补偿求和算法的离散随机验证

−∞∞可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记317（2015）55-69www.elsevier.com/locate/entcs补偿求和算法的随机算法验证S. Graillat，a，1F. J'ez'equel a，b，2和R. Picot a，3aSorb onneUniversit'es，UPMCUnivParis06，UMR7606，LIP6，F-75005，Paris，FranceCNRS，UMR 7606，LIP6，F-75005，Paris，FrancebUniversit′ePanth′eon-Assas，12placeduPanth′eon，F-75231ParisCEDEX05，France摘要补偿求和算法的目的是提高病态和的精度。 他们是基于算法，如FastTwoSum，这是证明提供，四舍五入到最近，两个小数点的数字和相关的舍入误差。离散随机算法使人们能够估计舍入误差传播的数字代码。它需要一个随机舍入模式，该模式包括以相同的概率将每个计算结果向在本文中，我们分析的影响，这种随机舍入模式的基础上补偿和FastTwoSum算法。我们证明了在离散随机算法控制的关键词：浮点运算，舍入误差，离散随机运算，无误差变换，补偿算法，求和算法，CADNA1引言计算资源的能力不断增强。Exascale计算（每秒10- 18次运算）计划在十年内实现。在浮点运算中，每一次运算都可能产生舍入误差.这些误差会累积，在计算结束时，计算结果可能与精确结果相差甚远。此外，执行的操作越多，舍入误差的累积可能越重要。因此，有一些关于计算结果的数值质量（例如精确有效位数）的信息是至关重要的。1电子邮件：stef. lip6.fr2电子邮件：fabienne. lip6.fr3电子邮件：romain. lip6.frhttp://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2015.10.0071571-0661/© 2015作者。出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。56S. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）55为了回答这个问题，已经开发了一个称为CADNA的数字库[1]。它实现了离散随机算法（DSA）[2]，并使其能够提供计算结果的置信区间但如果计算结果的精度不够，则有必要提高计算精度一个众所周知的和有效的技术是使用补偿算法。这些算法是基于这样一个事实，即它往往是可能的，以精确计算一些基本操作，如加法和乘法的舍入误差。我们现在假设我们与符合IEEE754 -2008标准的浮点运算[3]。在这种情况下，如果我们使用四舍五入到最近，那么加法的四舍五入误差是一个可以精确计算的小数点。能够计算舍入误差的算法称为无误差变换（EFT）。依靠EFT来提高精度的算法称为补偿算法（参见[4]）。然而，如果我们使用定向舍入，则浮点加法的误差不一定是浮点数。然而，DSA中需要定向的重复。因此，目前还不清楚我们是否可以使用随机算术来验证一些严重依赖于使用无错误转换的数字代码。在这篇文章中，我们表明，我们可以使用随机算法来验证补偿求和。存在用于求和的若干补偿算法。第一个是Kahan另一个是Priest的双补偿求和算法（见[6]或[7]的第4章）。本文主要讨论Ogita、Rump和Oishi [8]提出的补偿算法在第2节中，我们给出了一些定义和符号在续集中使用。在第三节中，我们介绍了DSA的原理。在第4节中，我们分析了有向加法对EFT的影响，即FastTwoSum算法[9]。我们在第5节中表明，我们仍然可以使用具有补偿求和的随机算术。第6节确认了算法的准确性并显示了性能。2定义和符号在本文中，我们假设使用符合IEEE 754浮点标准的二进制浮点运算[3]。我们假设没有过流发生。取整点数的集合用F表示，相对舍入误差用u表示。对于IEEE 754双精度，u= 2−53，对于单精度u= 2−24。我们用y**（·）表示一个浮点运算的结果，其中括号内的所有运算都是以浮点工作精度进行的，具有定向舍入（即朝向−∞或+∞）。IEEE 754中的浮点运算满足[7]ε1∈R，ε2∈R，使得当ε = { +，−}时，ε *（a b）=（a b）（1 + ε1）=（a b）/（1 + ε2），|εν|≤2 u。S. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）5557N，其中R =Ri− R这意味着|≤2 u |a|和|a b − *（a b）|≤ 2 u |*（a、b）|对于{ +，−}。|for ◦ ={+, −}.我们使用标准符号进行误差估计。量γn通常定义为[7]：nuγn（u）：=1−nu ，其中n∈N，其中我们隐含地假设nu≤1。3离散随机算术（DSA）原理基于概率方法，CESTAC方法[10]允许估计舍入误差传播，该传播发生在浮点运算中。它使用随机舍入模式，该模式包括将每个计算结果舍入为- ∞或+∞的概率相同。 计算机的确定性算法是由随机算术代替，其中每个算术运算在执行下一个算术运算之前执行N次，从而每次不同地传播舍入误差。因此，对于每个计算结果，CESTAC方法用N个样本R1，.，RN.计算结果R的值被选择为{Ri}的平均值，如果没有出现过低，则R中的精确有效位数可以估计为. 你好R. Σ1 ΣRστβN1美元。Σ2N −1 i=1τβ是N −1个自由度和概率水平1 − β的学生分布的值如果乘法中的两个操作数或除法中的除数都不重要，则CR的有效性会受到影响[11]。重要的是，这些数字没有发现和报告重大事件。因此，必须动态控制乘法和除法，以便执行所谓的方法自验证这种控制的需要导致了计算零点的概念[12]。计算结果是计算零，用@表示。0，如果Ri，Ri= 0或CR≤0。这意味着计算零要么是数学零，要么是没有任何意义的数字，即数字噪声。为了建立算术运算符和关系运算符之间的一致性，离散随机关系[13]定义如下。设X={Xi}和Y={Yi}是用CESTAC方法计算的两个结果，(i) X= Y当且仅当X-Y =@。0,(ii) 当且仅当X> Y且X-Y =@。0,(iii) X≥ Y当且仅当X ≥ Y或X-Y =@。0.离散随机算法（DSA）是CESTAC方法、计算零点概念和离散随机关系的组合[2]。NC= log10i=1Ri和σ2=.（一）58S. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）55CADNA 4软件[1]是一个实现DSA的库，N = 3，β = 0。05.与计算保证结果的区间算术不同，CADNA软件以95%的概率提供任何计算结果的精确有效位数CADNA允许使用新的数值类型：随机类型。在实际应用中，经典的离散点变量被相应的随机变量所代替，这些随机变量由三个扰动离散点值组成当一个随机变量被打印出来时，只有它的精确有效数字出现。由于该库包含所有算术运算的定义和随机类型的顺序关系，因此在程序中使用CADNA只需要进行一些修改：变量声明和输入/输出语句的基本更改。在执行过程中，CADNA可以检测数值不稳定性，这通常是由于存在数值噪声。当检测到数值不稳定时，专用CADNA计数器递增。在运行结束时，这些计数器的值连同适当的警告消息一起打印在标准输出上。4FastTwoSum与忠实舍入如果使用遵循IEEE 754标准的二进制浮点系统执行算法1[9]，其中次正规数可用，并且提供具有舍入到最近的正确舍入，则其计算两个浮点数s和t，使得• s+t=a+b;• s是最接近a+b的浮点数。算法1FastTwoSumfunction [s，t] =FastTwoSum（a，b）1：如果|B| ≥ |一|然后2：交换a和b3：如果结束4：s←a+b5：z←s−a6：t←b−z如果执行算法1时四舍五入到最近，则浮点数t是a和b的浮点加法的误差在另一种舍入模式下，该误差可能无法精确表示（[14]第125页）。 在[15]中，给出了FastTwoSum算法在a和b上的条件，以提供关于a和b的定点加法和定向舍入。在本文中，我们的目的是分析的影响，随机舍入模式所需的DSA算法1。因此，在本节的其余部分，算法1中的任何算术运算都使用第2节中定义的 ** 函数进行舍入。 结果4URL地址：http://www.lip6.fr/cadnaS. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）555922在本节中给出的已经使用Sterbenz引理建立作为一个注释，Sterbenz引理在有向舍入下是有效的。在第4节和第5节中提出的命题中，我们假设在下式中可能发生，因为在这种情况下，如果有次正规数，则加法或减法不会产生舍入误差[17]。引理4.1（Sterbenz）在一个次正规数可用的浮点系统中，如果x和y是有限浮点数，使得y/2 ≤ x ≤ 2 y，则x-y是精确可表示的。在[15]中，证明了算法1中的浮点数z是用有向舍入精确计算的。对于随机舍入模式，此属性也是如此为了完整起见，下面详细介绍了相关的证明命题4.2算法1使用定向舍入提供的浮点数z是精确计算的，即z = s-a。证据 让我们区分两种情况。(i) a、b≥0：因为0≤b≤a，a≤a+b≤ 2a（2）从函数的单调性，我们推出a≤n*（a+b）≤2a（3）然后a≤s≤2a（4）根据Sterbenz(ii) a≥0，b≤ 0：• 如果-b≥a，则一a≥ −b≥2（5）因此，由于斯特本茨引理，a−（−b）可以精确表示因此s=a+b表示z=s-a。• 如果-b−2（6）一a≥a+b>2（7）60S. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）55从函数的单调性，我们推出一a≥s≥2（8）因此，根据斯特本茨S. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）5561两种情况a，b≤0和a≤0，b≥ 0有一个类似的证明，主要使用−a和-b。Q通常，算法1使用定向舍入计算的校正t不同于a和b之和的舍入误差e。我们在下面建立t和e之间的关系。命题4.3设s和t为a和b的逐点相加和修正，两者都是通过算法1使用定向舍入计算的。设e为s的误差：a + b = s + e。然后|≤2u| e|.|.证据 根据命题4.2，z是精确计算的。然而，对于定向舍入，t可能无法精确计算所以δ∈R存在使得t=b−z+δ（9）和|≤ 2 u| b − z|.|.（十）根据命题4.2，我们推导出|≤ 2 u| a + b − s|（十一）|(11)设e为a和b的交点加法的误差，则a+b=s+e（12）与|≤ 2 u| a+ B|.|.（十三）从方程（11）和（12），我们推导出关于|δ|为|e− t|：|≤ 2 u| e|（十四）|(14)Q5带忠实舍入的计算求和的经典算法是递归算法2。算法2n个浮点数p={pi}的求和62S. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）55函数res=Sum（p）1：s1←p12：fori= 2 tondo3：si←si−1+pi4：endfor5：res←snS. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）5563i=1i=1Σ对n∈R，对p∈F，1≤i≤n. Lets：=pi和如果we表示bys=<$npi，则精确求和，S=<$n|pi|和保留的计算求和，可以显示[7]|s−res|≤γn−1（2 u）|S|与定向的这种准确性在实践中有时是不够的。当条件数|S|/S很大（大于1/u），那么递归算法甚至不会返回一个正确的数字。在图1和算法3[8]中，一个补偿方案，以评估和提出了一种新的计算方法，即对个别求和的误差进行了修正。实际上，利用算法1（FastTwoSum），可以计算舍入误差。算法1可以级联并将误差求和为普通计算总和。···v⊕Fig. 1.补偿求和算法算法3n个浮点数的补偿求和p={pi}函数res=FastCompSum（p）1：π1←p1第二章： σ1←0第三节： 对于i= 2到n，4：[πi，qi]←FastTwoSum（πi−1，pi）5：σi←σi−1+qi6：结束7：res←πn+σn假设算法3是四舍五入到最近的，在[8]中建立的结果精度的界限在命题5.1中被调用。命题5.1假设应用FastCompSum算法，并进行舍入S：=|pi|. 我不知道，2nu|≤u| S |+ γ n− 1（u）S，其中γ n（u）= 1 − n u。|+ γn−1 (u) Swith γn (u) = 1 −nu.（十五）我们的目的是分析随机舍入模式对算法3的影响。在[15]中，给出了定向舍入对补偿求和的影响。然而，[15]中考虑的算法与算法3略有不同。此外，在[15]中，假设使用一次舍入来执行求和p2vp3vp）π2FastTwoSum）FastTwoSumπ3）vpn−1pnvπn−2 ）FastTwoSumπn−1）FastTwoSumπn）vQ2v年q3vqn−1vQnv⊕ ⊕···⊕ ⊕64S. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）55Σ∈ ≤ ≤Σ1ΣΣi=1I=2模式，而DSA需要频繁改变舍入模式。如果算法3以随机舍入模式执行，则EFT不再精确。然而，在命题5.2中表明，通过定向舍入获得的精度与命题5.1中给出的精度相似。因为在命题5.1的证明中，允许舍入模式改变，所以我们对算法3与DSA产生的误差有一个上限。作为注释，在本文中，u具有一个独立于roundind模式的常数值，前面在第2节中提到过。命题5.2让我们假设FastCompSum算法被应用于有向舍入的浮点数piF，1 i n。设s：=pi且S：=|.|. Ifnu2，then22NU|≤2u| S |+ 2（1 + 2 u）γ n（2 u）S，其中γ n（2 u）= 1 − 2 n u。|+2(1 + 2 u) γn (2 u) Swith γn (2 u) = 1 −2 nu.（十六）证据 设ei为πi−1和pi（i = 2，.. n）：πi+ei=πi−1+pi（17）第4.3章，|≤2u| ei|（十八）|(18)因为s是n个浮点数pi的精确加法，πn是相关的浮点加法，n ns=πpi=πn+πei（19）在随机舍入模式下，使用算法3计算的浮点数res的误差为|为|n*（π n + σ n）− s|（二十）|(20)因此|为|（1 + ε）（π n + σ n）− s|与|ε|≤ 2u（21）|≤ 2 u(21)和|为|（1 + ε）（π n + σ n − s）+ ε s|（二十二）|(22)根据等式（19），n|为|（1 + ε）（σ n − e i）+ ε s|（二十三）|(23)I=2因此n|≤（1+2u）| σn − ei|+2U|S|（二十四）|(24)S. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）5565I=266S. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）55I=2.ΣΣI=2I=2I=2I=2I=2I=2I=2I=2I=2让我们共同努力，|σn−nei|.无无无无无无无|≤| σ n − <$qi|+的|阿克伊-阿克埃伊|（二十五）|(25)σn的误差为[7]I=2I=2I=2I=2n n|≤γ n − 2（2 u）| QI|（二十六）|(26)根据等式（18），n n n|≤2 μg| ei|（二十七）|(27)因此，根据等式（26）和（27），n n n|≤γ n − 2（2 u）| QI|+2u|ei|（二十八）|(28)让我们首先评估一下，|ei|然后是一个向上的perboundon卢恩|QI|. 让我们用归纳法来说明，nI=2nΣ|ei| ≤γn−1（2 u）|pi|（二十九）从等式（17）中，我们推导出如果n= 2，π2+e2=π1+p2和π1=p1（30）因此|1）（2）（|p 1|+的|p2|）（31）|)(31)让我们假设方程（29）对n成立，并且增加了一个额外的浮点数pn+1。然后πn+1= π*（πn+pn+1）（32）从[7]，πn+1= π*n+1个i=1piΣ（三十三）n+1个|≤（1 + γ n（2 u））| pi|（三十四）|(34)i=1设en+1是πn和pn+1的定点加法的误差：I=2i=1S. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）5567πn+1+en+1=πn+pn+1（35）68S. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）55ΣI=2I=2i=1I=2I=2I=2I=2i=1I=2I=2i=1i=1根据等式（34），n+1个|≤2 u| πn +1|≤2 u（1 + γ n（2 u））| pi|（三十六）|(36)i=1因此，假设等式（29）对于n为真，n+1n +1Σ|ei| ≤（γn−1（2 u） +2u（1+γn（2 u）<$|pi|（三十七）I=2从附录中的命题A.1，我们推导出i=1n+1n +1Σ|ei| ≤γn（2 u）|pi|（三十八）因此，通过归纳，方程（29）为真。让我们共同努力，|QI|：n n nΣ|QI| ≤Σ|ei|公司简介|qi−ei|（三十九）根据等式（18）和（29），n n nΣ|QI| ≤γn−1（2 u）|pi|+2u|ei|（40）根据等式（29），n n nΣ|QI| ≤γn−1（2 u）|pi|+2uγn−1（2 u）|pi|（四十一）因此n nΣ|QI| ≤（γn−1（2 u） +2uγn−1（2 u））<$|pi| （四十S. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）5569I=2i=1I=2i=1i=1二）i=2i =1从附录中的命题A.2，我们推导出n nΣ|QI| ≤γn（2 u）|pi|（43）从等式（28）、（29）和（43），我们推导出：n n n|≤γ n − 2（2 u）γ n（2 u）<$| pi|+2 u γ n −1|pi|（四十四）|(44)70S. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）55nnnI=2i=1因此n n|≤（γ n − 2（2 u）γ n（2 u）+ 2 u γ n − 1（2 u））<$| pi|（四十五）|(45)从附录中的命题A.3，我们推导出n n|≤2 γ 2（2 u）Ω| pi|（四十六）|(46)i=2i =1因此，根据等式（24）和（46），|≤2u| S|+ 2（1 + 2 u）γ 2（2 u）|pi|（四十七）|(47)i=1Q6数值结果在这里介绍的数值实验中，使用Sum和FastCompSum算法，使用CADNA库以双精度计算200个随机生成的浮点数之和。在图2中，可以观察到由CADNA根据等式（1）估计的结果的精确有效位数。使用Sum算法，如果条件数增加，结果的精确有效位数减少，并且对于大于1015的条件数，结果没有更多的正确位数。使用FastCompSum算法，只要条件数小于1015，补偿求和算法就能产生具有最大精度的结果（双精度的15个精确有效位）。对于大于1015的条件数，精度下降，并且对于大于1030的条件数没有更多的正确数字。CADNA提供的结果与补偿求和算法[7]的已知特性一致：在当前精度下，FastCompSum算法计算的结果可能是工作精度的两倍。在执行过程中检测到的数值不稳定性的数量取决于条件数。这 些 数 值 不 稳 定性 有 各种 类 型 ：• 使用求和算法，· 抵消（两个非常接近的值相减，导致精度突然下降• 使用FastCompSum算法，· 取消· 不稳定的分支（由于操作数之间的非显著差异，关系测试）· 绝对值函数中的无意义参数。S. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）557116141210864201 1000001e+101e+151e+201e+251e+301e+351e+40条件数图二. CADNA使用Sum和FastCompSum算法以及200个随机生成的浮点数估计由于不执行乘法和除法，因此无法检测到与DSA的自验证相关的不稳定性表1列出了以双精度计算的100 000个浮点数的总和的执行时间在2.83 GHz的Intel Core 2 quad Q9550 CPU上使用g++版本4.8.3测量了有和没有CADNA的执行时间。代码使用CADNA运行，具有两种不稳定性检测：• 检测各种不稳定性;• 未检测到不稳定性。在这种模式下，无论选择何种不稳定性检测，执行时间都可以被通常不建议使用此模式，因为它不启用DSA的自验证。然而，如前所述，使用求和算法，没有不稳定性可以使准确度的估计根据表1，FastCompSum算法相对于经典求和的成本在没有CADNA的情况下约为6，在有CADNA的情况下从4到9不等，这取决于不稳定性检测的水平。如果没有激活不稳定性检测，CADNA的执行时间成本从10到15不等。如果检测到任何不稳定性，则由于消除检测的高成本，7结论和展望在这篇文章中，我们已经表明，我们可以验证补偿求和的基础上FastTwoSum算法与离散随机算术，即使EFT是无效的，因为我们使用定向舍入模式。在未来的文章中，我们将把这种分析推广到其他EFT，如TwoSum和TwoProduct。然后我们将看到，仍然可以使用离散随机算法来验证点积和多项式求值的补偿算法（补偿霍纳方案）。SumFastCompSum精确有效位72S. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）55总和执行不稳定检测执行时间（s）比IEEE-3.25E-041CADNA所有不稳定性1.40E-0243.2无不稳定性3.40E-0310.5FastCompSum执行不稳定检测执行时间（s）比IEEE-2.00E-031CADNA所有不稳定性6.11E-0230.6无不稳定性2.98E-0214.9表1100 000个浮点数总和的有无CADNA的执行时间确认用户希望感谢EDF（Electricit'eDeFrance）的财务支持。引用[1] F. J'e z'equel和J. - M. 切斯诺 CADNA：用于估计舍入误差传播的计算器。Computer Physics Communications，178（12）：933[2] J. Vignes离散随机算法，用于验证数值软件的结果。 数值算法，37（1[3] IEEE计算机协会。IEEE浮点运算标准。IEEE标准754-2008，2008年8月[4] J. - M. Chesneaux，S. Graillat和F. 我也一样。 计算机科学与工程百科全书，第4卷，舍入误差一章，第2480-2494页。Wiley，2009年。[5] W. 卡汉关于减少截断误差的进一步说明 Comm. ACM，8：40，1965年。[6] D. M.牧师浮点运算的性质：数值稳定性和精确计算的代价。美国加州大学伯克利分校数学系博士论文，1992年11月。 ftp://ftp.icsi.berkeley.edu/pub/theory/priest-thesis.ps.Z。[7] N.J. Higham 数值算法的精度和稳定性。工业与应用数学学会（SIAM），宾夕法尼亚州费城，第二版，2002年。[8] T. Ogita，S.M. Rump和S.大石精确求和和点积。 SIAM J. Sci. Comput. ，26（6）：1955[9] T·J·德克尔一种扩展可用精度的定点技术。Numerische Mathematik，18（3）：224[10] J. Vignes一种用于可靠科学计算的随机算法。数学和计算机模拟，35：233[11] J. - M. 切斯诺我的阿里思是个时髦的人，也是个聪明的CADNA。H`adirigerdesrec her ches，Universi t'ePierreetMarieCurie，Paris，France，Nove mber1995.[12] J. 维涅 我是一个电子人也是一个信息人。 ComptesRendusdel ' A c a d' emie des Scien c es - SeriesI - Mathematics，303：997-1000，1986. 另 见La Vie des Sciences，4（1）1-13，1987。S. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）55732≤2[13] J. - M. Chesneaux和J. 维涅 这是我的传统。 ComptesRendusdel 'Acad'emiedesSciences-SeriesI-Mathematics，315：1435-1440，1992.[14] J. - M. Muller，N. Brisebarre，F.deDine chin，C.- P. Jeanner od，V. Le f'evre，G. Melquiond，N. 关于我们，D. Steh l'e和S. 托雷斯手簿的浮动点A算法。Birkhauser，波士顿，2010年。[15] J. Demmel和H. D.阮。快速可再现的浮点求和。在2013年4月7-10日在美国德克萨斯州奥斯汀举行的第21届IEEE计算机算术研讨会上，第163-172页[16] P.H.斯特本茨浮点运算自动计算中的普伦蒂斯-霍尔级数。普伦蒂斯-霍尔，1973年。[17] J.R.豪瑟处理数值程序中的浮点异常。ACM翻译计划。Lang.系统，18（2）：139A附录使用与第2我们考虑一个精度为p的二进制浮点系统。设u= 2−p且γn（2u）=2nu.让我们假设nu <1.提案A.1证据1−2nuγn−1（2u）+2u（1+γn（2u））≤γn（2u）（A.1）和γn−1（2u） 2（n−1）u1 −2nu2U（A.2）2u（1 +γn（2u））=1− 2nu（A.3）因此，从方程（A.2）和（A.3），我们推导出：提案A.22nuγn−1（2u）+ 2u（1 +γn（2u））≤1− 2nu（A.4）Qγn（2u）+ 2uγn（2u）≤γn+1（2u）（A.5）证据 因为nu <1，因此1 γn（2u）1− 2nu（A.6）<2U和γn（2u）+2uγn（2u）<γn（2u）+1− 2nu（A.7）274S. Graillat等人/理论计算机科学电子笔记317（2015）55n（n+1）uγn（2u）+ 2uγn（2u）<（A.8）1 −2nu因此，我们可以推导出公式（A.5）。Q提案A.3γn−2（2u）γn（2u）+ 2uγn−1（2u）≤2γ2（2u）（A.9）