强非线性微分方程的精确解析解及应用

.ΣJournal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）434原创文章求解强非线性微分方程通用汽车伊斯梅尔Sohag University，Sohag，82524，EgyptAr ticlei n f o ab st ract文章历史记录：2017年4月21日收到2017年6月30日修订2017年7月24日接受2017年8月16日在线发布MSC：34A3434C1534C2535L6537N3074S25保留字：解析解强非线性振子同伦微扰法变分法本文提出了一种将同伦概念与变分公式相结合的新方法，用于求解具有惯性和静态非线性的非线性微分方程的精确解析解。所得结果与其它解析解和精确解进行了比较，证实了近似解析方法的精确性和正确性。本文的结果对大振幅的振动是有效的，而且近似解给出了比其他方法更好的结果。我们的结论是，在目前的工作中获得的一阶近似几乎是相同的精确解，也适用于整个范围内的初始振幅非常好© 2017埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。1. 介绍随着非线性科学研究的迅速发展，科学家和研究人员对寻找非线性微分方程近似解的有效方法的兴趣越来越大。对给定非线性振子问题的研究近年来，非线性微分方程的解析近似方法得到了广泛的应用，其中能量平衡法是一种新的方法（EBM）[1，2]，振幅-频率公式（AFF）[3，4]，变分迭代法（VIM）[5]，同伦扰动方法（HPM）[6，7]，同伦分析方法（HAM）[8]，迭代摄动法（IPM）[9，10]，最小-最大方法（MMA）[11]，拉普拉斯变换（LT）[12]，汉密尔顿方法（HA）[13-15 ] ， 变 分 方 法 （ VA ） [1 6 ， 在 研 究 物 理 、 数 学 和 工 程中经常出现的非线性模型时，最被接受的近似方法是全局剩余调和平衡法（GR H BM ）[1 8 ，19 ] 、耦合同伦变分法（CH VA ）[2 0 -25 ] 。例如，近几十年来，一些研究者对电流微分方程的Abd El-Al-Bauf[26]提出了一种将控制问题的线性化与（HBM）相结合的新方法，Molla等人[27]利用（HBM）获得了非线性问题的精确近似解析高阶解。在目前的工作中，一种新的和不同的技术，称为耦合同伦与变分方法[5，6]已被用来寻找精确的周期解的非线性振荡器。应用耦合法导出了频率近似公式的高精度解析表达式。2. 控制运动在本节中，我们将不可伸长的自由固支锥形梁的振动视为具有惯性和静态非线性的工程结构的有趣且重要的模型，形式为[26，27]。图1示出了问题的物理模型。正在开发或应用于更复杂的非线性系统。电子邮件地址：gamalm2010@yahoo.comd2xdt2 +x+αxd2xdt2 +2αDX2DTx3+β x5=0，x（0）=A，xstec（0）=0.（一）http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2017.07.0061110- 256 X/© 2017埃及数学学会。Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。可在ScienceDirect上获得目录列表埃及数学学会期刊首页：www.elsevier.com/locate/joems4- 是的ΣΣ−X2+ω2x2+αx4x x1+2αx2x3x14ω=0。通用汽车Ismail/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）434-437435表2角频率ωapp与α=1，β= 2时的精确频率ω ex的比较。Fig. 1. 几何问题。（2.7479）（0.1592）（0.0163）302.38182.45342.44952.4493（二点七五五九）（0.1592）（0.0082）表1502.38182.45342.44952.4495角频率ωapp与精确频率的比较（2.7638）（0.1592）（0.0000）当α=1，β= 1时，频率ω ex。1002.38182.45342.44952.4495Aω2[26]ω2[27]ωPresentωex错误（%）错误（%）错误（%）（2.7559）（0.1592）（0.0082）1 0 0 00-ω2= 0。（五）求解方程(4)，我们有x0= A cosωt。（六）对于x1的变分方法可以如[19]所描述的那样获得：2π/ω1r11rr r02 21 0 0 0 05 2Σ+βx0x1+（1 −ω）x0x1dt。（七）本系统描述了带有转动惯量的中间质量的细长不可伸展悬臂梁的单峰大振幅自由振动。 由方程式 (1)，项（αx4（d2 x/dt2）+2 α（dx/dt）2x3）表示惯性类型非线性，为了提高解决方案的准确性，我们定义了一个新的试验解决方案的形式：x1（t）= B（cos（ωt）− cos（3 ωt）− cos（5 ωt））。（八）通过插入Eq. （8）在Eq. （7）我们得到线性从不可扩展性假设和项βx5是一个由于弯曲中储存的势能而引起的静态型非线性。3. 耦合同伦-变分方法的应用J（A，B，ω）=设置Bπ。−64Bω2− 4 A。ω2− 1+ A5. αω2+βω 2（九）考虑非线性振荡器Eq. (1)，可以构造以下同伦：JA=0，Jω= 0。（十）xrr+ω2x+pαx4xrr+2αxr2x3+βx5+ 1−ω2x= 0，（2）当 p= 0，等式 (2)变成了线性化的微分方程xrr+ω2x=0，当 p= 1，等式 (2)然后变成了通过求解上述方程，我们依次得到ω值如下：，3A4β+12J（x1）=一[26]第二十六话[27]第二十七话ωPresentωex误差（%）误差（%）误差（%）52.37012.43972.46132.4082（1.5821）（1.3080）（2.2050）102.38102.45252.45022.4440（2.5778）（0.3478）（0.2537）152.38162.45322.44462.4478（2.7045）（0.2206（0.1307）（2.7638）（0.1592）（0.0000）52.37012.43972.46132.40825002.38182.45342.44952.4495（1.5821）（1.3080）（2.2050）（2.7638）（0.1592）（0.0000）102.38102.45252.45022.444010002.38182.45342.44952.4495（2.5778）（0.3478）（0.2537）（2.7638）（0.1592）（0.0000）152.38162.45322.44462.447810,0002.38182.45342.44952.4495（2.7045）（0.2206）（0.1307）（2.7638）（0.1592）（0.0000）202.38172.45332.44952.4488（2.7401）（0.1838）（0.0286）（2.7638）（0.1592）（0.0000）2002.38182.45342.44952.4495502.38182.45342.44952.4495（2.7638）（0.1592）（0.0000）1002.38182.45342.44952.4495（2.7638）（0.1592）（0.0000）2005002.3818（2.7638）2.38182.4534（0.1592）2.45342.4495（0.0000）2.44952.44952.4495（2.7638）（0.1592）（0.0000）10002.38182.45342.44952.4495（2.7638（0.1592（0.000最终的问题。假设方程的解析周期解。（2）可以写成p中的幂级数：x= x0+ px1+ p2x2+. . . .（三）现在，将上述等式插入Eq. （2）收集ω=αA4− 4。（十一）因此，一阶近似的解可以如下重新构造：. ，3A4β+12β与p的幂相同的项，我们得到：p0：x0rr+ω2x0=0，（4）x=A cosαA4−4t.（十二）436G.M. Ismail/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）434图二. 解析近似（）与数值解（）的比较。3.1. 结果和解决方法的讨论利用耦合同伦-变分方法，通过引入新的试探函数，得到了强非线性方程的近似频率。我们计算了方程的一阶近似频率。(1) 并与精确解和Abd El-El-Schiff [26]和Molla等人[27]得到的其他解析解进行了比较，这些解析解见表1、表2和图2。测试前的值- 算例表明，所得结果与精确解一致。值得注意的是，我们的发现与以前关于这一主题的工作相比非常出色，涉及的计算不那么复杂。很明显，对于大振幅的振荡，一阶近似频率比一阶和二阶近似[26，27]的结果要好得多。如图2所示，很明显，解析耦合方法与数值Rung-Kutta方法具有很好的一致性，并且这些表达式在很宽的范围内都是有效的。因为它是从表1和表2可以清楚地看出，耦合方法的误差比其他方法小得多。同时，它使近似解快速收敛。4. 结论该方法采用一种新的近似解析耦合方法，建立了非线性方程的频率与幅值之间的关系。本文所得到的解析解对很大的振幅值是有效的。值得注意的是，同伦-变分耦合方法为我们提供了选择试函数的自由。同时，该方法也很方便，与精确解和数值解的符合程度比以前的方法更好，而且对于大振幅的非线性方程也有很好的结果。此外，分析-本研究中提出的理论解对振幅和参数的影响有了深入的理解。确认作者非常感谢审稿人在改进修订稿方面提出的有用意见/建议。引用[1] J.H.他，非线性振荡能量平衡的初步报告，Mech.Res.Commun。29（2002）107-111。[2] M. Akbarzade，A. Farshidianfar，非线性横向振动梁的改进能量平衡法和整体剩余谐波平衡法，应用。数学莫德尔。45（2017）393[3] Y.汗，M.K. Yazdi，H.阿斯卡里角李文，张晓刚，等.非线性振动系统的动力学分析.北京：清华大学出版社，2000 ，24 （3）. Sci. Eng. 38（2013）175[4] A.M. El-Naggar，G.M.张文，等.强非线性振动系统的振动分析.应用数学，2000，24（1）：117 - 118. 6（2012）2071-2079。[5] J.H. 变分迭代法--一些新结果和新解释，J. 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