混合边界条件下的矩形正截面热弹性长杆变形的边界积分方法分析

+Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，449埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章混合边界条件下矩形正截面热弹性长杆变形的边界积分A.Y. Al-Ali，K.H.Almutairi，E.K.A.F.拉维Ghaleb，M.S.阿布-迪纳开罗大学理学院数学系，12613 Giza，Egypt接收日期2015年5月21日;修订日期2015年7月17日;接受日期2015年9月20日2015年11月2日在线发布本文利用已知的矩形区域内稳态温度分布的解，用边界积分法求出了具有混合力学边界条件的非耦合热弹性平面问题的近似解。截面中的未知函数以笛卡尔调和函数的级数形式获得，其中丰富了在过渡点处具有奇异行为的调和函数。结果进行了讨论，并表示在边界上的实际利益的功能，也在域。注意可能发生脱粘的位置2010年数学学科分类： 74B05; 74G70; 65L60版权所有2015，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍热弹性力学在技术和其他领域有许多应用这一主题在许多专著*通讯作者。联系电话：20 235676538。电子邮件地址：afghaleb@sci.cu.edu.eg，afghaleb@gmail.com（A.F.Ghaleb）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier（参见[1]）。用于处理热弹性问题的方法有很宽的范围。Shanker和Dhaliwal[2]用积分表示法研究了非对称热弹性力学Singh和Dhaliwal[3]考虑了热弹性静力学和静电学的混合边值问题。Abou-Dina和Ghaleb [4]提出了一种边界积分法，用实函数解具有单连通法向截面的均匀各向同性介质长柱的非耦合热弹性平面应变问题。它们考虑了不同的热力边界条件，但没有考虑混合边界条件的情况。参考椭圆[6]，在[5]中考虑了该方法的计算方面。一个复杂的方法S1110-256X（15）00075-9 Copyright 2015，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.09.003关键词平面非耦合热弹性;混合边界条件;边界积分法;笛卡尔调和函数;奇异性450A.Y. Al-Ali等人分析可以在[7]中找到，其中考虑了均匀热流和点源下二维问题的通解。S.R.M et，S.R. Met和Bonnet在一系列文献[8-Meleshko[16热弹性静力学依赖于调和函数的结果。这个理论的不同方面以及应用可以在[19，20]中找到。大量的热静力学和弹性静力学问题基本解的方法在许多出版物中使用[21]。Abou-Dina和Ghaleb[22]利用边界Fourier展开研究了Laplace算子在矩形区域上的某些正则和奇异边值问题的近似解。Read[23]使用解析级数来寻找具有混合边界条件的拉普拉斯问题的解。混合边界条件的问题在[24，25]中也有讨论。El-Dhaba等人[26]通过有限傅立叶变换研究了矩形的变形。边界积分公式很受欢迎，因为它们依赖于Fredholm积分方程的成熟理论，并且计算量较小。积分方程法在位势理论和弹性静力学中的应用见[19]。Altiero和Gavazza[27]提出 了 一 种 线 性 弹 性 静 力 学 的 统 一 边 界 积 分 方 法 。Heise[28，29]应用边界积分方程处理具有间断边界条件的弹性静力学问题.Koizumia等人[30]提出了一种利用热弹性势进行热弹性静力学边界积分方程分析的方法。文[3]中处理了混合边界条件。Helsing[31]提出了一种积分 方 程 方 法 ， 用 于 求 解 边 界 连 续 部 分 上 Dirichlet 和Neumann混合条件下的LaplaceKhuri[32]考虑了混合型边值问题及其应用。Gjam等人。[33]考虑具有混合条件的椭圆，并在边界处使用具有对数行为的调和函数。角边界点引入解的奇异行为。在拉普拉斯算子和弹性问题的文献中，存在着对奇点的广泛处理威廉姆斯[34]讨论了板中的应力奇异性。文[35]中讨论了一种求解混合边界条件下平面势问题的算法，该算法涉及奇点的提取。Gusenkova和Pleshchinskii [36]构造了沿光滑弧含缺陷弹性体的具有对数奇点的复势。Abou-Dina和Ghaleb[22]在矩形区域边界上引入对数奇异性，以近似求解具有混合边界条件的拉普拉斯边值问题。Kotousov和Lew [37]研究了板角部各种边界条件下的应力奇异性。El-Seadawy等人。[38]使用混合几何解决2D问题，包括椭圆和圆的部分。用多项式函数局部平滑角点。Helsing和Ojala[39]在具有大量角点和分支点的区域上通过边界积分方程方法处理椭圆问题的角点奇异性Helsing[40]提出了一种处理分段光滑曲线上奇异积分方程的快速稳定算法角点处的混合型边界条件在[22，41，42]中进行了处理。Gillman等人[43]目前技术离散边界积分方程在二维域的角落。本文在矩形区域内求解了一个非耦合热弹性问题。热问题有一个已知的封闭形式的解。力学边界条件是混合型的：一半边界上的压力是可变的，另一半是固定的。本文应用文[33]中提出的纯弹性问题的半解析格式一个子问题在边界上给出应力，而另一个子问题在边界上给出位移。这两个子问题中的每一个都在边界的一部分上具有规定的条目，而另一部分携带未知值，作为解的一部分被确定。这两个子问题得到一个边界积分方程组，其框架在[5]中提出.一个简单的离散化过程最终将积分方程组简化为线性代数方程组的矩形系统，该线性代数方程组由最小二乘法求解。所得到的结果清楚地表明，在两个分离边界点的应力分量的奇异行为。对于域内的解，给出了两个基本调和函数的笛卡儿调和展开式。为了考虑奇异性，应力函数用在两个分离点处具有二阶奇异性的调和函数来丰富。在截断展开式之后，利用先前获得的值通过边界配置方法确定系数。对于实际感兴趣的功能，提供了法向截面域中的边界图和3D图文中还对所用方案的结果和效率进行了讨论。所有数据均使用Mathematica 9.0软件生成。所考虑的问题是一个长的弹性垫支撑模型，因此具有实际意义。角点和混合边界条件的存在从计算的角度来看是具有挑战性的，并清楚地表明所提出的方法的效率。2. 问题描述本文用边界积分法处理由各向同性均匀弹性材料制成的圆柱体的非耦合平面热弹性理论圆柱体的法向截面D是单连通的，并由一条光滑的轮廓线C限定。控制方程，边界条件和其他封闭关系制定在直角坐标系（x，y）与原点O内的域。圆柱体的侧面受到横截面平面内的力的作用。不考虑体积力或热源。轮廓C关于通常极角θ的参数方程为：x=x（θ），y=y（θ）。（一）向量τ和n分别表示在轮廓上任意点处与C相切的单位向量，以及在该点处的单位向外法线。这两个向量构成了一个基础，类似于正交笛卡尔坐标系的基础，并且可以容易地根据指定为角度θ的方向x方向和y方向来计算。矩形正截面热弹性长杆在混合边界条件下的变形451∫布拉奇∈4xxXyC.ΣXY=.++−3. 基本方程uT=α（1+ν）M（T dxM0Tc dy），根据[4，5]，下面列出了控制方程，没有证明。温度的精确解在其他地方以封闭形式给出（参见。[44]）。vT=α（1+v）M（T dxM0Tdy）（七）3.1. 平衡方程在应力法中，相同非零的com-是温度位移。 （7）中的积分为注：[1]，第323页。点MD是计算位移的一般点，而初始点M0在横截面区域或边界C上适当地选择。关系式（7）产生：横截面中的应力分量由2应力函数U导出：∂φ ∂φc ∂ψμu=（3− 4ν）φ−xx−yx−x+ 2μuT，2cφ φc2002年2002年2002年μv=（3− 4ν）φ−xy−yy −y+ 2μvT（8）σxx=y2，σxy=−2.（二）其中μ=E是弹性材料的刚性模量，材料2（ 1+v）这个函数满足双调和方程的相容条件：U = 0。（三）广义胡克定律是这样的σν E uvE u αET（1+ν）（ 1− 2ν）<$x <$y（ 1+ν）<$x（1 − 2ν）俄乌·阿夫σ=2（1 +v）（4）因此，在没有热源的情况下，温度对弹性解的唯一贡献被限定为位移表达式中的附加位移uT和vT4. 伴随条件对于所考虑的问题的唯一解，基本场方程和边界条件由去除刚体运动的条件和其他没有物理洞察力的条件补充。详情见[45]。4.1. 边界条件σ=νE。简体中文Ev− αET（1+ν）（1 − 2ν）x y（ 1+ν）y（1 − 2ν）所考虑的问题涉及混合力学边界条件。其中E、ν和α分别表示杨氏应力函数U求解Eq. (3)通过两个调和函数表示为：U=xφ+yφc+θ（5）• 弹性力学的第一个基本问题假设总外表面力的给定分布的密度为：f=fxi+fyj=σnxi+σnyj，边界条件的形式为fx=（xφyy+2φc+yφc+10yy）ystec+（xφxy+yφc+10y yXY x·其中上标F =−y yyωcystecxy）ω，c cxstec如：应力分量用φ和φ表示y（xφ xy+yφxy + xy）ω −（xφ xx+2 φx + yφxx + xx）ω。（九）∂2 φφcφ2c∂2ψ• 弹性力学的第二个基本问题σ xx=x <$y2 +2 y+y y2 +双头2假设位移矢量为xφ 2y=2φc∂2ψ（六）d=di+dj=dn+dτ，σxy= −xxx y n τ<$2φ <$φ<$2 φc <$2<$σyy=x<$x2+2<$x+y<$x2+<$x2笛卡尔位移分量u和v给出为：E U E边界条件的形式为2μdx=（ 3− 4ν）φ−x φx−y φc−x+ 2μuT，2 μ dy=（3 − 4 ν）φ c− x φ y− y φ c− y+2 μv T。4.2. 刚体运动消除（1+ν）u= −λ x+4（ 1−ν）φ+1+νuT，E（1+v）哪里U v=−+4（1−ν）φ+EvT1+νYY−+452A.Y. Al-Ali等人本文的边界条件禁止弹性解中的任何刚体运动。在设定上述任何一个伴随条件时，需要求出任何调和函数 f关于边界上 x和 y的前两阶导数。这些可以按照[45]中的解释计算。矩形正截面热弹性长杆在混合边界条件下的变形453Xy..1998年，、）h0（x-年）22024.3. 附加简化条件为了简单起见，在边界点处采用以下补充的纯数学条件，其中 θ=0：x（0）φ（ 0）+y（ 0）φc（ 0）+（ 0）= 0x（0）φc（ 0）−y（ 0）φ（ 0）+φc（ 0）=0x（0）φx（ 0）+φ（ 0）+y（ 0）φc（ 0）+φx（ 0）= 0x（0）φy（ 0）+φc（ 0）+y（ 0）φc（ 0）+φy（ 0）= 0Tc（0， 0）= 0（10）利 用 调 和 函 数 φ 和 φ （ 及 其 共 轭 ） 的 边 界 积 分 表 示 和Cauchy-Riemann关系，上述方程和条件可化为边界积分方程。详情可参见[4，5]。5. 域内调和函数的计算对于所考虑的情况，允许计算横截面区域内未知函数的解析公式被视为笛卡尔调和函数的展开式，其系数在截断后由边界坐标法确定φ（x，y）=A+ a0 x+ b0 y+ c0 xy+ d0（x2− y2）边界条件在求解过程中，将确定上述方程中出现的所有系数6. 数值处理数值处理分两个阶段进行：• 利用调和函数的边界积分表示，将所有基本方程和条件转化为边界积分方程，然后通过将全角2π均匀地分成足够多的部分并在边界上放置相应数目的节点来离散这些方程。因此，轮廓C近似为具有不等边长的断开的闭合轮廓从节点集合中排除过渡点。D上的任何围道积分都近似于有限和。沿着C的函数的导数以适当的方式近似这对于该方法的有效应用是至关重要的对于任何节点，沿着边界的函数的一阶和二阶导数通过考虑在所考虑的节点的左侧和右侧的相等数量的节点处的函数的值来计算。数值实验表明，这种切向导数的计算方法可以平滑导数的任何不连续性，类似于Fourier级数在跳跃时的行为边界上的可去奇点∞ ∞+。一个ncos nx cosh ny+。b ncosnx sinh ny积分也要注意。计算细节可以在其他地方找到（参见）。[5，33，46]）。离散化后n=1∞n=1∞在所有的基本方程和条件中，线性矩形+。c nsin nx cosh ny +.（11）第一次见面最大的代数方程组得到的边界-n=1n=11未知函数的值。这是由最小二乘法解决的。解的最大误差φc（x，y）=B−b0x+a0y+2d0xy−c0（x2−y2）注意到了• 进行边界分析，以评估∞ ∞+。d ncos nx cosh ny +.c ncos nxsinh ny不同函数在过渡点处的行为类型。在此基础上，讨论了奇异函数的类型n=1∞n=1∞将确定要添加到表达式中的S。- 我是说...b nsin nx cosh ny −.a nsin nx sinh ny，然后使用边界配置来找到系数n=1n=1在横截面域中的基本函数的上述展开。n（x，y）=C+ f0 x+ g0 y+ h0 xy+ k0（x2− y2）∞ ∞+。f ncos nx cosh ny +.gn cos nxsinh ny7. 数值结果n=1∞+hnsinnx coshnyn=1∞n=1使用正交笛卡尔坐标系，原点O位于矩形的中心，x轴沿矩形的长轴。设2a和2b分别为长度+knn=1C x y=sinnx sinhny+Q <$S（x，y），（12）12 2和矩形的宽度，而θ表示矩形上一般点的极角。对于尺寸分析目的，半长取为特征长度，即a=1。因此，b=0。七是具体性。很明显，矩形的-2角边界属于C类，因此∞ ∞不满足有效的光滑性条件+。k ncos nx cosh ny +.hn cos nxsinh ny目前的做法。平滑过程旨在G−g0x+f0y+2k0xy−454A.Y. Al-Ali等人n=1∞n=1∞实现一个新的边界接近原来的一个和归属2- 我是说...g nsin nx cosh ny −.f nsin nx sinh ny，n=1n=1C类至少. 图 1显示了原始轮廓，其中，RNS是适当选择的调和函数，其在力学过渡点处具有奇异行为。域的边界服从以下边界条件：一个是为了比较。在对向角2°> 0 °的角部处对零件进行平滑。矩形正截面热弹性长杆在混合边界条件下的变形455=∞μ2双cosh（ 2bμk）K−图1矩形。原始边界和平滑边界。热条件• 诺依曼式电子邮件n=0 为 x= −a，−b≤y≤b，y= − b，−a≤ x≤ a，• Dirichlet型T=0 为 x=a，−b≤y≤b，• 罗宾型电子邮件n+Bi（T−1）= 0为y=b，−a≤x≤a其中Bi= 0。1.由于热流通过上边界进入，热流通过右边界流出，在矩形内建立了一个稳定的温度场。机械条件• 边界的右半部分受到强度为p的张力，由下式给出p（θ）=h2cos8θ，0≤θ θ1且θ2<θ≤2π，（13）H2 0。1.这种选择使得张力分布在其定义区间的两端足够平滑地趋于零。选择较硬的外加张力必然会增加计算误差。• 左半部分的边界是完全固定的，u=0 ，v=0 ，π≤θ≤3π 。（十四）在[22]中给出了对该公式的分析，其中表明温度函数的一阶导数和二阶导数在矩形的右上角具有不同类型的奇点。为了计算温度位移uT和vT，点M0取在矩形的中心，即坐标的原点。然后，在由平行于坐标轴的线段形成的路径上容易地执行（7）中的积分。所得表达式关于坐标轴没有对称性。力学问题被两个子问题代替，一个具有给定的应力，另一个具有给定的（零）边界位移，有一个共同的解（参见：[33]）。对于这两个子问题中的每一个，边界条件被给定为边界的一部分，并在另一部分上补充未知值，作为解的一部分被确定。在[45]之后，这两个子问题中的每一个的方程都被简化为边界积分方程组，然后如上所述对其进行离散通过在基本调和函数中加入一个奇异解，以展开的形式在横截面区域内求解，证明了两个分离边界点处应力分量的奇异性。这些展开式中的系数由边界配置法确定。给出了边界上和块体中未知函数的曲线图讨论了所用数值格式的有效性所有数据均使用Mathematica 9.0软件生成。虽然关于转变点的x轴和力学边界条件的类型存在对称性，但值得注意的是，由于进入边界条件的温度位移uT和vT缺乏对称性，基本未知函数的解关于坐标轴没有特定的对称性。无分析溶液可供比较。下图显示了使用217个节点获得的最佳结果在这种情况下，最优性意味着更少的波动和更规则的曲线。为了找到展开式的最佳截断，进行了许多实验结果表明，调和函数φ、φc、φc的展开式中的185项可得到最优结果。所有方程组均采用最小二乘法求解。图2给出了仅由温度引起的边界位移。这种位移不一定满足任何边界条件。边界分析清楚地表明，在边界分离点的应力分量中出现基于这一观察，基本调和函数的展开式已被丰富为2 2涉及在分离点处具有奇异边界行为的步骤在正交笛卡尔坐标系（x，y）中的热问题的精确解是已知的（参见[44]）：建立这样一个功能，在附录中。图中的图。图3- 7示出了根据边界分析计算的基本未知函数的值（虚线），T（x，y）= 2 Bi..K（1）kΣμk+sinh2bμ（）这些函数的值是从表达式中获得的（直线曲线）。函数的最大差异φ、φc、φ c和U不超过0.0084。接下来是×cos[（a+x）μk] cosh[（b+y）μk]（15）哪里πμ k=（2 k+1）2定义边界条件的函数，对于边界固定部分上的位移函数u和v，最大绝对值不超过0.012和0。0079，回复。对于给定应力的那部分边界上的正应力σnn和切向应力σnτ，k0=456A.Y. Al-Ali等人图2 边界上的温度位移u T和v T。图3边界上的调和函数图4边界上的应力函数最大值不超过0.0082和0。0083，分别。在全局上，可以说所提出的级数解满足所有边界条件，绝对误差小于0.012。在图8的左侧表示了变形轮廓，其显示了外部机械和热因素的组合作用。在这里，我们注意到边界的部分固定的完成。这幅图的右边部分显示了仅由温度引起的边界位移，即温度位移uT和vT的乘积。应力矢量的边界分布的大小和方向如图9值得注意的是，这个向量在边界的右半边到处都是向外的，而在左（固定的）半边是向内的。有两个位置靠近分离点，另外两个位置在左角，应力矢量在这些位置获得相对较大的值。正是在这些位置，边界可能发生分离。在曲线图5边界上的位移。图6边界上应力张量的分量矩形正截面热弹性长杆在混合边界条件下的变形457图7C上应力张量的切向分量和法向分量。图8总位移（左）和温度位移（右）。显示原始边界以供比较（虚线曲线）。图9边界上的应力矢量分布。对于图1中边界分析（虚线）得到的法向和切向应力分量，7.第一次会议。图11U（x，y）。在横截面区域内实际感兴趣的函数的分布如图1和图2所示。10- 12号。为方便起见，这些图中还显示了绘制这些函数的横截面域。图10T（x，y），uT（x，y）和vT（x，y）。458A.Y. Al-Ali等人.=−=Σ. ic2Ree×≥12∫Σ−8. 结论图12u（x，y）和v（x，y）。根据复变元z的积分指数E1（z）定义为（[47，p. 62]）：本文用边界积分法求解了矩形板的线性、非耦合热弹性E1（z）=n∞e−tdt=e−z∞e−tDT在混合机械条件下，zt0t+z∞n n边界固定，另一个受到可变的张力。一个已知的精确的解决方案中使用的温度。在边界上和截面域内求出了未知函数。通过引入一个奇异的调和函数来处理应力函数在过渡点处的弱奇异性γln（z）（−1）z，（A.2）n=1n n！其中γ0. 5772156649是著名的欧拉常数，得到：在这些点上，通过使用多项式进行平滑来去除边界角点效应（参见图1）。[38]）。沿边界的导数使用30个相邻的f（x，y）=1y2π21C12E1（c1）好吧点，从所考虑的节点的每一侧15对于目前的选择，边界分析中出现的误差不超过1。210− 2在域内，未知函数用调和函数展开。采用边界配置法，coe adjacent.显示了由于单独的热效应和由于热-机械联合作用引起的边界变形。结果表明，边界固定部分的潜在脱粘可能发生在过渡点附近或固定拐角处。同样的方法也可应用于其它类型的热或机械边界条件。奇异函数的形式必须分别为每种情况下发现。本调查可能是感兴趣的，在机械载荷和热作用下，当这两个因素都很重要时，在长垫支撑的应力致谢作者想表达他们的谢意和感谢裁判的耐心阅读工作和宝贵的意见。附录A.处理奇点为了模拟应力在过渡点处的奇异行为，在上半平面中引入调和函数{（x，y），y0}，在坐标原点处具有弱奇异性：所得到的函数以两个边界分离点中的每一个为中心。在上述展开式中，所得两个函数的和被取为ε S引用[1] W. Nowacki ， Thermoelasticity ， in ： Th. 冯 · 卡尔曼 Dey-den（Eds.），国际航空航天专著系列，第一部分：固体和结构力学，第3卷，Addison-Wesley出版公司，Reading，MA，Palo Alto，London，1962.[2] M.U. Shanker，R.S.张文，非对称热弹性力学中的奇异积分方程2（1）（1972）59[3] B.M. Singh，R.S.张文，稳态热弹性力学和静电学的混合边值问题，J. Therm.应力1（1）（1978）1-11.[4] M.S. Abou-Dina，A.F. Ghaleb，关于热弹性平面理论的边界积分公式，J. 温度应力25（1）（2002）1[5] M.S. Abou-Dina，G. El-Seadawy，A.F. Ghaleb，关于热弹性平面问题的边界积分公式及其应用（计算方面），J. Therm.应力30（5）（2007）475-503。[6] A.R. El-Dhaba '，A.F. Ghaleb，M.S. Abou-Dina，无限长椭圆柱体的平面非耦合线性热弹性问题的边界积分法，J. Therm.应力26（2）（2003）93-121。[7] N. Hasebe，X.王嘉，热应力问题的复变方法应力28（2005）595[8] V. 张文，等.弹性半空间及其它典型域的数值积分.工程学报，2001，13（1）：111 - 112.绑定34（2）（2010）158f（x，y）=1+∞y2 π0C212i+c1+C212i+ c2e−d （ A.1）[9] V. S.E. R. E.应力33（4）（2010）356+Σ矩形正截面热弹性长杆在混合边界条件下的变形459[10] V.Seremet ， Exactelementarygreenfunctionsandpoisson-typeintegral formulations for a thermoelastic half wedge withapplications，J. Therm.应力33（12）（2010）1156[11] V. 张文，张文，等，热弹性力学中格林型积分公式的一种新方法. 数学69（4）（2011）313[12] V. 张文，等.热弹性楔的精确格林函数和积分方程.应用力学与工程学报，2000，24（1）：117 - 118.绑定35（3）（2011）327-332。[13] V. 热弹性象限的新闭型格林函数和积分公式，应用数学模型。36（2）（2012）799[31] 张文，解混合型边界条件椭圆问题的积分方程方法，北京：计算机科学出版社，2001。Phys.228（2009）8892-8907。[32] M.A.胡瑞，混合型方程边值问题及其应用，非线性分析。74（2011）6405-6415。[33] A.S. Gjam，H.A. Abdalam，A.F.用边界积分法求解椭圆上具有混合边界条件的线性平面弹性问题，J.埃及。21（3）（2013）361-369。[34] M.L. Williams，各种边界条件引起的应力奇异性，J. Appl. 机甲19（4）（1952）526[14]第五章弹性体的S-ε re remet，R-εr er[35]中国农业大学学报.哈斯，H. Brauchli，Cauchy积分的奇异性提取格林温度应力37（5）（2014）561-混 合 边 界 条 件 平 面 位 势 问 题 快 速 求 解 器 的 一 个 关 键点 ， J 。Comput. Appl. 数学 44（1992年）[15]诉 Se remet，G. 阀盖，N ew闭合-用于抗弹性体167-186.四分之一平面的格林函数和泊松型积分公式，数学计算。模型53（2011）347-358。[16] V. V. Meleshko，弹性矩形的平衡：Mathieu-Inglis- Pickett解决方案重新访问，J. Elast。40（1995）207-238。[17] V.V. Meleshko，弹性矩形固支板的弯曲：精确解与埃拉斯特48（1997）1[18] V.V. Meleshko ，弹性矩形中的热应力，J 。埃拉斯特 105（2011）61[19] M. A.Jaswon，G.T.陈文，张文生[20] J. Helsing，R. Ojala，关于近源层位的评价，J。Comput. Phys.227（5）（2008）2899[21] G. Fairweather，A.张文，解椭圆边值问题的基本解方法。Math.9（1998）69-95。[22] M.S. Abou-Dina，A.F. Ghaleb，A variant of Tre Schultz'smethodby boundary fourier expansion for solving regular and singular plane boundary-valueproblems），J.Comp.Appl.Math.167（2004）363-387。[23] W.W. Read，混合边界条件下拉普拉斯问题的解析级数法209（2007）22-32.[24] R. Haller-Dintelmann，H. C.王文，含混合边界条件的椭圆模型问题，数学与应用学报，2008年，第89期，第25-48页。[25] N.科斯泰亚岛Firoiu，F.张文，非光滑位势和混合边界条件下的椭圆边值问题。应力58（9）（2013）1201-1213。[26] A.R. El-Dhaba，M.S.Abou-Dina，A.F.Ghaleb，Deformationfor a Rectangle by a Finite Fourier transform ， J.Comput.Theor. 纳诺斯基12（2015）1[27] N.J. Altiero ， S.D. Gavazza ， 统 一 边 界 积 分 方 程 方 法 ， J.Elast。10（1）（1980）1-9。[28] 联 合 张 文 龙 ， 平 面 弹 性 静 力 学 边 值 问 题 的 积 分 方 程 和Kupradze函数方程的系统编制埃拉斯特10（1）（1980）23[29] 联合Heise，不连续边界值平面弹性静力问题的积分方程解，J.Elast。12（3）（1982）293-312。[30] T. Koizumia，T.Tsujib，K.Takakuyang，T.涩谷湾张文，张文，等.热弹性力学中的边界积分方程分析.应力11（4）（1988）341-352。[36] A.A. Gusenkova，N.B.张文，张文，等.含缺陷区域平面弹性理论边值问题中的对数奇异积分方程.应用数学与工程学报，2000（3）：435[37] A. Kotousov ， Y.T. Lew ， Stress singularities resulting fromvarious boundary conditions in angular corners of plates ofarbitrary thickness in extension，Int. J. Solids Struct. 43（17）（2006）5100- 5109.[38] G. El-Seadawy，M.S. Abou-Dina，S.S. Bishai，A.F.张文，张文，等.弹性力学中的边界积分方法及其在弹性力学中的应用[J].力学学报，2000，21（1）：117 - 118.[39] J. 赫尔辛河张文，张文生，等.椭圆问题的角点奇异性：积分方程、梯度网格、求积和压缩逆预处理.Comput. Phys. 227（20）（2008）8820[40] 张文，一种求解分段光滑曲线上奇异积分方程的快速稳定算法，北京交通大学学报，2001。Comput. 33（1）（2011）153-174，doi：10.1137/090779218。[41] Z.- C.李，P. - C.朱湖J. Young，M.- G.李，线弹性静力学角点和裂纹奇异性的特解和基本解的组合特雷茨方法，工程分析。绑定Elem.34（2010）632-654。[42] M.- G. 李湖，澳-地J. 杨，ZC. 李，P. -C. 朱立文，线性弹性力学角点处的混合型边界条件及其数值解，工程分析绑定Elem.35（2011）1265[43] A. Gillman，S. Hao，P.G. Martinsson，A simplified techniqueforthe efficient and highly accurate discretization of boundaryintegral equations in 2d on domains with corners，J. Comput. 256（2014）214[44] J.A. Kolodziej，M.张文，边界配点法与有限元法在二维调和问题中的比较，北京：计算机科学出版社。Struct.33（1）（1989）155-168.[45] M.S. Abou-Dina，A.F. Ghaleb，关于弹性力学平面理论的边界积分公式及其应用（分析方面），J. COMPUT。106（1999）55-70。[46] M.S. Abou-Dina，A.F. Ghaleb，关于弹性力学平面理论的边界积分公式及其应用（计算方面），J. 159（2003）285-317。[47] E. Janke，F.Emde，F.Lösch，表的高级功能，Nauka，莫斯科，1968年。（俄文）