GGG可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记346（2019）241-251www.elsevier.com/locate/entcs圈的互补棱柱中的码马尔西亚河我来帮你，埃丽卡·M。M. Coelho，HebertCoelho1，2InstitutodeInform'aticaUniversidadeFederaldeGoi'asGoiGuania-GO露西娅·D彭索，Dieter Rautenbach3乌尔姆大学优化与操作研究所德国乌尔姆摘要证明了在n阶圈的互补棱柱中的最小阶识别码的阶数为7n/ 9 + Θ（1）. 此外，我们还观察到图的补棱柱的立方宽度的最大值为4k，并讨论了一些算法结果。保留字：识别码，互补棱柱，控制集，圈1介绍我们考虑有限的，简单的，无向图，并使用标准的符号和术语。对于一个正整数d，一个图G，和G的一个顶点u，设N≤d[u]是G的顶点到u的距离不超过d。 注意u在G中的闭邻域NG[u]与N≤1[u]重合。图G的顶点集C是G中的一个d-标识码，对于正整数d[18]，如果集合N≤d[u]<$C对于G的所有顶点u都是非空且相异的。 一个1-识别码被简单地称为一个识别码设ic（G）表示G中识别码的最小阶，1感谢FundacaodeAmparoa`PesquisadoEstadodeGoi`as-FAPEG（Call03/2015）.2电子邮件：{marcia，erikamorais，hebert}@ inf.ufg.br3电子邮件：{lucia.penso，dieter. raisbach}@ uni-ulm.dehttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2019.08.0221571-0661/© 2019作者。出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。242M.R. Cappelle et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）241¯¯¯.- 是的ΣGGGGGGG.请注意，一个图有一个标识码，当且仅当没有两个顶点有相同的闭邻域。即使对于任意大围长的平面图，确定最小阶的识别码在算法上也是困难的[1，5]。精确的值，密度结果，以及良好的上界和下界已经详细研究了许多特殊的图;特别是对于由使用简单因子的乘积运算产生的图，如网格[2，3，4，7，8，11，10，12，13，17，20]。 本文研究了圈的互补棱柱上的识别码。 位置支配的相关概念 在[16]中研究了这类图。互补棱镜是由Haynes等人引入的[15][16][17][18][19] 对于顶点集V（G）={v1，.， v n}和边集E（G）的关系，G的补棱柱是G的顶点集V（G G<$）={v1， . ，vn} {v<$1， . ，v<$n}和边集E（G G<$） =E（G）<${v<$iv<$j：1 ≤i < j≤nandvivj/∈E（G）} <${v1v<$1， . ，vnv<$n}。换句话说，G的互补棱柱G <$由G的互补棱柱G <$和它的互补棱柱G <$的分离产生，通过添加连接G和G<$的相应顶点的完美垫的边。对于G的每一个顶点u，我们一致地表示G<$b u<$的相应顶点，即V（G G<$）=V（G）<$V（G <$），其中V（G<$）={v<$1， . ，v<$n}. 对于整数k中的一个位置，设t[k]表示位置的集合，整数至多为k。 对于不小于3的整数n，设Cn表示n阶圈.在第二节中，我们确定了CnCn中一个可识别码的最小阶数直到一个小常数。注意，当n≥6且d≥2时，图CnCn包含不同顶点u和v，其中N≤dCN CN[u] =N≤dCN CN [v]，这意味着没有d-identifyingc odeinC nC<$nforsuchvalues.在我们进入第2节之前，我们做一些更一般的算法观察。在[1]中，Auger描述了一个确定给定树的最小阶识别码的线性时间动态规划算法。在[6]中，Charon等人提出了一个类似的面向树的算法，并明确提到，对于任何至少为2的固定d，是否有可能在多项式时间内确定给定树的最小阶d-标识码是一个悬而未决的问题。事实上，这种有效算法的存在性直接来自于关于有界树宽的图的一般结果[9]，例如树，其树宽至多为3。对于图G的两个顶点u和v，对于正整数d，我们有v∈N≤d[u]当且仅当0，1，...，v d∈V（G）：（u=v0）<$（v= v d）<$（v0v1∈E（G））<$（v0=v1） E（G）是G 的一 个特 例.此外，G的顶点集C是G中的d-标识码当且仅当.n∈V（G） ：n ∈v∈C：v∈N≤d[u]n.<$x，y∈V（G） ：（x/=y）<$c∈C：.（z∈N≤d[x]）。（z/∈N≤d[x]）.M.R. Cappelle et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）241243这些观察结果意味着确定最小阶的d-标识码的优化问题可以在LinEMSOL（τ1）逻辑[9]中表达。因此，如果cw是某个常数，并且G是一类图，使得G中的每个图G的cw-宽度至多为cw，则G的cw-宽度表达式使用至多cw个不同的标签可以在多项式时间内确定，的最小阶可以确定在多项式时间的图在G（cf。[9]中的定理4）。对于树类，这直接意味着存在线性时间算法，该算法确定最小阶的d-标识码， 任何固定的D。 这些算法结果通过以下结果扩展到互补棱镜。命题1.1如果G是一个宽度为cw的文法，则G G <$的宽度不超过4cw。证明：设G是一个宽度为cw的图。在[19]中，证明了存在一个根二叉树T，它的叶子是G的顶点，使得对于每个顶点，s，则G中s在T中的后代顶点的集合Vs 关 于 等 价 关 系 n 划 分 为 至 多 cw 个 等 价 类 ， 其 中 u∈v ， v∈Vs 当 且 仅 当NG[u]\Vs=NG[v]\Vs.在T中，通过三个顶点u，u′，和y，将每个叶u替换为ntx，并添加arcs（x，y），（y，u），以及（y，u′），则得到一个顶点为G G ′顶点的截尾二叉树TJ. 通过G G <$的定义，我们得到对于T j的每个顶点sJ，GG <$的顶点集VsJ在T j中是s j在TJ中的后代，它们关于等价关系v j划分为至多2个cw个等价类，其中u ∈v，v ∈ V sJ当且仅当NG G<$[u]\VsJ=NG G <$[v]\VsJ. 同样由[19]可知，这意味着f G<$的cw-宽度至多为4cw。Q2CnCn中的最小识别码在本节中，设Cn：v1v2. vnv1是n阶至少为3的圈，设G=CnCn. G模dulon的顶点的广义指数. F或V（Cn）的子集C，设x（C）表示C的特征向量，即x（C）=（x1，...，xn）∈ {0，1}n，其中xi=1，如果且o≠ 0，如果vi∈C，其中i∈[n]. 类似地，对于V（C<$n）的子集C <$，令x（C<$）=（x<$1， . ，x<$n）∈{0，1}n其中x<$i=1i fandon l yi fv<$i∈C<$fori∈[n].引理2.1F或一个至少在9处的整数n，letG=Cn C<$n。LetCV（Cn）和CV（Cn）. Letx（C）=（x1， . ，xn）和x（C<$）=（x<$1， . ，x<$n）。如果CC是G中的识别码，则以下条件对每个244M.R. Cappelle et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）241. \ 。//. .. \ 。//.\/\/\\. \ 。.. //..\ .//下一页...\r\r∪∪∪i，j ∈ [n]，其中（j − i）mod n/∈ {0，2}（参见图1）：C（i）：xi−1+xi+x<$i+xi+1≥1，C（i，i+1）：xi−1+x<$i +x<$i+1+xi+2≥1，C（i，i+2）：xi−1+xi+x<$i +xi+2+x<$i+3≥1，C<$（i，j）：x<$i−1+xi+x<$i+1+x<$j−1+xj+x<$j +1≥1，且C<$（i，i+2）：x<$i−1+xi+xi+2+x<$i+3≥1。最后，如果|C| ≥4，则C∈C′是G中的一个识别码当且仅当这些条件成立。是 的 。 注 意 ， 对 于 G的不 同 顶 点 u 和 v ， 我们有v e NG[u]<$ （ C <$C<$ ）/=NG[v]<$ （ C<$C<$ ） 当 且 仅 当 C<$C<$i 相 交 （NG[u]\NG[v] ）<$（NG[v]\NG[u]）。因此，对于i∈[n]，我们有C（i）等于NG（vi）<$（C<$C<$）=/C（i，i+1）等于NG（vi）<$（C <$C <$）/=NG（vi+1）<$（C<$C<$ ），C （i，i+2）等于 NG （vi ）<$（ C<$C<$ ）/=NG （vi+2 ）<$（C<$C<$），C<$（i，i+2）等于NG（vi）<$（C<$C<$）=/NG（vi+2）<$（C <$C<$）。对于i，j∈[n]，其中h（j−i）modn≥3，we有C（i）和C（j）合起来等于NG（vi）<$（C <$C<$$>）NG（vj）<$（C<$C<$）。对于i，j∈[n]，其中h（j−i）modn∈{0， 2}，w eheh ethatC<$（i，j）等于nt，NG（v<$i）（C <$C<$）=/NG（v<$j）（C <$C<$）。因此，所有这些条件都是必要的。注意t帽|C|≥4表示NG（vi）<$（C <$C <$$>）/=NG（v<$j）<$（C<$C<$）<$，对于每个i，j∈[n]，在这种情况下，所给条件也是充分的.Qv¯iv¯iv¯i+4. . /的。. . . /的。viv¯ivivi+4viFig. 1.条件C（i）意味着左图中所示的四个顶点中至少有一个属于C是的条件C<$（i，i+4）意味着中间图中所示的六个顶点中至少有一个指向C是的条件C<$（i，i+2）意味着在图中所示的四个顶点中至少有一个是C是的 注意，对于Cn，我们用虚线表示非边，而不是 表示边。......M.R. Cappelle et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）241245引理2.2F或至少在9处的一个整数n，letG=Cn C<$n。LetCV（Cn）和CV（Cn）. Letx（C）=（x1， . ，xn）和x（C<$）=（x<$1， . ，x<$n）。246M.R. Cappelle et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）2419... ....... ... ... .... .⎪⎨⎨{∈}1 ni−1i i+1⊆∪9⊆9更多，|C C|=7 k+（n−9 k）=n−2 k=n−2n≤n−2（n−8） =7n+16。Qxixi+10 0..j∈[n]：. x<$jj<$=. 0分。 <. .j∈[n]：.x<$j=.0分。xi− 1 xi. xi +7xi− 6 xi− 5. xi +21 0 0 1 0 1 0 0 11，i +6/∈I<$和x<$ix<$i+1xixi+10 0。 C（i）和C（i+ 1）意味着xi−1=xi+2= 1。以来99990 0如果k=，n，，andndfori∈[n]（cf. 图2），和Xi=imod 9∈ { 1， 2，3}且i≤9k，1，i≥ 9k+ 1，且0，否则x′i =101，imod 9∈ { 5， 6， 7，8}且i≤9k，且0.00，否则，则C C<$是G中的识别码。 在nparicular中，ic（G）≤7n+16.是的。 引理2.1容易地暗示C <$C<$是a，n，确定G中的c od e。因为-···.. .···图二、 CnCn的一些识别代码。引理2.3F或一个至少在9处的整数n，letG=Cn C<$n。 LetCV（Cn）和C¯V（CN）e使得CC是G中的一个识别码。 Letx（C）=（x1， . ，xn）和x（C<$）=（x<$， . ，x′）。LetI<$=i[n]：x<$+x+x<$=0。如果|C|≥6且i∈[n]使得i−5，i， i+1， i+ 6/∈I<$且. x<$ix<$i+1=. 00米，(i) 或者r是子集CjV（C n）和C<$jV（Cn），使得CJ C<$J是G中的标识码，|CC| ≤|CC|，and.xJj0..x j0.其中r ex（CJ）=（xJ1， . ，xJn）和x（C<$J）=（x<$J1， . ，x<$Jn），（ii）或，x<$i−1x<$i. x′i+7π，. x<$i−6x<$i−5. x'i+2，包含。100101001秒。是的。 我们用它。Hecond'amoritio.2.1. Leti∈[n]b esuchthati− 5，i， i+i，i+ 1/∈I<$，我们有一个v e x<$i−1=x<$i+2=1。设CJ=C <${vi，vi+1}且C<$J=C<$\{v<$i−1，v<$i+2}。 L e tx（CJ） =（xJ1， . ，xJn）和x（C<$J） =（x<$J1， . ，x′Jn）。 如果CJ<$C<$J是G中的一个确定系数，则（i）成立。因此，我们可以假设CJ<$C<$J不是G 中 的 一个确定码。 思恩策|C| ≥4，则yCJ<$C<$J违反了引理2.1中的某些条件。Sin ce（C<$C<$）\（CJ<$C<$J）={v<$i−1，v<$i+2}，违反的条件必须是vol v e x<$Ji−1或x<$Ji+2。 通过对称性，我们可以假设x¯Ji+2在违反条件下是不可逆的。invex<$Ji+2的条件是C（i+2），C（i+ 1，i+2），C（i+ 2， i+3），C（i，i+2），C（i+ 2， i+4），C<$（i+ 1，然后=..................M.R. Cappelle et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）241247j），248M.R. Cappelle et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）24197、、、、、、9• 根据前面的条件，. i∈[n]：. x'i=. 0分。 是尽可能小的。0 0xixi+10 0x<$ix<$i+1xixi+1=0 0 ，则i−5，i，i+ 1，i + 6/∈I<$. 现在引理2.3和选择P. r oofC. 公式2.5：如果r是整数ri，其中7≤i≤n− 6，则xi− 1 xi. xi +71 0 0 1 0 1 0 0 1xi− 6 xi− 5. xi +21 0 0 1 0 1 0 0 1Xi0JC<$ （i+3，j），C<$ （i−1， i+1），andC<$ （i+3， i+5）fororj∈[n]withth（j−i）modn∈{0，2}，其中对于所有j∈[n]，我们用x j j替换x j，用x <$j替换x <$j。由于xJi=1，因此不违反条件C（i + 1，i + 2）和C（i，i + 2）。 因为xJi+1= 1，所以条件C（i+2， i+3）、C<$（i+1，j）和C<$（i−1， i+1）不被违反。 由于 XJi+2=1，因 此 不 违 反 条件C（i+2）和C （i+2， i+4）。 如果C<$（i+3，j）不成立，则xi+3=xJi+3=0且x<$i+4=x<$Ji+4=0。 如果C<$（i+3，i+5）不成立，则xi+3=xi+5=0且xi+6=0。因此，通过对称性，我们可以推断，xi+3=x<$i+4=0，或者xi+3=xi+5=x<$i+6=0，并且x<$i+4=1。在第一种情况下，C<$ （i+1， i+3）被破坏。因此， 我们可以 假设xi+3=xi+5=x<$i+6=0，并且x<$i+4=1。 C（i+1， i+3）意味着x<$i+3=1或rxi+4=1。LetCJJ=C\{vi+2}且C<$J=C<$i{v<$i+1}。 如果CJJ<$C<$JJ是G中的一个可识别的c ode，则（i）成立。让x（CJ J）=（xJ1J， . ，xJnJ）。因此，我们可以假设CJ <$C<$J不是G中的一个确定码。 思恩策|CJ| ≥4，则yCJJ <$C <$J J违反了引理2.1中的某些条件。 如果（C<$C<$）\（CJJ<$C <$J J）={vi+2}，则违反的条件必须是vol v e xJiJ+2。引理2.1的论证方式是：x<$i+3=x<$i+5=xi+6=0。 如前所述，x<$i+3=0意味着xi+4=1。 No wC（i+6）andi+ 6/∈I<$蕴涵xi+7=x<$i+7=1，即（ii）成立，从而完成了证明。 Q引理2.4如果n是至少在9处的整数，则nic（CnCn）≥7n−12。证据我们用n上的归纳法证明这个命题，并使用引理2.1中的条件。 显然，我们可以假设n >9·12 =15。设G=CnCn，且CV（Cn）和CV（Cn）是这样的，• C∈C<$是G中的一个恒等式，其中ic（G）=|C C|，和设I<$={i∈[n]：x<$i−1+xi+x<$i+1=0}。 通过C<$（i，j）和C<$（i，i+2），我们可以假设I<$[1]。如果|C|5，则至少有n-1 -2个|C|下标i，i/∈I<$且x<$i−1=x<$i+1=0，其中h表示xi=1 。 因 此 ， 我 们 认 为 ， |C|+ 的 |C|≥ （ n−1 −2 |C| ） + 的 |C|=n−1−|C| ≥n−6>7n−12。因此，我们可以假设，|C| ≥6。权利要求2.5 re不是整数i，其中7 ≤i≤n−6使得。x<$ix<$i+1=. 00米。CC<$implant. x<$i−1x<$i. x<$i+7=. 1001010 0 1号。x<$i−6x<$i−5. x<$i+2<$i=. 100101001秒。根据对称性，我们可以假设前一种情况发生。 设CC<$jV（C<$n−5）是这样的，.x'j 1. . . x<$Jn−5=.x'1. . . x<$i+2x<$i+8. . .xnV（Cn−5）和xJ1. xJn−5x1. x i+2x i+8. Xn对于x（CJ）=（xJ1， . . . ，xJn−5）和x（C<$J）=（x<$J1， . . . ，x<$Jn−5）.以来|C|≥6，w e av e |C|≥4。考虑引理2.1中的条件，很容易得出CJ<$C<$J是C n−5C<$n−5中的一个可恒等化的c o de。通过归纳，我们得到M.R. Cappelle et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）241249. .- 是的.- 是的Σ99x′iXi0。注意，根据权利要求2.5，对于j∈[k]，我们有x<$ij−1xij−1x<$ij+1xij+1/=00jl−1jl−1。第九章jl− 1jl−19Xi1JJ≥ 9|J9xi1−10xi1−11x<$i1−1xi1−11，然2xij2−11x<$ijr−1xijr−1/∈00110设j1=1。也满足r= 1，这是更强的不等式。如果=1|为|CC|+4 ≥ 7（n − 5）− 12 + 4 > 7 n − 12。|+ 4≥7(n−5)−12 +4>7n−12. Q设i1. <2<. .-是的 .< ik是i n类iw的递增序列。ith8 ≤10。i≤n−16 s。乌恰对于rj∈[k−1]，令Ij={i∈[n] ：ij≤i≤ij+1−1}。 注意t帽|Ij|≥2个月j∈ [k − 1]。对于I∈[n]，设V（I）=i∈I{vi，v<$i}.2.6若k ≥ 2，则存在整数l，j1，j2，.，j l，其中l ≥ 2且1 = j17个|Ij|，设置例2Ij是clean和。x<$tx<$t+1=. 00米。由于t/∈I<$，我们有一个v e x<$t−1=1，因此xt−1=0。 C（t，t+1）表示xt+2=1。因为Ijr是干净的，所以x<$t+2=0。 C（t+1， t +2）蕴含xt+3=1。 如果Ijr是干净的，则x<$t+3=0。 这意味着ijr+1−ijr≥4。 如果ijr+1−ijr≥5，则设jr+1=jr+1，我们得到r的条件（2），如情况1中那样。因此，我们可以假设i jr +1 − i jr =4。如果Ijr+1是干净的，那么t+4/∈I<$<$意味着x<$t+5=1，因此xt+5=0。现在，与情况1类似的公式意味着xt+6=xt+7=xt+8=0和x<$t+6=x<$t+7=x<$t+8=1。因此，ijr+2−ijr≥9，且. .CCV（Ijrijr+1）的。为|我jrijr+1|−27≥9|我jri jr+1|、也就是说，设jr+1=jr+2，我们得到r的条件（2）。因此，我们可以假设Ijr+1是脏的。设jrJ+1是极大值，满足jr，第二个选项导致矛盾C<$（t+2， t +4）不成立。这就完成了权利要求2.6的证明。 Q= 9，则与证明254M.R. Cappelle et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）2419≥R=29自从i1在i≥8的整数中，h是最小的。x'i= . 0分， 我爱你CCV（[i1−1]）. x'i=. 我们有一个。.CV（[n]\[ik−1]）. ≥n−6 −ik. 根据权利要求2.6，≥i1− 1 − 7。因为ik是最大整数i≤n−6，=. .C<$C<$$>V（I1< $ ··<$Ik−1）.+的版本。.C<$C<$$>V（Ij<$−1< $ ··<$Ij<$−1）。9|Ij1· ·Ij2−1| −9第九章I jr···I jr+1-1。9K171919Kl−2R=2如果k≤1，则n>15意味着. . 好的 ≥。.CV（[n−6]\[7]）. ≥n−6 −7 −1=n−14>7n−12。因此，我们可以假设K2。. .好吧xi0xi0获得..CV（[ik−1]\[i1−1]）.=. .C<$C<$$>V（Ij1< $ ··<$Ij2−1）. + 100。.C<$C<$<$V（Ijr< $ ··<$Ijr+1−1）。.75Σ-2。第七章. Σ+的版本。第七章我j−1 ···j−1 . − 5Σ97 10= 9|I1· ··I k−1| − 97 10=9（ik−i1）−9=7。（i−i）−10。总之，这意味着|≥（i−1−7）+。| ≥(i−1 −7)+.7（i）-i）−10+（n−6−i）≥+KM.R. Cappelle et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）2412559≥7。（i）-1 −7）+。（i−i）−10+（n−6−i）97=9n−711089k17k=9n−12，这就完成了证明。Q我们继续我们的主要结果。定理2.7ic（Cn C<$n）=7n+Θ（1），其中n≥3。证据 这直接由引理2.2和引理2.4得出。Q256M.R. Cappelle et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）241引用[1] D.杨明，大围长树与平面图的最小识别码，北京：清华大学出版社。31（2010）1372-1384。[2] Y. Ben-Haim和S.李明，正方形网格顶点识别码的精确最小密度，SIAM J。离散数学19（2005）69-82。[3] N.贝特朗岛卡戎岛Hudry和A. Lobstein，1-树木识别码，澳大利亚。J. Comb.31（2005）21-35.[4] M. Blidia，M. Chellali，F. Ma Bagray，J. Moncel，and A. Semri，定位控制与识别码在树上，澳大利亚。J. Comb. 39（2007）219-232。[5] I.卡戎岛Hudry和A. Lobstein，Minimizing the size of an identifying or locating-dominant code，是NP难的，TheorComput. Sci. 3（2003）2109-2120。[6] I. Charon，S.格拉维耶岛Hudry，A.Lobstein，M.Mollard和J.Moncel，有向树中最小1-识别码的线性算法，离散应用。数学154（2006）1246-1253。[7] G. 科恩，S. 格拉维尔岛 Hon kala，A. Lobstein，M. 莫拉德角Payan和G. Z'emor，电网的改进识别代码，电气化。J. Comb. 6（1）（1999）#R19（comment）.[8] G. 科恩岛 Hon kala，A. Lobstein和G. Z'emor，NewBoundsforC odesIdenifyingVerticesinGraphs，Electr.J. Comb. 6（1）（1999）#R19。[9] B. Courcelle，J.A. Makowsky和U.旋转学，有限宽度图上的线性时间可解最优化问题，理论计算。Systems 33（2000）125-150.[10] M.丹尼尔，S。Gravier和J. Moncel，在正方形格的一些子图中识别码，Theor。Comput. 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