基于学习的医学图像配准的高效深度学习方法

4444DeepFLASH：一种基于学习的医学图像配准弗吉尼亚大学jw4hv@virginia.edu张苗苗弗吉尼亚大学mz8rr@virginia.edu摘要本文介绍了DeepFLASH，一种新型的网络，具有高效的训练和推理，用于基于学习的医学图像配准。在现有的方法，学习空间变换的训练数据在高维成像空间，我们开发了一个新的注册网络完全在低维的带限空间。这大大降低了昂贵的训练和推理的计算成本和为了实现这一目标，我们首先介绍了神经架构的复值运算和表示，这些架构为基于学习的配准模型提供了关键组件。然后，我们构造了一个明确的损失函数的变换场充分特征的带限空间少得多的参数化。实验结果表明，我们的方法明显快于最先进的基于深度学习的图像配准方法，同时产生同样准确的对齐。我们在图像配准的两个不同应用中演示了我们的算法：2D合成数据和3D真实脑磁共振（MR）图像。我们的代码可在https://github.com/jw4hv/deepflash上获得。1. 介绍图像配准已广泛用于医学图像分析，例如，基于图谱的图像分割[2，16]、解剖形状分析[20，33]和动态成像中的运动校正[18]。可变形图像配准的问题通常被公式化为优化，寻求图像之间的非线性和密集在许多应用中，希望这样的变换是同构的，即，可微，双射映射与微逆。在本文中，我们专注于具有一组关键特征的同构图像配准高亮：（i）其捕获在脑形状变化、肺运动或胎动中经常发生的大变形;(ii) 图像中对象的拓扑保持不变;以及(iii) 不会引入不可区分的伪像，例如折痕或然而，实现同构图像配准的最佳解决方案，特别是对于大规模或高分辨率图像（例如，尺寸为2563）的3D脑部MRI扫描是计算密集且耗时的。在最近的工作中，通过改进数值逼近方案，已尝试加快非纯图像配准。例如，Ashburner和Friston [3]采用Gauss-Newton 方 法 来 加 速 大 变 形 微 分 纯 度 量 映 射（LDDMM）算法的收敛Zhang等人提出了一个低维近似的双纯变换，导致快速计算梯度迭代优化[32，27]。虽然这些方法已经导致了运行时间的大幅减少，但这种基于梯度的优化仍然需要几分钟才能完成。替代最小化复杂配准能量函数[8，31]，替代方法利用深度学习技术通过构建变换参数的预测模型来提高配准速度。这种算法通常采用卷积神经网络（CNN）来学习成对图像之间的映射和训练数据集中的相关空间变换[28，21，7，10，9]。然后通过评估给定体积上的学习映射来快速实现新测试图像的注册。虽然上述深度学习方法能够快速预测测试中的变形参数，但由于成像空间中的变形参数的高维数，此外，当大变形发生时，强制执行变换的平滑性约束是神经网络中的挑战。为了解决这个问题，我们提出了一种新的基于学习的配准框架DeepFLASH在低维带限空间，其中的同构变换的充分特征在于少得多的维度。我们的工作受到最 近 的 配 准 算 法 FLASH （ Fourier-approximated LieAlgebras for Shoot-4445空间域傅立叶域˜˜空间域傅立叶域10ing）[31]的新颖性（i）开发基于学习的预测模型，进一步加速当前的配准算法;（ii）定义一组复值运算（例如，复卷积、复值整流器等）和复值损失函数;证明了我们的模型可以很容易地实现一个双网络在实值函数的空间与精心设计的网络结构。据我们所知，我们是第一个引入低维傅立叶表示的微分同胚变换的学习为基础的注册算法。与在高维成像空间中学习空间变换的传统方法相比，我们的方法显着地重新定义了空间变换。cobian矩阵，并且Dist（·，·）是度量图像之间的相似性的距离函数常用的距离度量包括平方差和（L2-L3）。图像强度[8]，归一化互相关（NCC）[4]和互信息（MI）[17]。变形φ被定义为位于切空间中的时变欧拉速度场vt的积分流，仿射V=TDiff（T）.这里L：V→V是一个对称的正定微分算子，它将切向量v∈V映射到对偶空间m∈V，其逆K：V→V。（·，·）表示动量向量m∈V与切向量v∈V的对偶。在（1）的最小值处的测地线通过积分测地线约束（a.k.a. 欧拉-降低了训练过程庞加莱微分方程（EPDiff）[1，19]， 这其中需要梯度项的迭代计算。这极大地解决了基于深度 学 习 的 注 册 网 络 的 耗 时 和 昂 贵 的 训 练 问 题 。DeepFLASH的另一个主要优点是，在具有低频分量的带限空间请注意，虽然我们在卷积神经网络（CNN）的上下文中实现了DeepFLASH，但它可以轻松地适应各种其他神经网络，例如全连接网络（FCN）或递归神经网络（RNN）。我们证明了我们的模型在2D合成和3D真实大脑MRI数据的有效性。2. 背景：可变形图像配准在本节中，我们简要回顾了在LDDMM al-租赁设置中使用测地线拍摄的可变形图像配准的基本原理虽然本文的重点是LDDMM，但我们模型中开发的理论工具广泛适用于各种配准框架，例如，静止速度场。考虑源图像S和目标图像T作为定义在环面域上的平方可积函数，S（x）=Rd/Zd（S（x），T（x）：R→R）。异态图像配准的问题是寻找异态变换φt∈Diff（n）：n → n，t ∈ [0，1]的最短路径（也称为测地线），使得变形后的在时间点t= 1的图像S1类似于T。显式测地线打靶LDDMM的能量函数为-模拟为图像匹配项加上保证变换场平滑性的正则化项在高维图像空间中是计算昂贵的。最近的模型FLASH表明，LDDMM与测地线射击的整体优化可以在低维带限空间中有效地进行，速度显著提高[31]。这是基于这样的事实，即速度场在傅立叶域中不会产生高频（如图11所示）。1）。我们简要回顾一下下面的基本概念。图1.空间域中的速度场与傅立叶域设Diff（f）和Vf分别表示双同态和速度场的F_∞表示空间如果速度场v∈V ，则有限维F域中的微分方程v∈Diff（f）可以计算为：ψ˜=e˜+u˜,du˜t=−v˜−D˜u˜∗v˜,(2)tt t t tt t其中e是单位元素的频率，Dut是张量积Dut，表示F频率具有中心差分逼近的雅可比矩阵D的γ1E（v0）= 2 Dist（S1，T）+2（Lv0，v0），s.t.，德维特是一个循环卷积，用零填充，避免混淆1.=−Dt·vt，（1）DT1为了防止域无限增长，我们截断输出其中，γ是正权重参数，D表示Ja。在每个维度上的卷积到一个合适的有限集。4446nNL2L2j=1J1D<$R（v<$opt）−R（v<$pre）<$2nn=1L2nL2测地线约束的傅立叶表示（EPDiff）被定义为：卷积层的实值权重矩阵然后我们定义一个损失函数布吕夫特 =−K（Dvt）*mt+·（mtvt）、（3）（W）=v+λ ·Re g（W），（6）普雷特其中，是截断的矩阵向量场自相关。算子是向量场的离散方向。这里K是一个平滑算子，其逆L是一个连续的F变换主要使用Laplacian算子（−α+I）c，其中α为正权参数，c为光滑参数.L. L.的F.L. F. S.，即， L（1，.-是的-是的，d）=.−2α αd（ cos（2π ω）− 1）+1π ωc，其中（ω，. - 是的- 是的，则n L2n=0其中λ是在函数f和权重矩阵W上的正则项Reg（·）之间平衡的正参数。虽然本文使用L2范数作为正则性，但它对其它常用算子如L1、L0等标准方程的优化问题。(6)通常通过使用基于梯度的方法来解决。权重矩阵W通过向损失函数的方向移动来更新D维频率向量。3. 我们的方法：DeepFLASH我们介绍了一个基于学习的注册网络DeepFLASH在一个低维的带限空间V，新定义的运营商和函数在一个复杂的向量空间Cn。由于空间变换可以由初始速度v≠0唯一地确定（如在等式2中引入的（3）），我们自然地将这种新的参数化集成到DeepFLASH的架构中。为了简化说明，我们在其余部分中删除了v = 0的时间索引x。类 似 于 [28]， 我 们 使 用 最 佳 配 准 结 果 ， 表 示 为v_p_t，通过LDDMM算法的数值优化估计然后，我们的目标是从运动图像和目标图像的图像块预测初始速度v_p_e在介绍Deep-FLASH之前，我们首先定义了一组复值运算和函数，这些运算和函数提供了神经体系结构的关键组件最陡的下降，由其梯度发现。3.2.网络架构：解耦复值网络虽然我们已经准备好设计一个基于CNN的复值配准网络，但这种网络的实现并不简单。Trabelsi等人开发了深度复杂网络来专门处理复杂值的输入，代价是计算效率[25]。在本节中，我们提出了一种有效的方法，将所提出的复值注册网络解耦为正则实值网络的组合。更具体地说，我们构造了一个对偶网络，以等效的方式分离复值网络的实部和考虑到卷积中实部和虚部的计算（等式10），（4））和激活函数（Eq.(5))是可分离的，我们接下来表明，在方程中定义的损失。(6)可以分别由实部和虚部等效地构造。为了简化符号，我们考虑输入信号X的Q维复值向量和实值核H，我们有定义预测的初始速度vpre=重写Eq。(6)作为f（Sn，Tn;W）复值卷积H<$X<$=H<$R（X<$）+iH<$I（X<$），（4）（W）=+λ·Reg（W）。（七）其中R（·）表示一个完备x值向量的实部。nn=0n L2到r，并且I（·）表示虚部。设vopt=βn+iµn和vpre=δn+iηn，（7）我们根据最近关于复杂网络的工作[25]，我们定义了一个基于Rec- tified Linear Unit（ReLU）的复值激活函数。我们将实值ReLU分别应用于神经元Y的实部和虚n然后获得（W）=n=0Nn（βn+iµn）−（δn+iηn）<$2+λ·Reg（W），在输出层中，即，C ReLU（Y）=ReL U（R（Y） ）+i ReLU（I（Y） ）。（五）=βnn=0N— δn）+i（µn— ηn2+λ·Reg（W），3.1.损失函数设一个包含成对图像及其相关最佳初始速度场的标记训练数据集为：{Sn，其中N是成对im的数量。，vopt}N、Tn=βn−δn2n=0Σn+µn−δn2+λ·Reg（W），NN）N=4447年龄我们通过我们对预测函数f（Sn，Tn;W）使用卷积神经网络（CNN），其中W是n=0+I（vopt）−I（vpre）2+λ·Reg（W）。（八）n n L24448v前0ϕ…SR净vpre…不I网高维可视化0p=1ppΣ图2.双网DeepFLASH架构：S和T表示来自高维空间域的源图像和目标图像R（S_∞）和I（S_∞）分别是S的实部和虚部频谱。 R（T_∞）和I（T_∞）是由T_∞变换的实部频率和虚部频率。 v_p_e是从我们的模型优化的低维预测。vpre和φ是速度场和变换场，从我们的低维预测中恢复过来。图2可视化我们提出的模型DeepFLASH的架构在傅里叶空间中定义输入源和目标图像，其中频率的实部为R（S）和R（T）vs. 虚部为I（S）和I（T）。我们训练两个独立的神经网络R网和I网的实部和虚部。 该优化算法停留在低维带限空间，不需要将系数（R（v_p_r_e），I（v_p_r_e））转换到高维图像域。值得一提的是，我们的解耦网络不受任何特定架构的约束图中的CNN网络2可以很容易地被各种最先进的模型所取代，例如，U-net [22]或全连接神经网络。3.3.计算复杂度之 前 已 经 证 明 卷 积 层 的 时 间 复 杂 度 [14] 是 O（Pbp−1·h2·bp·Z2），在原始高维图像空间中执行[7，28]。相比之下，我们提出的模型DeepFLASH显著地将Zp的维度降低到低维带限空间zp（其中zp<$Zp）。这使得传统注册网络的训练要多在时间和内存消耗方面都是高效的4. 实验评价我们通过在2D合成数据和3D真实大脑MRI扫描上进行训练和测试来证明我们模型的有效性4.1. 数据2D合成数据。我们首先通过操纵椭圆方程的宽度a和高度b来模拟3000个（x−50）2（y−50）2其中p是卷积层的索引，并且P表示卷积层的数量。bp−1，bphp分别定义为输入通道数、输出通道数和第p层的核大小这里Zp是第p层的输出维度，即，Zp= 1283，当最后一层预测维数为1283的3D图像的变换场。当前用于图像配准的学习方法a2+b2= 1。 我们画出参数a，b，ran-对于内椭圆，a，b服从高斯分布N（4，22），对于外椭圆，a，b服从高斯分布N（13，42）3D脑部MRI。 我们包括3200个来自阿尔茨海默病神经成像倡议（ADNI）[15]，开放获取系列成像研究（OASIS）[13]，自闭症脑成像数据Ex，128312836436436436433233233233231631631631634449变化（ABIDE）[11]和LONI Probably Brain At- las个体受试者数据（LPBA 40）[23]，1000个子样本。由于很难在个体受试者之间保持相似性，特别是在年龄变化较大的情况下，我们仔细评估了60至90岁受试者的图像。所有MRI均经过预处理，128×128×128，1. 25mm3各向同性体素，并进行颅骨剥离，强度归一化，偏置场校正和用仿射变换预对准。为了通过分割标签进一步验证我们的模型准确性我们从LPBA40中随机选择100对带有分割标签的MR图像 。 然 后 ， 我 们 仔 细 地 将 所 有 图 像 和 标 签 从181×217×181降采样到128×128×128。4.2. 实验为了验证DeepFLASH在2D和3D数据上的配准性能，我们在1000个2D合成数据和2000对3D MR图像上运行了最新的最先进图像配准算法FLASH [30，32]，然后，我们随机选择500对2D数据和1000对3D MRI从其余的数据作为测试用例。我们设置注册参数α= 3，c= 6的操作符，欧拉积分的时间步长为10测地线拍摄。我们采用的初始速度场的带限维数为16，这已被证明可以产生相当的配准精度[30]。我们将批量大小设置为64对于网络训练，学习率η= 1e−4，然后运行2000epoch用于2D合成训练，5000epoch用于3D大脑训练接下来，我们将我们的2D预测与在全空间域中执行的配准进行比较。对于3D测试，我们将我们的方法与三种基线算法进行了比较，包括FLASH [31]（一种基于快速优化的图像配准方法）、Voxelmorph [6]（一种图像空间中的无监督配准）和Quicksilver [28]（一种预测动量空间中变换的监督方法）。我们还将DeepFLASH的配准时间与传统的基于优化的方法进行了比较，例如矢量动量LDDMM（VM-LDDMM）[24]和来自ANT的具有互相关（SyN）的对称同构图像配准[5]。为了公平比较，我们在同一数据集上训练所有基线算法，并从已发布的源代码中报告它们的最佳性能（例如，https://github.com/rkwitt/quicksilver、https://github.com/balakg/voxelmorph）的数据库中。为了更好地验证DeepFLASH生成的转换，我们执行基于配准的分割，并检查八个大脑结构的分割准确性 ， 包 括 壳 核 （ Puta ） ， 小 脑 （ Cer ） ， 尾 状 核（Caud），海马（Hipp），岛状核（Insular Cord），tex（Cor）、Cuneus（Cune）、脑干（Stem）和额上回（Gyrus）。我们评估了传播分割和手动分割之间的体积重叠相似性度量，也称为Sørensen-Dice系数[12]。我们通过比较所有方法的定量时间和GPU内存消耗来训练数据的所有最佳解决方案都在具有32 GB内部内存的i7，9700K CPU上生成。所有基于学习的方法的训练和预测过程都在Nvidia GTX 1080Ti GPU上执行。4.3. 结果图3显示了变形图像、变换场和由DeepFLASH估计的变换的雅可比行列式（DetJac）以及在全空间图像域中执行的配准方法。注意，DetJac的值指示体积如何改变，例如，当DetJac=1时没有体积改变，而当DetJac1时体积收缩并且当DetJac>1时体积膨胀。<小于零的Detac的值指示变换场中的伪影或奇点，即，当折叠的效果发生时，不能保持非同质性。这两种方法显示出相似的模式的体积变化的转换领域。我们的预测结果是相当接近的估计，从注册算法在全空间域。图4显示了所有方法在3D脑MRI上成对配准的变形图像和雅可比矩阵的确定。它表明，我们的方法DeepFLASH能够产生相当的配准结果，几乎没有损失的 准 确 性 。 此 外 ， 我 们 的 方 法 优 雅 地 保 证transformation领域没有文物和奇点的平滑度。图5的左侧面板显示了手动标记的分割和通过从我们的算法估计的变换场变形的传播分割之间的组合的示例。它清楚地表明，我们生成的分割与手动描绘相当一致。图5的右侧面板比较了所有方法的平均骰子的定量结果，观察到我们的方法略优于基线算法。图6报告了来自100个配准对的8个脑结构上的所有方法的骰子得分（平均值和方差）的统计我们的方法DeepFLASH产生可比较的骰子分数，神经网络的训练速度非常快。表1报告了基于优化的配准方法的时间消耗，以及基于学习的配准算法的训练和测试时间。我们的方法可以预测图像之间的转换场，比优化快约1004450源靶变形图像变换的雅可比1.60.4全空间 DeepFLASH全空间 DeepFLASH 全空间DeepFLASH图3.2D配准结果示例从左到右：2D合成源、目标图像、在全空间域中计算的变形图像、与源图像重叠的变换网格和变换的雅可比行列式（DetJac）。源靶FLASH Quicksilver Voxelmorph DeepFLASH1.50.5图4. OASIS数据集上的3D图像配准示例。左侧面板：源图像和目标图像的轴向、冠状和矢状视图。右图：变形图像和FLASH、Quicksilver、Voxelmorph和DeepFLASH变换的雅可比行列式基于注册方法。此外，DeepFLASH在测试中优于基于学习的配准方法，同时显著减少了训练中的计算时间。图7提供了所有方法的平均训练和测试GPU内存使用情况。结果表明，与其他基于学习的方法相比，我们提出的方法在两种训练中都大大降低了GPU雅可比行列式变形4451源目标验证图5.左：源和目标分割与手动注释的八个解剖结构（在LPBA40数据集上），通过我们的方法变形的传播分割标签。右：所有方法平均骰子的定量结果。图6.通过将变形场传播到八种大脑结构（壳核（Puta）、小脑（Cer）、尾状核（Caud）、海马（Hipp）、岛叶皮质（Cor）、楔叶（Cune）、脑干（Stem）和额上回（Gyrus））上的四种方法的分割标签进行Dice评分评价和试验.5. 结论本文提出了一种新的具有高效训练过程和推理的同构图像配准网络。与传统的基于学习的配准方法定义在高维图像空间中不同，我们的模型在低维带限空间中得到了充分的发展，并且很好地保留了变换场的同构性质。基于目前的网络主要是在实值空间中设计的事实，我们首先开发了一个双叉网络，在严格的数学基础的支持下解决复值优化问题。Ourmodel substantially low- ers the computational complexityof the neural network and significantly reduces the timeconsumptiononbothtrain-ingandtesting,whilepreserving a comparable registration accuracy.在我们的工作中开发的理论工具对于各种各样的最先进的网络是灵活的/通用的，例如，FCN或RNN。据我们所知，我们是第一个通过网络学习来描述傅立叶空间中的非纯变形的。这项工作也为进一步加快注册模型的无监督学习铺平了道路。骰子10.80.60.4FLASH DeepFLASH快速银0.2PutaCerCaudHippCor村干回方法平均骰子VM-LDDMM0.760ANTs（SyN）0.770FLASH0.788Quicksilver0.762体素变形0.774DeepFLASH0.78044521DeepFLASH体素变形Quicksilver图7.在训练和测试过程中，我们的方法和基于学习的基线的平均GPU内存使用率比较。表1.上图：基于优化的配准方法在CPU和GPU上的时间消耗的定量结果（没有GPU版本的ANT）。下图：我们的方法DeepFLASH和当前深度学习配准方法的训练和预测计算时间。报名时间蚁群相似性度量在脑图像配准中的性能评价神经影像，54（3）：2033[6] Guha Balakrishnan，Amy Zhao，Mert R Sabuncu，JohnGut-tag，and Adrian V Dalca.一种用于可变形医学图像配准的无监督学习模型。在IEEE计算机视觉和模式识别会议论文集，第9252-9260页[7] Guha Balakrishnan，Amy Zhao，Mert R Sabuncu，JohnGut-tag，and Adrian V Dalca.体素变形：一种用于可变形 医学 图 像配 准 的 学习IEEE transactions on medicalimaging，2019。[8] Mirza Faisal Beg, Michael I Miller, Alain Trouve´, and Lau-rent Younes. 用仿射测地线流计算大变形度量国际计算机视觉杂志，61（2）：139[9] Tian Cao ， Nikhil Singh ， Vladimir Jojic ， and MarcNietham-mer.变形预测的半耦合字典学习。2015年IEEE第12届国际生物医学成像研讨会（ISBI），第691-694页。IEEE，2015年。[10] Chen-Rui Chou，Brandon Frederick，Gig Mageras，ShaChang，and Stephen Pizer.使用回归学习的2D/3D图像配准计算机视觉和图像理解，117（9）：1095[11] Adriana Di Martino，Chao-Gan Yan，Qingyang Li，ErinDe- nio，Francisco X Castellanos，Kaat Alavis，JeffreyS Ander- son ， Michal Assaf ， Susan Y Bookheimer ，Mirella Dapretto，et al.自闭症脑成像数据交换：朝向方法培训时间（GPU小时）引用（秒）大规模评估的内在大脑结构，自闭症分子精神病学，19（6）：659，2014。[12] 李·戴斯物种间生态关联量的量度Ecology，26（3）：297[13] 安东尼F Fotenos，AZ斯奈德，LE格顿，JC莫里斯和RL巴克纳。老龄化和ad患者的横断面和长期脑容量下降的标准估计神经病学，64（6）：1032[14] 何开明和孙健。时间成本约束下的卷积神经网络。在Proceedings of the IEEE conference on computer visionand pattern recognition，pages 5353[15] CliffordR杰克Jr马特一伯恩斯坦尼克C福克斯，[1] 弗拉基米尔·阿诺德。关于无限维流体群的流体力学应用在Annales de[2] 约翰·阿什伯恩和卡尔J·弗里斯顿 统一分段。神经影像学，26（3）：839[3] 约翰·阿什伯恩和卡尔·J·弗里斯顿。使用测地线射击和高斯-牛顿优化的几何配准NeuroImage，55（3）：954[4] Brian B Avants，Charles L Epstein，Murray Grossman和James C Gee。具有互相关的对称微分纯图像配准：评估老年人和神经变性脑的自动标记。医学图像分析，12（1）：26[5] Brian B Avants，Nicholas J Tustison，Gang Song，PhilipA Cook，Arno Klein和James C Gee。一个可重复的评估-保罗·汤普森，吉恩·亚历山大，丹妮尔·哈维，布雷特 · 博 罗 夫 斯 基 ， 保 拉 ·J· 布 里 森 ， 詹 妮 弗 ·L 。Whitwell，Chadwick Ward，et al.阿尔茨海默病神经影像学倡议（adni）：MRI方法。磁共振成像杂志：国际医学磁共振学会官方杂志，27（4）：685[16] Sarang Joshi，Brad Davis，Matthieu Jomier，and GuidoGerig.计算解剖学的无偏仿形图谱构建。神经影像学，23，增刊1：151[17] 迈克尔·莱文顿，威廉·M·威尔斯三世，埃里克·格里姆森 。 多 视 角 二 维 - 三 维 互 信 息 配 准 。 InIm-ageUnderstanding Workshop，volume20，page21.Citeseer，1997年。[18] Ruizhi Liao，Esra A Turk，Miaomiao Zhang，Jie Luo，P Ellen Grant，Elfar Adalsteinsson，and Polina Golland.子宫内容积mri时间序列的时间配准。CPUGPUVM-LDDMM-1210262ANTs（SyN）-6840-FLASH-28653.4Quicksilver31.41220.760体素形态29.7520.571DeepFLASH14.1410.2734453医学图像计算和计算机辅助干预，第54施普林格，2016年。[19] Micha e lIMille r，AlainTrou ve'，andLaurentYounes. 用于计算 解剖学 的测地线 拍摄。 Journal of MathematicalImaging and Vision，24（2）：209[20] MarcNiethamme r，YangHuang，andFran c. 图像时间序列的测地线回归。在医学图像计算和计算机辅助干预国际会议上，第655-662页。Springer，2011.[21] Marc-MichelRohe' ， ManasiDatar ， TobiasHeimann ，MaximeSermesant和Xavier Pennec。Svf-net：使用形状匹配学习可变形图像配准。医学图像计算和计算机辅助干预国际会议，第266-274页。Springer，2017.[22] Olaf Ronneberger，Philipp Fischer，and Thomas Brox. U-net：用于生物医学图像分割的卷积网络。医学图像计算和计算机辅助干预国际会议，第234-241页。施普林格，2015年。[23] David W Shattuck、Mubeena Mirza、Vitria Adisetiyo、Cor nelius Hojatkashani、Georges Salamon、Katherine LNarr、Russell A Poldrack、Robert M Bilder和Arthur WToga 。 人 类 大脑 皮 层 结 构 三维 概 率 图 谱 的构 建 。Neuroimage，39（3）：1064[24] Nikhil Singh ， Jacob Hinkle ， Sarang Joshi ， and PThomas Fletcher. 用于改进测地回归和地图集构建的向量动量公式2013年IEEE第10届国际生物医学成像研讨会，第1219-1222页。IEEE，2013。[25] Chiheb Trabelsi ， Olexa Bilaniuk ， Ying Zhang ，DmitriySerdyuk ，桑 迪 普 · 萨 勃 拉 曼 尼 亚 ，JoajueloFelipeSantos，SoroushMehri，NegarRostamzadeh，Yoeni Bengio，and Christopher J.深层复杂网络。arXiv预印本arXiv：1705.09792，2017。[26] FrancoisXVialard ， LaurentRi sser ， DanielRueck ert ，andColin J Cotter.基于伴随计算的测地线摄影三维图像配准。国际计算机视觉杂志，97（2）：229-241，2012。[27] Jian Wang，Wei Xing，Robert M Kirby，and MiaomiaoZhang.数据驱动的模型降阶方法用于几何图像配准。在医 学 成 像 信 息 处 理 国 际 会 议 上 ， 第 694-705 页 。Springer，2019年。[28] 肖扬，罗兰德·克维特，马丁·斯泰纳，马克·尼瑟姆默.水 银 ： 快 速 预 测 图 像 配 准 - 一 种 深 度 学 习 方 法 。NeuroImage，158：378[29] Laurent Younes，Felipe Arrate，and Michael I Miller.计算解剖学中的演化方程。NeuroImage，45（1）：S40[30] 张苗苗和P托马斯弗莱彻。用于快速同构图像配准的高维李代数。医学成像信息处理国际会议，第249-260页。施普林格，2015年。[31] 张苗苗和P托马斯弗莱彻。基于傅里叶近似李代数的快速几何图像配准。国际计算机视觉杂志，127（1）：61[32] Miaomiao Zhang，Ruizhi Liao，Adrian V Dalca，Esra ATurk，Jie Luo，P Ellen Grant，and Polina Golland.用于有效图像配准的频率同态。在医学成像信息处理国际会议上，第559-570页。Springer，2017.[33] Miaomiao Zhang，William M Wells，and Polina Golland.通过图像变形的紧凑表示进行解剖变异性的低维统计。医学图像计算和计算机辅助干预国际会议，第166-173页。施普林格，2016年。