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m nmf21g!Journalof the Egyptian Mathematical Society(2015)23,149埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原始论文不变凸复合优化的二阶对偶Saroj Kumar Padhana,*,Nahaka,a Veer Surendra Sai University of Technology,Burla 768018,Indiab印度理工学院数学系,Kharagpur 721302,印度接收日期:2013年8月24日;修订日期:2013年12月21日;接受日期:2014年2014年3月17日在线提供摘要研究了不变凸复合优化问题的二阶对偶结果。它的目标函数是一个非有限值可微不变凸函数和一个向量值函数的组合。几个对偶结果也讨论了约束和无约束优化问题。举例说明和反例来证明目前的工作。2010年数学学科分类:49 M; 65 K; 90 C26?2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 引言和附录在工程、经济、人学和运筹学中,经常会遇到在适当的约束条件当一个量依赖于第二个量,而第二个量又依赖于第三个量时,复合函数是 这是一个非常普遍的情况,有许多现实世界的应用程序。考虑不变凸复合优化问题ðIPÞminfxs: t:x2Rn;n =1其中fxgFxg:Rm! R[f] 1g是关于g的可微不变凸函数;g:Rm×Rm! Rm,domestic*通讯作者。联系电话:+91 9583489086。电子邮件地址:sarojpadhan@gmail.com(S.K. Padhan)。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办:Elseviery R:g y..- 是的ΣΣ..- 是的ΣΣ16 621 24 4221 21212x2Rn1/4 -12x1x2; - 1;þþ1 23 31 21 22 21 21 2121 21 2121 2121 2121 21 2121 2gFx1;x2-gFu1;u2121 2F×1;×2×1 / 4。2x1x2;xx1;þ þþ3121 23 3 3 3 2 2 3 3 3 3×24×2x1x2-u1u2; 24x1x2-u1u23 3 3 3凸性,他们建立了各种对偶定理的二阶Mond-Weir型多目标对偶问题现在 考虑g:R2×R2!R2 已定义 通过gFx1;x2;Fu1; u 2 u 1 ; u2u 1; u 2 u 2; u 2 u1;u2u1;u2u2;u2u2;u2u2;u2u3;u2u2;u2u3;u2u 2; u 2 u 3; u 2 u 4; u 2 u2;u2u3;u2u3;u2u3;u2u4;u2u3;u2u4;u2u3;u2u3;u2u4;u2u3;u2u3;u2u4;u2u3;u2u4;u2u3;u2u3;u2u4;u2u3;u2u3;u2u4;u2u3;u2u4;9 u4; 2 u 3; 2 u 4; 2u 4; 2 uKassem[10]建立了一对二阶对称对偶多目标非线性规划,我们有1 2 1 2锥伪凸函数在锥伪凸函数的假设下,他们证明了不同的对偶结果。g<$Fx1;x2-g<$Fu1;u2-hrg<$Fu1;u2;g<$Fx1;x2;Fu1;u2i¼ -9 x6x6 9 u6u6--12 u4u4;-1; 18 x2x2; 9 x6x6在K-F-广义凸性假设下,给出了任意锥上可分二阶分式对称对偶规划的对偶结果Gupta和Kailey[12]在K-g-bonvexity假设下建立了最近,Gulati etal. [14]纠正了米什拉和赖的工作不一致[13]。后来Ahmad和Husain[15]建立了一对二阶分式规划问题,并建立了对称对偶定理。然而,据我们所知,还没有人讨论任何涉及不变凸复合函数的优化问题的二阶对偶。本文通过对有约束和无约束两种情况都取凸复合函数,重新定义了Yang[1]的凸复合优化模型我们还研究了该模型的二阶对偶性,得到了许多对偶结果。我们目前的方法类似于Mangasarian的先驱工作[16]。此外,我们还讨论了一些例子和反例来验证我们的结果.对于函数h:Rn!R [f] 1g,共轭函数216u1u2x1x2P0;对于所有的x1;x2<$2R2:因此g不是凸的,而是关于g不变凸的。定义1.2.一 个可微函数g:Rm! R [f] 1g称为在点F ∈u ∈ f是伪不变凸的,其中F:Rn!Rm,关于g,如果存在g:Rm×Rm! Rm使得hrgFu;gFx;FuiP0)gFx-gFuP0;对于所有Fx2Rm:由下面的反例1.2可知,每个不变凸复合函数都是伪不变凸复合函数,但反之则不成立。实施例1.2.让我们定义F:R2!R2;g:R2! Rby3 31 2gx;x-x-x;ωn1212h:R! R [f] 1g定义为:rgx;x¼.-3x2;-1mm;hωxωsupfhx;xωi-hxg;对于所有xω2Rn;2121.三点三分。12122Σ21221其中h·i·i表示Rn中的通常内积。g 1000g2x1x2;x3x3x1/4 -8x3x3-x3x3/4-9x3x3:这里我们定义复合函数的不变凸性考虑函数g:R2× R2!R2定义为定义1.1.一个可微函数g:Rm!R [f] 1g称在点F<$u <$u不变凸,其中F:Rn! Rm,与Mn-9Fx1;x2Fu1;u2;如果u1u2Px1x2,则g <$F<$x;x <$; F<$u;u<$x;<1关于g,如果存在g:Rm×R!R使得12 12>:24Fx1;x2-Fu1;u2;如果使用u1u2;对于每个i 1; 2; 3;. ; m.1212121212121 21 2121 2121 23 32 2121 21 23121 23121 22 2 3 3 3 3定理2.1(弱对偶)。 设x和 u;y;p 可行分别为(IP)和(DP)的溶液如果gω是共轭的1/4。.---你好þΣΣΣ我的天。Σ.- 是的Σ.你...- 是的.ΣΣΣ12121 2hrg<$F<$u1;u2<$$>;g<$F<$x1;x2<$;F<$u1;u2<$i因此g<$F<$x1;x2<$i不是不变凸的。现在我们检查拟不变凸1/4。.-1 2 u2u2;-1m;.1×2xx-uu;1. x3x3-u3u3双排地产。对于x1x2>u1u2,我们发现1 .一、 3 3 3 3Σuu-xxhrgFu;u;gFx;x;Fu;u i1/4。.3 u2u2;1;.2x1x2u1u2;2. x3x3u3u3所以gF x1;x2是伪不变凸的。如果u1u2Px1x2,可以得到hrgFu1;u2;gFx1;x2;Fu1;u2i>0;asx1;x2;u1;u22R;gFx1;x2-gFu1;u21/42x3x3-u3u3122112u2u2; 1;18x1x2u1u2; 9x3x3u3u216 uux1x2u1u29. xx uu>0;as x1x2>u1u2和x1;x2;u1;u22R:因此,g是拟不变凸的。P0;asx1;x2;u1;u22R0;gFx1;x2-gFu1;u21/4 -9x x1/ 9u u u当x1x26u1u2时,可以得到gFx1;x2-gFu1;u21/42x3x3-u3u3P0;作为u1u2Px1x2和x1;x2;u1;u22R:因此g是伪不变凸。因此g为不是不变凸,而是关于g的伪不变凸。60;作为x1x26u1u2和x1;x2;u1;u22R;hrgFu;u;gFx;x;Fu;u i1/4。.3 u2u2;1;. 1xx-uu;1. x3x3-u3u3双排定义1.3.一个可微函数g:Rm!R [f] 1g称在点F <$u <$u是拟不变凸的,其中F:Rn!Rm,1231 21 231 21 2221.3 3 3 3Σ对于g,若存在g:Rm× Rm!Rm使得gFx-gFu60)hrgFu;gFx;Fui60;对于所有Fx2Rm:由下面的反例1.3可以得出,每一个不变凸复合函数都是拟不变凸复合函数,但反之则不成立。实施例1.3.让我们定义F:R2!R2;g:R2! R by1x 1 x 2 - 1x 1x2-1x2 x1x2-u1u260;作为x1x26u1u2和x1;x2;u1;u22R:因此g是拟不变凸的。 因此g不是不变凸的,而是关于g的拟不变凸的。2. 不变凸复合优化问题的二阶对偶F×1;×2×1/4。x1x2;x3x3mm;1þ þ þ在这一节中,我们讨论了不变凸复合优化问题的约束和g x;x3x2; 1;rgFx1;x2rgx1x2;x3x33x2x2;1;1 2 1 2 1 2 1 22 2 2不受约束的案例2.1. 无约束情况让我们假设F:Rn!Rm是二次可微的,考虑函数g:R RRþ þ定义为F在x处的Jocobian; r F x是m × n矩阵,r2Fix是12 121Fx;x-Fu;u;ifx x6u u:原始(IP)的二阶对偶(DP)由下式给出:312 121 2 1 2maxLu;yω-1pTr2Lu;yωp对于x1x2>u1u2,得到:gFx;x-gFu;u-hrgFu;u;gFx;x;Fu;u i2s: t:u;yω;p2Rn×Rm×Rn;31/42 x3x3-u3u3-3u2u2; 1;2 xxu uu; 2x3x3u3u31- 4u1u2-6u1u2x1x2u1u2<0; asx1;x2;u1;u22R;对于x1x26u1u2,我们可以很容易地看到,g<$Fx1;x2-g<$Fu1;u2-hrg<$Fu1;u2;g<$Fx1;x2;Fu1;u2i1/42。x3x3-u3u3-。3 u2u2;1;1x-u u;1. x3x3-u3u3rLu;yωr2Lu;yωp <$0;4其中L u;yωyω;F u gωyω;yωdomgω和gω是g的凸共轭.L u;yω表示L在u处关于u的一阶导数。利用g的共轭性和不变凸性,讨论了g的几个对偶(弱对偶、强对偶和逆对偶)结果.ω1/42。x3x3-u3u 3 x x. x2x2-u2u21T2ω31 21 2121 21 2的g和hrg<$F<$u<$$>;g<$F <$x <$$>;F<$u<$i <$2prL<$u;y<$pP0,则fxPLu;yω -1pTr2Lu;yωp.<0; asx1;x2;u1;u2R等式成立,当x1x2<$u1u2<$:2242<0的整数;作为u1u2x1x2< 和x1;x2;u1;u22R:不变凸复合优化的二阶对偶153ðÞ2ð Þr½]×ðÞð ¼ ÞðÞð ¼ Þð ¼ Þð ¼ Þ222ðÞðÞkðu;kÞSn不.Σ¼ðÞk k k k-k ð ð Þ克什蒂克22不不22ðÞ不2Þþ22不证据当x和u;yω;p分别是(IP)和(MD)的可行解时,本文给出了一个新的解集.我们有fx-Lu;yω -1pTr2Lu;yωp2.2.1. Mangasarian型对偶本节讨论原问题(IP1)的Mangasarian型二阶对偶(MD)1211/4g<$F<$x<$k-hyω;F<$u< $i<$gω<$yω< $pTr2L<$u;yω<$p最大值Lu;k-2prLu;kps:t:rLu;kr2Lu;kp¼0;9n s mPgFx-gFu1 pTr2Lu;yωp2R×R×R;kP0;102因为gω是g的共轭]其中,rg<$F<$u<$和r½kTl <$F<$u <$]分别表示g和kTl在F<$u<$和r2g<$F<$u<$处的1×m梯度,Phrg<$Fu;g<$Fx;Fui1pTr2Lu;yωp(1/2)g的不变凸性(invexityofg)P0:Q定理2.2(强对偶)。设x0是(IP)的最优解. 如果gω是g的共轭,则存在一个yω2dominggωRm,使得对于(DP)和(IP)的目标函数在x 0处的值,和 (DP)在x0;yω;p0 是平等的。如果除此之外,在(IP)和(DP)之间存在对偶性,则 x0;yω;p0是最优解(DP)证据当gω是g;x0;yω的共轭时,p0是(DP)的可行解.由弱对偶x0;yω;p0可知,(DP)是最优解. Q定理2.3(逆对偶)。让x<$;yω;p是(DP)的最优解。假设hrgFx;gFu;FxiP0;5则x是(IP)的最优解。证据 这个证明很容易,因此省略了。H2.2. 约束情况考虑以下约束不变凸复合优化问题联系我们minfxs:t:hx60;6其中fxgFxg:Rm!R是可微不变凸函数Mkl F u表示g和kl分别在F u处的m m海森矩阵。正如已经看到的,(DP)和(MD)之间没有太大的差异唯一的区别是,由于拉格朗日量的定义,(DP)有一个附加项gωyω (IP 1)的L x;k建立以下弱、强、逆对偶-定理,我们假设g和kTh关于相同的g是不变凸的。定理2.4(弱对偶)。设x和u;k;p分别是(IP 1)和(MD)的可行解.如果存在常数ku;k和Ku;k,使得pTr2Lu;kpPku;kkpk2;对于所有p2Rm;k11kr Lu; kk 6 Ku; k和0 kTrlFu;gFx;Fu>1pTr2Lu;kp1/2通过g和k的不变凸性]电子邮件ianLx;kfxhk;hxfxkhx在x0处满足,即不21吨2联系我们rLx0;k0;7kTlFx0¼0:8以g和l为二次连续可微函数,研究了原问题(IP 1)的Mangasarian型和1/4-gFx;FurLu;kp2prLu;kp1/2(Eq:109)P-Ku;kkgFx;Fukkpkku;kkpk21/2,公式为:11;12和14]k u; kp pKu;kg F x; F ukð u;kÞP0½,等式:[13]:Q154S.K.帕丹角纳哈克ðÞT1 T2ð ¼ Þ不ðÞ22ðÞSð ¼ ÞðÞðÞ22nM22不不2推论1.弱对偶定理2.4成立,其中封闭性条件(13)被替换为kpkk gFx;Fuk0:证据设x和u;k;p分别是(IP 1)和(MD)从等式(18)我们有定理2.5(强对偶)。 设x0是的最优解-khu2prLu;khp60(IP 1)满足约束限定。 那么存在一个k2rs使得)khx-khu60x0;k;p¼0þ对(MD)和目标的价值是可行的1/2由等式:106;1019和1020]在x 0处的(IP 1)和在x0;k; p0处的(MD)的函数相等。 如果另外,(IP 1)与(MD)之间弱对偶成立,则(MD)的最优解为n×0;k;p<$0<$.证据这个证明与定理2.2相似Q定理2.6(逆对偶)。让x′;k;p是(MD)的最优解。假设hrgFx;gFu;FxiP0;15)hkTrhu;gFx;Fui601/2byquasi-invexityofkh])h-rfu- rLu;kp;gFx;Fui601/2(公式:1.17)])hrfu;gFx;FuiP-hrLu;kp;gFx;Fu i)fxPfu:1/2通过g的伪不变凸和等式:定理2.8(强对偶)。设x0是满足Kuhn-Tucker定理[ 17 ]的(IP1)的最优解,则x′是(IP1)的最优解。约束限定。 则存在kRsþ 使得证据 假设x不是(IP1)的最优解。则存在(IP1)的可行解u,使得gFugFx:16因为g是不变凸的,我们有gFu-gFxPhrgFx;gFu;FxiP0;这与严格不等式(16)相矛盾。因此x是(IP1)的最优解。Q2.2.2. Mond–Weir type我们建立了最大随钻测量值s:t: rLu;kr2Lu;kp¼0;171kThu-pTr2Lu;kpP0;18u;k;pMond-Weir对偶的妙处在于原问题和对偶问题的目标函数相同。这就是为什么研究原问题与其对应的Mond-Weir型对偶问题之间的对偶关系比较容易的原因现在假设g的伪不变凸性和kTh关于同一g的拟不变凸性,我们表示(IP1)和(MWD)之间的以下对偶关系。定理2.7(弱对偶)。设x和u;k;p分别为(IP 1)和(MWD)的可行解.再次假定x0;k;p<$0x 0处的(IP 1)和x0;k;p 0处 的 ( M W D ) 的 函 数 相等。另外,如果(IP 1)和(MWD)之间弱对偶成立,则<$x0;k;p<$0是(MWD)的最优解。证据这个证明很容易,因此省略了。Q定理2.9(逆对偶)。让x′;k;p是MWD的最优解。再次假定pTr2Lx<$;kpP0;22gFu;Fx<$TrLx<$;kP0:123则x是(IP1)的最优解。证据相反,假设x′不是(IP1)的最优解。则存在(IP1)的可行解u,使得gFugFx:24以来 x′;k;p是(MWD)的最优解,方程(Eq. (18)成为kThx<$$ >-1pTr2Lx<$;kpP0:25从EQ。(25)我们有-kThx< $1pTr2Lx<$;kp60) kThu-kThx601/2由方程式:106;1019和1022])hkrhx;gFu;Fxi601/2通过kh在点F处的拟不变凸])h-rfx<$ $ > -rLx<$;kp;gFu;Fx<$i60不2½(方程式:17)]prLu;kpP0;20gFx;FuTrLu;kP0:21那就去死吧。)hrfx;gFu;FxiP-hr2Lx i)gFuPgx<$:1/2通过g在点F和Eq的伪不变凸:不变凸复合优化的二阶对偶155ð ð Þð ÞÞ ¼ 我... ð Þ这与严格不等式(24)相矛盾。因此x是(IP1)的最优解。Q3. 结束语本文引入了不变凸复合优化的一个二阶对偶。在不变凸性和广义不变凸性假设下,对约束和无约束情形都建立了对偶结果。如果我们采取gFx;F u FxFu,Yang [1]的凸复合优化是我们工作的一个特例.型对偶,将不变凸性的要求弱化为广义不变凸性(伪不变凸性和拟不变凸性)。许多例子和反例进行了讨论,以支持目前的调查。致谢作者希望感谢审稿人和主编的宝贵建议,这些建议改善了论文的呈现方式。引用[1] X.Q.(交叉队列)杨,凸复合优化的二阶全局最优性条件,数学程序。81(1998)327-347。[2] M.A. Hanson,关于Kuhn-Tucker条件的充分性数学。肛交。80(1981)545-550。[3] A.本-以色列湾蒙德,什么是不变性?J奥斯特。数学协会Ser.B28(1986)1[4] M.A.汉森湾陈文,自对偶性与不变凸性,国立台湾大学统计学系,1986年。[5] C. Nahak,S.吴文,多目标对偶的q-不变凸性,应用数学,随机分析。 2 (2005年) 175- 180[6] G.J. Zalmai,连续时间规划中的广义充分性准则及其在一类变分型不等式中的应用,J. Math. Anal. 153(1990)331-355。[7] B.李文,多目标规划问题的二阶混合型对偶,数学学报,2001。Appl. 285(2003)97- 106.[8] I. Ahmad,不可微数学规划中的二阶对称对偶,Inform。Sci. 173(2005)23-34。[9] I. 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