JB*-三元组上线性h-导子的稳定性及应用

2*2¼2我知道了◦ ◦Journalof the Egyptian Mathematical Society（2011）19，97埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章关于JB~*-三元组上线性h-导子的注记Zeinab M.放大图片作者：Abd EL-Kadera.Zakib，*，Reham M.伊斯梅尔aa埃及开罗赫勒万大学理学院数学系b加拿大国际学院，埃及2012年1月12日在线提供本文在Hyers，Ulam和Rassias的思想下，证明了函数方程稳定性的一个推广。引入JB*-三元组上线性h-导子的概念，并在Hyers，Ulam和Rassias关于JB*-三元组上线性h-导子的有关最新结果，请参见[12011年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍引入非结合代数类（称为Jordan代数）的最初动机来自量子力学（见[4]）。[1]设H是复Hilbert空间。设L（H）是H上所有有界线性算子的实向量空间.Jordan发现L（H）是一个通过反交换子积xy：<$xyyx的非结合代数。一交换代数X的乘积为x≠y，称为Jordan代数。bra如果x2<$（x<$y）=x<$（x2<$y）对所有x，y2X成立。一个复Jordan代数b，其乘积为x∈y，单位元为e，*通讯作者。电子邮件地址：adel_zaki@cic-cairo.com（A.M. Zaki）。1110- 256 X？ 2011埃及数学学会。制作和托管由Elsevier B. V.CC BY-NC-ND许可下开放访问。同行评审由埃及数学学会负责。doi：10.1016/j.joems.2011.10.001对合x′x*称为JB*-代数，如果b是一个Banach空间，它的范数满足 6x6x3，这里{x，y*，z}：=x<$（y*<$z）-y*<$（z<$x） +z<$（x<$y*），表示x，y，z2b的约当三重积.参见[5]，我们记得复JB -三元组是复Banach空间J与连续三重积{.，}： J·J·J fij，其在外部变量中是双线性的和对称的，在中间变量中是共轭线性的，并且满足：i. （约旦身份证）La;bfx;y;zg ¼fLa;bx;y;zg -fx;Lb;ay;zgfx;y;La;bzg对于所有的a，b，x，y，zJ，L（a，b）x：{a，b，x}：ii. 对任意的aJ，从J到J的映射L（a，a）是具有非负谱的Hermitian算子;iii.对于所有的a 2 J，{a，a，a}}=a3。每个C*-代数是关于fa;bω;cg¼的JB*-三元组1abωc <$cbωa <$。2而且，每个JB*代数都是关于{a，b*，c}：（a b*）c+（c b*）a（a c）b*。相反，每个具有酉元素u的JB * -三元组（即，对于每个z，{u，u，z} =z）是具有乘积a<$b ={a，u，b}的酉JB * -代数，制作和主办：Elsevier98Z.M. Abd EL-Kader等人22222pp2-p242k-k 22422¼31X4K3 22X1ð ðÞ1u<$2kx; 2ky< <$1对所有x，y2G. 假设f：-122k0k对于所有x，y2X/{0}，均为<$3kx; 3ky<$1假设f：XfiY是3424由不等式（5）和（6），我们得到：对合a*={u，a，u}，单位u。关于定义和结果的更多细节，我们可以参考[1]和[5]。函数方程的稳定性首先由Ulam[6]研究。在Hyers[7]解决了 近似 可 加映 射 的 情况 下 ， 他证 明 了， 如 果d0 和 f ：E1∈E2，哪里E1、E2 Banach 空间， 等 的 n（x+y）-f（x）-f（y）6d，则存在唯一的加法映射T：E1∈E2，使得f（x）-T（x）6dx为oh 如果f（tx）在t中连续，则对于每个固定的xX，则T是线性映射。03 The Dog（1978）Rassias[8]以如下方式给出了Hyer结果的一般化设X和Y是分别具有范数的Banach空间. 考虑f：X fiY是一个映射，使得f（tx）在t R中连续，对于每个固定的x X。Th.M. Rassias引入了下面的不等式，我们称之为Cauchy-Ras- sias不等式：假设存在常数f P 0，p2[0，1），使得kfxy-fx-fyk6fkxkkyk对于所有x;y2X：Th.M. Rassias证明了存在唯一的R-线性映射T：X ∈ Y使得kf∈X∈ T∈X∈ K 62 fkxkp 为所有xX.Gavruta[2]将Rassias的结果推广为如下形式：设G是交换群，X是Banach空间.P用u表示：G·Gf[0，1）一个函数，使得u~≠x;y≠1 /4fi对于所有x2 E。证据 在不等式（2）中用2x代替y意味着k3fx-fx -f 2xk6ux; 2x;所以k2fx-f2xk6ux; 2x：4现在用2x代替x，并让y=4x在（2）中，因此我们有，k3f 2x-f 2x -f 4xk6u 2x; 4x;因此k2f 2x-f 4xk6u 2x; 4x;然后k4fx-f4xk <$k 4fx- 2f2 x 2f2x-f4xk6k4fx- 2f2xk k 2f2x-f4xk：62ux; 2xu 2x;4x因此，在本发明中，kfx-4-1f4xk612ux;2xu2x;4x5在不等式（5）中用4x代替x变成1k¼02kG X是一个映射，满足kfxy -fx-fyk6ux;y对于所有的x，y G.则存在唯一的加法映射T：Gfix使得fxTx61u~x; x对于所有xXJun和Lee [3]证明了：用u表示：X/{0}·X/{0}个[0，1） 一 功能 等 的 u~x;y=P11Ukf4x-4f4xk642u4x;4：2xu4：2x;4x：因此，在本发明中，k4-1f4x-4-2f42xk612u4x;4：2x2014年12月24日星期四，2014年12月26日星期满足k2fxy -fx-fyk6ux;y的映射-22-2 2 - 1 - 12x，y2X/{0}。 则存在唯一的加法映射k4f4x-fx k 4f4x-f 4x 4f4x-fxkT：XfiY，kfx-f0-Txk63u~x;-xu~-x;3x，对于所有x2X=f0g：本文利用Gavruta[2]、Jun和Lee[3]的证明思想。通过这一节，我们将X记为Banach空间。设G是阿贝尔群，E是G的一个子集，使得对任意整数n和所有x2E，nx2E都成立.也令u：E·Ef[0，1]是一个映射，6k4-2f42x- 4-1f4xk k 4-1f4xk-fx k612u4x;4：2xu4：2x;42x1×2ux; 2xu 2x; 4x：对n应用归纳法，我们得到，Xn-11k¼0 4k1u~x;y=1k¼01u4kx;4ky1;对于所有x;y2E：1u现在我们需要证明序列{4-nf（4nx）}是柯西序列。令n m，我们有，提案1.设f：Efix是一个映射，使得，X射线k4-nf4nx4-mf4mxk 4-mk 4-n-mf4n-m： 4mx-f4mxkn-Xm-11k¼04k1与X射线对于所有x;yE，此外假设因此，f（0）=0。则存在唯一的加法映射T：Efix这样，un-m-112u 4kmx; 4km： 2x4km1kTx-fxk6142u~x;2xu~2x;4x3k¼0uKKk4-nf4nx-fxk62u64个月2uk3f-f6关于JB~*-三元组上线性h-导子的注记99Xpp3ðÞ¼ðþ Þ¼ðÞþð Þ24-11124X32 2 ½f 2 j ½ gnn143你好！144Kunn4-nk3fn- n n nn设p=k+m，则k4-nf4nx- 4-mf4mxk61n-14个/分14p2u4x;4：2x当n趋于无穷大时，右边趋于零，那么我们有，对于所有的x，y，E。最后，为了证明T的唯一性，设F：Efix为另一个映射使得，对于所有x，F（x+y）=F（x）+F（y），uy2E且满足kFx-fxk612u~x;2xu~2x;4x，设m为f，则右边趋于零，因此我们有ŒŒ4-nf(4nx)4-mf(4mx)ŒŒ=0, 和 所以 序列{4-nf（4nx）}是柯西序列。因为X是一个Banach空间，则存在一个映射T：Efix，其中T（x）=limnf14-nf（4nx）。因此对于所有x2E.因此，我们有，kFx-Txk k4-nF 4nx- 4-nT4nxk6k4-nF4nx- 4-nf4nxk k 4-nT4nx-4-nf4nxkkfx-Txk642u~x;2xu~2x;4x：214n1 2u~现在，我们要证明T是一个可加的唯一映射.由于T（4nx）=4nT（x），实际上，取极限为n，则T（x）= F（x）对所有x ∈E，证明完成。H无无无无无无无kT4x-4Txk4x-f4x- 4Txk6kT4nx-f4nxkf 4nx-4nTxk6kT4nx-f4nx k4-nf4nx-Txkð7Þ但是，根据T的定义，当n趋于无穷大时，右侧的第二项趋于零，并且kT=4nx-f4nxk61½2u4nx;4n：2xu4n：2x;4n1x]61“X112u4knx;4kn：2xu4kn：2x;4kn1x#设p=k+n，则有，1“X11英寸4：4-nk¼04kn2. JB*-三元组上的线性h-导子在这一部分中，我们使用了Chunyak Bak[1]的证明思想。在本节中，设B是一个复JB*-三元组。定义1.设h：B∈B是一个对合C-线性映射.一个对合C-线性映射D：B∈B称为B上的线性h-导子，如果Dfx;yω;zgfDx;hyω;hzgfhx;Dyω;hzgfhx;hyω;Dzg对于所有的x，y，z2B.61“X11mmpp 1编号2号提案 设 f，h：B ∈ B为映射，4： 4-np/ n 4个p 2u4x;4：2x2u4：2x;4X轴f（0）=h（0）=0，其中存在 一功能 u：B3fi[0，1]，使得当n趋于无穷大时，右边趋于零，因此 我们有，T（4nx）=4nT（x），对于所有x2E和T（0）=0，因此k3Tx-T3xk k3Tx-T3xk-T0xku~x;y;z=1/41k¼01u4kx;4ky;4kz1;84-nk3Tk3flxlyzω-lfx-lfy-fzωk6ux;y;z;94-nk3Tlxlyzωωn nnnk3h3 -lhx-lhy-hzk6ux;y;z;10— 3f4x4： 3x4： 0x 3f4x— f4：3x-f4： 0x64-n： 3kT4nx-f4nxk 4-nkT4n： 3x-f4：3xk 4kT4： 0x-f4： 0xk4n3x 0 3kffx;yω;zg-ff x;hyω;hzg-fhx;fyω;hzg-fhx;ð11 Þhyω;fzgk6ux;y;z12对于所有的x，y，zB和l S1：kC：k1。则存在唯一的对合C-线性映射D，h：B fiB使得kfx-Dxk642u~x;2xu~2x;4x131634-n2u~4nx;4n：2xu~4n：2x;4n1x4-n12u~4n：3x;4n：6xu~4n：6x;4n1：3x4-n12u~4n：0x;4n：0xu~4n：0x;4n1：0x-n n nkhx-hxk642u~x;2xu~2x;4x14对于所有x2B。而且D：BfiB是B上的线性h-导子。证据令（1=1）2S1和z=0在（9）和（10）中，那么我们þ4 u~1004：3x;4：0x100 k：因为当n趋于无穷大时，右边趋于零，那么我们有，T（3x）=3T（x），对于所有x2E，因此我们有有k3fxy -fx-fyk6ux;y;3Tx1000T-nn X轴，X轴k3hxy -hx-hyk6ux;y;k3个月-x轴-T轴轴角1/4 lim 4 k 3 f43 ÞÞ -fð4xÞ3对所有的x，y2B，由命题（1）存在唯一的可加性-f4nyk61lim4-nu4nx;4ny：映射D，h：Bfib，使得64n！1k¼0kT4nx-f4nxk62u4knx;4kn：2x4K100Z.M. Abd EL-Kader等人143kðfgÞ ¼62 2 ½f 2 j ½ g33S，x=y=4x，z=0，那么，国王！143k33123M333M3 M323 3ð3þ3þ3 Þ31K Kωk k kωkM421kfx-Dxk642u~x;2xu~2x;4x和khx-hxk642u~x;2xu~2x;4x;其中Dxlim 4-nf4nx;hx lim 4-nh4nx;对于所有x2B：最后，为了证明D是B上的线性h-导子，设x=4kx，y=4ky，z=4kz，在（12）中，我们有kff4kx;4kyω;4kzg-ff4kx;h4kyω;h4kzg-fh4x;f4y;h4zg-fh4x;h4y;f4xgk6u4kx;4kyω;4kz：你好！1你好！1然后，在步骤S102，现在证明D，h是B上的对合C-线性映射. 根据文[9]中定理（8）证明中的同样推理，映射D，h是B上的C-线性映射。事实上，由于1kff4kx;4kyω;4kzg-ff4kx;h4kyω;h4kzg-fh4kx;f4kyω;h4kzg-fh4kx;h4kyω;f4kxgkDx lim 4-nf4nx;hx lim 4-nh4nx。在（9）中，设11l21你好！1 K你好！16u<$4kx;4kyω;4kz<$6u<$4kx;4kyω;4kz<$2l：4kx取极限为kfi1，因此我们有，k3f3-2lf4xk6u4x;4x;0;1 1ω因此，在本发明中，Kk k k利姆3K国王！14F4kx; 4kyω; 4kzlim国王！143 k ff4x;h4y;h4zg12l：4x2LK1k k k k3K游戏kf3-3f4xk63u4x;4x;06u4x;4x;0：国王！14×fh4kx;f4kyω;h4kzglim因此，在本发明中，K国王！11kkωk1 2l：4x2lk1k kkf -f4xku4x;4x;0×43kfh4x;h4y;f4zg：4k3 34k对于所有x2B。取极限为kfi1，因此我们有，因此，我们认为，Lim1 2l4kx f12升f4kxDfx;yω;zgfDx;hyω;hzgfhx;Dyω;hzg国王！14K3K！14k3那么，对于所有的l2S1，fhx;hyω;Dzg对于所有的x，y，z2B.所以D：BfB是上的线性h-导子，3 32升B。 HDlxlDx;其中3l2C;jlj 1：现在设k2C;k 那么，jkj1<1-1/4。 通过 [10]， 那里 存在 l，l，l2S推论1. 设f，h：BfB是满足 f（0）=h（0）=0且存在常数fP0，p2的[0，1），使得3 kD1x。因此，在本发明中，DkxDm：3kxDm1 3kxD mk3flxlyzω-lfx-lfy-fzωk6fkxkpkykpkzkp15公司简介1升1lx千分之一米l2l3D立体声k3hlxlyzω-lhx-lhy-hzωk6fkxkpkykpkzkp16M3K1/4：DxkDxD0x0Dxkffx;yω;zg-ff x;hyω;hzg-fhx;fyω;hzg-fhx;173Mhyω;fzgk6ux;y;z18对于所有x2B。因此，对于所有x;y2B;k;l2C，我们有Dkxlulkxl ulkDxlDy;且D是B上的C-线性映射。证明x，y，z B和lS1：kC：k1。 则存在唯一对合C-线性映射D，h：B∈B使得2月 3日： 2p 14p pD的对合，设x=y=0，z=4kz，因此，在本发明中，kfx-Dxk64- 4pfkxk2分 3秒：2分 4秒ð19Þk3f<$4kzω<$ -f<$4kz<$ωk6u<$0;0;4kz<$kf<$4kzω<$ - 3-1f<$4kz<$ωk61u<$0; 0;4kz<$6< $0;0;4kz<$khx-hxk64- 4pfkxkp2033所有x2B。而且D：B∈ B是上的线性h-导子4-kkf<$4kzω<$ - 3-1f<$4kz<$ωk64-ku<$0;0;4kz<$：当k趋于无穷大时，右边趋于零，因此，B.证据设u（x，y，z） =f（x，y，z）+f（x，y，z）+f（x，y，z）lim4-kf国王！14kzω33-1lim4-kf1Þ¼3 DZω命题（2），在（15）和（16）设l=1和z=0，则我们有，11/4DZω;xyppk kk1ð4K使得1zω3关于JB~*-三元组上线性h-导子的注记1013k3f3-fx-fyk6fkxk kyk;对于所有z2B.因此，D是上的对合C-线性映射k3hxxxyhx-hyk6fkxkpkykp：B. 同样地，h是B上的对合C-线性映射.ð3个月-102Z.M. Abd EL-Kader等人112联系我们4KPkfx-Dxk62F4K41-p-144-p44400万美元4K则存在唯一的对合C-线性映射D，h：BfiB使得引用kfx-Dxk642u~x;2x;0u~2x;4x;0和khx-hxk642u~x;2x;0u~2x;4x;0对所有的xB，且D：B∈B是B上的线性h-导子。既然[1] BAK陈文辉，JB*-三元组上的线性h-导数，J. ChungcheongMath. Soc 19（1）（2006）27[2] P. Gavruta，近似可加映射的Hyers-Ulam-Rassias稳定性的推广，J. Math. Anal. 184（1994）431[3] K. Jun，Y. Lee，Jensen方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性的推广，J. Math. Anal. Appl. 238（1999）305-315。[4] H.厄普迈尔，约旦代数分析，算子理论，量子力学，区域会议，系列在u~x;y;z：1k¼011u4kx;4ky;4kzp p pfkKK数学，第67号，上午。普罗维登斯数学学会，1987年。[5] 放大图片作者：Tony Ho，Juan Martinez Moreno，AntonioM. Peralta，Bernard Russo，实和复JB*-三元组的推导，然后，在步骤S102，千帕千帕114k¼04kk4xk k 4yk k 4zk：Kpkpfkpk1pk4xkk4：2 xkk第四节：2 xk第四节xk数学科目分类17C65、46K70、46L05、46L10和46L70，1990年。[6] S.M. 乌拉姆，现代数学中的问题，在：科学，威利，纽约，1960年（第六章）。[7] D.H. Hyers，关于线性泛函方程的稳定性Proc. Natl. Acad. Sci. USA 27（1941）22261P1244kpk¼022：2p2p4pfkxkp[8] Th.M. Rassias，关于线性映射的稳定性Banach空间，Proc.Am. 数学Soc. 72（1978）。61f40p-14p-142p-1g23：2p4pfkxkp.61ð12012年2月3日：2p4pfkxkp6月2日3：2p4pfkxkp证明已经完成。H[9] C. 帕克， 同态 之间 谎言 JC*-代数和Cauchy–Rassias stability of Lie JC[10] R.V. Kadison，G.K.张文龙，张文龙，等.酉算子的凸组合与平均.北京：高等教育出版社，19984