算法优化算法PSAOA：概率搜索策略与跳跃机制的有效改进

’’’–0研究文章0利用概率搜索策略进行函数优化的有效算法优化算法0卢鹏a，b，孙朝浩c，吴文丽d，*0a管理学院，武汉理工大学，中国武汉，430070 b数字治理与管理决策创新研究所，武汉理工大学，中国武汉，430070c中国华融金融租赁有限公司，中国杭州，310016 d管理学院，华中科技大学，中国武汉，4300740文章信息0关键词：算法优化算法 概率搜索策略跳跃机制0摘要0本文提出了一种增强型算法优化算法（AOA）PSAOA，它结合了提出的概率搜索策略，以提高原始AOA的搜索质量。此外，还开发了一个可调参数来平衡探索和开发操作。此外，PSAOA中还包括一个跳跃机制，以帮助个体跳出局部最优解。利用29个经典基准函数对提出的PSAOA进行了广泛测试。与AOA和其他知名方法相比，实验表明，提出的PSAOA在大多数测试函数上击败了现有的比较算法。01. 引言0在最近几十年中，元启发式方法已经被广泛用于优化问题（Abualigah和Diabat，2022；Khatir等，2021）。因此，几乎可以在文献中找到几乎每个领域中这些算法的实现（Deepa和Chokkalingam，2022；Kaveh和Hamedani，2022）。例如，一些最近的最新算法，如布谷鸟搜索算法（Mareli和Twala，2018），蚱蜢优化算法（Ramachandran等，2022）和黑洞算法（Abualigah等，2022），引起了越来越多的关注，并被用于各种复杂的挑战。尽管有许多不同的元启发式算法，但创建新的算法也是常见的。因为某些算法对某些困难有效，但对其他困难无用。Abualigah等人（2021）提出了算法优化算法（AOA），部分基于上述动机。AOA利用了数学中的算术运算符。AOA提供了一种简单的实现，可以调整以解决新的优化问题。此外，AOA不需要改变许多参数。此外，AOA的随机性和0自适应参数进一步加速了搜索解决方案的发散和收敛。AOA及其衍生物在各种实际优化学科中被使用，包括机器人路径规划（Wang等，2021b），汽车巡航控制（Izci等，2022），经济负荷分配问题（Hao等，2022）和其他领域（Azizi和Talatahari，2022；Hu等，2022）。然而，原始的AOA仍然存在着较差的开发能力和容易陷入局部最优解的问题。因此，一些努力集中在改善基本AOA的性能上。Wang等人（2021b）利用并行通信技术开发了增强型AOA。同时，Izci等人（2022）创建了AOANM，将Nelder-Mead单纯形搜索与AOA相结合，以提高开发能力。尽管有这些改进，当与高维函数一起工作时，AOA仍然很难找到全局最优解。本研究的目的是提出一种新的、更好的AOA，以成功和高效地处理具有挑战性的优化问题。用于增加AOA效力的改进策略中，包括概率搜索策略、新颖的自适应参数和跳跃机制。PSAOA是新AOA的名称。PSAOA用于0*通讯作者。邮箱地址：wuwenli@hust.edu.cn（W.Wu）。0由科艾代表Elsevier提供出版服务0ScienceDirect提供目录列表0数据科学与管理0期刊主页：www.keaipublishing.com/en/journals/data-science-and-management0https://doi.org/10.1016/j.dsm.2022.08.002 2022年8月16日在线发表 2666-7649/ ©  2022 西安交通大学。由Elsevier B.V.代表科艾通信有限公司提供出版服务。本文是根据CCBY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。0数据科学与管理5（2022）163 – 174’266377(1))(5)’’L. Peng et al.Data Science and Management 5 (2022) 163–174164029个优化问题来验证其性能。该研究的贡献如下：0（a）提出的AOA具有概率搜索策略，可以以不同的概率在不同的搜索范围内进行搜索。（b）设计了一个新的自适应参数来平衡探索和开发操作。（c）引入了跳跃机制到AOA中，以帮助个体跳出局部最优解。（d）PSAOA经过29个基准函数的测试。实验结果显示，PSAOA在大多数测试函数上优于一些算法。0其余部分组织如下：第2节提供了原始AOA的概要。第3节介绍了提出的PSAOA。在第4节中，使用29个基准函数来评估PSAOA的性能。最后，第5节和第6节总结了本文并提出了一些未来的研究课题。02. AOA的基本描述0AOA的基本操作包括初始化、探索和开发。0（a）初始化。如等式（1）所示，候选解（XA）被随机生成。当前种群由矩阵XA表示。维度由DM表示。个体数量由NP表示。最佳达到的解是每次迭代的最佳解。0XA¼0xa 1 ; 1  �  xa 1 ; DM � 1  xa 1 ; DM xa 2 ; 1  �  xa2 ; DM � 1  xa 2 ; DM � � � � xa NP ; 1  �  xa NP ; DM �1  xa NP ; DM0使用等式（2）中的数学优化器加速（MOA）函数选择搜索短语作为探索或开发阶段。0MOA ð iter Þ ¼  miniter  þ  iter  � � maxiter  �miniter Miter0�（2）0其中Miter是最大迭代次数。当前迭代由iter表示。最小和最大的MOA值分别为miniter和maxiter。miniter和maxiter是在AOA开始前确定的参数值。在Abualigah等人的研究中，miniter和maxiter分别设置为0.2和1。0（b）探索。如果r1  >MOA（r1是一个随机数），则执行除法（D）或乘法（M）运算，如等式（3）所示。0xa i ; j ð iter  þ 1 Þ ¼ � best � xa j � �ð MOP þ ε Þ� �� UB j  � LB j � � μ þ LB j � ; r 2  >0 : 5 best � xa j � � MOP � �� UB j  � LB j � � μ þ LB j � ; r 2  �  0 : 50其中r2是一个随机值。best（xaj）表示最优解中的第j个位置。ε是一个小值。第j个位置的上限和下限由UBj和LBj表示。μ设定为0.5。等式（4）得出了数学优化器概率（MOP）。0MOP ð iter Þ ¼  1  � iter 1 = α0Miter 1 = α (4)0其中α是一个敏感参数，固定为5。0（c）开发。如果r1  �MOA，则执行减法（S）或加法（A）运算，如等式（5）所示。0xa i ; j ð iter  þ  1 Þ ¼ � best � xa j � �  MOP  � �� UB j  �  LB j � �  μ  þ  LB j � ;  r 3  >0 : 5 best � xa j � þ  MOP  � �� UB j  �  LB j � �  μ  þ  LB j � ; r 3  �  0 : 50最终，当前迭代的最佳解是理想解。当前的最佳适应度与先前的最佳适应度进行比较，并且较低的值被用来确定最终的最佳解。0图1显示了算术运算符的顺序，从外到内。图2显示了位置更新过程。03. PSAOA的描述03.1. PSAOA的详细信息0为了解决高维函数，AOAs经常产生局部极值。另一方面，一个好的AOA具有避免局部极值的能力。因此，提出了PSAOA方法来扩大搜索范围并避免局部最优解。0(a)提出了一种概率搜索策略。该概率搜索策略是基于不同概率随机扩大搜索空间的。概率搜索策略的详细技术在子算法1中显示。在情况 c þ 1中0图1. 算术运算符的顺序。0图2. 位置更新过程。…MOAðiterÞ ¼ sinððiter = MiterÞ � πÞ(6)(probability¼0.06)xanew: case 3(probability¼0.13)43.396.7�0.5110.419.849.6xanew: case 4(probability¼0.26)63.3116.719.5130.439.869.6xanew: case 5(probability¼0.52)83.3136.739.5150.459.889.6Table 2The obtained xanew according to probabilistic search strategy after adjust.xa3.356.7�40.570.4�20.29.6LB�100�100�100�100�100�100UB100100100100100100xanew: case 1(probability¼0.03)3.356.7�40.570.4�20.29.6xanew: case 2(probability¼0.06)23.376.7�20.590.4�0.229.6xanew: case 3(probability¼0.13)43.396.7�0.59.719.849.6xanew: case 4(probability¼0.26)63.37.919.5�0.539.869.6xanew: case 5(probability¼0.52)83.337.839.5�8.359.889.6Fig. 3. The flowchart of PSAOA.L. Peng et al.Data Science and Management 5 (2022) 163–1741650( c ¼ 1,  … ,  CC )，概率是casec的两倍，其中CC是控制扩展搜索空间的情况次数的最大值。p是0到1之间的随机值。例如，如果CC ¼ 5，那么当0 � p < 1/ 31(case 1)时，xanew ¼ xa þ ( UB /5)  �  10  �  0  �  rand (1)，其中 xanew是当前的新个体。如果 1/ 31 � p < 3/31(case 2)， xanew ¼ xa þ ( UB/5)  �  10  �  1  �  rand (1)。如果 3/ 31 � p < 7/31(case 3)， xanew ¼ xa þ( UB /5)  �  10  �  2  �  rand (1)。如果 7/031 � p < 15/31(case 4),  xanew ¼ xa þ ( UB /5)  �  10  �  3  �  rand (1).如果 15/31 � p < 1(case 5),  xanew ¼ xa þ ( UB /5)  �  10  �  4  �  rand (1).结果上，case 5的概率是case 4的两倍，case 5的搜索范围大于case4的搜索范围。获得新个体的概率是不同的。当个体的概率差异显著时，搜索空间将明显扩展。如表1所示，如果 rand (1) ¼ 0.1，LB ¼� 100，UB¼ 100，xa是在[ �100,100]范围内的随机值，那么xanew可以在不同的情况下以不同的概率获得。如果 xanew 的值超出了[ � 100,100]的范围，它将通过在[ �100,100]范围内的随机值进行调整。调整后的 xanew 如表2所示。0子算法1  通过概率搜索策略更新个体。01. 设置 CC 2.  p ¼ rand (1); 3. 对于 c ¼ 1 到 CC 做4. 如果 (2 c -1 -1)/(2 CC -1)  � p <  (2 c -1)/(2 CC -1)则 5. xanew ¼ xa þ UB / CC � 10 � ( c -1) � rand (1); 6.跳出循环 7. 结束如果 8.  结束循环 9.  返回 xanew0(b)设计了一种新的自适应MOA，如公式(6)所示。与公式(2)相比，新的自适应MOA在中间阶段具有较大的值，在开始和结束阶段具有较小的值。这种调整机制可以平衡探索和开发的操作。0(c)提出了一种跳跃机制。跳跃机制被添加以解决陷入局部极值点的问题。在基本AOA的开发操作之后，适应度0表1 在调整之前根据概率搜索策略获得的 xanew。0xa 3.3 56.7 40.5 70.4 20.2 9.60LB 100 100 100 100 100 100 UB 100 100 100 100 100 100 xanew : case 1 (probability ¼ 0.03)3.3 56.7 40.5 70.4 20.2 9.6Table 3Details of 29 benchmark functions.No.Functionsxix*f (x*)F1fðxÞ ¼ Pni¼2ix2i(�5.12, 5.12)00F2fðxÞ ¼ Pni¼2ið2x2i � x2i�1Þ2 þ ðx1 � 1Þ2(�10, 10)2ð2�2iÞ=2i0F3fðxÞ ¼ � expð � 0:5 Pni¼1x2i Þ(�1, 1)0�1F4fðxÞ ¼ Pni¼1ð106Þi � 1n � 1x2i(100, 100)00F5fðxÞ ¼ Pni¼1ix4i þ randð0; 1Þ(�1.28, 1.28)00F6fðxÞ ¼ Pn�1i¼1½100ðxiþ1 � x2i Þ2 þ ðxi � 1Þ2�(�30, 30)01F7fðxÞ ¼ Pni¼1ðPij¼1xjÞ2(�100, 100)00F8fðxÞ ¼ maxðjxij)(�100, 100)00F9fðxÞ ¼ Pni¼1jxij þ Qni¼1 jxij(�10, 10)00F10fðxÞ ¼ Pni¼1x2i(�100, 100)00F11fðxÞ ¼ Pni¼1ð⌊xi þ 0:5⌋Þ2(�100, 100)00F12fðxÞ ¼ Pni¼1jxijiþ1(�1, 1)00F13fðxÞ ¼ Pni¼1ix2i(�10, 10)00F14fðxÞ ¼ Pni¼1x2i � 450(�100, 100)0�450F15fðxÞ ¼ Pni¼1ðPij¼1xjÞ2 � 450(�100, 100)0�450F16fðxÞ ¼ � 20 exp � 0:2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1nXni¼1x2is!� exp�1nXni¼1cosð2πxiÞ!þ 20 þ e(�32, 32)00F17fðxÞ ¼ Pni¼1jxi sinðxiÞ þ 0:1xij(�10, 10)00F18f xf1 x1; x2f1 x2; x3⋯f1 xn; x1 ; f1 x; yx2y2 0:25 sin2 50 x2y2 0:11( 100, 100)00nii¼1iiþ1ni¼1iyi ¼ 1 þ 0:25ðxi þ 1Þμðxi;α;k;mÞ ¼8<:kðxi � αÞm; xi > α0; �α < xi < αkð�xi � αÞm; xi < �αF21fðxÞ ¼14000Xni¼1x2i � Qni¼1 cos� xiffiffiip�þ 1(�600, 600)00F22fðxÞ ¼ � Pn�1i¼1�exp�� x2i þ x2iþ1 þ 0:5xixiþ18!(�5, 5)01� nF23fðxÞ ¼ Pni¼1ðxi � 1Þ2 �nxixi�1(�n2; n2)iðn þ 1 � iÞnðn þ 4Þð1 � nÞ6F24fðxÞ ¼ Pni¼1�0:5 þ1Þ21CA2(�100, 100)00F25fðxÞ ¼ Pni¼1x2i10 cos 2πxi10(�5.12, 5.12)00F26fðyÞ ¼ni 1Pni¼1x2iPnj¼1x2iF28fðxÞ ¼ni 1fkmaxk 0½akcosð2πbkðxi þ 0:5ÞÞ�g � nF29fðxÞ ¼ Pk¼1Pj¼1!–1660F19 f ð x Þ ¼  f 1 ð x 1 ;  x 2 Þ þ  f 1 ð x 2 ;  x 3 Þ þ  �  þ  f 1 ð x n ;  x 1 Þ ;  f 1 ð x ;  y Þ ¼  0 : 5  þ � sin 2 � ������� x 2 þ  y 2 p � �  0 : 5 �.� 1  þ  0 : 001 � x 2 þ  y 2 � � 2 ( � 100, 100) 0 00� cos ð 4 ���������������������������������������� x 2 i þ  x 2 i þ 1 þ  0 : 5 xi x i þ 1 q Þ0sin 2 ð ������������������������������������������������� 100 x 2 i þ  x 2 i þ 1q Þ �  0 : 50y2i - 10 cos（2πyi）+ 10 - yi = -xi; |xi| < 1 = 2 round（2xi）= 2; |xi| <= 1 = 2（-5.12,5.12）000F27 f（x）= 1 - cos（2π（0s0+ 0.10s0））（-100,100）000k = 0 ½ a kcos（2πbk - 0.5）0a = 0.5; b = 0.0（-0.5,0.5）000y2jk 4000 - cos yjk + 10; y jk = 100 - xk - x2j-2 + 1 - x2j-2（-100,100）100L. Peng et al.数据科学与管理5（2022）163-174’––1670在每次迭代中测量所有个体的值。如子算法2所示，大约最后25%的个体使用概率搜索策略进行调整。0子算法2 跳转机制。01. Ssort = sort(适应度)//利用后对个体的适应度进行排序。2. 对于i =1到NP执行3. 如果适应度(xai) <= Ssort(round(NP/4))则执行4.子算法1。//概率搜索策略5. xanewlast = MOP * xanew6. 否则xanewlast =xa7. 结束如果8. 结束对9. 返回xanewlast0PSAOA的流程图如图3所示。PSAOA的伪代码如算法1所示。算法1PSAOA的伪代码01. 初始化a，u，CC，NP，D，Miter。2. 随机初始化个体。3.子算法1。//概率搜索策略4. 计算个体的适应度并获得理想解。5. 当（iter MOA，则执行11. //探索12. 如果r2 > 0.5，则执行13.使用公式（3）的除法运算符（D）。14.否则使用公式（3）的乘法运算符（M）。15. 否则执行16. //利用17. 如果r3 >0.5，则执行18. 使用公式（5）的减法运算符（S）。19.否则使用公式（5）的加法运算符（A）。20. 否则执行21. 结束如果22.结束如果23. 结束对24. 计算个体的适应度。25. 结束对26.子算法2。//跳转机制27. 计算适应度并获得当前最佳解。28. Iter = Iter +129. 结束当03.2. PSAOA的计算复杂度0PSAOA的计算复杂度主要由初始化、概率搜索、探索、利用和跳转操作确定。初始化操作的计算复杂度为O（NP）。概率搜索策略的计算复杂度为O（NP *DM）。探索和利用操作的计算复杂度为O（NP * Miter *DM）。跳转机制操作的计算复杂度为O（NP * Miter *DM）。因此，PSAOA算法的复杂度为O（NP * Miter * DM）。04. 实验测试和分析0第4.1节深入讨论了每个29个比较函数。0第4.2节详细讨论了比较方法和相关参数设置。第4.3节总结了每个比较算法在不同问题维度和不同迭代中的比较结果。04.1. 基准函数0表3列出了29个知名的基准函数（Wang等，2016年）。对这些函数获得全局解是困难的。因此，这29个基准函数适用于测试PSAOA的性能。04.2. 用于比较的算法0为了测试PSAOA的性能，将PSAOA与基本AOA（Abualigah等，2021年），粒子群优化（PSO）（Wang等，2019年），果蝇优化算法（FOA）（Pan，2012年）和正弦余弦算法（SCA）（Mirjalili，2016年）进行比较。这些算法是解决优化问题的优秀方法（Attia等，2018年；Malik等，2021年；Peng等，2020年）。为了进行适当的比较，迭代分别为500和1000。人口规模分别为30、50和100。每个算法独立执行20次，以获得可靠的统计结果。参数如表4所示。所有实验都在Matlab（2020a）中进行，并使用一台配备Intel（R）Core（TM）i5-4210 UCPU @1.70 GHz，8 GB RAM和Windows 8.1操作系统的计算机。04.3. 不同维度下的比较0中位数和标准差（Std）显示在表5 –10中。最小的中位数用粗体表示。研究问题的部分收敛结果显示在图4中。研究结果如下：0（a）当n = 30且Miter =500时，PSAOA在F4，F6，F7到F8，F10，F18到F19，F21和F27的中位数值方面优于AOA，PSO，FOA和SCA。对于F1到F3，F9，F11到F17，F22，F24到F26和F28到F29，解的质量非常相似。对于F5，F20和F23，与AOA，PSO，FOA和SCA相比，PSAOA的解很差。当n = 100且Miter =1,000时，PSAOA在F4，F7到F10，F13，F17到F21，F24，F27和F29的中位数值方面优于AOA，PSO，FOA和SCA。对于F1到F3，F11到F12，F14到F16，F22，F25到F26和F28，解的质量非常相似。对于F5，F6和F23，与AOA，PSO，FOA和SCA相比，PSAOA的解很差。对于其他n和Miter的组合，结果类似。因此，PSAOA在大多数基准函数上优于AOA，PSO，FOA和SCA。0表4 参数设置。0算法 参数 值0PSO 认知和社会常数 c1 = c2 = 2 惯性权重 0.4至0.9 速度限制 维度范围的20% FOA 扰动放大因子0.3 SCA 随机值 r2 [0, 2π] 随机值 r3 [0, 2] 随机值 r4 [0, 1] AOA maxiter 1 miniter 0.2 a 5 u 0.499PSAOA CC 5 a 5 u 0.4990L. Peng等人 数据科学与管理 5 (2022) 163 – 174–’’’–1680（b）标准差（Std）用于评估计算稳定性。如表5 –10所示，PSAOA在大多数29个函数的标准差方面优于其他算法。PSAOA大多数函数的标准差为零。因此，PSAOA优于其他算法。（c）PSAOA的结果与大多数29个函数的最优解没有差异。（d）如表11所示，尽管PSAOA的运行时间高于其他算法，但仍然可以接受。05. 讨论029个基准函数的结果显示，PSAOA在大多数情况下比AOA，PSO，FOA和SCA更好，如第4.3节所示。事实上，比较是合适的。首先，这些比较技术在当前研究中取得了非常好的性能，并且参数也是根据现有文献的建议选择的。其次，这些技术在不同维度和迭代中进行了比较。这几种情况证实了PSAOA的出色性能。主要原因如下：0表5 五种算法的比较（n = 30，Miter = 500）。0函数 PSAOA AOA SCA FOA PSO01 中位数 0.00E þ 00 0.00E þ 00 6.90E � 02 1.09E � 01 1.11E þ 00 标准差 0.00E þ 00 0.00E þ 00 1.18E þ 00 1.11E � 01 1.58E � 01 2 中位数 6.67E � 01 6.67E � 01 4.52E þ 01 1.09E þ 00 1.00E þ 00 标准差 6.90E � 076.93E � 09 4.22E þ 02 9.08E � 02 2.47E � 01 3 中位数 ¡ 1.00E þ 00 ¡ 1.00E þ 00 ¡ 1.00E þ 00 � 9.94E � 01 ¡ 1.00E þ 00 标准差 0.00E þ 00 0.00E þ 00 9.04E � 04 3.08E � 03 1.03E � 02 4 中位数 0.00E þ 00 5.05E � 706.14E þ 02 8.18E þ 02 2.90E þ 03 标准差 0.00E þ 00 9.90E � 17 9.93E þ 02 5.67E þ 02 1.37E þ 03 5 中位数 2.99E � 04 5.45E � 05 8.24E � 02 2.34E � 02 2.75E � 02 标准差 2.66E � 04 5.64E � 05 5.80E � 02 1.06E � 022.15E � 02 6 中位数 2.84E þ 01 2.85E þ 01 7.78E þ 03 2.88E þ 01 3.27E þ 01 标准差 2.74E � 01 3.25E � 01 1.88E þ 05 1.36E � 01 1.25E � 01 7 中位数 0.00E þ 00 3.51E � 24 9.62E þ 03 2.27E þ 00 1.01E þ 00标准差 0.00E þ 00 2.52E � 02 5.20E þ 03 1.91E þ 00 3.86E � 01 8 中位数 0.00E þ 00 4.56E � 06 3.52E þ 01 1.58E � 02 5.00E � 02 标准差 0.00E þ 00 2.03E � 02 1.28E þ 01 7.02E � 03 7.12E � 18 9 中位数 0.00E þ 000.00E þ 00 4.25E � 03 5.03E � 01 6.16E � 14 标准差 0.00E þ 00 0.00E þ 00 3.81E � 02 1.50E � 01 5.45E � 01 10 中位数 0.00E þ 00 2.26E � 100 3.79E þ 00 8.16E � 03 7.16E � 02 标准差 0.00E þ 00 1.28E � 12 1.67E þ 013.62E � 03 4.34E � 03 11 中位数 0.00E þ 00 0.00E þ 00 3.50E þ 00 0.00E þ 00 0.00E þ 00 标准差 0.00E þ 00 0.00E þ 00 2.02E þ 01 0.00E þ 00 0.00E þ 00 12 中位数 0.00E þ 00 0.00E þ 00 1.24E � 06 2.25E � 041.32E � 09 标准差 0.00E þ 00 0.00E þ 00 1.36E � 03 1.47E � 04 1.90E � 04 13 中位数 0.00E þ 00 0.00E þ 00 3.03E � 01 1.39E � 01 1.96E � 27 标准差 0.00E þ 00 0.00E þ 00 5.53E þ 00 1.25E � 01 4.49E � 01 14 中位数¡ 4.50E þ 02 ¡ 4.50E þ 02 � 4.45E þ 02 ¡ 4.50E þ 02 ¡ 4.50E þ 02 标准差 0.00E þ 00 5.94E � 09 1.19E þ 01 5.13E � 03 7.76E � 03 15 中位数 ¡ 4.50E þ 02 ¡ 4.50E þ 02 � 3.65E þ 02 ¡ 4.50E þ 02 ¡ 4.50E þ 02 标准差0.00E þ 00 1.30E � 14 1.29E þ 04 1.83E � 03 7.33E � 03 16 中位数 8.88E ¡ 16 8.88E ¡ 16 1.97E þ 01 6.70E � 02 3.28E � 01 标准差 0.00E þ 00 0.00E þ 00 8.59E þ 00 3.64E � 02 1.48E � 02 17 中位数 0.00E þ 00 0.00Eþ 00 1.78E � 01 5.72E � 02 6.16E � 15 标准差 0.00E þ 00 0.00E þ 00 1.59E þ 00 2.56E � 02 9.60E � 02 18 中位数 0.00E þ 00 1.58E � 41 7.49E þ 00 5.38E þ 00 1.09E þ 01 标准差 0.00E þ 00 6.08E � 33 5.04E þ 009.35E � 01 5.66E � 01 19 中位数 0.00E þ 00 0.00E þ 00 1.02E þ 01 1.85E � 02 1.39E � 01 标准差 0.00E þ 00 0.00E þ 00 5.97E � 01 1.18E � 02 8.86E � 03 20 中位数 5.60E � 01 5.25E � 01 1.12E þ 01 1.75E þ 00 4.02E �01 标准差 9.36E � 02 5.18E � 02 1.39E þ 05 2.28E � 02 1.36E � 01 21 中位数 0.00E þ 00 1.64E � 01 9.01E � 01 7.04E � 04 4.17E � 03 标准差 0.00E þ 00 1.11E � 01 2.81E � 01 2.34E � 04 5.02E � 04 22 中位数 ¡ 2.90E þ 01¡ 2.90E þ 01 � 2.44E þ 01 � 2.88E þ 01 ¡ 2.90E þ 01 标准差 0.00E þ 00 0.00E þ 00 4.59E þ 00 1.14E � 01 4.80E � 01 23 中位数 � 2.41E þ 00 2.32E þ 06 4.49E þ 03 � 2.44E þ 01 ¡ 4.70E þ 01 标准差 5.91E þ 00 9.64Eþ 05 3.71E þ 04 1.86E þ 01 7.34E þ 01 24 中位数 0.00E þ 00 0.00E þ 00 4.10E þ 00 2.88E � 02 1.35E þ 00 标准差 0.00E þ 00 4.59E � 01 2.29E � 01 6.72E � 02 1.46E � 01 25 中位数 0.00E þ 00 0.00E þ 00 3.51E þ01 1.83E þ 00 1.39E þ 01 标准差 0.00E þ 00 0.00E þ 00 3.21E þ 01 1.49E þ 00 7.14E � 01 26 中位数 0.00E þ 00 0.00E þ 00 6.66E þ 01 1.78E þ 00 1.39E þ 01 标准差 0.00E þ 00 0.00E þ 00 3.84E þ 01 1.41E þ00 9.92E � 01 27 中位数 0.00E þ 00 9.95E � 02 1.24E þ 00 9.95E � 02 9.95E � 02 标准差 0.00E þ 00 2.39E � 08 6.24E þ 00 2.98E � 08 4.67E � 04 28 中位数 ¡ 1.07E � 14 ¡ 1.07E � 14 6.75E þ 00 1.77E þ 01 1.69E þ 01标准差 0.00E þ 00 0.00E þ 00 6.55E þ 00 3.24E þ 00 2.32E þ 00 29 中位数 4.14E þ 02 4.14E þ 02 5.99E þ 11 4.32E þ 02 5.42E þ 02 标准差 1.17E � 13 2.20E þ 15 1.58E þ 01 9.24E þ 00 1.17E � 130最小的中位数用粗体表示。0L. Peng等人 数据科学与管理 5 (2022) 163 – 174–1690表6 五种算法的比较（n=30，Miter=1,000）。0功能PSAOA AOA SCA FOA PSO01 中位数 0.00E+00 0.00E+00 3.56E-05 5.44E-02 1.10E+00 标准差 0.00E+00 0.00E+00 1.44E-03 3.88E-02 1.03E-01 2 中位数 6.67E-01 6.67E-01 1.09E+00 1.04E+00 1.00E+00 标准差 5.19E-07 4.46E-092.70E+00 3.20E-02 2.12E-01 3 中位数 -1.00E+00 -1.00E+00 -1.00E+00 -9.97E-01 -9.99E-01 标准差 0.00E+00 0.00E+00 5.67E-07 1.49E-03 1.47E-02 4 中位数 0.00E+00 5.78E-176 3.46E-02 3.27E+023.39E+03 标准差 0.00E+00 5.31E-92 2.04E+01 1.69E+02 1.06E+03 5 中位数 1.11E-04 1.30E-05 3.82E-02 2.32E-02 3.66E-02 标准差 1.29E-04 5.01E-05 2.57E-02 9.41E-03 2.20E-02 6 中位数 2.82E+012.82E+01 3.50E+01 2.87E+01 2.90E+01 标准差 3.00E-01 4.17E-01 2.04E+02 7.55E-02 1.81E+00 7 中位数 0.00E+00 7.46E-93 2.00E+03 1.17E+00 1.05E+00 标准差 0.00E+00 6.99E-03 3.17E+03 8.63E-015.42E-01 8 中位数 0.00E+00 6.83E-58 1.77E+01 1.17E-02 5.00E-02 标准差 0.00E+00 1.97E-02 1.16E+01 3.14E-03 7.12E-18 9 中位数 0.00E+00 0.00E+00 5.76E-06 3.76E-01 6.16E-14 标准差 0.00E+000.00E+00 2.89E-05 1.36E-01 2.95E-01 10 中位数 0.00E+00 5.39E-183 2.51E-03 3.06E-03 7.16E-02 标准差 0.00E+00 6.49E-67 9.90E-03 3.25E-03 5.00E-03 11 中位数 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+000.00E+00 0.00E+00 标准差 0.00E+00 0.00E+00 4.47E-01 0.00E+00 0.00E+00 12 中位数 0.00E+00 0.00E+00 6.07E-12 9.48E-05 1.48E-06 标准差 0.00E+00 0.00E+00 3.73E-06 1.04E-04 1.77E-04 13中位数 0.00E+00 0.00E+00 7.82E-05 4.58E-02 1.96E-27 标准差 0.00E+00 0.00E+00 1.61E-03 4.39E-02 2.60E-01 14 中位数 -4.50E+02 -4.50E+02 -4.50E+02 -4.50E+02 -4.50E+02 标准差 0.00E+000.00E+00 5.68E-02 3.21E-03 3.85E-03 15 中位数 -4.50E+02 -4.