例如，《生物化学和生物技术科学杂志》2（2015） 229E235主办方：完整文章无限平板间MHD压缩流和JefferyeHamel流的移Chebyshev小波拟线性化方法Muhammad Asad Iqbal，Umar Khan，Ayyaz Ali，Syed Tauseef Mohyud-Din*巴基斯坦塔克西拉HITEC大学理学院数学系A R T I C L E I N F O文章历史记录：2014年11月13日收到2015年4月9日星期一2015年5月4日接受2015年7月9日在线发布MSC：35Q7942C1539B9保留字：磁流体Chebyshev小波方法拟线性化技术Jefferye Hamel流数值解AB S T R A C T本文将平移Chebyshev小波方法与拟线性化技术相结合，用于处理物理问题中的非线性问题。用两个非线性物理模型，一个是无限平板间的MHD压缩流，另一个是用适当的相似变换得到的JefferyeHamel流，验证了所提出方法用四阶龙格-库塔法进行数值求解用表格和图形描述了不同迭代次数和不同多项式次数的结果，验证了所提出方法的准确性和稳定性。版权所有2015年，曼苏拉大学。由Elsevier B. V.制作和托管。这是一个CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1.介绍在Stefan的开创性工作之后，挤压流由于其许多实际和工业应用而引起了研究人员的极大兴趣。许多机械设备在移动活塞的原理下工作，两个板表现出垂直于其自身表面的挤压力矩。电动机、发动机和液压起重机的某些部件也有这种挤压流其生物学应用也同样重要。注射器和鼻胃管内的流动也是一种挤压流动。人们可以找到足够多的关于这些流动的文献，*通讯作者。电子邮件地址：syedtauseefs@hotmail.com（S.T. Mohyud-Din）。由曼苏拉大学负责进行同行审查。http://dx.doi.org/10.1016/j.ejbas.2015.05.0022314- 808 X/版权所有2015年，曼苏拉大学。由爱思唯尔公司制作和主持 这是一篇CC BY- NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在www.sciencedirect.com在线获取ScienceDirect杂志主页：http://ees.elsevier.com/ejbas/default.asp230埃及生物多样性和应用科学杂志2（2015） 229E235不4vzMRÞ ¼2sR2勒让德小波方法求解压裂裂缝MB2vJ¼拉克莱姆00参考文献[2][3][4][5][6][7]作为磁场的微小变化，导电流也非常重要r vVV$VVV$T-f;（2.2）可能会导致流动分散或经常顺利进行一些vtB时间因此，必须讨论《公约》下的流动问题磁场的影响，看看它如何影响流动行为。参考文献[4E6]研究了磁场对不同几何形状压缩流的影响，指出了这些流动的一些重要方面。在19世纪早期，在Jeffery[7]和Hamel[8]的开创性工作之后，通过非平行壁的流动变得重要。从那时起，有许多研究讨论了这些流动的不同实际和工业应用，并报告了通过改变两个通道之间的角度来改变流动特性[9e11]。通过河流和渠道的流动，不同的生物流动，如通过动脉和静脉的流动，是这些类型的流动的一些实际应用。由于流体力学问题的非线性，其中V是速度矢量，r是密度常数，T是柯西应力张量由下式给出T1/4-rI-A1;其中，A11/4VV。而fB是由于施加的磁场而产生的源项，即，即所谓的磁力或洛伦兹力。已知该力是施加的磁场B、感应电场E和流体速度矢量V的函数，即fB¼sEV *V*B：参考文献[23]中讨论了所考虑模型的详细推导。利用相容性方程二、Σ3J的;MRvzvtRR不太可能许多数值和分析技术，解决这些问题[12]。1vE2Jvr-E2JR25¼E4J-sB2vJ（2.3）求微分方程常用的小波格式有Haar小波、Legendre小波和Chebyshev小波.Islam等人用Haar小波配置法求解边界层流动问题的数值解[17]，Hariharan用Haar小波方法求 解 Sine-Gordon 和 Klein-e-Gordon 方 程 [18] 。Rawashdeh imple哪里2对2 1对2E ¼vr2-rvrvz2¼0;从等式（2.3）简化后，我们得到2v.J;E2J340积分微分方程[16]。 Ali等人使用-R4四氢呋喃5 ¼rEJ-sr（2.4）vzChebyshev小波用于求解线性和非线性边值问题[19]。Iqbal等人利用Chebyshev小波得到了分数阶延迟微分方程的解[20]。由于我们所近似解的模型本质上是非线性的，所以为了得到更好的准线性化技术首先由Bellman和Kalaba[21]引入，作为Newtone Raphson方法[22]的推广，以解决单个或多个系统的问题。非线性常微分方程或偏微分方程。将Chebyshev小波方法与拟线性化技术相结合，带有相关辅助条件z 1/4H;然后u 1/40;w1/4-V;（2.5a）z<$0;然后w<$0;vu< $0：（2.5b）我们现在可以将流函数定义为Jr;zr2fz：（2.6）替换Eq. （2.6）在Eq.（2.4）简化了Eq.（2.4）转化为非线性常微分方程适用于求解此类非线性物理模型。据我们所知，这是第一篇关于切比雪夫流体力学中的小波方法两个非线性问题fivz2r fzf000的B2z考虑了LEM用著名的数值方法--四阶龙格-库塔法求解了同样的通过对解的比较，验证了所提解的准确性.2.数学公式根据边界条件f0000;fHV;f 00.00000：（2.8）方程中的非线性微分方程（2.7）以及方程中的边界条件式（2.8）可以通过使用以下无量纲参数来无量纲2.1.无限平板间的MHD压缩流动流动的运动方程由[23]给出，FF;xV=2zH;Re¼RHm=V;M ¼sHB20;（2.9）MV$V¼0;（2.1）0¼小波方法也是相对较新的技术之一，四氢呋喃例如，《生物化学和生物技术科学杂志》2（2015） 229E235FivxReFxF000x-M2F00x¼0;（2.10）将边界条件转换为231例如，《生物化学和生物技术科学杂志》2（2015） 229E235压力渠道中心线处的边界条件为22nb-anTm2x-nb;ab-a2k;一F00;F0000;F11;F010：2.2.Jefferye Hamel流对于不可压缩粘性流体的流动，由于在两个刚性的、不平行的平面壁的相交处存在源或汇，壁之间的角度为2a，如图A所示。流动被假定为对称的和纯径向的。这些假设意味着速度场的形式为[v/v/r; 0; 0]，其中mr是r和q的函数。从Eqs。（2.12）和（2.13）在消除压力项并使用方程由公式（2.15）和（2.16）得到了归一化速度剖面F（x）F000x2aReFxF0x4a2F0x0：（ 2.17）因此，边界条件（2.14）为F=0.01;F=0.01;F= 0.01;F=0.01;（2.18）式中，Re为雷诺数，Re<$fmax<$Umaxra.发散通道：a> 0; Umax> 0 mm;vvConvergent Channel：a<0; Umax<0（2.19）Umax是中心线速度。3.移位Chebyshev小波在目前的工作中，我们使用[a，b]上的移位切比雪夫多项式，因此移位切比雪夫节点是x¼b-aco s. 2kk<$0; 1; 2;... ; M - 1;图Ae问题的示意图在极坐标方程的运动在没有体力在参考。（24）1vrvrrur¼0;（2.11）K22 M2其中a和b是实数，其中a<是b。m阶的移位切比雪夫多项式Tm（x）定义在区间[a，b]上，并由以下递推公式给出，2x- B-B-B-A-B-BT0x1;T1xb-a;Tm1x武乌尔1Vp2002年2月1vur一对二乌勒河. 2x-B-Burvr¼ -r vrvvr2vrr2vq2-r2（2.12）¼2b-aTmx-Tm-1x;m¼1; 2; 3;...：1 Vp2vvur正交性条件为-prvrr2vq¼0;（2.13）个zlb8>0;msn;哪里，为恒定密度;是动态粘度，并且p是1TxTx dx¼<。b-arms是一个很好的例子。请选择你的状态《Mr.P.》评分：p;m²n：8>：0;否则武乌尔vq¼0;（2.14）墙上是Ur1/4。根据连续性方程（2.11），我们有如：（2.15）为了建立方程，无量纲参数定义为Fxf q;xq：（2.16）1-2x-B-B-B-A-B-BB-a2k≤x≤ab-a232埃及生物多样性和应用科学杂志2（2015） 229E235XX∞∞k1，2，3，由Chebyshev小波得到的解具有以下形式：yx cn;mjn; m x;n<$1m<$0其中jn;m<$x<$由等式（3 - 1）给出。我们用截断级数近似y（x）fmaxa233例如，《生物化学和生物技术科学杂志》2（2015） 229E235XXD.（4.3）20dxn1.Σ.- 是的ΣXX1.Σ.- 是的Σ¼. XX. XXcn;mjn;mxdx3Fnx22n1nnynnn<$1m<$02k-1M-1yxcn;mjn;mx：（3.2）n<$1m <$0那么，确定2k-1M系 数 c10;c11 ; ...; c 1 M-1; c 20 ; c 21;...; c 2 M-1; ...; c 2 k-1 0 ; c 2 k-1 1; ...; c 2 k-1 M-1的条件总数应为2 k-1M。一些条件由初始或边界条件提供条件s，而对于离散条件，我们在微分方程中替换yK，M以恢复未知系数Cn，m。5.1.拟线性化技术文中导出并讨论了[25]这表明，如果存在收敛，则准线性化技术的收敛是二阶的。5.2.Chebyshev小波方法文献[20]给出了Chebyshev小波方法的收敛性，证明了对于微分方程的Chebyshev小波级数解收敛于y（x）任何命令。4.拟线性拟线性化[25，26]方法是微分方程的广义NewtoneRaphson技术。如果存在收敛性，则拟线性化技术二次收敛于精确解，并且它具有单调收敛性。考虑一个非线性二阶微分方程y00xfyx;x（4.1）与边界条件6.求解过程6.1.对于无限平板间的MHD压缩流应用准线性化技术后，MHD压缩流（2.10）的微分方程变为d4d3d3dx4Fn1xReFnxdx3Fn1xReFn1x dx3Fnxy=a≤x≤b;（4.2）2d3其中f可以是x或y（x）的函数。 设y0（x）是函数y（x）的初始近似。f关于y0（x）的泰勒级数展开-Mdx2Fn1x1ReFnxdx3Fnx;（6.1）将边界条件转换为fyx; xf.y0x; x。yx-y0xfy0.y0x;x.Σ0Fn=100;D2dx2Fn100;Fn111;dF=1000：忽略二阶和高阶项，并在等式中替换。（4.1），我们得到y00xfy0x;xyx -y0xfy0x;x（4.4）求解Eq. （4.4）并调用答案y1（x）。 使用y1（x），并再次扩展方程。（4.1）关于y1（x），我们有对于应用切比雪夫小波技术，现在替代，2k-1M-1Fn1xcn;mjn;mxn<$1m <$0当量（6.1）变为（见表1和2，图 1和2），y00xfy1x; xyx -y1xfy1x; x（4.5）经过计算，我们得到y2（x），y（x）的第二次近似。d42k-1M-1dx4n¼1m0cn;mjn;mx！d32k-1M-1ReFnn<$1m<$0 cn;mjn;mx！继续这个过程，我们获得所需的精度，如果问题收敛。 一般来说，我们可以写递归关系如下. X2k-1MX-1！D3n<$1m<$0d2. X2k-1MX-1！D3y002000年yx;x。yx-yxf. yx;x（4.6）-Mdx2cn;mjn;mx1/4ReFnxdx3Fnx：其中yn（x）是已知的，求解后我们得到yn1（x）。的式（4.2）中的边界条件也可以转换成yn1aa和yn1bb的形式。同样的方法也适用于其它高阶非线性问题。6.2.对于Jefferye Hamel流（6.2）当量（2.17）表示应用准线性化后的JefferyeHamel流变为，5.收敛性分析dx3Fn1x2aReFn1xdxFnx2aReFnxdxFn1x（6.3）由于我们同时使用了拟线性化技术和Chebyshev小波方法，所以我们讨论了它的收敛性2个d4adxFnDx这两件事因此，边界条件被转换为雷234埃及生物多样性和应用科学杂志2（2015） 229E235XXDx第1页 ;第1页 ：第1页 ;表1e MHD挤压流（6.2）的解的比较，M1/4和Re1/4，采用RK-4的建议方法的不同多项式值Xym¼5ym¼10ym¼15yRK-4ym¼5时的误差ym¼10时的误差ym¼15时的误差0.00.0000000.0000000.0000000.0000008.8356E-102.0000E-132.0000E-170.10.1790730.1495290.1502940.1502942.8779E-027.6409E-049.7110E-070.20.3505220.2960180.2974810.2974815.3041E-021.4620E-031.0152E-060.30.5080610.4364410.4384680.4384686.9594E-022.0258E-031.5166E-060.40.6468630.5677970.5701900.5701907.6674E-022.3914E-032.0176E-060.50.7635640.6871210.6896260.6896267.3940E-022.5020E-032.2772E-060.60.8562580.7914780.7937980.7937986.2462E-022.3179E-032.4621E-060.70.9245030.8779420.8797810.8797814.4724E-021.8369E-032.7129E-060.80.9693140.9435670.9446970.9446972.4618E-021.1287E-031.6322E-060.90.9931670.9853220.9857070.9857077.4602E-033.8448E-045.7870E-071.01.0000001.0000001.0000001.0000001.0250E-062.3752E-106.7291E-13表2e MHD挤压流（6.2）的解的比较，当M¼5和Re¼5时，采用RK-4的建议方法的不同多项式值Xym¼5ym¼10ym¼20yRK-4ym¼5时的误差ym¼10时的误差ym¼20时的误差0.00.0000000.0000000.0000000.0000001.5195E-123.0000E-142.0000E-170.10.1394900.1242660.1313960.1313988.0912E-037.1321E-042.5254E-060.20.2775450.2479840.2618270.2618301.5712E-022.3848E-035.5279E-060.30.4122780.3705080.3901540.3901532.2116E-025.9653E-037.6114E-060.40.5413070.4909600.5148820.5148782.6415E-022.3931E-029.0962E-050.50.6617540.6080140.6339610.6339592.7782E-022.5957E-021.0881E-050.60.7702500.7195510.7445470.7445492.5691E-025.5007E-031.1488E-050.70.8629290.8221110.8427340.8427362.0183E-023.0634E-031.1001E-050.80.9354320.9100330.9232110.9232131.2212E-022.3186E-038.5481E-060.90.9829040.9741680.9788250.9788274.0748E-034.6613E-044.7314E-061.00.9999970.9999991.0000001.0000003.0000E-061.0000E-063.0000E-09F01dF00F1 0D3 . X-1Dx3n<$1m<$0！. X-12aRen<$1m<$0！DDx对于应用切比雪夫小波技术，现在替代，2aReFnD. X-1cn;mjn;mx！2k-1M-1Dxn<$1m<$0Fn1x¼n<$1m<$0cn;mjn;mx：4aD. X-1cn;mjn;mx！1/2aReFnxDFnx：当量（6.3）变为（见表3和表4，（第3和第4段）D xn<$1m<$0Dx（6.4）图1e采用RK-4的建议方法，在不同的m值下，M1/4和Re1/4时MHD挤压流解的比较2cn;mjn;mxcn;mjn;mxFn x235例如，《生物化学和生物技术科学杂志》2（2015） 229E235图2e采用RK-4的方法，在不同的m值下，MHD压缩流解在M¼1和Re¼1时的比较。236埃及生物多样性和应用科学杂志2（2015） 229E235表3e Jefferye Hamel流（6.4）的解比较，当a¼3和Re¼10（发散通道）时，采用RK-4的建议方法的不同多项式值Xym¼5ym¼10ym¼15yRK-4ym¼5时的误差ym¼10时的误差ym¼15时的误差0.01.000000001.000000001.000000001.0000000.0000E1008.0000E-150.0000E1000.10.991578770.989266320.989277420.9892772.3017E-031.0674E-054.2882E-070.20.965675100.957177770.957221870.9572228.4531E-034.4222E-051.2284E-070.30.921294330.904062800.904161500.9041621.7132E-029.9194E-054.9197E-070.40.857395490.830440630.830615960.8306162.6779E-021.7536E-043.1634E-080.50.772891380.736982020.737256960.7372573.5634E-022.7497E-043.5067E-080.60.666648510.624459840.624855870.6248564.1792E-023.9615E-041.2573E-070.70.537487100.493695720.494220700.4942214.3266E-025.2527E-042.9941E-070.80.384181130.345511200.346124730.3461253.8056E-026.1379E-042.6389E-070.90.205458290.180694890.181228990.1812292.4229E-025.3410E-042.0706E-091.00.000000000.000000000.000000000.0000002.0797E-091.0512E-112.5103E-15表4e当a=15和Re=50（收敛通道）时，针对RK-4提出的方法的不同多项式值，Jeffer y e Hamel流（6.4）的解的比较。Xym¼5ym¼10ym¼20yRK-4ym¼5时的误差ym¼10时的误差ym¼20时的误差0.01.0000001.0000001.0000001.000000.0000E1001.0000E-150.0000E1000.10.9951460.9941820.9942040.9942049.4273E-042.1705E-052.1293E-070.20.9798190.9762580.9763350.9763353.4846E-037.6169E-051.1514E-100.30.9520120.9447580.9449240.9449257.0877E-031.6684E-042.4876E-080.40.9085790.8971270.8974610.8984611.1118E-023.3309E-044.8795E-070.50.8452340.8296760.8303080.8303091.4925E-026.3271E-042.1740E-070.60.7565510.7375790.7386530.7386531.7898E-021.0734E-035.2853E-070.70.6359620.6150160.6165490.6165491.9413E-021.5325E-039.1173E-070.80.4757620.4554920.4571910.4571911.8571E-021.6981E-038.0688E-070.90.2671030.2524190.2536040.2536041.3500E-021.1832E-031.2011E-061.00.0000000.0000000.0000000.0000001.0000E-072.0000E-101.0000E-16图3e针对RK-4提出的方法，当a<$3和Re<$10对于不同的M值时，Jefferye Hamel流的比较图 4e采用RK-4的建议方法，在不同的M值下，a<$15和Re <$50时，Jeffer y e Hamel流的比较。7.结论本文研究了两平行平板间的MHD流动和JefferyeHamel流动。移位Chebyshev小波-也是为了比较。从图表中可以清楚地看出，这种方法可以成功地应用于不同的物理性质的问题参考文献用拟线性化方法求解方程组的流动。为了检查所得到的解的准确性用移位Chebyshev小波拟线性化技术在多项式的不同取值下进行了数值计算，并绘制了相应的图表，表明随着多项式阶数的增加，数值解[1] Stefan MJ. 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