不分明化双拓扑空间中的映射与开性

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，286埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章不分明化双拓扑空间中的新的连续性和开性A.A. 早上好Zaubib，A.K.Mousab，H.M.宾沙赫纳a埃及艾斯尤特71516艾斯尤特大学理学院数学系b埃及艾资哈尔大学理学院数学系，Assiut 71524接收日期：2014年12月18日;修订日期：2015年5月13日;接受日期：2015年5月19日2015年6月29日在线发布本文在不分明化双拓扑空间中引入并研究了非连续映射、α -连续映射、半开映射和α -开映射的概念。这些映射的特征以及它们与某些其他映射的关系进行了研究。2010年数学学科分类： 54 A40; 54 C05; 54 E55版权所有2015，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍1965年，Zadeh提出了模糊集的基本概念自1968年Chang将模糊集理论引入拓扑学[2]以来，Wong，Lowen，Hutton，Pu和Liu等人，分别讨论了Fuzzy拓扑的各个方面[31991-1993年1994年，Park和Lee引入并讨论了模糊半预开集和模糊半预连续映射的概念此外，在1994年库马尔[11，12]研究∗ 通讯作者。电子邮件地址：hmbsh2006@yahoo.com（H.M. Binshahnah）。同行评审由埃及数学学会负责引入了Fuzzy两两α-连续和两两预连续的概念，研究了Fuzzy双拓扑空间中的半开集、半连续和半开映射的概念1999年Khedr et al.[13]，在不分明化拓扑中引入了半开集和半连续的概念双拓扑空间的研究最早是由Kelley提出的[14]1963年。2003年Zhang和Liu[15]研究了不分明化双拓扑空间中的模糊θ（i，j）-闭集和θ（i，j）Gowrisankar等人在[16]中研究了不分明化双拓扑空间中的（i，j）-预开集本文的结构安排如下：（3）节研究了fuzzifying双拓扑空间中的fuzzy-continuity，开映射，并介绍了一些结果。在第（4）节中，我们研究了不分明化双拓扑空间中的α-开集，并介绍了它与预开集的关系。半开）集合。在第（5）中，我们定义了不分明化双拓扑空间中的连续性、α在第（6）节中，我们定义了Fuzzy半开映射的概念，S1110-256X（15）00035-8 Copyright 2015，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.05.005制作和主办：Elsevier关键词半开集;不分明化拓扑;Fuzzifying双拓扑空间不分明化双拓扑空间中的新的连续性和开性287=|=-=XXsN（A）= supsτ（B）。（i，j）x∈B<$AX∼∈∈=一、∈不分明化双拓扑空间中的α-开映射、预开映射，并研究它们之间的关系。2. 预赛首先，我们展示本文中使用的模糊逻辑和相应的集合论符号：(1) 一个公式是有效的，我们写当且仅当[]1对于每一个解释。(2)[<$α]= 1− [α]，[α<$β]= min（ [α]，[β]），[α→β]=min（ 1，1− [α]+[β]），[xα（ x）]infx∈X[α（x）]，其中X是论域.(3)[αβ]：=[<$（<$α<$β）];[αParticipβ]：=[（α→β）<$（β→α）];[<$xα（ x）] ：=[<$（<$x<$α（x））];-[AB]：=[→x∈B）]=infx∈Xmin（1，1−A定义2.4[15]。设（X，τ1）和（X，τ2）是两个不分明化拓扑空间. 则由论域X的一个逆构成的系统（X，τ1，τ2）在X上具有两个不分明化拓扑τ1和τ2，称为不分明化双拓扑空间。定义2.5[17]。设（X，τ1，τ2）是不分明化双拓扑空间.(1) 所有模糊化（i，j）-半开集的族，记为sτ（i，j）∈I（P（ X）），定义如下：A∈sτ（i，j）：=<$x（ x∈A→x∈clj（ inti（ A），即，sτ（i，j）（A）inf x∈Acl j（int i（A））（x）.(2) 所有模糊化（i，j）-半闭集的族，记为sF（i，j）∈I（P（ X）），定义如下：A∈sF（i，j）：=X<$A∈sτ（i，j）.定义2.6[17]。设（X，τ，τ）是一个不分明化双拓扑∼∼∼∼∼12（x）+B（x））;[A<$B] ：=[（A <$B）<$（B<$A）]，其中A∈I（X），B∈I（X），I（X）是X中所有模糊集的族.（4）[α→β]：=[<$（α→<$β）]=max（0，[α]+[β]−1）;[α→β]：=[<$α→β]=min（1，[α]+[β]）。空间且x∈X。(1) x的（i，j）-半邻域系统表示为：sN（i，j）∈I（P（ X）），定义为其次，我们给出了以下定义，这些定义用于A∈sN（i，j）：=<$B（ B∈sτ（i，j）<$x∈B<$A），即，续集定义2.1[7]。 设X是论域，P（X）是X的子集族，τ ∈ I（P（X））满足（i，j）X(2) A的（i，j）-半导集sd（i，j）（A）定义如下：低点：x∈sd（i，j）（A）：=<$B（ B∈sN（i，j）→B<$（A<${x}）/=使用条件：φ），也就是说，sd（i，j）（A）（ x）=infB<$（A<${x}）=φ（ 1−sN（i，j）（B））。(1)τ（X）=1和τ（φ）=1;(3) 模糊化XA的i，j-半闭包X表示为(2) 对任意A，B，τ（A<$B）≥τ（A）<$τ（B）;（）采用scl（A）并定义如下：(3) 对于任何{Aλ：λ∈Λ}，τ（λ∈ΛAλ）≥λ∈Λτ（Aλ）。（i，j）x∈ scl（i，j）（ A）：=100（（BA）∈sF （i，j））→x∈则τ是不分明化拓扑空间。定义2.2[7]。设（X，τ）是不分明化拓扑空间.B），I. 例如， s cl（i，j）（A）（x）=in fx∈/B<$A（1−sF（i，j）（B））.(4) AX的（i，j）-半内部定义如下：(1) 所有不分明化闭集的族记为Fsint（i，j）（A）（x）=sN（i，j）（A）.∈I（P（ X）），定义如下：A∈F：=X<$A∈τ，（5）（i，j）X）-半外部A的定义如下：其中X A是A的补数。(2) x X的邻域系记为NxI（P（ X）），定义如下：x∈sext（i，j）（A）：=x∈sint（i，j）（X<$A），即，sext（i，j）（A）（ x）=sint（i，j）（X<$A）（ x）.(6)AX的（i，j）-半边界定义如下：Nx（ A）supx∈B<$A(3) 关闭τ（B）。的X 是 已定义 如下所示x∈sb（i，j）（A）：=（x∈/））sint（i，j）（A））<$（x∈/sint（i，j）（X）cl（ A）也就是说，SB（A）（ x）=min（1 −sint（A）（ x），1−cl（ A）（ x）=1−Nx（ X<$A）。(4) A<$X的内部记为int（ A）∈I（P（ X））定义如下：int（ A）=Nx（ A）。Sint（i，j）（X）（i，j）A）（ x））。（i，j）定义2.3[9]。 设（X，τ）和（Y，σ）是两个不分明化拓扑空间.(1) 一元模糊谓词CI（YX），称为模糊连续性，如下所示：f∈C：=<$u（ u∈σ→f−1（u）∈τ）. 也就是说，288A.A. Allam等人∈=u）=v）定义2.7[16]。设（X，τ1，τ2）是不分明化双拓扑空间.不分明化（i，j）-预开集族，记为pτ （ i ， j ） ∈I（ P（ X）），定义如下：A∈pτ（i，j）：=<$x（ x∈A→x∈inti（ clj（ A）.也就是说，pτ（i，j）（A）=infx∈Ainti（ clj（ A））（ x）.C（ f）=infmin（ 1，1−σ（u）+τ（f−1（u）。定义2.8 [16]。 让 （X，τ，τ）和 （X，σ，σ）是2u∈ P（ Y）1212(2) 一元模糊谓词OI（YX），称为模糊开度，给出如下：f∈O：=<$u（ u∈τ→f（ u）∈σ）. 也就是说，不分明化双拓扑空间一元模糊谓词PC （i，j）∈I（YX），称为 模 糊 预 连 续 性 ， 如 下 所 示 ： PC （ i ， j ） （ f ） ： = P（v∈σi→f−1（v）∈pτ（i，j））.也就是说，O（ f） inf∈P（ X min（ 1，1−τ（u）+σ（f（ u）。PC（i，j）（f） inf∈P（ Y min（ 1，1−σi（v）+pτ（i，j）（f−1（v）.不分明化双拓扑空间中的新的连续性和开性289→| =∈参与者1∈ =u）X），v=−v∈ P（ Y）x∈ Xw∈ P（ Y）x∈ X=−∈113. 不分明化双拓扑空间定理3.1. 设（X，τ）和（Y，σ）是两个不分明化拓扑空间.如果 f：（X，τ）（Y，σ），则fCv（f −1（int（v））int（ f−1（ v）。证据根据[9]中的定理（2.1），我们有[v（ f−1（int（ v））int（ f−1（v）](2) 现在为了证明[f∈O2]=[f∈O1]，我们证明：f−1（ cl（ v））（ x）− cl（ f−1（ v））（ x）=cl（ v）（ f（ x）） −cl（ f−1（v））（ x）=1−Nf（x）（ Y<$v）−（ 1−Nx（ X<$f−1（v）=Nx（ f−1（Y<$v））−Nf（x）（ Y<$v）。因此[f∈O2]=[<$v（ f−1（cl（ v））<$cl（ f−1（v）]=inf inf min（ 1，1−f−1（cl（ v））（ x）+cl（ f−1（v））（ x））=inf inf min（ 1，1−f−1（int（ v））（ x）+int（ f−1（v））（ x））=INFinf min（ 1，1−N（ f−1（Y<$v））v∈ P（ Y）x∈ XXv∈ P（ Y） x∈ X=INFint min（ 1，1−int（ v）（ f（ x））+int（ f−1（v））（ x））+Nf（x）（Y v））v∈P（ Y） x∈X−1=inf inf min. 1，1−Nx（ f−1（w））+Nf（x）（ w）<$v∈ P（ Y） x∈ X=[<$v<$x（ v∈Nf（x）→f−1（v）∈Nx）]=[f ∈ C].Q定理3.2. 设（X，τ）和（Y，σ）是两个不分明化拓扑空间.若f：（X，τ）→（Y，σ）是模糊开映射，则设(1)f∈O1：=x（f−1（v）∈Nx→∈Nf（x））;=[f∈O].(3) 我们证明了[f∈O3]=[f∈O1]，如下[f∈O3]=[<$v（ int（ f−1（v））<$f−1（int（ v）]int n（intn（v））（ x）v∈ P（ Y） x∈ X+ f−1（int（ v））（ x）(2)f∈O2：=<$$>（f−1（cl（<$））<$cl（ f−1（<$）;=INFint min（ 1，1−int（ f−1（v））（ x）(3)f∈O3：=n（int（ f−1（n））nf−1（int（n）;v∈P（ Y） x∈X+ publicint findDuplicate（ f（ x））（四） f∈O4：=<$u（ f（ int（ u））<$int（ f（ u）.n=inf inf min（ 1，1−Nx（ f−1（v））+Nf（x）（ v））然后|n = O（f）Participate O（f），n= 1，2，3，4.证据(1) 首先，我们证明了[f1v∈P（ Y） x∈X=[f∈O].(4) 我们 现在 证明 的 [f∈O4]=[f∈O3]. 请注意，∈O]≥[f∈O]。很明显，对于每个u<$X，存在v<$Y，使得v=f（ u），则u<$f−1（v）。因此为每当然，我们有[f（ f−1（v））<$v]= 1。所以[int（ f（ f−1（v）））<$int（ v）]= 1。因此，根据[9]中的引理（1.2），我们有[f−1（int（ f（ f−1（v）][f O] inf∈P（ X min（ 1，1−τ（u）+σ（f（ u）f−1（int（v））]= 1。此外[int（ f−1（v））<$f−1（f（ int（ f−1（v）]= 1。所以=INFmin（ 1，1− infNx（ u）+infNf（x）（ f（ u）−1 −1u∈ P（ X）x∈uf（ x）∈f（ u）[int（ f）（五）（int（ v））]≥u∈P（inff（ u））min（ 1，1 infNx（ f−1（v））x∈u≥[f−1（f（ int（ f−1（v）<$f−1（int（ v））]+infNfx（ v））≥[f−1（f（ int（ f−1（v）<$f−1（int（ f（ f−1（v）]x∈ u≥inf（）下一页inf min（1，1−Nx（ f−1（v））≥[f（int（f −1（v）<$int（f（f −1（v）]。v∈ P（ Y） x∈ X+N f（x）（v））=[f∈O].因此[f∈O3]=int [int（ f−1（v））]其次，证明了[f∈O]≤[f∈O1].很容易证明如果Nx（ f−1（v））≤Nf（x）（ v），则结果成立。V P（ Y）≥inf [f（int（f −1（v）<$int.f（ f−1（v））]对于Nx（ f−1（v））> N的情况f（x）（v）; from Lemma（1.2）inv∈P（ Y）4=INFinf min（ 1，1−Nf（x）（ v）+Nx（ f（五））290A.A. Allam等人=−≥ =∈≥⊆[9]，我们有x∈A<$f−1（v），则f（ x）∈f（ A）<$v。≥uinf[f（ int（ u））<$int（ f（ u））]=[f∈O].所以X=（ f−1（ v））−Nf（x）（ v） supx∈A<$f−1（v）τ（A）supσ（B）f（ x）∈Bv∈P（ X）现在，对于每个u<$X，存在v<$Y，使得f（ u）=v，则u<$f−1（v）。因此那么，supx∈ A< $f−1（ v）（τ（A）− σ（f（A）））。[int（ f−1（v））<$f−1（int（ v））][int（ u）≠f−1（int（ f（ u）][f（ int（ u））<$f（ f−1（int（ f（ u）]min（1，1 − Nx（f −1（v））+Nf（x）（v））≤ [f（int（u））<$int（f（u））].≥x Ainfv min（ 1，1−τ（A）+σ（f（ A）因此∈F−1（）≥INFmin（ 1，1−τ（u）+σ（f（ u）=[f∈O].[f∈O4]=int [f（ int（ u））int（ f（ u））]u∈ P（ X）因此[f∈O1]= infINFmin（ 1，1−N（ f−1（v））+u∈P（ X）int [int（ f−1（v）） f−1（int（ v））]u∈P（ X），v=f（ u）Nf（x）（ v））≥x∈X∈O ].v∈P（ Y） xint [int（f −1（v））f −1（int（v））][fO3].Qv∈P（ Y）≤[f不分明化双拓扑空间中的新的连续性和开性291.Σ→.Σ11ε = ε ≤ε=∈=∈=⊆ ≤⊆∈ ==∈ = ≤≤⊆=联系我们⎩⎧0ifow⎨联系我们={个→A;定义3.1.设（X，τ1，τ2）和（Y，σ1，σ2）是两个不分明化双拓扑空间.一个映射f：（X，τ1，τ2）（Y，σ1，σ2）是两两模糊连续的（分别为两两模糊开）如果f：（X，τ1）→（Y，σ1）和f：（X，τ2）→（Y，σ2）是证据这类似于定理（3.4）[17]的证明。Q定理4.2.设（X，τ1，τ2）是不分明化双拓扑空间，A∈X，则模糊连续（或模糊开放）。定理3.3.设（X，τ1，τ2）和（Y，σ1，σ2）是两个不分明化双拓扑空间.若f：（X，τ1，τ2）（Y，σ1，σ2）是两两模糊连续的两两模糊开映射. 则对于每个A ∈ P（X）和B ∈ P（Y），我们有(1) |=A∈sτ（i，j）→f（A）∈ sσ（i，j）;(2) |=B∈sσ（i，j）→f−1（B）∈ sτ（i，j）.证据(1) 由[9]中的定理（2.1）、引理（1.2）和部分(4)根据上述定理3.2，我们有[A∈sτ（i， j）]=[A<$clj（ inti（ A））][f（ A）≠f clj（ inti（ A））][f（ A）≠clj（ f（ inti（ A）][f（ A）=inti（ f（ A））]=[f（ A）∈sσ（i， j）].(2) 由[9]中的引理（1.2）、定理3.1和定理（3.2）的部分（2），我们有[B∈sσ（i， j）]=[B<$clj（ inti（ B））]≤[f−（B）<$f−[inti（ B）]≤[f−1（B）<$clj（ f−1（inti（ B）]≤[f−1（B）<$clj（ inti（ f−1（B）]=[f−1（B）∈ sτ（i，j）].Q4. 不分明化双拓扑空间中的α-开集定义4.1. 设（X，τ1，τ2）是不分明化双拓扑空间.(1) 所有模糊化α（i， j）-开集的族，记为ατ（i， j）∈I（P（ X）），定义如下：A∈ατ（i， j）：=<$x（ x∈A→x∈inti（ clj（ inti（ A），也就是说，ατ（i， j）（A）infx∈Ainti（ clj（ inti（ A）（ x）.(2) 所有模糊化α（i， j）-闭集的族，记为αF（i， j）∈I（P（ X）），定义如下：A∈αF（i， j）：=X<$A∈ατ（i， j）.引理4.1. 设（X，τ1，τ2）是不分明化双拓扑空间，A<$X.然后（一）|=A∈τi→A∈ ατ（i，j）;(2) |=A∈ατ（i，j）→A∈ pτ（i，j）;(3) |=A∈ατ（i，j）→A∈ sτ（i，j）;(4) |=A∈ατ（i，j）ParticipateA∈pτ（i，j）<$A∈ sτ（i，j）.证据(1) [A τi][A inti（ A）][A clj（ inti（ A））][inti（ A）int i（cl j（int i（A）]。故[A τi][A inti（ A）][A inti（ A）] [inti（ A）inti（ clj（ inti（ A）][Aint i（cl j（int i（A）][Aατ（i，j）].(2) 由于[inti（ A） A] 1，则[A ατ（i， j）][A inti（ clj（ inti（ A）][Aint i（cl j（A））] [Apτ（i，j）].(3) 它类似于（2）。(4) 从定义5.3[7]，我们有[A∈sτ（i， j）]=[A<$clj（ inti（ A））][inti（ A），intj（ A）， inti（ A）][inti（ A），inti（ A）， int j（A）]≤[inti（ clj（ A））<$inti（ clj（ inti（ A）]。现在[A∈pτ（i， j）<$A∈sτ（i， j）]=[A<$inti（ clj（ A））<$A <$clj（ inti（ A））]≤[A<$inti（ clj（ A））<$inti（ clj（ A））<$inti（ clj（ inti（ A）][inti（inti（ A））]=[A∈ατ（i， j）].与上述（2）和（3）相反，我们有[A∈ατ（i， j）]≤[A∈pτ（i， j）<$A∈sτ（i， j）]。Q注4.1. 从上述定理中可以清楚地看出，下列推论是正确的：下面的例子表明，一般来说，这些含义的反面不一定为真。实施例4.1. 设Xa，b，c，B a，b和τ1，τ2是X上的两个不分明化拓扑，定义如下：如果A∈{φ，X，{a}}，(1) |=X ∼ (int i(cl j(int i(A)))) ≡ cl i(int j(cl i(X ∼ A)));(2) |=X ∼ (cl i(int j(cl i(A)))) ≡ int i(cl j(int i(X ∼ A))).证据很明显。Q定理4.1. 设（X，τ1，τ2）是不分明化双拓扑空间.然后τ1（A）=τ2（A）=3/ 4如果A∈{{c}，{a， c}}，，. .1如果Aφ， X，1/ 2如果A c，如果是，则为100。W.（一）|=A∈ατ（i，j）参与者x（x∈A→B（B∈ατ（i，j））<$x∈B <$））(2) |= A ∈ αF（i，j）参与者x（x ∈ cl i（int j（cl i（A）→ x ∈ A）.292A.A. Allam等人我们有，cl2（int1（B））（ a）=cl2（int1（B））（ b）=1，cl2（int1（B））（ c）=1/ 2，所以sτ（1， 2）（B）=1且int1（cl2（int1（B）（ a）=1，int1（cl2（int1（B）（ b）= 1/ 2，int1（cl2（int1（B）（ c）=1/ 2，所以ατ（1， 2）（B）=1/2。不分明化双拓扑空间中的新的连续性和开性293联系我们⎧⎨如果是，则为100⎧⎨={个联系我们⎧⎨如果是，则为100∈⎧⎨联系我们={个∈= −+（i，j）（i，j）（i，j）X（i，j）（i，j）（i，j）⎨121212∈（i，j）（（ （i， j）（））i（（））X因此，sτ（1， 2）（B）<$ατ（1， 2）（B），ατ（1， 2）（B）<$τ1（B） 和ατ（1， 2）（B）<$τ2（B）.实施例4.2. 设Xa，b，c，B a，b和τ1，τ2是X上的两个不分明化拓扑，定义如下：如果A∈{φ，X}，={个考虑的身份 功能F 从（X，τ1，τ2）到（X，γ1，γ2）.则C1（f）=infv∈P（ X） min（ 1，1−γ1（v）+τ1（f−1（v）.注意，如果v=X或φ或γ1（v）=0，则min（ 1， 1 - 1）=0。γ1（v）+τ1（f−1（v）=1，因为我们寻找的是infv∈P（ X） min（ 1， 1−γ1（v）+τ1（f−1（v）。τ1（A）=1/ 4如果A c，，如果是，则为100。W.因此C1（f）=min（ 1， 1−γ1（{a， b}）+τ1（f−1（{a， b}）= 0.τ2（A）=1如果A∈ {φ，X，{a}}，3/ 4如果A∈ {{c}，{a，c}}，. .类似地C2（f）=0，SC（1， 2）（f）=1和αC（1， 2）（f）=1/2。因此αC（1，2）、C1、αC（1，2）、C2和SC（1，2）、αC（1，2）。实施例5.2. 对于X ={a，b，c}，设τ1，τ2，γ1和γ2为4我们有，int（ cl（ B））（ a）=int（ cl（ B））（ b）=int（ cl（ B））（ c）=X上的模糊化拓扑定义如下：1/ 4，所以pτ（1， 2）（B）=1/ 4且cl2（int1（B））<$φ，int1（cl2（int1（B）<$φ，所以ατ（1， 2）（B）=0。因此，pτ（1， 2）（B）<$ατ（1， 2）（B）。5. 不分明化双拓扑空间的半连续性和α连续性τ1（A）=τ2（A）=1如果Aφ， X，1/ 4如果A c，，如果为0，则为0。W.1如果A∈ {φ，X，{a}}，3/ 4如果A∈ {{c}，{a， c}}，. .定义5.1. 设（X，τ1，τ2）和（Y，σ1，σ2）是两个不分明化γ（A）=. 1 如果A∈{φ，X，{a，b}}，双拓扑空间(1) 一元谓词SC（i， j）I（YX）称为模糊半连续，给出如下：f∈SC（i， j）：=v（ v∈σi→f−1（v）∈sτ（i， j））.也就是说，SC（i， j）（ f）=infv∈P（ Y） min（ 1，1−σi（v）+sτ（i，j）（f−1（v）.1γ2（A）=0如果是，W.1如果Aφ， X， a， b，1/ 4如果A a，如果是，则为100。W.(2) 一 一元谓词αC（i， j）I（YX），称为模糊α-连续，如下所示：f∈αC（i， j）：= v（v∈σi→f−1（v）∈ατ（i， j））.也就是说，αC（i，j）（f） inf min（1，1 σi（v）ατ（i，j）（f−1（v）.v∈ P（ Y）考虑的身份 功能F 从（X，τ1，τ2）到（X，γ1，γ2）.则αC（1， 2）（f）=0，PC（1， 2）（f）= 1/4。因此PC（1， 2）<$αC（1， 2）。定义5.2. 设（X，τ1，τ2），（Y，σ1，σ2）是两个不分明化双拓扑空间. 对于任何f∈YX，我们定义一元模糊备注5.1. 从定理4.2和以上定义中可以清楚地看出，以下的推论是正确的：谓词SC n∈ I（Y X），其中n = 1，2，. . . ，10，如下：（一） f∈SC1：= f ∈v（ v∈Fi→f−1（v）∈sF（i， j））;（i， j）(2) f∈SC2(3) f∈SC3sN（i， j））;(4) f SC4：=<$v <$x（ v∈Ni：=<$x<$v（ v∈Ni：= uf scl→f−1（v）∈sN（i， j））;→u（ f（ u）v→u∈uclf u;下面的例子表明，一般来说，这些含义的反面不一定为真。(5) f∈ SC5(6) f∈SC6(7) f∈SC7：= v（scl（i， j）（ f−1（v））f−1（cli（ v）;：=<$u（ f（ sb（i， j）（ u））<$f（ u）<$bi（ f（ u）;：= v（f−1（inti（ v））sint（i， j）（ f−1（v）;实施例5.1. 对于Xa b c，让和是四(8) f∈ SC8：= v（f−1（ixti（ v））sixt（i， j）（f−1（v）;= {，，}τ1，τ2，γ1γ2（i， j）(9) f∈ SC9：=<$u（ f（ sd（i， j）（ u））<$f（ u）<$di（ f（ u）;X上的模糊化拓扑定义如下：⎧（i， j）f（x）f（x）⎩294A.A. Allam等人1/ 2如果A={c}，如果A∈ {φ，X}，（i，j）如果为0，则为0。W.（i，j）(10) f∈ SC10：=<$x<$S（ S∈N（ X）<$S d s x→f<$S diτ1（A）=1如果A∈ {φ，X，{a}}，3/ 4如果A∈{{c}，{a，c}}，，f（x（i，j）））。（i， j）τ2（A）=如果是，则为0。W.如果是，则为100。W.引理5.1.设A∈P（X），B∈I（X），C∈I（X），则|=B∼⊆A∪C∼↔B∼∪A⊆A∪C∼.证据很清楚。Q定理5.1.设（X，τ1，τ2），（Y，σ1，σ2）是两个 不分明化γ1（A）=. 1如果A∈{φ，X，{a，b}}，如果A∈{φ，X，{a，b}}，={个双拓扑空间和f ∈ Y X. 然后（一）|=f∈SC（i，j）参与者f∈SC n，n= 1，2，. . .，9;γ2（A）=1/ 2如果A a，如果是，则为100。W.（二）|=f∈SC（i，j）→f∈SC10.不分明化双拓扑空间中的新的连续性和开性295（i，j）[f∈SC∈P（ Y）∈ ⊆ ∈⊆X≥⊆≤（i， j）v∈P（ Y）f（x）X（i，j）f（x）= −+≤⊆我（i，j）inf min（，Nf（ x）（）f（ x）xX=证据由于u<$f−1（v）当f（ u）<$v时，则由定理(2.4)在[17]中，我们有sN（i， j）（ u）≤sN（i， j）（ f−1（v））。所以[f∈SC3]=X x1 1−iv(a) 我们现在证明[f∈SC（i， j）]=[f∈SC1 ]中。1x∈X v∈P（ Y）+supsN（i， j）（ u））（i， j）]Xu∈ P（ X）， f（ u）≠ v我=inf min（ 1， 1−Fi（ v）+sF（i， j）（ f−1（v）≤inf int f（x）（v）v∈ P（ Y）x∈X v∈P（ Y）−1+supsN（i， j）（ f−1（v）=vinf min（ 1， 1−σi（Y<$v）+sτ（i， j）（X<$f（五））Xu∈ P（ X）， f（ u）≠ v=inf min（ 1， 1−σ（Yv）+sτ（f−1（Yv）=inf inf min（ 1，1−Ni（五）我v∈ P（ Y）（i， j）x∈Xv∈P（ Y）f（ x）=inf min（ 1， 1−σi（w）+sτij（f−1（w）+sN（i， j）（ f−1（v）=[f∈SC2j]（2）w∈ P（ Y）（，）x（ i，）2=[f ∈ SC（i，j）].2（从方程（1）和（2）），我们有[f∈SC（i， j）]=[f∈SC3 ]的一种(b) 证明了[f∈SC（i， j）]=[f∈SC（i， j）].（i， j）4 52（i，j）X]= infx∈X infv∈P（ Y） min（ 1，1−Ni㈤+（d）证明了[f∈SC（i，j）]=[f∈ SC（i，j）]。注意，对于每个v∈P（ Y），[f（ f−1（v））<$v]=1，sN（i， j）（ f−1（v）。2则[cl i（f（f −1（v）<$cl i（v）]= 1。 清楚地表明第一、 我们 显示 的 [f∈SC（i， j）]≤[f∈SC（i， j）]。如果在[9]中的引理（1.2）中，我们有[f−1（cli（ f（ f−1（v）））））N i（v）≤sN（i，j）（f−1（v）），则结果成立。现在设Ni（ v）> sN（i， j）（ f−1（v））.引理（1.2）f−1（cl i（v））]1.此外[scl（i， j）（ f−1−1 −1（v）f（ x）xF（f（scl（i，j）（f（v）]= 1。在[9]中，我们有，如果f（ x） B v，则x f−1（B）f−1（v）. 所以所以[scl（i， j）（ f−1（v））<$f−1（cli（ v））]我f（x）（v）−sN（i， j）（ f−1（v））≥[f−1（f（ scl（i，j）（f−1（v）<$f−1（cli（ v））]=supσi（B）− supsτ（i， j）（A）≥[f−1（f（ scl（i， j）（ f−1（v）<$f−1（cli（ f（ f−1（v）]f（ x）∈B<$vx∈A<$f−1（v）supFσi（B）-什么？（1）A（f−1（B））[f（scl（i，j）（f −1（v）cl i（f（f −1（v）].因此（x）∈BvsupFf（ x）∈Bv（σi（B）− sτ（i，j）（f−1（B）。SC5（f）=inf [scl（i， j）（ f−1（v）） −1（cli（ v））]So（x）∈Bvinf [f（ scl∈P（ Y）（i，j）（f−1（v）<$cli（ f（ f−1（v）]min（ 1， 1−Ni （ v）+sN（i， j）（ f−1（v）≥inf [f（ scl（i， j）（ u））<$cli（ f（ u））]≥ infmin（ 1， 1−σi（B）+sτ（i， j）（f−1（B）u∈P（ X）4f（ x）∈Bv=SC（i，j）（f）（3）≥inf min（ 1， 1−σi（B）+sτ（i， j）（f−1（B）现在对于每个u<$X，存在v<$Y，使得f（ u）=B∈ P（ Y）=SC（i，j）（f）。v，则u <$f −1（v）。因此[scl（i， j）（ f−1（v））<$f−1（cli（ v））]因此SC2（f）=infx∈X infv∈P（ Y） min（1，1−Ni（ v）+sN（i，j）（f−1（v）≥SC（i，j）（f）。 其次，我们表明，≤[scl（i， j）（ u）<$f−1（cli（ f（ u）]2≤[f（ scl（ u））<$f（ f−1（cl（ f（ u）][f∈SC（i， j）]≥[f∈SC（i， j）]，如下（i， j） iSC（i， j）（ f） inf min（ 1， 1σi（v） sτ（i， j）（ f−1（v）v∈ P（ Y）=int min（ 1，1 − intN（ v））[f（scl（i，j）（u））cl i（f（u））].所以SC4（f）=inf [f（ scl（ u））<$cl（ f（ u））][f∈SCf（x）N≤≥v（一）INF296A.A. Allam等人f（x）v∈ P（ Y）x∈ XXX（i，j）v∈ P（ Y）f（ x）∈vf（ x）（i， j）u∈P（ X）（i， j） i+INF sN（i， j）（ f−1（v）≥ inf [scl（f−1（v））<$f−1（cl（ v））]Xx∈ f−1（ v）u∈P（ X）， v=f（ u）（i， j） i≥Inf min（1，1 −infNi（五）≥inf [scl（i， j）（ f−1（v））<$f−1（cli（ v））]v∈ P（ Y）x∈f−1（v）f（ x）v∈P（ Y）+INF sN（i， j）（ f−1（v）=SC（f）（4）Xx∈ f−1（ v）（i，j）4≥INF inf min（ 1，1−Ni（v）+sN（i， j）（ f−1（v）））从方程（3）和（4），我们有[f∈SC（i， j）]=[f∈SC]2（e）证明了[f∈SC2]=[f∈SC5]，如下=SC（i，j）（f）。（i， j）5（i，j）1因此SC（i， j）（ f）=SC2（f）.SC（i， j）（f）=inf inf min（ 1， 1−scl（i， j）（ f−（v））（ x）（i， j）(c) 我们证明了[f∈SC2]=[f∈SC3].与v∈P（ Y）x∈X−1（i， j）f（ f−1（v））<$v，我们有[f∈SC3]= inf inf min（ 1，1 −Ni（五）（i，j）+F（cli（ v））（ x））=inf inf min（ 1， 1−scl（i， j）（ f−1（十）（i， j）x∈X v∈P（ Y）+supf（ x）sN（i， j）（ u））v∈P（ Y）x∈X+cli（ v）（ f（ x）Xu∈ P（ X）， f（ u）≠ v=inf inf min（ 1，1−（1−sN（i， j）（ X<$f−1（v）≥inf inf min（ 1， 1−Ni（v））v∈P（ Y）x∈X+（1−NX（Yv）x∈ X v∈ P（ Y）+sN（i， j）（ f−1（v）=[f∈SC2（1）f（ x）5我f（x）5（i，j）不分明化双拓扑空间中的新的连续性和开性297f（x）Xf（x）X[f∈SC4（i，j）（i，j）（i，j）[f∈SC=（i，j）（i，j）[f∈αC7我（i，j）（i，j）（i，j）v∈ P（ Y）x∈X(3)f∈αC3我：=<$x<$v（ v∈Niv∈ P（ Y）x∈X（i，j）我J我我x（ i， j）8∈P（ Y x∈X=INF inf min（ 1， 1−Ni（Yv）INF（1−Ni（ v））v∈P（ Y）x∈X+sN（i， j）（ f−1（Y<$v）v∈P（Y），f<$S<$/<$v≤ sup我f（x）（v）−sN（i，j）（f−1（v）。=INF inf min（ 1，1−Ni（w）v∈P（Y），f<$S<$/<$vw∈ P（ Y）x∈Xf（ x）+sN（i，j）（f−1（w）=SC2（f）.(f) 我们证明了[f∈SC4]=[f∈SC6]，如下所示。因此min（ 1，1 −[S dsx]+[fSdsf（ x）]）（i， j）根据引理5.1，我们有6（i， j）（i， j）≥ inf min（1，1 −Ni（i， j）（v）+ sN（i， j）（ f−1（ v）））（i， j）]v∈P（Y），f<$S<$N/vf（ x） x=uinf [f（ sb（i， j）（ u））<$f（ u）<$bi（