微极流体在非达西多孔介质中斜板绕流的研究

工程科学与技术，国际期刊21（2018）984完整文章微极流体饱和非达西多孔介质中斜板D. Srinivasacharya，Ch.RamReddy，P.Naveen印度瓦朗加尔国立理工学院数学系，邮编：506004阿提奇莱因福奥文章历史记录：2017年12月8日收到2018年7月3日修订2018年7月17日接受2018年8月3日在线发布保留字：非线性对流对流边界条件双弥散微极流体逐次线性化法A B S T R A C T本文研究了双弥散对微极流体在均质各向同性非达西多孔介质中斜板绕流的影响此外，非线性Boussinesq近似（即，也被称为非线性对流）与对流热条件一起被认为是为了解决在中等温度至非常高的温度下操作的某些热系统中的传热和传质现象。采用局部非相似方法将控制偏微分方程转化为常微分方程组，并采用一种新的逐次线性化方法（SLM）求解所得到的边界值问题SLM的准确性通过数值计算，讨论了相关参数对流体流动特性的影响，并详细讨论了显著特征。传热传质随非线性对流参数的增加而变化很大，这取决于辅助和反向流动情况。在辅助流和反向流中，热弥散有利于传热，而溶质弥散参数有利于传质。这类研究在燃烧机理、气溶胶技术、高温聚合物混合物、在中高温至极高温下操作的太阳能收集器等方面是有用的。©2018 Karabuk University. Elsevier B.V.的出版服务。这是CCBY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍微极流体在多孔介质中的热输运和溶质输运现象的分析一直是研究者们非常感兴趣的课题。由于地球物理和工程工业中的各个学科都在研究流体元素的微观性质，如冷却系统、石油储层、农田、纤维绝缘、陶瓷工艺、粮食储存设备、煤燃烧器等。Eringen [1]提出了微极流体理论，以描述液晶、动物血液、聚合物流体、润滑剂等与牛顿粘性定律相矛盾的流体。在该理论中，流体元素的体偶应力和微观效应被概念化，这是微极性流体的显著特征。微极流体理论的数学方面及其应用在Lukaszewicz的教科书中有报道[2] 和 Escherichyev 等 人 [3] 。许 多 作 者 提 到 几 个 Beg et al.[4] ，Aurangzaib and Shafie[5]，Srinivasacharya and Ramreddy*通讯作者。电子邮件地址：dsrinivasacharya@yahoo.com（D.Srinivasacharya）。由Karabuk大学负责进行同行审查。[6]，Noor et al.[7]，Tripathy et al.[8]，Mishra et al.[9]，Gibanov et al.[10]由于上述理论在收集装置、材料加工、太阳能等工程、工业和科学领域的广泛应用，在不同的情况下，将其应用于达西和/或非达西多孔介质。Nield和Bejan[11]的课程阅读中有一本详尽的专著，介绍了达西和非达西多孔介质中各种流体的传热和传质，并参考了其中的参考文献。在惯性效应不可忽略的条件下，双重弥散效应在多孔介质的流动区域中更为显著（参见Nield和Bejan[11]及其引文）。在一个稳定的流动中的双重分散是由于对流和分子扩散的联合作用，这个概念有助于解释之间的差异，经常观察到的传输参数测量沿和跨所考虑的几何形状的流体流动的主要方向。双弥散理论的发展主要与多孔介质中的混相驱替和溶质扩散有关。这些区域对陶瓷加工、储热床、二次和三次采油作业以及水资源工程中的污染控制在https://doi.org/10.1016/j.jestch.2018.07.0122215-0986/©2018 Karabuk University.出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表工程科学与技术国际期刊杂志主页：www.elsevier.com/locate/jestchD. Srinivasacharya et al./ Engineering Science and Technology，an International Journal 21（2018）984985命名法孟加拉国bCfCwForchheimer项Biot数浮力比浓度表面摩擦系数壁面浓度环境浓度孔径分子溶质扩散系数达西数有效溶质扩散率溶质弥散参数热弥散参数无量纲流函数Forchheimer数无量纲微旋转重力加速度热Grashof数对流换热系数微惯性密度导热系数渗透率特征长度无因次壁面偶应力耦合数局部努塞尔数混合局部舍伍德数温度对流壁温环境温度自由流速度，x和y方向的达西速度分量希腊符号阿一阿二b0;b 1DDDaDeDcDsfFsggωGr hfjkfKpLMwNNuxPrReRiScShxTTfT1b2; b3JgcejvkxXH/lfmWn年q1有效热扩散率非线性密度-温度（NDT）参数非线性密度-浓度（NDC）参数一阶和二阶热膨胀系数一阶和二阶溶质展开系数无量纲微惯性密度相似变量自旋梯度粘度孔隙度涡流粘度热分散系数无因次自旋梯度粘度微旋转倾角分量无因次温度无因次浓度动力粘度溶质分散系数运动粘度密度流函数无因次流向坐标上标W1壁面条件上标0关于g的u1u;v不寻常的几何形状，可能在填充床中，流体通过回旋路径的输送鉴于上述应用，许多作者分析了热弥散和溶质弥散对多孔介质对流传热传质的影响。Murthy[12]研究了双重弥散对非达西多孔介质中混合对流传热传质的影响。El-Amin等人[13]研究了化学反应和双重弥散对多孔介质中非达西自由对流传热传质的影响。RamReddy[14]分析了热弥散和溶质弥散对牛顿流体中具有固定顶角的、指向下的等温垂直圆锥体周围自然对流的影响。最近，Bouaziz[15]研究了浸入具有纳米流体的非达西饱和多孔介质中的垂直板之间的双扩散对流边界层上的近年来，由于其在地球物理和工业上的应用，人们对各种牛顿和非牛顿流体在倾斜平板上的对流问题进行了研究。这些应用包括化学加工、电气系统、除铁、盐水澄清等。[17]，Murthy etal.[第18话][19]和Sui et al.[20]第20话被人发现在各种物理条件下具有不同牛顿/非牛顿流体的倾斜板。对流热边界条件下的传热分析是燃气轮机、核电站、热交换器等相关行业的一个重要而有用的考虑因素。此外，当固体基质与处于不同温度的流体接触时，它会发生，并且涉及流体和基质之间的相对运动。在许多涉及表面冷却或加热的实际应用中，表面与周围流体之间的对流热交换的存在在该机制中，热量通过具有有限热容量的边界表面供应给对流流体，这提供了对流传热系数。考虑到这些应用，Makinde和Aziz[21]考虑了沿垂直表面分析磁流体动力冷流体流动的对流热条件，而Hayat等人[22]则考虑了沿垂直表面分析磁流体动力冷流体流动的对流热条件。[22]分析了对流边界条件下运动表面上混合对流驻点流动的热辐射效应Poonia和Bhargava[23]建立了一个理论模型，用于分析具有对流热条件的半无限水平平板上的混合对流Eyring-Powell流体流动。最近，Ramzan等人讨论了焦耳加热和热辐射对MHD微极流体[24]采用部分滑移和对流面边界条件。一些热系统，如反应堆安全、燃烧和太阳能收集器中遇到的热系统，986D. Srinivasacharya et al./ Engineering Science and Technology，an International Journal 21（2018）984e2 u@xv@yeP.P.1-u，gb0T-T1b1T-T1在这种情况下，密度与温度和浓度的关系详细地说，Boussinesq近似适用于温度和浓度梯度对流体密度有中等影响因此，除了浮力项外，密度在任何地方都被认为是常数由于环境流体和倾斜板表面之间的温度和浓度差明显更显著，通过使用线性密度温度和浓度关系开发的数学模型变得更不准确。粘性耗散和惯性产生的热量，或不同密度的存在也是密度-温度-浓度关系变得非线性的其他原因。这种依赖于温度-浓度的密度关系的非线性变化（具体而言，非线性Boussinesq近似或非线性扩散）对流体流动特性产生了强烈影响（更多详细信息请参见Barrow和Sitharamarao[25]、Vajravelu和Sastri[26]的工作），Soret、Dufour和双扩散效应非常重要。非线性对流的早期著作和应用可以在Partha的工作中看到[27]。Kameswaran等人对常规流体中的非线性对流和热泳进行[28]并推断温度和浓度边界层厚度随非线性温度和浓度参数值的增大而减小最近，Shehzad et al.[29]在考虑Cattaneo-Christov热流和变导热系数的情况下，分析了非线性热对流Oldrophil-B流体沿运动片的传热现象。在前人研究的基础上，探讨其作用是有意义的微极流体沿多孔介质中斜板混合对流的水动力弥散。 考虑了表面处的对流边界条件，其中表面损失的热量是表面与自由流之间的温差与传热系数的乘积。Darcy-Forchheimer流动模型比谱同伦分析方法[39]。其他研究如[36，40]使用SLM解决不同的边值问题，并通过与数值技术的比较表明，逐次线性化方法是准确的，收敛速度快，因此优于现有的一些半解析方法，如Adomian分解方法[41]，Laplace变换分解技术[42]，变分迭代方法[43]和同伦扰动方法[44]。SLM可以用来代替传统的数值方法，如有限差分法，龙格库塔和射击法求解非线性边值问题。这种研究在燃烧机理、气溶胶技术、高温聚合物混合物、在中高温至极高温下操作2. 数学建模考虑非达西多孔介质中不可压缩微极流体沿半无限倾斜平板的定常层流混合对流物理模型和坐标系如图1所示。x轴沿平板方向，y轴垂直于平板方向，外流速度为u1，自由流温度为T1 ，自由流浓度为C1。板从温度为Tf的流场通过对流向左加热或冷却，Tf>T1与加热表面（辅助流）相关，TfT1与冷却表面（反向流）相关在壁面上，溶质浓度取为常数，由Cw给出.在考虑非线性Boussinesq近似[27]和标准边界层假设的情况下，均匀和各向同性Darcy-Forchhiemer模型多孔介质的控制微极流体流动方程@ u@ v@x@y¼0; 1(see参考文献[4，11]），多孔介质孔隙度假设是低的，因此可以忽略介质中的边界效应。混合对流是由Q.@u@u1@2u@xl均匀的自由流和密度变化，由于组合温度和浓度梯度。此外，温度qb22ωh2假设板表面和周围流体之间的浓度差明显较大，因此浮力项中的非线性密度-温度和浓度变化对流场产生强烈影响还已知溶质迁移可以通过杜福尔效应影响温度[30，31]，反之亦然，具有所谓的索雷特效应[32，33]。但由于存在双重弥散和非线性对流，本模型是高度非线性的，因而没有考虑Soret效应和Dufour效应的影响。然而，我们已经作出了更好的可能的参数选择，使所有方面都涉及对流边界条件。此外，在边界层区域的传热和传质已被分析的辅助和反向流动。基本方程的非线性和与求解它相关的额外的数学困难，使我们使用数值方法。在本研究中，采用局部相似和非相似技术将无量纲控制偏微分方程转化为常微分方程[34，35]。然后用连续线性化方法（SLM）数值求解得到的方程组（见参考文献10）。Makukula等人[36]和Khidiret al.[37]）。Makukula等人[38]使用谱同伦分析方法和逐次线性化方法（SLM）求解了控制旋转圆盘引起的边界层流动的经典von Karman方程。他们表明，SLM在较低的温度下提供了更好的精度，b2Fig. 1. 施密特图和坐标系。D. Srinivasacharya et al./ Engineering Science and Technology，an International Journal 21（2018）98498710@y.ΣJC -Cw1eu@x@y1/4c@y2-xe@y;e1-Nþ第二季第二集1-N达ð-达娜·达·热ð-u@Tv@T¼@Þa@Tð4Þ12e2@n@nu@Cv@C¼@De@C：15001-Ne2012年5e@n@nSC2@n@nCf Re1=2¼f00n;0;Nux Re-1=2¼-n1= 21DsPrf0n;0h0n;0;@y@x@x@y@ye@y;qj.@xv@x@2xJ.21@u3个1.1000法郎. N0.00001ff00FSn1f021n1f0[1][2][3][4][5][6][7][8][10][11][11][12][12][13][14][15][16][17][18][19][19][10][19][19][10][19][10][19][19][10][10][19][10][19][10][10][19][10][19][10][1f0@f0-f00@f;8你好，00-. N [美]约翰.2g/10g/10g。f0@g-@fg0;@x@y@y@yð9Þ详细推导了边界层方程。（1）1 h00ds.f0h001fh0n.f0@h-@fh0;10Ramreddy[6]（也见其中引用PR第三和第四项在右边的方程。（二）2@n@n代表一阶（达西）阻力和二阶孔隙率，的惯性阻力。最后一个词在同一个等式中-采用非线性线性Boussinesq近似，将浮力表示为非线性线性函数温度和浓度。 微旋转表示-1/00哥伦比亚特区c.f0/001f/0¼n.f0@/-@f/0：11边界条件（6），以f;g;h表示;/修改为fn0-2n.@ff0n0^0gn0 ^0发送刚性粒子cen-的平均意义上的旋转;在一个小体积元素周围的质心，;;@ng¼0元素在这里，微旋转边界条件被认为是集中的颗粒流的情况下，靠近壁面的微型元件不能旋转。此外，假设板的左表面通过温度为Tf的热流体的对流加热，其提供传热系数hf[21，46]。然后，在板表面和远离冷流体的边界条件可以写为：u<$0;v<$0;x<$0;-kf@T<$hfTf-T;C<$Cwaty< $0;u<$u1;x<$0;T<$T1;C<$C1作为y！1ð6Þ其中u和v分别是x和y方向上的达西速度分量，x是旋转方向位于xy平面内的微旋转分量，T是温度，C是浓度，gω是重力加速度，e是孔隙度，u1是自由流速度，b是与Forchheimer多孔惯性项相关的经验常数，Kp是渗透率，q是密度，l是动态粘度，X是角度的倾斜，j是微惯性密度，c是自旋梯度h0n;01-Bin21/2-hn;0];/n;01;fn;11;gn; 1000;h n; 1000;/n;100 12在上述无量纲方程中，Re^u1L^=m是整体的雷诺数，N ^j = m l ^j ^（0 6N 1）[48]是耦合数，k ^c = m j q m ^是自旋梯度η t粘度，Fs ^b = L是自旋梯度ηt粘度Forchhei mer 数 ， Gr<$gωb0<$Tf-T1<$L3<$=m2 是 热 Gra-shof号 码 ，R1/Gr=Re2是的混合对流参数，B<$b2<$Cw-C1=b0<$Tf-T1为浮力比，Da<$Kp=L2为达西数，a1<$b1<$Tf-T1=b0为非线性密度-温度参数（NDT），a2<$b3<$Cw-C1=b2为非线性密度-浓度参数（NDC），Pr<$m=a为普朗特数，Sc<$m=D为施密特数，Ds<$vdu1=m为热分散参数r，Dc<$fdu1=m为溶质分散参数和Bi 1/4hf L= 1/4k Re1= 2/4 k分别是比奥数在使用非相似性变量Eq. （7），我们得到了无量纲形式的物理量（如表面摩擦系数、努塞尔数、壁面偶应力和舍伍德数）如下粘度，k f 是导热系数，h f 是对流热传递系数，j是涡旋粘度，a是分子热扩散系数，D是分子溶质扩散系数，v是热扩散系数。. 2ΣΣ Σ1-N平均色散系数，d 是孔径，并且f是溶质分散系数。这里b0和b1;b2和b3分别是热系数和溶质系数的一阶和二阶展开式。此外，有效热扩散率和有效溶质扩散率分别被定义为ae¼avdu和De¼Dfdu[47]。MwRe¼. kg0n;0;ShxRe-1=2¼-n1=21DcScf0n;0/0n;0：3. 求解方法ð13Þ通过定义流函数w=x;y=u/w@w和v/w-@w，连续性方程（1）自动满足。转换系统的尺寸方程。（2）-Eqs系统（8）-3.1. 局部相似性和非相似性程序：xy. Re1=2.n =1 = 2n ¼ L;g¼Ln;wn;gReLu1fn;g;在进行局部非相似性方法之前，有助于检查边界层方程Eqs。（2）. Re1=2uLT-TT-;xn;gn1gn;gn;hn;g/g/gC-C11fT1ð7Þ局部相似性概念的视角。3.1.1. 局部相似模型为了推导局部相似性模型的方程，假设将变换（7）代入（1）无量纲流动方程可以表示为右边的项，（8）小到可以忽略不计。 然后局部相似性变换由下式给出：988D. Srinivasacharya et al./ Engineering Science and Technology，an International Journal 21（2018）984e210000100 0 0DaXe2e2n222PR21-Ne2en¼01-Nee@n@n@n.- 是的Σ1 .一、 1000法郎。Ng0fn;01-2nUn;gn;f0n;0 ¼0;gn;0¼0;10e1 -N1-N2e2Da达热h0n;0¼-Bin2½1-hn;0];/n;01;fn;11;Rin½hkg00-.N [美]约翰.2g/1f00g/1f0g/ 1f0101gn; 1000;h n; 1000;/n; 1¼0 23区分上述等式（19）边界条件：00美元。f0h02fh00;161 .一、 1分31秒。N110 01e1 -NU0002e2Uf002e2fU001-NV0DaRe1-f0Sc/00Dc.f/02f/00;17-1nU0Rin½H12ahBK12a/]cosX因此，局部相似性的边界条件trans-达热1 2F02地层fn;0¼0;f0n;0¼0;gn;0¼0;010Ri½h-2Fsn1f0U0¼n.U02-UU 00;24hn;0-Bin2½1-hn;0];/n;01;fn;11;gn; 1000;h n; 1000;/n;100 18kV001fV0U0g3U g0-1Vf0-. NJ.2g1f00g控制方程中的参数n和2012年5月22日2e2e1-Ne边界条件可以被认为是在沿板的任何流向位置处的指定常数值。结果表明，用局部相似法变换后的控制方程可以看作是一个常微分方程组，并带有偏微分方程-我知道N [美]约翰.2V1U00n.VU0-V0U;251H003Uh0DshU0h000f0H00i-f0H1f H0n.HU0-H0U0;动量方程和Pr2中保留的非相似效应边界条件对于给定的n值，该解与其它流向位置无关.因此，通过分配2ð26Þ沿板块的n值序列，边界层分布，1K003U/0DchU 000f0K00i-f0K1f K0n.KU0-K 0U;可以确定。SC2然而，尽管如此，的较为明显溶液在2ð27Þ不确定的准确性。在局部相似性变换过程中，方程组右侧的非相似项被替换。（8）部分无量纲方程丢失了。局部相似假设要求n接近于零，这对于可忽略的浮力效应是有效的。否则，右边的Eqs。（8）不相似的术语。然而，后一个假设的有效性受到不确定性的影响，这是局部相似性方法的一个弱点。上面讨论的局部相似性概念表示连续的局部非相似性变换中的第一步。3.1.2. 局部非相似模型为了克服局部相似法的局限性，现导出局部非相似边界层方程。首先推导两方程模型。设@fn;gUn;g;@gn;gVn;g;@hn; gHn;g;@/n;gKn;g。将这些函数引入方程组。（8）1 .一、 1000法郎。Ng0上述方程应满足的适当边界条件为Un;0¼0;U0n;0¼0;Vn;0¼0;H0n;01Bi1Hn;01Bin-1½hn;0-1];K=0;U0n;1¼0;Vn;1000;H.N.;1分之1;Kn;10.402 8两方程模型涉及八个耦合边界层方程，需要结合一组边界条件同时求解。尽管两方程模型的解提供了关于八个参数的信息，但主要感兴趣的仅仅是f、g、h和f以及它们的导数，因为它们是对物理问题有意义的。局部非相似变换保留了原控制方程和边界条件中的非相似项，只去掉了辅助方程中的部分非相似项。由于原始控制方程保持不变，局部非相似方法预计将比局部相似解决方案更准确。e1 -N1-N2e2Da达热3.2. 逐次线性化法Rin½hU0f0-U f00;19在这项工作中，我们应用SLM来解决常微分方程组。（19）kg001f g0-f0g-。N [美]约翰.2g，1g，0g，1 g，1 g，0g，1g，1g，V f0-Ug0;（28）. 为了我们的方便，考虑向量记法ð Þð Þ ð Þð Þð Þð Þ ð Þ ð Þ2012年5月22日1-Ne eð20Þ代表f g，gg，hg;/g;Ug;Vg;Hg和Kg，独立于dently。 SLM基于这样的假设：可以将函数Qblog扩展为h/D s.fhfhn.铪-铀i-1Qng;291/00Dcf 0001f/0nK f0-U/0;22其中Qig是未知函数，Qng（mP1）近似为-SC2相应的边界条件为通过递归地求解方程组的线性部分而获得，该线性部分是由在方程组中代入（29）QgQigD. Srinivasacharya et al./ Engineering Science and Technology，an International Journal 21（2018）984989ð Þð Þ半]半-]半-]半 1Þð Þ半-]KX<$DQs;m<$0; 1;.. . K43¼ ðÞeKXð Þ¼KZKK-1þ¼ ð Þ1（19）SLM的主要假设是，当i变大时，Qi变得越来越小，即limQi0;30我！1初始猜测值Q0g被选择以满足边界条件（23）和（28）. 因此，从最初的猜测开始，通过连续求解方程的线性化形式来获得随后的解Qig，所述线性化形式是通过将方程替换为等式（1）来获得的。（29）在Eqs。（19）3.3. 切比雪夫配点法我们解决线性方程组。（31）该方法是基于切比雪夫多项式定义的间隔1; 1。我们首先将域的解决方案0;到域1; 1使用域截断技术，其中的问题是解决的区间0;S，其中S是一个缩放参数，用于调用边界条件在无穷远。这是通过使用映射包含Qig（i P 1）及其导数的项。线性化要解决的方程是gs1S2;-16s61 441磅p~1;i- 1f0i00p~2;i-1f0i0p~3;i-1f0ip~ 4;i-1fip~ 5;i- 1g0ip~ 6;i-1hip~7;i-1/i我们使用由下式给出的Gauss-Lobatto凝聚点来离散域1;q~1;k-1f0k0<$q~ 2;k-1f0kq~3;k-1fkq~4;k-1 g0k0q~5;k-1 g0kq~6;k-1gksm<$cospm;m¼0; 1;. ; K42q~7;k- 1Uk~s1;k-1f0k0~s2;k-1f0k~s3;k-1fk~s4;k-1h0k0~s5;k-1h0k~s6;k-1Uk~s7;k-1Hk¼~z3;k- 1;其中K是所使用的搭配点的数量。未知函数Qi在配置点处近似为：QksXQksiTism和D Qks~t1;k-1f0k0~t2;k-1f0k~t3;k-1fk~t4;k-1/00~t5;k-1/0k~t6;k-1Uki½0KdgZ~t7;k-1Kk¼~z 4;k- 1;Zim1/4a~1;k- 1f0k0a~2;k-1f0ka~ 3;k- 1fka~ 4;k-1hka~ 5;k- 1/ka~ 6;k-1U0k00其中Ti是第i个Chebyshev多项式由下式给出：~00~0~~0~D是切比雪夫谱导数矩阵阿瓜7;k-1Uk阿瓜8;k-1Uk阿瓜9;k-1Uk阿瓜10;k-1Vk阿瓜11;k-1Hka~12;k-1Kk¼~z5;k-1;使得D2=SD，Z是微分的阶数。使用Eqs. （41）（31）b~1;k-1f0k0b~2;k-1f0kb~3;k-1fkb~4;k- 1g0kb~5;k-1gkb~6;k- 1U0k0~0~~00~0~~Ye¼Be-1Reð44Þb7;k-1Uk~c1;k-1f0k0~c 2;k- 1f0k~c 3;k- 1fk~c 4;k- 1h0k0~c 5;k- 1h0k~c 6;k- 1U0k0k~c7;k-1U0k~c8;k-1Uk~c9;k-1H0k0~c10;k-1H0k~c11;k-1Hk~z7;k-1;k37由方程式Bk-1是阶为<$8K<$8<$× <$8K <$8<$的方阵，Yek;Rek-1是阶为<$8K<$1< $ ×1的列矩阵通过d~f00~0~约00~0~00Bek-1 1;1;2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;9; 9; 10; 11; 12; 13;14; 15; 16; 17; 19;19; . . ：8;YeKheFkGEK H~k U~k Uek Vek HEK KeiT;1;k-1kd 1;k-1fkd 2;k-1fkd 4;k-1/kd 5;k-1/kd 6;k-1Ukd~7k1U 0Rek-1联系我们1;k-1 ~z2;k-1 ~z3;k-1 ~z4;k-1 ~z5;k-1 z~6;k-1 z~7;k-1 z~8;k-1我是说，;-k;-;-K;-k;-;-ð45Þ边界条件简化为fk0f0k0f0k10;gk= 0;gk=1;4. 射击法h0k0 -Bin4hk00;hk=1;/k0/k10;Uk0U0k0U0k10;Vk0Vk10;H00 -Bi10.00000;H=1.00;采用打靶法验证了本文提出的SLM计算。常微分方程组。（19）kn4K4n4hk k用射击技术解决这其中的主要步骤Kk0 Kk 10：39方法如下：哪里的系数参数p~i;k-1;q~i;k-1;si;k-1;ti;k-1;a~i;k-1;i首先将边值问题转化为初值问题b~i;k-1;~ci;k-1;d~i;k-1和~zi;k-1依赖于Qi-1和它们的导数s。一旦从交互式求解方程组中找到了Qi（31）M青海省Qmg;40每平方米其中M是SLM近似的阶数。由于系数参数和的右手侧的等式（三十一）-（三十八）为i1; 2; 3：是已知的（从先前的迭代），具有边界条件（39）的系统（31）问题;II简化Eqs系统。（19）iii使用Newton-Raphson方法;iv 用四阶龙格-库塔法积分一阶方程组v 更新获得的信息，直到所有的自由流边界条件渐近满足。为了简洁起见，这里省略了代数细节，并且有许多参考文献已经记录了这些细节，例如，[50，51]。为了评估解的准确性，我们通过比较表面剪应力来k-1;990D. Srinivasacharya et al./ Engineering Science and Technology，an International Journal 21（2018）984¼！1¼¼¼¼ ¼ ¼ ¼¼（f0 0<$n;0<$）和表面换热（h0<$n;0<$） 的关系2）、牛顿流体（N0），和微极流体（N0： 14），并与Chang[52]的理论结果进行比较。这些比较如图2（a）-（b）所示，发现结果与理论结果非常一致。此外，表1中给出了混合对流参数Ri和流向坐标n的各种值的当前结果与Lloyd和Sparrow[53]之间的比较。计算表明，本文的结果与Lloyd和Sparrow[53]报道的相似解非常一致。 此外，我们还对表2所示物理参数的具体值与射击技术进行了比较。结果是在很好的协议指向SLM解决方案的准确性。从这两个表中，我们注意到这两个数值结果（目前的结果和已发表的结果）之间的误差可以忽略不计，因此我们用SLM进行的数值试验是一个适合于目前分析的方案。5. SLM计算结果和讨论计算了无因次阻力系数（CfRe_（1= 2））、微旋转梯度（-MwRe）、热、质量传递速率（Nu xRe-1=2; Sh xRe-1=2）如图1A和1B所示。三比五讨论了非线性对流参数（a1;a2）、双色散参数（Ds;Dc）、Biot数（Bi）和倾斜角（X）为了简洁起见，在本分析中不研究边界层剖面。为了研究a1、a2、Ds、Dc、Bi和X的影响，通过取Da1/4 0：1、J1/40：01、Pr 1/4 0：71、N 1/4 0：3、Re1/4 200、e0：5;k0：5;Sc0：22;Fs0：5，B1： 0，并且除非另有说明，否则在整个计算过程中使用5.1. 随着非线性对流参数（a1 （2）研究了NDT（a1）和NDC（a2）参数对表面阻力（CfRe1= 2）、微旋转梯度（-MwRe）、热传导、热稳定性、热稳定性的影响图3（a）-（d）显示了1[3，6]和2[5，10]的传热速率（Nu× Re-1=2）和传质速率（Sh× Re-1=2），固定值为Bi1/40： 5;X 1/4 30μ m;Ds 1/40：5;Dc1/4 0： 3;Ri1/4 0： 5（用于反向流动）和Ri2： 0（用于辅助流动）。由于最终产品的质量取决于来自表面的热量和质量传递，因此估计热量和质量传递的大小总是非常必要的在这方面，值得一提的是，无因次传热系数（Nux Re-1=2）和传质系数（Shx Re-1=2）随Ri的增加而增加，分别如图3（a）和（b）所示。因此，混合对流参数在控制温度和浓度方面具有重要作用.混合对流参数Ri对蒙皮摩擦系数（CfRe1 = 2）和无量纲壁面偶应力（-MwRe）的关系如图所示。3（c）和（d）。结果表明，表面摩擦系数（CfRe1= 2）随Ri的增大而增大。原因是，增加浮力效应，混合对流导致流体流动的加速图二. Bi！的（a）f00<$n;0 <$，（b）h0<$n; 0 <$的比较1;Bi<$2;N< $0和N<$0： 14以及Chang的n[52]。表1N<$0;B<$0;Ds<$0;Dc<$0;X<$0;a1<$0和a2<$0的- h 0 n ;0与Da！ 1，k=0，e=1，Bi！1.一、-h0<$n;0 <$n随Ri变化-h0<$n;0< $n随n变化你好！0前1/40： 72压力10压力100第27卷第928页压力10RI[五十三]本[五十三]本[五十三]本n[五十三]本0.00.29560.29560.72810.72811.57181.57200.001250.73130.73150.010.29790.29790.73120.73131.57541.57500.005000.74040.73980.040.30430.30440.74030.74041.58551.58500.012500.75740.75690.10.31560.31580.75720.75741.60581.60500.050000.82590.82550.40.35590.35610.82540.82591.69051.69100.125000.92120.92181.00.40530.40580.92070.92121.82651.82600.250001.02901.0288D. Srinivasacharya et al./ Engineering Science and Technology，an International Journal 21（2018）984991表2使用Shooting方法和SLM对不同N值的f00、-g0、-h0、-/0进行比较，其中a为1/41：2;e为1/41：0;D为1/40：3;B为1/40：5 ; Da为1/4 1：2; D为1/4：2;D 1;a21：5;Dc1：0：2;Bi！1;n！0d和X¼ 30英寸。NSLM拍摄方法f00-g 0-h0-/0f00-g0-h0-/00.11.637330.002220.464670.260001.637330.002220.464670.26000.31.381120.008510.442250.251191.381120.008510.442250.251190.60.941690.028460.394360.230970.941690.028460.394360.230970.90.342560.093450.298840.185800.342560.093450.298840.18580图3.第三章。NDT和NDC参数对（a）传热速率、（b）传质速率、（c）表面摩擦和（d）壁面偶应力的影响这增加了表面摩擦系数。同时发现，壁面偶应力随混合对流参数Ri的增大而减小。这一观察结果与速度、微旋转、温度和浓度分布一致（未附图）。 图 3（a）揭示了在反向流中努塞尔数（Nu xRe-1=2）随a1的增大而减小，而在辅助流中则相反。从物理上讲，a1>0意味着Tf>T1;因此，流动区域将有来自壁面的热量供应。类似地，a =<10意味着T=

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