可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报6（2019）296在多目标多实现优化模型中利用随机总体替代模型估算非均质导水率时考虑不确定性的水力挡水结构的优化设计Muqdad Al-Jubooria，b，Bithin Dattac詹姆斯库克大学科学与工程学院，Townsville，QLD 4811，澳大利亚b伊拉克瓦西特，瓦西特大学工程学院c澳大利亚昆士兰州汤斯维尔詹姆斯库克大学科学与工程学院土木工程学科阿提奇莱因福奥文章历史记录：2018年6月10日收到2018年12月11日收到修订版，2018年12月22日接受2018年12月24日在线提供保留字：基于可靠度的优化设计非均质渗透系数非支配排序遗传算法多目标多实现优化模型渗流数值分析A B S T R A C T为寻求水工挡水建筑物的最优可靠设计方案，采用基于可靠度的优化设计（RBOD）模型，对由于非均质渗透系数（HHC）的不确定性这包括将可靠性措施纳入最低成本HWRS设计，并利用基于各种随机集成代理模型的 多 实 现 优 化 技 术 。 为 了 提 高 RBOD 模 型 和 直 接 搜 索 优 化 求 解 器 的 效 率 ， 采 用 了 多 目 标 多 实 现 优 化（MOMRO）模型。一些随机优化约束可以被公式化为在MOMRO模型中被最小化的第二目标函数。这可以显着提高搜索效率的多目标非支配排序遗传算法-II（NSGA-II）的使用，并帮助确定更多的可行的候选解决方案在搜索空间。高斯过程回归被用来开发代理模型，这些模型是在从数值渗流模拟创建的大量数据集上训练的。还考虑了其他HWRS安全因素和条件（如倾覆、漂浮、滑动和偏心载荷）的不确定性影响结果表明，在HHC估计的不确定性显着影响最佳HWRS设计。因此，基于水力传导率的预期值创建的确定性最优解不足以进行可靠的HWRS设计。开发的MOMRO模型，这是基于合奏的方法，解决了一些影响HWRS设计的HHC值的不确定性。此外，MOMRO技术提高了优化搜索过程的效率，并促进了直接搜索过程以提供许多最佳备选方案。©2018计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个开放在CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）下访问文章1. 介绍岩土工程过程的应用包括由于土壤性质的变化，存在广泛的不确定性。不确定性的主要来源是长期的环境影响。由计算设计与工程学会负责进行同行评审。*通讯作者。电 子 邮 件 地 址 ： muqdad. my.jcu.edu.au （ M.” （ 《 明 史 》 ） ， 《 明 史 》 。datta@jcu.edu.au（B. Datta）。网 址 ： http://orcid.org/0000-0001-9148-8563 ， https://scholar.google.com.au/ci-tations？user=8cr3nxQAAAAJ& hl=en（M. Al-Juboori），http://scholar.google.com.au/citations？用户=uwHmi3sAAAAJ&hl=en，https://www.researchgate.net/profile/Bithin_Datta/出版物（B. Datta）。影响、实验室测量和统计分析中的错误以及用于土壤取样的样本数量不足。因此，很难确定地下土壤环境中每种元素的行为。土壤参数的不确定性对设计变量有很大影响，因此可能对结构的安全性产生不利影响。因此，设计的可靠性是工程设计和应用中必须考虑的问题。可靠性分析需要分析土性参数的统计特性、设计准则和确定设计可靠度的方法。因此，本研究采用基于可靠性的优化设计（RBOD）模型来量化可靠性分量设计过程中，同时管理估计的不确定性由于土壤渗透特性的不确定性，https://doi.org/10.1016/j.jcde.2018.12.0032288-4300/©2018计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。M. 朱布里湾Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）296297名词和缩略语基于RBOD可靠度的优化设计HHC非均质渗透系数HC渗透系数（m/天）HWRS水工挡水结构有限元法MOMRO多目标多实现优化d1d2bb*上游截流深度（m）下游截流深度（m）HWRS宽度（m）HWRS上游侧部分地板HHSLHSPc1Pe2ieLRCV上游水头（m）Halton序列拉丁超立方抽样法上游扬压力（m）下游扬压力（m）出口坡度是说标准偏差变异非均质导水率（HHC）的估算。基于多目标多实现优化（MOMRO）技术，建立了RBOD模型，利用多种代理模型确定水工挡水建筑物的优化设计。HWRS设计受渗流量的影响很大。此外，水力传导系数（HC）的空间和方向变化较大，变异系数（CV）约为200&在田间很少发现同质或同位素土壤（Freeze，1975; Lambe Whitman，2008）。最近，岩土工程和结构设计规范强烈建议将不确定性纳入材料特性、参数、荷载、分析方法和实验误差的分析中，以解决设计不确定性问题（ACI委员会美国混凝土协会国际标准化组织，2011年;标准化，2004年）。因此，在本研究中，考虑了非均质水力传导系数（HHC）的参数。根据不同的CV值，从对数正态分布中随机抽取HHC值。在与水利枢纽设计相关的渗流分析中，对HHC进行了简化，为安全可靠的定量设计提供了依据。渗流分析必须准确，并适用于涉及HHC的复杂流域。即使对于均匀、简单和对称的流域，HWRS下的封闭形式渗流分析也是一项复杂的工作，涉及保角映射变换和复积分（Harr，2012）。相应地，许多适用于简单情况的不精确的近似理论和方法已被发展用于HWRS下的简化渗流 分析 （Bligh， 1915; Khosla， Bose ， Taylor， 1936; Lane，1935）。然而，这些方法和理论都是不适用的多孔介质中的复杂流动域。然而，基于有限元法（FEM）的数值渗流模拟可用于准确确定渗流量，例如复杂流域中的HHC（Cho，2012; Griffiths Fenton，1993;Shahrbanozadeh，Barani，Shojaee，2015）。土壤性质的不确定性和变化对设计可靠性的影响已得到广泛研究（ Baroni ， Zink ， Kumar ， Samaniego ， Attinger ， 2017;Christian，Ladd，Baecher，1994; Deng，Li，Qi，Cao，Phoon，2017; Duncan ， 2000; Hicks&Spencer ， 2010; Hicks ， Nuttall ，Chen，2014; Popescu，Deodatis，&Nobahar，2005）。具体而言，对于与水力结构相关的渗流，大多数研究都集中在基于不同概率分布函数（PDF）或不同均值和标准差集生成的不同水力传导率实现的渗流特性随机分析上（Ahmed，2012; Griffiths Fenton，1993，1997; Le，Gallipoli，Sanchez，&Wheeler，2012）。这些研究的最重要结论是，渗流特性受参数估计的不确定性程度的显著影响因此，这可能会对设计的性能和安全性产生负面近年来，一些研究在设计中使用随机模拟，它将随机场与数值模拟结合起来，以量化设计例如，Griffiths和Fenton（2004）使用随机FEM，Zhu，Wang，Li，Liu和Cheng（2017）使用加权动态响应面方法。Jiang、Li、Zhang和Zhou（2014）使用了非侵入式随机有限元法，Deng等人使用了多响应面法。（2017年）。其他研究人员已经用随机响应面模型取代了计算昂贵的数值模拟来量化可靠性（Mollon，Dias，Soubra，2009，2010）。由于可靠性分析的复杂性，在以往的岩土工程和水工结构研究中，很少关注土壤参数估计的不确定性将可靠性纳入HWRS设计中有助于理解其后果，并提供更安全的设计。最小化建造成本是大型工程建造（例如HWRS）中的重要目标，并且更保守的设计在成本方面可能是低效的。此外，由于这些项目需要大量的建筑材料和工程工作，具有成本效益的HWRS设计可以显著降低总建筑成本。因此，在这项研究中，基于MOMRO框架的RBOD技术被用来确定最佳的HWRS设计，以最小的成本提供所需的可靠性。由于采用数值模型分析渗透量，并结合HHC的不同实现，因此难以使用传统的可靠性分析方法（Baecher&Christian，2005）。因此，在这项研究中使用的可靠性方法是基于一个多实现的概念，基于多个随机响应的数值渗流模拟。由于直接将模拟模型连接到RBOD模型是一项耗时且计算昂贵的任务，特别是对于包含HHC的问题，因此开发了许多集成代理模型并将其连接到RBOD模型以准确预测HWRS渗流特性的随机响应本研究的目的是确定可靠和具有成本效益的优化HWRS设计，将不确定性纳入HHC估计。所实施的方法基于使用MOMRO技术的RBOD框架，该技术基于高斯过程回归（GPR）机器学习技术从经过良好训练的代理模型中整合多个随机响应这些随机响应代表了嵌入随机约束和目标函数298M. 朱布里湾Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）296k@@@关于MOMRO通过施加可靠性约束，将可靠性准则量化最后的优化设计必须满足约束条件，这些约束条件是基于满足指定可靠性约束条件的预测代理模型集合的指定部分此外，估计的可靠性是基于满足设计标准的可靠性约束的单个代理模型的数量与集合中的模型总数的比率或者，一些满意度可以被施加，相当于随机约束，以反映所施加的可靠性的设计标准。将满足安全出口坡度值的HWRS设计随机约束优化求解器，非支配排序遗传算法-II（NSGA-II），最小化两个随机目标：出口梯度和建设成本。所需的可靠性水平被隐含地纳入目标函数和显式地纳入约束。所用的模拟模型和最佳设计的公式将在下面的章节中讨论2. 材料和方法2.1. 渗流概念模型与试验设计在HWRS中，渗流过程由拉普拉斯方程控制。渗流分析的拉普拉斯方程，如方程（1）所示（1）仅限于均匀同位素导水率和假设的稳态条件。否则，很难找到HHC的HWRS渗流特性的封闭形式解。2小时2小时2小时x@x2ky@y2 kz@z2¼0 1其中kx、 ky和kz分别是x、y和z或者，可以使用基于FEM的数值技术来求解HHC问题的拉普拉斯方程并确定渗流特性。然而，数值模型并没有提供一个通用的和明确的关系，渗流分析，可以纳入RBOD模型。不可能将数值渗流模拟（FEM）代码直接链接在优化过程中，对于每个新的候选决策向量，模型几何形状和数值模型边界条件是不同的有限元网格的数目、属性和位置也是变化的。此外，直接将数值模型连接到RBOD模型是一项耗时的任务，因为NSGA-II多次调用数值模型来评估优化求解器提供的所有候选解的目标函数和约束。此外，数值渗流模拟的情况下，包括HHC需要更多的时间比模拟的情况下，包括均匀渗透系数。例如，具有从对数正态分布（CV= 182.5%）得出的HHC的情况的模拟时间为2.37分钟。本研究中使用的模拟在相对高速的处理器（基于Intel®CoreTM i7-2600 64 x的处理器，在3.4 GHz下运行，具有8.00 GB RAM）上实现。假设在技术上可以将仿真模型与优化模型（S-O）联系起来，并使用1000代和100代的种群规模以及基于NSGA-II的RBOD，则优化算法需要100，000次迭代来评估约束和目标函数并获得最优解。随后，一次优化运行需要3950小时（基于每次迭代2.37分钟），这是低效的。建立了直接连接的S-O模型以前由其他研究人员和类似的结论已经达到（Dhar Datta，2009;Mollon，Dias，Soubra，2009，2010）。因此，在本研究中，通过将S-O模型与训练的代理模型连接，采用间接连接S-O模型，以便准确地模拟数值获得的渗流响应。开发代理模型的第一步是提出HWRS下渗流分析的概念模型。该模型包括与渗流分析相关的设计变量。输入设计变量表示上游和下游截止深度（d1、d2）、HWRS宽度（b）和上游水头（H）。下游侧为零水位渗流势面，如图1所示。对每种情况下概念模型的输入设计变量进行数值处理，以确定同一情况下的输出数据（渗流特性）。可以生成几组输入数据并进行数值模拟，以获得输入-输出数据集，利用这些数据集来训练代理模型使用Halton序列（HS）方法随机生成输入数据集（Loyola，Pedergnana，García，2016）。HS方法可以提供生成的数据的更均匀的分布，并且优于拉丁超立方体采样（LHS）方法。HS方法可以均匀地覆盖整个可变极限空间，而LHS方法留下一些没有任何点的区域，并且可以在同一位置找到许多点，如图2所示。在开发鲁棒的代理模型时，具有统一的输入数据提供了更多的信息和经验，可以用来增强机器学习过程。输入设计变量的范围为d2，d1 = 0-80 m和b，H = 0-150 m。建议这些限值是为了涵盖新建HWRS的高比例预期尺寸。用作输入设计变量的生成数据的数量为150个随机病例。然而，由于使用了随机场HHC，因此每个输入设计变量的模拟次数为20次，包括每种情况下20种不同的HHC实现，以涵盖HHC中的各种不确定性。每一个单独的实现都代表了所用有限元的水力传导系数值的唯一和随机变化的分布，数字模型。具有不同标准差（r= 0.85、1.55、2.25、2.95、3.65）和常数的Fig. 1. HWRS的概念模型M. 朱布里湾Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）296299一807060504030201000 50 100150B807060504030201000 50 100 150图二. 随机数据采样使用（A）LHS方法。(B)HWRS宽度的HS方法[d1（0平均值（l= 2）用于生成不同的HHC CV值（42.5、77.5、112.5、147.5、182.5%）四个实现利用指定的对数正态分布随机生成。这些生成的值用于输入设计变量（d1，d2，b，H）。使用Geo-Studio/SEEPW数值代码（Krahn，2012）分别模拟每种情况。因此，每个输入数据集模拟20次，以生成不同的（随机）输出数据集，反映由于HHC的随机变化而导致的渗流特性的不确定性。输出数据集包括上游和下游侧的扬压力（Pc 1，Pe 2），以及四个位置的出口梯度值（即1，即2，即3，即4），如图所示。1.一、考虑了四个点的出口梯度值，以便为HWRS提供更大的安全性，用于此类非均质流域。因此，对于每个输入设计变量集（d1，d2，b，H），有20个不同的输出渗流特征集（Pc1，Pe2，ie1，ie2，ie3，ie4）与20个不同的HHC实现相关联此外，对于每个输出设计渗流变量，20个代理模型进行了训练和测试，以模拟随机数值响应。为每组渗流量开发了一个随机集成代理模型，包含20个代理模型。因此，对于一个单一的输入数据集，20个随机响应得到的集合替代模型处理的MOMRO模型。使用Box-Muller近似法（Ross，2014）生成从对数正态分布（l，r）中提取的不相关随机场。用C#编写了一个子代码，然后链接到Geo-studio/SEEPW渗流建模代码。此代码为数值模型中的每个有限元提供了一个随机值，并且该代码为每次运行提供了一个全新的随机场实现。对于对数正态分布的单一特征，随机场的不同实现的例子如图11和12所示。3A1和3A2此外，这些实现对出口梯度和扬压力分布的影响如图11和12所示。3-B1，3-B2，3-C1和3-C2。这些数字表明，由于HHC的不同实现，渗流量存在显着差异。因此，渗漏量存在明显的不确定性。2.2. 替代模型设计和开发一个有效的代理模型需要相当大的努力和系统的程序。训练代理模型并实现精确的训练性能可能更简单、更快，但这并不能确保代理模型在用于测试包含超出训练数据范围的值的因此，代理模型的设计过程必须包括一个强大的机器学习技术，良好的学习经验，获得良好的分布的训练数据集，和敏感的错误措施，以评估开发的代理模型的训练和测试性能采用高斯过程回归（GPR）机器学习技术开发用于目前的研究。GPR 技 术 可 以 有 效 地 为 训 练 和 测 试 阶 段 提 供 准 确 的 预 测（Rasmussen，2004）。GPR相对不受噪声训练数据的影响，并且其泛化能力优于其他机器学习技术，例如支持向量机和人工神经网络（Heet al.，2017; Kang，Han，Salgado，&Li，2015;Kang，Xu，Li，&Zhao ， 2017; Li 等 人 ， 2017; Samui& Deswal ， 2010;Samui&Jagan，2013）。简单地说，GPR技术可以基于遵循高斯分布的随机向量来探索输入和输出数据集之间的许多关系。GPR技术可以基于以下概念来识别最佳关系：如果任何提出的随机向量都接近目标数据集（Rasmussen，2004; Roberts等人，2013年）。GPR技术驱动函数f（x）来描述基于随机向量的均值函数（mxω）和协方差函数kx;xω其中xω是观测数据。GPR功能类似于多变量高斯分布，如方程所示（二）、f<$x<$GP <$m <$x <$;k<$x ;xω<$x;x3R<$2<$开发的探地雷达代理模型使用Matlab编程语言进行训练。表1中列出的GPR参数是在多次试错迭代之后选择的，以在训练和测试阶段中以最小误差实现最佳预测。 此外，不同的培训/300M. 朱布里湾Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）296图3.第三章。一个随机选择的情况下，包括不同的实现HHC（A1，A2）从同一个标准差（2，3.65）。B1、B2对HHC（A1、A2）的不同实现方式对出口梯度分布的影响。C1、C2对HHC（A1、A2）的不同实现方式对总水头分布的影响。随机选择测试数据并进行测试，以找到每个替代模型的最佳GPR参数集。其他参数保持与默认Matlab值相同源数据分为训练数据集和测试数据集。由于建议将大部分数据用于训练（Alpaydin，2014），并且由于测试集不M. 朱布里湾Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）296301BbI¼我yyi1P. bb--ÞPI¼I1Pn阿夫里P.by-y×100i-y我-测量数据方差值为0RSR<$RMSE <$i<$1我我ð中文（简体）表1探地雷达技术参数。物业价值预测方法精确平方指数核每个预测因子拟合方法Exact基函数常数影响代理模型的性能，90%的源数据用于训练，10%用于测试。通过评估训练数据集之外的替代模型的预测准确性，检查GPR替代模型的通用性。测试误差应该接近训练误差，并且两者都必须在规定的范围内。然而，由于源数据是从随机数值模拟中获得的，因此训练和测试结果的鲁棒性略差，特别是对于具有高CV随机场的情况在RBOD模型中使用它们之前，必须准确评估代理模型的训练/测试性能。利用多种误差测度和统计评价指标对探地雷达代理模型进行了严格的评价。表2总结了每种测量方法的描述和方程，更多细节可参见Gupta、Sorooshian和Yapo（1999年）以及Moriasi等人（2007年）。其中，y是预测数据，y是观测数据，并且y<$分别指观测数据和预测数据的平均值。这些误差测量适用于所有替代模型。大多数代理模型都具有良好的训练和测试性能。虽然某些模型的检验预测效率不佳，但它们的预测仍在可接受的范围内，特别 是 出 口 梯 度 替 代 模 型 的 不 确 定 性 较 高 （ CV = 182.5% ，147.5%）。所开发的替代模型的训练和测试结果的样本在表3和图3中呈现。 四比九下表和图中的字母（A、B、C和D）是指用于训练替代模型的源数据的四种不同实现，例如，A是指第一种实现，B是指第二种实现，这些结果反映了受HHC中不确定性影响的噪声训练数据集对GPR技术的训练。2.3. 多目标多实现优化模型基于具有许多随机约束的单个目标函数的多实现优化模型的公式化可能导致次优或不可行的解决方案，这是由于必须施加大量约束作为最优解决方案的约束条件。在这项研究中，进行了许多尝试，制定一个RBOD模型与大量的随机约束和一个单一的目标函数，但得到的解决方案是不可行的。之前的几项研究比较了多目标和单目标优化模型的性能（ Yapo ， Gupta ， Sorooshian ， 1998; Zakaria ， Jamaluddin ，Ahmad，Loghmanian，2012）。这些研究的结论是，多目标公式可能会提供更有效的解决方案比单目标模型。 这些结论似乎是基于这样一个前提：大量的约束被适当的目标函数（第二目标函数）代替，该目标函数不需要达到约束所需的特定水平，计算变得更灵活，并且可能更有效。此外，由于基于多实现技术的可靠性计算需要大量的随机约束，基于进化算法的优化搜索过程可能产生不可行的解决方案。这是由于搜索效率随着约束数量和问题复杂性的增加而降低（Dorsey Mayer，1995; Kolda，Lewis，Torczon，2003）。此外，结合大量的随机约束使得难以确定因为每次迭代的随机约束提供了反映设计参数和变量的不确定性的不同响应。因此，采用了RBOD模型的新公式为了改进这种复杂优化任务的搜索过程。最重要的随机约束是出口梯度约束，因为它们受到HHC不确定性的显著影响，并对设计产生关键影响表2所用误差测量的描述。测量名称功能范围可接受范围方程相关系数（R）评估以下各项之间的线性关系观测和预测数据-1至+1≥0.5ny-y^^ffiffibyffiffiffiffiffiffib¯ffiffiΣffiffi2ffiffiðffiffiyffiffiffiffiffi-yffiffiÞffiffi2ffiNash- Sutcliffe efficiency（NSE）是衡量剩余方差的一种方法。-1到+1 0和1“Pn . by-y2#NSE1-1/1我我百分比偏差（PBIAS）提供关于预测数据的平均值较大或小于其对应的观测数据正值表示模型高估和负值我认为这个模型低估了理想值为0nPBIAS1/1我我RMSE与标准差比（RS提供错误率的指示观测数据≥0理想qPn。ffiffiyffiffiffi-ffiffibffiyffiffiffiΣffiffi2ffiSTD观察结果qPny--y2表3代理模型训练/测试误差测量的样本ie1（2.95-B）ie2（1.55-C）ie3（1.55-D）ie4（2.95-A）pc1（3.65-C）pe2（3.65-B）列车测试MSE 0.00 0.03 0.02 0.05 0.07 0.07 0.06 20.52 12.08 4.1624.73标准误差0.00 0.19 0.14 0.22 0.22 0.27 0.27 0.24 4.55 3.52 2.05 4.950.00 0.01 0.00 0.03 0.00 0.06 0.00 0.02 0.00-0.73 0.00-1.350.00 0.71 0.93 0.67 0.81 0.74 0.81 0.70 0.97 0.99 0.99 0.98RSR 0.00 0.54 0.26 0.57 0.43 0.51 0.44 0.55 0.16 0.11 0.08 0.16PBIAS0.00 3.66 0.00 5.51 0.00 11.11 0.00 5.32 0.00-1.64 0.00-3.240.99 0.88 0.96 0.82 0.90 0.87 0.91 0.84 0.98 0.99 0.99 0.991/1n-1/1我R302M. 朱布里湾Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）296见图4。 试验数据的ie4替代模型预测（r = 2.95-D）。图五. 试验数据的pc 1代理模型预测（r= 3.65-D）。M. 朱布里湾Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）296303见图6。 训练-检验替代模型的R指数（即4）（r= 2.25-C）。和安全性（Al-Juboori Datta，2018 a）。这些约束被转化为第二个目标函数，以尽量减少除了HWRS建设成本的目标函数。因此，多目标优化公式的实施，显着减少了约束条件的数量，提高搜索效率。出口梯度目标函数的可靠性也包括在内，并使用多实现技术（第2.5）实现最小成本目标函数和其他随机约束。多目标优化模型的最优解不是一个单一的解，因此，提出了一组最优解。每个连续解表示第一目标的改进和第二目标函数的恶化。因此，没有比其他方案更好的解决方案，设计人员有许多备选方案，可以从中为他们的HWRS选择最佳设计。2.4. 非支配排序遗传算法-II（NSGA-II）在许多工程应用中，可能有两个或多个相互冲突的目标。改进一个目标可能导致牺牲其他相互冲突的目标。因此，对多目标优化模型提出单一解决方案是不合适的。相反，生成一组非支配最优解（帕累托最优解）多目标规划并不像在单个目标函数中那样，分别为每个目标函数产生最优解有许多介于两者之间的解决方案，其中可以确定设计的最佳性能（BurkeKendall，2005）。利用NSGA-II的过程中，达到帕累托最优的前沿和获得一个非支配的解决方案，最终选择一个最优的解决方案的过程中，这里简要介绍如果X在所有目标函数值上不劣于Y，并且X在一个目标上优于Y，则非支配最优解X支配解YNSGA-II是一种基于种群的搜索算法，类似于遗传算法（GA）（Gen&Cheng，2000）。NSGA-II从N个随机初始种群开始，P0.此后，执行诸如二进制锦标赛选择、交叉和变异操作的普通GA操作，以生成大小为N的后代群体Qt。将P0和Qt中的个体组合成2N个群体，并利用最佳非支配排序个体逐一填充不同等级的Par- eto前沿（槽）.首先获得排名最高的非劣前沿，然后是第二个，等等。2N个个体和所有非优势前沿不能覆盖超过N个个体，所有超过的个体都被拒绝（Zakariaet al.，2012年）的报告。填补最后一个位置的选择过程略有不同，因为它可能有两个部分，并且该位置中的所有个体都具有相同的等级。第一部分人口304M. 朱布里湾Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）296-我.þMMMM见图7。 训练-检验替代模型的R指数（即2）（r= 3.65-B）。将在N内，并且群体的第二部分将大于N，其必须被删除，如图10所示。而不是使用一个非系统的过程，以填补最后一个插槽，拥挤距离的措施是用来选择更多样化的个人。拥挤距离是继非支配排序之后的第二个偏好度量如果两个解决方案是从同一个帕累托前沿选择的，那么从拥挤程度较低的区域（较大的拥挤距离di）得到的解决方案确定解i的拥挤距离是基于帕累托前沿位于i两侧的两距离d i表示根据最近解（i + 1，i 1）的位置确定的平均长方体边，如图所示。 11（Burke &Kendall，2005年）。的拥挤距离d（m），对于每个目标函数（f m; m = 1，2，.. . ，M）由Eq. （三）、许多研究人员利用NSGA-II为竞争目标函数找到最优解权衡，推断性能是有效的（Bekele Nicklow， 2007;Deb，2001;Rajabi-Bahaabadi ，Shariat-Mohaymany，Babaei ，&Ahn，2015; Yandamuri， Srinivasan ，Murty Bhallamudi，2006）。表4中列出了所使用的优化求解器（NSGA-II）的参数。这些参数是基于反复尝试寻找最佳组合而选择的。其余参数保留为默认Matlab选项。由于两个目标函数的范围显著不同，并且目标函数的容许公差选项适用于所有目标函数，出口梯度目标函数值被放大1000的比例因子，以提供两个目标的更平滑的评估。2.5. 基于可靠性的MOMRO模型的多实现优化技术是基于公式的随机约束，利用开发的合奏随机代理模型的预测。对于HWRS优化模型中的每个安全系数或条件，有一个单一的集合随机代理模型，包含20个代理模型对指定渗流设计变量的响应。 通过允许最优解满足总数中的任何分数（n），我 ¼diþMi1mmax— fi-1— f最小值ð3Þ（m = 20）的约束条件。要求的可靠性水平相当于n/m。 多实现优化技术反映了DFFM. 朱布里湾Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）296305见图8。 ie2替代模型训练性能（r= 2.95-A）。见图9。 pc 1代理模型训练性能（r= 2.95-D）。由于HHC的不确定性，例如，80%的可靠性意味着最优解满足与HWRS的每个设计安全系数相关的20个随机约束中的16个（任何）。一个 多实现技 术的基础 上的可靠 性措施 也被纳入 目标函数 的MOMRO模型。第二个目标函数，使出口梯度值最小化，通过将出口306M. 朱布里湾Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）296M≥：8M3-m-x1m-x2m-x3m-x443见图10。非支配排序和帕累托前沿选择过程（NSGA-II）。由于有四个位置来确定出口梯度值（即1、2、3、4），因此确定了每个位置的最大值（基于指定的可靠性水平），并在第二个目标函数中考虑了这些值的平均值。 同样的技术被应用于确定第一个目标函数，最大限度地减少HWRS建设成本。如图1所示，施工成本基于上游和下游底板厚度（t1、t2）、上游和下游截止深度（d1、d2）以及HWRS宽度（b）。这些变量基于渗流特性集合替代模型的随机响应。此外，Eqs. （7）满足安全设计的最佳解决方案。这些条件和安全系数是滑动、倾覆和漂浮安全系数，加上偏心载荷条件。类似地，此类安全系数已被视为关联S-O模型中的确定性约束，以获得不同情景下的最佳HWRS设计（Al-Juboori Datta，2017 a，2017 b，2018 a，2018b）。然而，在当前的研究中，这些约束是随机约束，并且出口梯度随机约束被集成为第二目标函数（等式2）。（5））。MOMRO优化模型的公式如下所示：最后，X¼。x1;x2;x3;x4;n/2fd1;d2;b;bωg最小化：f1XMa xm-x。tmma xm-x.tm1 2X2c1/4cf b最小化：f2X2017年12月24日，2017年12月24日，Max.iemmax.我是最大的。iemmax. 即mð5Þ即me mH;d1;d2;b;k m8i;m6 i见图11。 拥挤距离选择过程最后填充帕累托。我我受制于：表4利用NSGA-II参数进行MOMRO模型。Fsm美国佛罗里达Fsm美国佛罗里达≥1： 38m1/4秒/小时;d1;d2;b;km=8m= 7 m期权价值Fsm1 3mfl-ds人口规模1000Fsm/c/H;d;d;b;k800米800米交叉分数0.6帕累托分数0.45最大世代数200功能公差1 e-3约束公差1 e-3交叉功能交叉中间迁移方向fl-dsEccm≥b8mEccm≤2b8m12m目标确定中的梯度随机响应功能由于出口梯度目标函数被最小化，基于集合随机代理模型的20个随机出口梯度响应被确定并按升序排序。选择所有获得的出口梯度值的最大值以使其最小化。这相当于ECCM莫维尔MMpasm Mactm1/4Vloadm8m19 mm≥1：58mMpasm99.9%的可靠性，因为得到的出口梯度值是最安全的估计，因为所有其他随机值都小于Fover 1/4马克m8m10厘米获得出口梯度。例如，为了达到80%的可靠性，我们强制优化求解器最小化第五个最大值（基于20个响应），并允许多达四个随机值。我滑倒了M≥1： 58mC×b ×f ×Vlm出口梯度的响应要高于所选的出口梯度响应，目标函数值。FS滑动¼Hl8m11¼FSFSM. 朱布里湾Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）296307Mm12q逻辑121212121212联系我们逻辑8ÞGc;Gw;pc1;pe2随机安全系数，FsmF是倾覆--是随机滑动安全SSSMS滑Mpa sm¼fm.H;b;bω;tm;tm;km;Gc;Gw;pcm;pem8m12(i)存在m个出口梯度安全系数的实现Fsm美国佛罗里达是随机安全因素，，FFsmfl-ds我是麦克。H;b;bω;tm;tm;km;Gc;Gw;pcm;pem8m13HWRS的上游和下游楼层，以安全地平衡扬压力（Pc 1m，Pe 2m）（Bligh，1915;美国 军队Vlm¼fm.H;b;bω;tm;tm;km;Gc;Gw;pcm;pem8m14工程师，1987年）。Fsm的计算美国佛罗里达主要是基于开发的，和FFmfl-dsHl¼ fH;Gw15 mmkm¼对数正态分布ll;r8m;km20;1以及可靠性约束：随机代理模型Pc1mfsmm g和Pe2m {cm g}，分别 ECCM 是防止偏心HWRS基础上的荷载条件。Mpasm是从增加HWRS稳定性的所有力获得的被动动量，Mactm是从Zq logical¼Fsq ≥或≤FsM允许的8q;m降低HWRS稳定性的所有力，Vload m是影响HWRS的所有垂直载荷的结果。Mpasm;Mactm;Vloadm是（H;b;bω;tm;tm;km;g xXZm6DR q16米12m），如Eqs. （12）M其中maxxm-x是一个函数，按升序对随机响应进行排序，并返回排序向量的第（m-x）m是随机响应（20）的数量，x基于期望的可靠性水平;例如， 当x = 0时，可靠性为99.9%，当x = 4时，可靠性为80%，等等。和tm表示上游侧和下游侧的底板随机厚度值。cf是每平方米因子C=抗粘聚力土壤特性，f=tanε，其中ε是内摩擦角（Lj，2014）。f和C的值被假定为f=tanf= 0.7并且C= 20kPa。Hl是影响HWRS的所有水平荷载的合力。变量Km代表了基于不同CV值的HHC的不同实现，并隐含地影响随机渗流量的预测。Zm是一个逻辑变量，用于立方米（400美元/m3），cc是每立方米截止线的施工成本，它是截止线深度（d1，d2）的函数，如方程1所示。tc为板桩厚度，等于1.0 m。ccc cd320d2 200d 4008s17即m是出口坡度安全系数确定的m个实现值。检查与q数相关联的约束的违反m个随机实现的安全系数。DR是指满足HWRS设计中一定可靠性水平所需的所有约束和目标函数的可靠性。此外，还有许多其他的逻辑和边界问题，用于防止优化求解器呈现不合理的负面价值观。基于可靠性的IMMOMRO模型如图所示。 12个。基于m个代理模型{eij}挖掘，并且对于每个位置见图12。基于可靠性的MOMRO随机S-O模型的示意图。ð308M. 朱布里湾Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）296≈2.6. 计算效率计算效率是实现快速RBOD模型的关键因素。最佳解决
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