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理论计算机科学电子笔记127(2005)53-69www.elsevier.com/locate/entcs用约束图研究推理Andrew Fish1,2 Jean Flower1,3视觉建模集团布莱顿大学Brighton BN 2 4GJ,英国摘要约束图是一种可视化的符号,用于表示逻辑约束。 用一个阅读树(也就是量化器的部分排序)来扩充图,可以确保每个图都有一个唯一的语义解释。在本文中,我们讨论的例子,推理规则的增广约束图,表现出有趣的属性或困难,可能会出现时,发展这样一个diagrammatic系统的规则。我们不提出一套完整的规则,但调查出现的一般问题,提供解决方案。一个问题对应于量化器的嵌套,另一个问题涉及泛量化域。这些问题可能是其他逻辑推理系统定义中的一个重要问题,这些逻辑推理系统明确地用图表表示量化。保留字:图解推理、约束图、逻辑推理。1介绍约束图符号[6]最近才给出完整的形式语义[2,3]。它的目的是约束图,用于表达逻辑约束,将被软件工程师与统一建模语言(UML)一起使用。一个软件组件的规格说明,以图表的形式给出,可以与需求规格说明相匹配,1本研究部分得到英国EPSRC基金GR/R63516的支持2电子邮件:Andrew. brighton.ac.uk3电子邮件:J.A. brighton.ac.uk1571-0661 © 2005 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi:10.1016/j.entcs.2004.08.04754A. 鱼,J。Flower/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 127(2005)53一不BSC一GBXF以图解形式。这种组件与需求的匹配可以通过在组件行为的前置条件和后置条件之间提供逻辑参数来完成。一旦约束图系统被赋予一组推理规则,论证就可以在句法层面上进行、呈现和验证。约束图的语言具有丰富的表达能力,我们希望能够使用称为推理规则的图转换在约束图之间进行推理。设计这种规则的一种明智的方法是明确的--用户正在考虑删除、添加和编辑语法图中。规则必须是有效的(即如果d1可以使用一系列推理规则转换为d2,那么d1的语义必然包含d2的语义)。在本文中,我们描述了一个选择的规则,删除,添加或编辑图语法。规则被选择来说明有趣的属性,这些属性将在该系统中的其他规则中重现,并且对其他图表系统的开发人员具有更广泛的D1d2Fig. 1. 约束图当然,推理可以通过在一阶谓词逻辑(FOPL)中编写证明来在图语义的级别上进行。一些图形转换规则对应于简单的FOPL转换。然而,一些FOPL规则转化为复杂的图解规则,并且一些图解变换对应于非平凡的FOPL变换。为了保持通过提供正式的图解说明而获得的优势,我们希望在图之间而不是在图语义之间进行推理。基于欧拉图的简单图解系统的推理规则的工作已经进行[4,7,9]。 蜘蛛图[5]形成了约束图的一个子系统(蜘蛛图的例子见图1中的d1)。 蜘蛛图的表达能力仅相当于具有等式的一元一阶谓词逻辑[8],因此它们不是非常实用。在软件建模中使用,而不是更有表现力的A. 鱼,J。Flower/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 127(2005)5355约束图系统我们将不会提出一套完整的推理规则约束diagrams,但我们调查的一般问题,在规则的发展。这些考虑在任何试图定义类似的图解逻辑推理系统的尝试中可能是有用的。在第3节和第4节中,我们描述了具有强先决条件的规则,这些规则旨在对图语法进行小的更改。给出强的前提条件可以更容易地评估规则是否有效(有助于对系统进行推理)。这使得更容易描述应用规则时发生的变化,简单的规则对自动校对算法很有用。然而,简单的规则在较少的情况下适用(阻碍系统的在第5节中,我们展示了如何将简单规则组合成更广泛适用的派生规则。这些导出的规则可能对图产生复杂的影响,并且遵循算法来确定结果。用于规则的这种算法可以在软件工具中实现我们设想,一个用户可以在一个图中选择一个语法元素,并获得适用的规则。虽然派生规则的效果可能很难描述,但工作的负担落在工具开发人员而不是用户身上。2背景工作约束图系统的形式语法和语义可以在[2,3]中找到。我们通过例子来说明这些概念。2.1约束关系图:语法图1中有两个约束图。第一个,d1,有三个给定的轮廓,标记为A,B和C,和五个区域,其中一个是阴影。有两个存在蜘蛛,s和t。蜘蛛有两只脚,它的栖息地是A内的一对区域。蜘蛛只有一只脚,它的栖息地是阴影区。第二张图d2包括一只万能蜘蛛x,栖息地在A内,两个箭头分别标为f和g。标记为f的箭头以x为源,并将导出的轮廓作为其目标。衍生等高线没有标签。如上所述的约束图可能是模糊的[3]。用阅读树(基本上是图中蜘蛛的部分顺序)来扩充图,确保了唯一的语义解释:阅读是FOPL中的一个句子。在本文中,当我们提到约束图时,我们实际上指的是一个扩展约束图,这是一个伴随着阅读树的约束图,如[3]所定义的56A. 鱼,J。Flower/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 127(2005)53∩∅⊆2.2约束图:语义我们非正式地描述这些语法片段的语义。给定的轮廓表示集合,导出的轮廓表示关系的图像。拓扑性质,如不相交性和包容性的轮廓是尊重相应的集。潜在的蜘蛛代表存在的量化,普遍的蜘蛛代表普遍的量化,箭头代表关系。区域中的着色对相应集合的基数设置上限。不同的蜘蛛代表不同的元素。D2一BSXFxssx图二. 约束图例2.1在图2中,图d1和图d2有不同的阅读树。d1和d2的读数是A<$B =<$$><$<$x ∈ A(x.f <$B <$$> s∈ B − x.f)和A <$B=<$$><$<$s ∈ B(<$x ∈A(x.f <$B − {s}))。在这些表达式中,符号x.f用于表示x在关系f下的关系图像。第一部分:A B=通常被称为平面平铺条件[3,5]。它表达了我们可以从给定轮廓的相对位置在这种情况下,A和B不相交。所有的阅读都是从平面平铺条件开始的,但在本文中,为了简洁起见,我们选择省略阅读的这一部分。4导出的等高线不包括在平面平铺条件中,它们在后面的阅读中解释(例如x.f B)。导出的轮廓可以表示集合的集合:对于x的不同值的不同集合x.f。[4]读者可能会注意到,有些阅读树似乎是断开的(例如,见图3)。这是因为每棵树都包括一个根节点,对应于平面平铺条件,我们从图中省略了它此外,在本文中,任何阅读树,只包括根节点和一个其他节点被省略。一d1 BSXFA. 鱼,J。Flower/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 127(2005)5357∀∈∀∈⇒D1d2一CXFyDBG一CXFDyBGXxyy图3.第三章。排序节点x和y的结果例2.2在图3中,d1和d2的读数分别为y ∈B(y.g = D)和y ∈B(y.g =D))。在d1的读树中,节点x和y是无序的,因此量化器x和y没有嵌套在读树中。在d2中,x在y之前排序,因此量化器是嵌套的:y在x的作用域中。 因此,无论y、g和D之间的关系如何,只要对应于A的集合为空,则d2的读数为真,但对于d1的读数则不是这种情况图表阅读是FOPL句子,其中可能包括短语,如yA(. ),这是一个简写版本的 y(y一... ). 这些句子是在对软件系统建模时所需要的断言类型,以便对某种类型的所有对象进行陈述。在设计推理规则时,我们必须经常注意泛量化可以在空域(上面的集合A)上发生2.3复合图我们可以使用逻辑连接词and、or和not从一元图构建复合图。d2 =(d3和d4)Xy见图4。 复合约束图D1一个CXfDByG一CXfDB一CDyBGD3D4和58A. 鱼,J。Flower/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 127(2005)53∈−例2.3在图4中,d1是酉的,并且在语义上等价于复合图d2 =d 3<$d 4。两者都有阅读y ∈B(y.g = D).2.4蜘蛛的依赖性和阅读树中的排序图中蜘蛛之间的依赖性是一种句法条件,它封装了相应的量化器在语义解释中相互引用的需要。图的读取树中的节点排序将一个相应的量化器置于另一个的范围内。假设一个阅读树对于一个图是有效的,如果它提供了依赖蜘蛛节点之间的排序。它可能会也可能不会提供独立蜘蛛之间的排序。例如,在图2中,蜘蛛x和s在图中是依赖的,因此它们的节点必须在读树中排序(允许我们例如,假设s B x.f)。然而,在图3中,蜘蛛x和y是独立的,所以它们3图解规则本节中讨论的规则纯粹是图解性的,将一个酉图转换为另一个酉图。这些简单的规则有很强的先决条件,旨在对图语法进行小的更改。在某些情况下,为了能够在有限的空间内简单地描述规则,我们有比它们需要的更强的书面前提条件。3.1阴影处理这个规则可以减少蜘蛛之间的依赖。该规则没有先决条件;现有的读取树在应用该规则后将有效。例3.1在图5中,图d1和d2的读数X∈A(x. fy∈B(y. gABx. 很好(g=0)),且<$x ∈ A(x.f <$A<$B <$$>y ∈ B(y.g<$A<$B)).在d1中,由于阴影的存在,蜘蛛x和y是相互依赖的。两个quantifier都必须在作用域中,才能断言阴影区域为空(x。很好g=100)。 在D2中,spiders是indepnt。A. 鱼,J。Flower/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 127(2005)5359D1一CXFSDBy不GD2擦除阴影/xyxy图五. 擦除阴影3.2添加存在主义蜘蛛脚D2添加存在主义蜘蛛脚/见图6。 添加存在主义蜘蛛脚例3.2图6显示了d1的变换,其读数为:A把B转化为d2,读作A。 这个规则扩大了s的范围。扩大蜘蛛的域可能会引入新的依赖项。这提供了规则的前提条件:前提图的阅读树必须对结论图有效xSy不见图7。 不能增加某些脚的潜在蜘蛛例3.3图7显示了一种情况,即两个存在蜘蛛s和t都可以延伸到另一个的栖息地阅读树有D1一XFBGy一XFByGd1 A BSABS60A. 鱼,J。Flower/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 127(2005)53/和t是无序的,所以s和t的范围在阅读中是不相交的。<$x ∈ A(<$s ∈ C −D(s = x.f))<$<$y∈ B(<$t ∈ D−C(t =y.g))。如果有人试图在t所占据的区域中给s加上一英尺,那么就没有办法说s=t,因为在这种解读中,量化器的嵌套是不充分的。在前面的两个例子中,我们考虑了添加单脚。有些蜘蛛可以添加多个脚,即使这些脚不能单独添加。D2添加存在主义的脚/XxSs图8.第八条。为存在主义蜘蛛添加多只脚例3.4在图8中,d1和d2的读数分别为<$x∈A(x.f<$B)<$s∈A<$B,且<$x∈A(x.f<$B)<$s∈ A.这些脚不可能单独添加,因为x不在s的范围内(反之亦然),例如,我们不能说s∈Ax.f3.3删除存在蜘蛛如果不满足以下条件,则可以删除存在蜘蛛• s是任何箭头的源或目标• S的栖息地包括阴影区,• 存在通用蜘蛛X,其域包括蜘蛛S的脚并且节点s在树中排序在节点x之前。例3.5在图9中,d1和d2的读数分别为(一)n∈A(sxt∈A(x.f=t),(2)且<$x ∈ A(<$t ∈ A(x.f = t)).D1BAsXFB一SXFA. 鱼,J。Flower/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 127(2005)5361→→∨ ∃ ∈∃ ∈→ →→D1D2删除存在蜘蛛/x s t xt见图9。 删除存在性蜘蛛在d1中,s在树中排序在x之后,因此s可以从d1中删除以得到d2。如果d1的阅读树是sX那么阅读就不会被(3)<$s∈A(<$x∈A((s=x)<$(<$t∈A(x.f=t)我们就不能从图中删除s我们不能从表达式3推导出表达式2,因为我们会推导出更强的性质t A(x.f=t)从较弱的性质(s=x)(t A(x.f=t))。这种属性强化阻止我们移除蜘蛛。这是检查阅读树的第一条规则。 生成的树是通过首先添加边ab只要有边as和sb和然后从树中删除s3.4删除箭头我们总是可以删除不指向导出轮廓的箭头。3.4.1单个箭头指向的导出轮廓D1d2删除箭头/图10个。删除箭头可以删除导出的等高线如果箭头f指向导出的轮廓c,并且没有其他箭头指向c,那么当f被删除时,c将被删除。55删除轮廓后,任何部分阴影(未占用完整区域)都将被删除,如果区域中有一个蜘蛛超过一只脚,则这些脚将被合并。一不FX一S不FX一SF一S62A. 鱼,J。Flower/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 127(2005)53←→例3.6在图10中,d1和d2有读数A∈A(s. fAs. f=φ)且φs∈A.删除这种箭头和等高线的三个先决条件是:• 没有从目标轮廓发出的箭头• 导出的轮廓不需要描述任何通用蜘蛛的域,• 前提图的阅读树对于结论图是有效的D1 d2删除箭头/SXTS XT见图11。 删除箭头可能会引入依赖性例3.7在图11中,删除g将删除导出的轮廓s.g,引入x和t之间的新依赖关系。d1和d2的读数是s∈B(s.g<$D<$<$x∈A(s.g<$x.f<$D<$<$t∈C(t.h<$s.g),和s∈B(x∈A(x.f<$D<$$>t∈C(t.h<$x.f)。因为读取树仍然有效,x和t,我们可以删除g。 如果阅读树是xSt(在s处分支x和t是无序的),那么读数应该是s ∈ B(s.g <$D <$$>x ∈ A(s.g <$x.f <$D)<$$>t ∈ C(t.h<$s.g))。和g不能用这个简单的规则从图中删除,因为在读数中有不充分的量化器嵌套(x和t没有嵌套)。一DXFBGS不HC一DXFBS不HCA. 鱼,J。Flower/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 127(2005)5363⊆ ∩∩→→3.4.2多个箭头假设导出的轮廓是多个箭头的目标。在这种情况下,删除箭头的唯一前提是我们不扩大任何通用蜘蛛的域。D2一XzBGyHDxy z xy z图12个。删除箭头可能会延迟对导出等高线的解释例3.8在图12中,d1和d2的读数分别为y ∈B(y.g =x. f z ∈ x.f(z.h =D)和z ∈y.g(z.h = D)。在d 1中,f针对导出的轮廓c,并且f用于解释轮廓(在表达式x.f中一BD)的情况。轮廓线c的解释使用f而不是g,因为x在读取树中排序在y之前。在d 2中,在删除f之后,导出的轮廓c在后面的句子(y.g <$A<$B<$D)中被解释,并且y.g被用来代替x.f来指代其他断言中的c(例如<$z∈y.g(z.h= D))。假设我们延迟了对c的解释。这种解释的延迟是可能的,因为读取树将y排序在z之前。如果树是xz那么读数就会曾经:z∈x. f(z.h=Dy∈B(y.g=x.f),如果f的移除将把z的域扩大到A <$B <$D,则f的 移 除 将把 z 的域扩 大 到A<$B<$D。3.5删除通用蜘蛛如果有任何箭头来源于x或指向x,则无法删除通用蜘蛛x。第二个前提条件断言,在读取树中,没有蜘蛛可以在x之后排序。这是因为在没有任何上下文信息的情况下,泛量化可能有一个空的域。如果一个通用蜘蛛x在读取树中有另一个蜘蛛s排在x之后一XD1F删除箭头zBGyHD/64A. 鱼,J。Flower/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 127(2005)53那么读数的形式就是A∈A(. s∈B(. )). 如果集合A可能是空的,我们不能用... s∈ B(. ).3.6转置存在节点标签假设在读树中,恰好有一条从存在蜘蛛节点s发出的边,其目标是存在蜘蛛节点t。然后标签s和t可以交换。D1d2转置存在节点标签转置存在节点标签s tt s图十三. 转置存在节点标签例3.9图13中d1和d2的读数相等:s∈A(s.f<$B<$<$t∈s.f(t.g=s)),且f ∈ B(f ∈ A(s = t.g f ∈ B))。3.7移动分支假设在一棵阅读树中,有从蜘蛛p到蜘蛛q和从p到存在蜘蛛s的边。然后,移动分支规则删除从p到q的边,并添加从s到q的边。D2移动分支不见图14。 移动树枝B一SF不GB一SF不GD1B一S不XFyG一BS不XFyGSXyS不XyA. 鱼,J。Flower/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 127(2005)5365例3.10图14中d1和d2的读数仅通过括号区分X∈A(x. f<$B<$s∈x. f(t∈B−x. f)y∈AB(y. (g=100))X∈A(x. f<$B<$s∈x. f(t∈B−x. f∈A∈B(y. (g=100))4图表和结构性本节中的规则更改图中单一部分的语法, 以及图表的命题逻辑结构4.1排中律排中律允许我们明确地表达这样一个事实,即一个集合要么没有附加元素,要么有一些附加元素。D1排中律d2 =(d3或d4)图十五岁排除中间规则的一个例子例4.1在图15中,d1和d2 =d 3<$d 4在语义上等价。它们有一个ve读数s∈A和s∈A(A−s=)s∈A(t∈A(ts))。排除中间规则的前提条件是,它所应用的区域可以在不引用通用蜘蛛的情况下进行描述d1 =(d2或d3)D4一XF/图16. 排除中间不适用例4.2在图16中,d1和d4的读数为一SD3D4一S或S一不D2D3一X或XS一SXF66A. 鱼,J。Flower/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 127(2005)53D1一BCSFD3D4AAB BCSCF或FS分裂存在蜘蛛X∈A(x. fAx。f=f)x∈A(x. f<$A<$s∈x. (f),且<$x∈A(x.f<$A).图d4可以通过从d2擦除阴影,删除d3中的蜘蛛s并使用d的幂等性从d1获得。图d2和d3与图d4的不同之处仅在于x.f中增加了额外的阴影和一个额外的存在蜘蛛。 但析取式d1 = d2 <$d3不能由d4推出,因为,对eachx,(x. f=f)orr( f∈x. f)成立,但不一定是(x. f=f) , 或r(f∈x.f).4.2分裂存在蜘蛛d2 =(d3或d4)图17. 分裂一个存在主义蜘蛛例4.3图17中d1和d2的读数分别为:s∈A(s.f=B)和s∈C(s.f=B)s∈A-C(s.f=B)。这些陈述是等价的(因为C从平面平铺条件中得到A一个存在蜘蛛s可以被拆分(见图17),只要s在读树中被排序在一个通用蜘蛛x之后,蜘蛛s和x在图中是独立的。d1 =(d2或d3)D4/Xs图十八岁拆分蜘蛛并不总是适用的例4.4图18中d1和d4的读数为一XfSBD2D3一BXFS或XSXS一XfBSA. 鱼,J。Flower/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 127(2005)5367一不<$x∈A(<$s∈B(x.f=s))<$$>x∈A(<$s∈A<$B(x.f=s)),且f ∈x ∈ A(f ∈ A(x.f = s)).这两个句子不等价,但d1蕴涵d4.蜘蛛s在树中排序在通用蜘蛛x之后,但s和x是相关的,这阻止了我们从d4到d1的推理。[6]我们可以通过在d2和d3中对s应用addexistential spider foot,然后应用d2的幂等性,从d1推理到d4。5用于工具构建的上一节中的规则被设计为仅对图语法进行小的更改然而,我们预计,约束图符号的用户将更喜欢使用的规则,可以更广泛地应用例如,如果用户希望从图中删除给定的失败的前提条件一个更好的回应是自动化应用其他规则,如删除存在蜘蛛或删除箭头,以准备图表,使其符合相关的先决条件,如果可能的话。这是一个不平凡的任务,以确定哪些语法元素需要编辑或删除,并以何种顺序,准备一个规则应用程序的图。我们并不期望这项任务由符号的用户承担。它旨在作为一个软件工具的一部分,用于推理与约束图。工作的负担是由工具构建者承担的,用户可以简单地使用在幕后调用算法的工具来应用规则。D1 d2stx图19. 迭代删除蜘蛛[6]在蜘蛛图系统中,证明策略和规则开发中的一个有用步骤是将图转换为α图,其中所有蜘蛛都只有一只脚。分裂存在蜘蛛的前提条件使我们无法保证每个图都可以转换为α图。一S不FXdelete existentialspider(iterative)/68A. 鱼,J。Flower/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 127(2005)53例5.1在图19中,我们再次回顾例3.5。蜘蛛s不能用3.3节定义的删除存在蜘蛛规则从d1中删除,因为s在树中排序在x之前,并且s在x的域中有一个脚。为了删除s,我们必须删除x。反过来,为了删除x,我们必须删除f。删除箭头(迭代)/xstx图20. 迭代删除箭头例5.2在图20中,我们重新回到例3.7。在3.4节中定义的删除箭头的前提条件阻止我们删除g,因为它会在图中的蜘蛛x和t然而,我们可以应用移动分支规则,在树中对x和t进行排序,然后我们可以删除g。6结论和进一步的工作这一工作是朝着发展一个健全和完整的diagrammatic推理系统,这是successfully表达是有用的软件建模。我们强调的问题和微妙之处,重复有效的规则的发展。以下语义问题将在其他逻辑系统的推理规则的开发中重现,这些逻辑系统显式地以图表形式表达量化• 量化器的不充分嵌套• 扩大量化领域,• 性能增强,• 空域。D1一DXFBGS不HCD2一DXFBS不HCS不A. 鱼,J。Flower/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 127(2005)5369我们所描述的规则已经被赋予了旨在解决这些语义问题的语法先决条件语法条件可以从一个规则改变到另一个规则,即使它们处理相同的语义问题。关于规则的简单性,存在着相互矛盾的压力。一组用户,那些对系统进行推理的人(例如,证明可靠性或生成自动校对器)想要使用对图语法做出最小改变的规则。然而,这样的规则需要有严格的先决条件,并且很少能应用于图。第二组用户使用图表进行推理,以制定软件规范。一个实用的软件工具将使这些用户能够容易地应用规则。软件应只在前置条件适用时负责运算规则,并能提供符合后置条件的结论图。对于这些用户来说,最有用的规则类型具有弱的前置条件和复杂的后置条件。为了平衡这些冲突要求,我们开发了两类规则:简单规则和迭代规则。未来的计划包括根据图变换来定义推理规则,这可能使我们能够利用现有的结果和工具环境(例如,参见[1])来进行约束图推理。引用[1] AGG:Attributed Graph Grammar System。 首席研究员:Gabi Taentzer。 网页http://tfs.cs.tu-berlin.de/agg/,2004年10月12日访问。[2] A. Fish,J. Flower and J. Howse. 约束图的读取算法。Symp.关于以人为中心的计算语言和环境,第161[3] A. 鱼,J。Flower和J.豪斯扩充约束图的语义。提交给JVLC,2004年。[4] E. 锤. 逻辑和视觉信息。 CSLI Publications,1995.[5] J. Howse,F.Molina和J.Taylor. SD2:一个完善的图解推理系统。Symp. 视觉语言,第127-136页,IEEE,2000年[6] S.肯特约束图:面向对象模型中的可视化不变量。OOPSLA97,SIGPLAN Notices,vol.32号,不。10,第327[7] S.-申杰 图的逻辑状态。 剑桥大学出版社,1994年。[8] G. Stapleton,J. Howse,J. Taylor和S.汤普森蜘蛛图能说明什么?图的理论和应用国际会议,LNAI 2980,第122-127页[9] N. 斯沃博达Euler/Venn推理系统 在《图解表示与推理》一书中,M。安德森湾,澳-地Meyer和P.Oliver编,第371-386页,Springer-Verlag,2001年。
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