幺半群的一般模式，其中涉及公式的等价类（N）否定给出了公式的变换。考虑这种等价变换及其迭代合成.这给出了一个在合成下的幺半群：潜在的否定幺半群N。它的元素是形式<$n，对于n∈IN，具有结构~<$0→<$它要么是有限的，要么是同构的[5]。¬1→¬··· 由于么半群N是循环的，（T）可能变换的幺半群T由有序对<$N i，Rj <$组成。所以T同构于N×N，具有以下结构：~N0R0→N N1R0→N ···R↓ ↓ R垂直N0R1→N N1R1→N···↓NR↓ ↓ R..水平→N（P）Piaget么半群P由逆N、逆R和相关C的合成构成。根据推论2.2，它的元素是复合变换Ni<$Rj. 为了确定它的结构，我们用了一些方法。一个可能的变换的权是它在基本的否定幺半群N内的否定的总数：w（NiRj）=ki <$i<$j=<$k（N）。（=）我们的第一个分区由weig hts（whi chi nvol esonly）。如果Ni<$Rj=Nk<$Rl，则n<$i<$jp <$k<$lp，所以<$i<$j<$$>k <$lp，和d<$i<$j=<$k<$l。（=）接下来，我们在权重内进行识别（检查<$和其他连接词）。如果对于每个节点，<$iRj（k）<$$>kRl（k），则Ni<$Rj=Nk<$Rl（由定义）。这个结构提供了皮亚杰么半群。（<$G<$H）[12]。 因此，归纳证明表明，R2[n]为零。S.R.M.标准Veloso等人理论计算机科学电子笔记269（2011）1251312022在第2节中，我们看到了两个经典案例（权重为0， 1），没有识别：PN×N（参见2.2）。 我们可以用我们的方法构造一个逻辑的Piaget幺半群，它的基础否定幺半群是Zn。在第3节中，我们看到了两种直觉主义的情况（权重为0，1，2）和一些证明：P是N×N的同态像（参见：3.1）。在第5节中，我们将证明皮亚杰幺半群P是N×N的同态像，其中潜在的否定幺半群N可以嵌入（参见。定理5.2中的定理5.1）。 这将提供皮亚杰幺半群的大小的一些界限：|N|≤| ≤ |N|.|.4比较逻辑现在我们将举例说明皮亚杰幺半群如何用于比较逻辑。我们将研究一些简单的例子（在4.1）和一些涉及解释的例子（在4.2）。4.1简单的例子我们现在看到一些简单的例子，不同的逻辑有不同的幺半群和相同的幺半群。 我们将考虑只有<$和<$的逻辑。 经典逻辑有潜在的否定幺半群NCZ2和皮亚杰幺半群PCZ2×Z2（参见。2.2）。（/=）具有不同幺半群的不同逻辑。一个具有负幺半群N3Z3的三价逻辑将有皮亚杰幺半群P3Z3×Z3. 因此，古典逻辑和这种三价逻辑之间的区别反映在它们的否定和皮亚杰幺半群上。另外，注意在基础的否定幺半群PC和P3之间唯一可能的同态是平凡的：擦除否定：¬1~1¬≡~¬S¬2（=）具有相同幺半群的不同逻辑。考虑具有3个values的L-uka-siewicz逻辑0<1<1，因此v（）= 0，v（）= 1 − v（）。此的值表L-ukasiewicz否定可以被形象化为如下：0‡1Ç1我们有一个很好的机会。因此，它有潜在的否定幺半群NL-z2和它将有一个Piaget么半群PL-Z2×Z2。因此，NL-NC和PL-PC. 所以，132S.R.M.标准Veloso等人理论计算机科学电子笔记269（2011）125经典逻辑与L-uka-siewicz逻辑之间的区别并不体现在它们的否定和Piaget幺半群上。一些逻辑的否定和皮亚杰幺半群（带大小）如下：逻辑连接词Neg. N皮亚格P古典¬Z2 ：2个Z2：2古典，Z2 ：2个Z2×Z2：4古典<$，→，参与Z2 ：2个Z2×Z2：4L-ukasiewicz，Z2 ：2个Z2×Z2：4模3，Z3 ：3个Z3×Z3：9模4¬Z4 ：4个Z4：4直觉¬1C 2 ：3个1C2：3直觉，1C 2 ：3个H（1C2×1C2）：5直觉<$，→，参与1C 2 ：3个H（1C2×1C2）：74.2解释的例子我们将展示一些涉及解释的例子我们将考虑除了<$之外还带有连接词、、→、参与者和的逻辑，并考察它们的幺半群。考虑经典逻辑和直觉逻辑。已知前C是后I的非保守扩张，并且我们将后I忠实地解释为前C[6][12]。（→） 首先，考虑（非保守）扩张IC。（N） 赋值<$I<$C定义了一个基本否定幺半群：NI→NC（如果<$i<$$>I <$k <$$>，则<$i <$$>C<$k<$）。~我0NI\第二卷 参与者I1S.R.M.标准Veloso等人理论计算机科学电子笔记269（2011）125133↓ ↓ ↓ ↓NC~<$C0参与者C1（P）两个赋值NI→NC和RI→RC定义了皮亚杰幺半群的一个同态：PI→PC。论点是类似的。5（←）接下来，考虑哥德尔的双重否定翻译d：C → I [ 6 ] [ 12 ]。（N）赋值<$I<$→ <$C定义了一个同态Nd：NI→NC，5如果Ni<$Rj（n）<$IN k <$Rl（n），则Ni <$Rj（n）<$CN k <$Rl（n）。134S.R.M.标准Veloso等人理论计算机科学电子笔记269（2011）125否定幺半群（如果d[<$i]<$Id[<$k]，则<$i<$$>C<$k）。NC~<$C0参与者C1Nd↑~我NI\第二卷 参与者I1（P）两个赋值NI<$→NC和RI <$→ RC定义了一个同态Pd：Piaget么半群的PI→PC论点是类似的。5笼统措词现在我们把我们的思想扩展到一个一元符号，在普遍逻辑和制度的一般背景下表达它们5.1上下文在泛逻辑的语境中，逻辑由一组公式和一个结果关系组成[2]。我们将对这两个项目施加一些限制一个一般逻辑G由一个（公式的）集合FG和FG上的一个二元（结果）关系FG组成。等价逻辑是一个一般逻辑E，它的二元（后序）关系E是自反的和传递的.然后，我们定义了FE上的等价关系EE，即E Eθ i= Eθi = Eθi，θi= Eθ i。考虑给定的集合P（命题字母）和K（公式构建操作）[1]。我们称P上的一个集合在K i下是自由的，它由K在P上自由生成我们称一个等价逻辑S为结构的（在K下的P上）i-结构的（F）它的公式集FS在K下在P上自由（3）它的等价关系<$S是K的一个同余，它在替换下是闭的（所以如果<$S<$J和θ<$SθJ，则<$[p/θ]<$S<$J[p/θJ]）。我们希望将我们的思想扩展到否定以外的一元符号（如模态Q和Q）。命题逻辑和模态逻辑通常是结构化的。因此，我们将考虑一个固定的一元公式构建操作。我们所说的结构逻辑D是指结构逻辑D，其中<$∈K。在这样一种逻辑中，我们可以用代替<$，重新表述2.1中引入的变换，如下所示（其中p如2.2中，且p：= p1，.，p n注意，R是FD（e）G. R（θ）= R（θ）· R（θ），对于二进制·）。5.2逻辑与幺半群现在我们把以前的思想推广到代数逻辑。0S.R.M.标准Veloso等人理论计算机科学电子笔记269（2011）12513510考虑一个双逻辑D。我们可以使用我们的重新表述的变换直到等价。因此，对于公式f∈ FD的等价类，使用[f]D，我们有如下定义的变换：ND（[f]D）：= [N（f）]D，RD（[f]D）：= [R（f）]D和CD（[f]D）：= [C（f）]D。 我们也可以将注释2.1和推论2.2 （见2.2）。我们在3.2节中引入幺半群。（N）一元函数给出等价类]D。考虑到这个变换的迭代复合，我们有一个复合幺半群：基础幺半群ND。 它的元素的形式是Dn，对于n∈IN，结构和以前一样（T）可能变换的幺半群TD由有序对I j其中RD与ND×ND的直积同构。（P）Piaget幺半群PD由ND，RD和CD的合成构成.根据推论2.2，i个元素是复合变换NDi<$RDj。然后我们有一个方法，很像在3.2中，来构造这3个幺半群。注意，不需要获得商逻辑：公式的林登鲍姆-塔斯基代数（通常是无限的）。现在我们把基础幺半群和皮亚杰幺半群的结构联系起来。定理5.1给定一个双逻辑D，考虑它的双幺半群ND和Piaget幺半群PD。那么，Piaget么半群PD是ND× ND的同态像，其中ND可以嵌入.ND<$→ PD- ND× ND证据首先，考虑生成元上的赋值：它给出一个嵌入i：ND<$→PD。6接下来，考虑赋值→I jNDRD. 给出了满射同态e：ND× ND~PD（由推论2.2如e（ND1，RD0）=ND和e（ND0，RD1）=RD）。Q5.3逻辑比较现在我们来研究比较逻辑的翻译[7]。考虑逻辑：源G s=<$Fs，<$s<$，目标G t=<$Ft，<$t<$。一个平移是一个函数h：Fs→ Ft平移公式：›→h。现在，翻译h：Fs→ Ft将被称为（） 当θ≠sθ时，把Gs解释为Gt（h：Gs→Gt）i <$$>h<$tθh;（~）beeq-满射（h：Gs~Gt）ih是满射直到等价：对于每个θ∈Ft，θ<$t <$h，对某些<$∈Fs（e. G. i：4.2中的I~C）;（<$→）beeq-内射（h：Gs<$→Gt）i <$是内射直到等价：<$$>sθ，只要<$h<$tθh（例如4.2中的d：C<$→I）。考虑K下P上的非线性逻辑： 源Ds和目标Dt。鉴于自然λ，δ∈IN，我们称平移h：Fs→Ft为秩为<$λ的平移，δ∈i <$h（p）=6 注意，<$NDi，RD0<$=<$NDk，RD0<$产生<$Di=<$Dk。136S.R.M.标准Veloso等人理论计算机科学电子笔记269（2011）125R=h（R（λ））=R（h（λ））=R（λ）=R（h（h））。为（θ））==··=·（θ））=（δ·i）（δ·j）（δ·k）（δ·l）并且对于K中除k以外的每个n元公式构建运算k，存在公式Hk（p1，...，p n）∈ F t使得h（k（k1，...，n））=Hk（h（n1）， . ，h（n））（e.G.h（p·q）=H·（<$λp，<$λ q））。哥德尔的 双 重 否 定 翻 译 是 一 种 等 级 为 2 ， 1 的翻 译 。现在，称双逻辑DJ和DJJ同构（Dj=DJJ）i，则存在双逻辑中的定义hJ：DJ→DJJ和hJJ：DJJ→DJ，它们是等价的逆hJ J<$hJ（J）<$D′<$J和hJ<$hJ J（jJ）<$D′ <$J。注5.2对于秩为<$λ，δ<$，h的平移，N=Nδ<$h。引理5.3对于秩λ，δλ，hλR= Rδλh的一种变换。证据公 式 的 归纳，因为R是自同态。对于p∈ P：h（R（）下一页（p））=（h）H（h）δλλ δ（R）δλ（h）δ（R）（p）=h（p）=0p =0P =R（p）=R（h（p））对于n：h（R（p））=h（ΔR（h）δ（IH）δ δ（R）δ δ（h）δa二进制·：h（R（n·（R）h（R（R）·R（h）（IH）H（h（R（θ）），h（R（θ））H（Rδ（h（H）），Rδ（h（R）Rδ（H（h（H），h（h）Rδ（h（θ·θ））。Q定理5.4考虑K下P上的双逻辑：源Ds和目标Dt。每个秩为<$λ，δ <$的等式满射解释h：Ds~ Dt诱导幺半群同态Nh：Ns→ Nt和Ph：Ps→ Pt.DsNsPsh]›→↓Nh↓PhDtNtPt证据它可以用来定义生成元上的么半群同态。设Nh（Ns）：= Ntδ，Ph（Ns）：= Ntδ和Ph（Rs）：= Rtδ。它们由等价性和引理5.3很好地定义。对每个θ∈Ft，θ∈th（ε），对某些ε∈Fs.现在，如果i sk，那么h（i）th（k），i。e.（δ·i）θ因此，如果Si= Sk ， 则得到St（δ·i）=St（δ·k ）。 类似地，如果Ni<$Rj（n）<$sNk<$Rl（n），则h（Ni<$Rj（n））<$th（Nk< $Rl（n）），i. e. N （δ·i）<$R（δ·j）（θ）<$tN （δ·k）<$R（δ·l）（θ）。因此，Nsi<$Rsj=Nsk <$Rsl产生Ntrt=Ntrt.Q命题5.5若代数DJ和DJJ同构（DJ≠DJJ），则它们有同构幺半群NJNJJ和PJPJJ.证据由定理5.4，作为等满射性，从有逆直到等价。Q（））h（））θ））=（θ））δS.R.M.标准Veloso等人理论计算机科学电子笔记269（2011）125137命题5.6考虑K下P上的逻辑：源D s和目标D t。每个秩为<$λ，1 <$$>的等内射平移f：Ds <$→ Dt诱导幺半群同态Nf：Nt→Ns和Pf：Pt→Ps.138S.R.M.标准Veloso等人理论计算机科学电子笔记269（2011）125‹→ijkli j k lijDsNsPsf ↑Nf↑PfDtNtPt证据它可以用来定义生成元上的么半群同态。设Nf（Nt）：=Ns，Pf（Nt）：=Ns和Pf（Rt）：=Rs。它们由等式-内射性和引理5.3很好地定义。如果f（i）=f（k），则对每个公式f∈Fs，f（i）=f（i）f（k）=f（k），所以f（i）= f（k），因此f（i）=f（k）。类似地，若Nt<$Rt=Nt<$Rt，则对每一个mu∈Fs，都有f（N<$R（n））=Ni<$Rj（f （n））<$tNk<$Rl （f （n））=f （Nk <$Rl （n）），则Ni<$Rj（n）<$sNk< $Rl（n），其中Ns<$Rs=Ns<$Rs.Q6结论我们已经介绍和研究了分析和比较逻辑的代数工具。这个工具源于让·皮亚杰[10][11]提出的一些想法，我们将其扩展到一元符号（e. G.否定或模态）并在更一般的上下文中表达。我们已经在3.2和5.2中提供了构造这种代数结构（幺半群）的方法。我们的方法不需要获得商逻辑：公式的Lindenbaum-Tarski代数通常是有限的，而我们的幺半群通常是有限的。在这个框架下，比较逻辑可以归结为幺半群同态的存在性。这种幺半群提供了关于逻辑的浓缩信息，并且有广泛的代数机器用于检查幺半群同态的存在。皮亚杰幺半群让人想起模态图。我们打算将这种方法扩展到这样的图表;这种情况似乎有些不同，但这里提出的想法提供了实现这一目标的第一步引用[1] Barnes，D. W. and J. M. 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