理论计算机科学中的Bicyclic Graph距离矩阵决定论

Available Online atwww.sciencedirect.com理论计算机科学中的电子笔记346（2019）413-423www.elsevier.com/locate/entcs计算一个Bicyclic Graph的距离矩阵的决定论Ezequiel Dratman，1CONICET - Instituto de Ciencias，Universidad Nacional de General Sarmiento，Los Polvorines阿根廷卢西恩N。Grippo，2阿根廷萨米恩托将军国立大学（Universidad Nacionalde General Sarmiento，Los Polvorines）火星D。安全3由Matematica，UniversidadNacionaldelSur（UNS），BahıaBlanca，AreInMABB，UniversidadNacionaldelSur（UNS）-CONICET，Ba ıaBlanca，Ar希伯来语细胞M来自Silva Jr.，4DEMET和PPPRO，CentrFeral，EducaCACElsoSuckow，Fsec，RdeJanuary，巴西Renata R. 老当益壮5大学（英语：University of F（Niteroi））（UniversityF）抽象LetGb和aconnectedgraphwithvertexsetV={ v 1，.}（让G b和一个连接的图形V与垂直集合V = { v 1， . . ，Vn？距离d（vi，vj）be t eenwwovertices v i and v j is the n u m b er of ashort pathlinking them.（d）v ertice v i andv j is the n u m bofashortpathlinkingthem.（d）G的距离是n×n矩阵su c hthatits（i，j），而n尝试等于d（vi，vj）。 为了计算这个矩阵的nt，在垂直数字中，当这个图是一棵树或一个单周期图时，它就形成了一个垂直数字。 For为根据维基百科的描述，确定性是已知的，在一个情况下，自行车没有普通的边界。 在这篇文章中，我们为这些进一步的案例提供了一些进步;即，when the cycles share at least one edge最后一个边缘。我们也有一个猜想未解之谜。Keywords：bicyclic graphs，determinant，distance matrix两种图形，距离矩阵https://doi.org/10.1016/j.entcs.2019.08.0371571-0661/© 2019 The Author（s）。出版者：Elsevier B. V.这是CC BY-NC-ND许可证下的开放访问文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。414E. Dratman et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）413-2Σ1导言图G（V，E）是一组V ofvertes和一组Eofedges的缩写。我们将考虑graphs没有multiple edges没有循环。Let G be a connected graph on n vertex set V（让G在n个垂直线上连接图，使用vertex set V）V n？垂直之间的距离VI和VJ，denotedd（VI，VJ），是VI到VJ的捷径的数量。G的距离矩阵被称为D（G），即n×n对称矩阵拥有它（i，j）--与D相等的输入（v i，v j）。我们有时使用d i，j来拒绝d（v i，vj）。距离矩阵已经成为文学的必要研究。开始调查这些母亲的动机是与通信问题的联系（see[4，6] for more details）.在早期的文章中，格雷厄姆和波拉克在垂直的树T的距离矩阵上确定了一个可测量的结果[4]。它们已经证明了它们的决定性只依赖于n，等于（−1）n−1（n−1）2n−2。Graham和Ho man提出了一个公式，用于确定两个连接组件的距离矩阵的图形。Fourty years later，Bapat and Sivasubramaniantook advantage from this result to present a formula for the distance matrix of ablock graph [2] .（四年之后，巴帕特和西瓦苏布拉曼尼亚人在这一结果中取得了决定 性 的 地 位 。 1966 年 ， 格 雷 厄 姆 与 L ov’asz[1]btaineda for mulafortheinverseofthedistancematrix ofa tree [2]。Bapat，Kirkland和Neumann[1]将结果扩展到了树的案例。在同一篇文章中，他们还找到了计算单图像矩阵的距离确定性的公式。他们已经证明了，洗涤剂的数量是零，当它只有一个周期时，它的边缘是一个单一的数字，如果它是一个图形。2k +1 +m垂直和具有2k+ 1 edges的周期，确定性等于（−2）mk（k+ 1）+2k +1m。当一个问题被提出来时，我们会发现，在与树，Gong，Zhang和Xu的设定方向上一些进步的公式为一个双画面的确定性[3]，考虑两个边缘循环的两个bicyclic graphs。无一不共享，一幅bicyclic graph withtwo cycles sharing at last one edge remains open。在这篇文章中，我们现在在这个方 向 上 有 些 进 步 In addition ， projectures about the formulas to deal with theuncovered cases are presented.在补充中，关于公式与未发现的案例进行交易的猜想已呈现。这篇文章是组织作为follows。在第二节中，我们有一些基本的说明，初步结果，我们清楚地描述了与一个bicyclic图的距离矩阵的确定性有关的预测结果。 在第三节和第四节我们考虑了一个θ-graph和一个θ-graph加上一个pendant vertex的距离矩阵的决定性。在第5节，我们目前的公式为某些bicyclic graphs的决定者，其中循环已经在最后一个普通版。最后，在第6节中，我们猜想了决策案例的确定性公式1电子邮件：edratman@ungs.edu.ar2电子邮件：lgrippo@ungs.edu.ar3电子邮件：msafe@uns.edu.ar4电子邮件：celso. cefet-rj.br5电子邮件：rrdelvecchio@id.uff.brE. Dratman et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）413-415nn1n21212p qq2设计和初步结果Atree is a connected Acyclic graph.一棵树是一个连接的气候图。这是一张连接了许多悬崖和垂直的平面图。这是一张由一个国家向一个国家添加的一个独角兽镜头而获得的graph。垂直的路径和周期分别由Cn和Pn被拒绝。 我们用Bnto denote the set of allbicyclic graphs onn vertes.我们用B n来拒绝所有在n个垂直上显示的图像。我们将确定一个特定的bicyclic graph，特别重要的一个命令，以确定在Bn中的图形的决定者。 conscide a copy ofCp and a copy ofCq having a vertexa1 anda ，分别为Wedenote by B（l，p，q）the graph obtained by joining a 1 and a l by a path a 1，.我们拒绝B（l，p，q）the graph obtained by joining a 1 and a lby a path a1，. a l的长度l− 1; if l = 1 weidentify vertex a1 with vertex a l. WE这就是所谓的Such a graph an ∞-graph。其中P+1为三个垂直分配路径，P p p+1为三个垂直分配路径。l≥1 andp，q≥ 2，它们有端点，vl，vl，v，v，v，分别。We denote byθ（l，p，q）-graph，or simplyθ-graph，the graph obtained byidentifying（图像由确定）垂直度vl，vp，vqas one vertex，and proceding in the same way forvl，vp，vq1 1 1 2 2 2LetG Be A Graph让G成为一张照片We denote by G+uv the graph that arisesfrom G by adding an edge uv/ E（G）.我们拒绝G+ uv the graph that arises fromG by adding an edge uv/ E（G）。Avertexv和ddvertexv将被NG（v）和dG（v）分别拒绝。When the context is clear，we simply使用N（v）ord（v）.当上下文清晰，我们使用简单的N（v）或d（v）。Apendant vertexof G is a vertexv ofdegree 1 and its incident edge is called a pendant edge. A pendant vertex ofGis avertex v of degree 1 and its incident edge is called apendant edge. A pendantedge. A pendant edge . A pendant edge .一个G的垂直是未满1英寸的，其发生的边缘被称为挂边。 Two vertes u and v will be called twins if N（u）{ v }（两个垂直的u和v将被称为双胞胎，如果N（u）{v} = N（v）{u}。 让S成为G 垂 直 的 子集，我们拒绝G [S]，被S诱导的G子图Given a matrix A，A（i）建立矩阵A，A（i）|Aby deleting the rowi and the column j.（一个从A中删除一个节点和一个列J中的矩阵）We useS（A）todenote（我们使用S（A）to denote）The Spectrum ofA . A的故事ByI we denote a vector having a 1 on thei-thcoordinate and 08. Clearly，the graph familyBn can be partictioned into two graph subfamilies.明确地，每个家庭平面图B n不能被分割为两个不同的平面图。一，被命名的Bn∞，是thosegraphshavingan∞-graph，被命名的byH∞，作为一个子图的子家族;另一个，被命名的Bθ，是those graphs拥有一个θ-graph的子家族，被Hθ，作为一个子图描述。注意到，被删除的H∞（分别为Hθ）的graph是一个背景图。这意味着这些图形是从一张图H∞∈Bn∞获得的（respectivelyagraphHθ∈Bθ）byadding等待3人这 两 个 Lemmas 的 后 续 步 骤 本 质 上 减 少 了 计 算 的 问 题 ， 从 - 结 束ntofagraphG∈Bntofindingthedeterminentof agraphHeitherinBn∞ or inBθ。Lemma2.1 [3，Lemma 2.3]让G成为画面 如果H是由添加一个pendant vertex to416E. Dratman et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）413-any vertex of G而获得的graph G，则then det（D（H））是不变的，无规则的G已经连接到一个特定的vertex。Lemma 2.2[3，Lemma 2.4]让G1和G2成为两个有垂直组的图形=1 ， v2 ， v k= 1 ， v k= 2 ， k = v n} ， 相 应 地 。 Let G be the graph obtainedfromG1and G2by adding an edge between vertexes v1and v n，and let H begraph obtained from G1and G2by identifying vertexes v1and v nand then addinga pendentvertex from v1（or v n）.让G 1和G 2从G 1中获得图像1和V n，这些都是来自V 1（或V n）的垂直上升的垂直。所以，det（D（G）= det（D（H））。E. Dratman et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）413-417⎧⎪⎨V3v2P+1P+2V1VP-1pv pp+q- 1 vp+q−2V3v2P+1P+2V1VP-1pv pp+q- 1 vp+q−2VP+QFig. 1. 图B（1，p，q）=P（p，q，1）on the left and graph P（，2）onthe right.图中的图B（1，p，q，q）= P（p，q，1） on the left和graphP（p，q，2） onByLemma2.1，ifagraphG∈Bn∞HasH=B（l，p，q）a s induced subgraph，（Lemma2.1，i f a graph G ∈ B n ∞ Has H = B（l，p，q）asinducedsubgraph），then det（D（G））等于the determinant of the graphHJ J obtained fromH byidentifying a vertex of degree 1 of a path onm vertedes with the vertex of degree 4ofB（1，p，q）; wherem =n−p−q+1。1.从现在起我们将拒绝向A graphHJ byP（p，q，m）致敬。因此，计算问题的确定性矩阵的两个相邻的两个相邻的图形G的两个相邻的非联合循环的确定性，作为induced subgraph可以降低到计算的确定性D（P（q，q，m）的问题。ITcanalso proved that computing such a determinant can be reduced to computing f（0）= det（D（P（p，q，1））and f（1）= det（D（P（p，q，2）（参见Figure 1）。这本书是从后续结果推断出来的。Lemma 2.3[3，Lemma 2.2] Suppose that the sequence f（0），f（1），··，f（n）fiesthe following linear recurrence relation [2]如下线性递归关系f（m）= 4f（m）= 4f（m）f（0）=f010，f（1）=1。Then（1）f（m）=。0+mf1Σ（−2）（m−1）.Having previously computedf（0）andf（1）and then proving thatf（m）= det（D（P（P（q，m+1）安全公式1for each positive integerm，it is easy todefine the formula to the determinant of any biclic graph havingB（p，q，l）as an inducucified subgraph.（对于前面计算的f（0）和f（1）），它是简单地定义一个公式来确定任何bicular graph包含一个bicles，b（p，q，l）作为归纳子图。定理2.4 [3，Theorem 3.4]让G是任意两幅图，p + q + m − 1垂直包含B（p，q，418E. Dratman et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）413-42l）as an induced subgraph with m ≥ l − 1。 Then det（D（G）= 0 if one ofthe integers p or q is even，and otherwise（如果integers p或q是even）dett（D（G））=Σ（pq − 1）（p + q）+mpqΣ（−2）m。下一个，我们将状态两个技术结果需要与图形的情况下，在任何地方都在最后两个双胞胎垂直交易。E. Dratman et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）413-419⎜⎟0101，n−2Lemma2.5 Let G be a connected graph with vertex set { v 1，v 2，.（让G成为一张连接图，并带有vertex set{ v 1，v 2，.}）V n？ 如果V1和v2are twins，thenS（D（G）={−d1， 2}| S（R），在⎛⎜d2,101,n−2⎞⎟R=..+D（H），dn，10 1，n−2且H= G[v2] （Vn）？添加剂，det（D（G）=d1，2（D（H）=|（1）d2，1 + 2 det（D（H）。证明。由 元 素 矩 阵 Multiplying the Matrix D（G）by the Elementary MatrixP=1-101，n-20n−2，10n−2，1 n-2on the left and byP-1 on the right，we get the first part of this result.在右边，我们得到这个结果的最后一部分。这个结果的第二部分可以被证明是有效的扩大这个新矩阵的决定性，哪一个清楚，它是决定性的作为D（G）。QCorollary2.6让G和H在Lemma 2.5中被设置为graphs。 If det（D（H）/= 0，thendet（D（G）= −d1，2det（D（H））（d2，1（D（H））−1）1，1+ 2）.3θ-图形为了使所有案例都必须确定，为计算一个bicyclic graph的距离矩阵的定义，它仍然要考虑两个循环共享最后一个边界的两个bicyclic graphs;即，Those graphs haveaθ-graph as induced subgraph （θ-graph 为 诱 导子 ） Below ， we give details ofthose cases that need to be considered in order to completely solve the problem.贝尔，我们把这些情况的几个细节需要考虑，以便完全解决这个问题。• θ（1，p，q），这里p和q都是幂正的。• θ（2， 2，q），其中q等于2或某个odd positive integer大于1• θ（l，p，q）such that：· i= 1 and at least one ofp andq is an odd integer greater than 1，最小值为1，最大值为1· i=p= 2，且q是an even integer greater than 3，orA.p≥ 2，p≥3，且q≥3在这些案例中，定义一个不幸公式的想法是考虑一个图的决定性因素，其中一个420E. Dratman et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）413-图是θ（l，p，q），另一个图是θ（l，p，q），加上一个垂直点的一个偶然事件，其垂直值为3。Then，by applying Lemma 2.3，we will be able to compute thedeterminant of a graph obtained from，Then，by applying Lemma2.3， we willbe able to compute the determinant of a graph obtained from，我们将可以计算一个从图中获得的确定性E. Dratman et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）413-421v2（k+1）（k+2）θ（l，p，q）by identifying one vertex of degree one of a path of lengthm with one（一个长度的m的路径之一）第三个垂直为θ（l，p，q）。在序列中，我们将取消A graphF（l，p，q，m）。注意到Lemma2.1确定了这个图agres的距离矩阵与任意bicyclic图上的距离矩阵的确定性，在l+p+q+m−1垂直上，havingθ（l，p，q）as induced subgraph。这很容易通过直接计算那det（θ（2，2，2）= −16来解释。v3vk+3V1v2k +4vk +4Fig. 2. θ（2， 2k + 1）Letus label the vertines of θ（2，2，2 k +1）如 图 2所示。8 . Clearly，V1和V2这是双。 Besides，θ（2， 2， 2k + 1）−v1=C2k +3，det（D（C2k +3））=（k+1）（k+2），and（（D（C2k +3））−1， 1=−2+2k +3 （see[1]）.By combining theseobservations结合这些观察with Corollary2.6 the result below follows相关文章公式1：对于每一个正整数k，det（θ（2，2，2 k +1））= 4（k2+ k − 1）Lemma 3.2：Let l，p and q be integers experiment one of the followingconditions（让我和我的同伴们满意）• i= 1and，at least，p = 2k− 1or q = 2k− 1for some k≥ 2，• n= 2，k = 2，k= 2，k= 3，则• p≥ 2，p ≥ 3，且q ≥3。Then，det（θ（l，p，q））= 0。证明。 （Sketch） 我们会把这个证明分解成三个案例。(i) 我们考虑图θ（1，p，q），这里p = 2 k − 1 or q = 2 k − 1 for some k ≥ 2，并拥有它们的垂直实验作为图3。V1VKv2kvk +1ph. 3.费格 θ（1，p，q）422E. Dratman et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）413-(ii) We considerer the graphθ（2， 2，q）with its vertexes labeled as in Figure4，where（图2，2，q）q= 2k= 2，得k≥3。E. Dratman et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）413-423v2k +1VNv2k +1VNV1VK−1v2k +1v2kvkv2k− 1费格，4 θ（2，2，q）VK+1(iii) 如图θ（l，p，q），其中p≥2，p≥3，q≥3。8. Clearly，at last two of thethree parameters（l，pandq）have the same parity.同样的参数，在最后两个小时内，三个参数（l，p and q）有相同的参数。 Hence，l+p=2k，l+q=2k ， 或 p+q=2k ， 其 中 k≥3 。 10. Accordingly ， two cases should beconsidered：two of the parameters are even integers or two of the parametersare odd integers.（1995年，第2页v1vjvk−1V1VJ VVKV2KVKv2k− 1v2k−jEven case的VK+1V2Kv2k−j +1OddCase的VK+1费格5 θ（l，p，q）withl≥ 2，p≥3，q ≥3For all those graphs considered in cases（i ）and（ iii）（where two pathsconnecting vertices of degree three have odd lengths ） it can be proved thatd（v1，vi）-d（v2k，vi）+d（vk+1，vi）= 0， for every 1≤i≤ n .对于每一个，v i≤n，两个平面图，v i = n。Hence the vectore1−ek +ek+1−e2k is an eigenvectorassociated with the eigenvalue 0 for the distance matrix of these graphs.（参见图1-e 2）是一个eigenvector associated with the eigenvalue 0 for the distance matrix ofthese graphs.（参见图1-e 2）。类似地，它可以被证明，对于所有的graphs考虑在案例（二）和（三）（其中两个路径连接到每个第三个已经even lengths的垂直），d（v1，vi）−d（vk−1，vi）−d（v2k− 1，vi）+d（vk+1，vi）= 0，对于每一个1≤i≤n。查找矢量1−ek−1+和k+1−e2k− 1是一个eigenvector与eigenvalue 0 of distancematrix for these graphs关联。Q4θ-graphs plus a pendant vertex（英语：θ -graphs plusa pendant vertex）Recall thatF（l，p，q，1）stands for the graph obtained fromθ（l，p，q）byadding a pendant edge incident to one of its vertices of degree 3.描述F（l，p，q，1）从θ（l，p，q）获得的图像，加上一个垂直3。Below we give details of those424E. Dratman et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）413-cases to be considered in order to cover all the cases.我们把这些案例的五个细节放在一起考虑。• F（l，p，q，1），这里的p和q都是幂正的。• F（2， 2，q， 1），其中q等于2或某个确定的整数大于1。• F（l，p，q，1），即：i= 1 and at least one ofp andq is an odd integer number greater than 1，最小值为1，E. Dratman et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）413-425V6VV3V4V52===i=p= 2，且q是an even integer greater than 3，orp≥2，p≥3，且q≥3。v2Fig. 6. F（2， 2， 1）Let us label the vertines of F（2，2，2，1），如图6所示。Vertexes v3，v4，v5 ， experience conditions of Lemma 2.5 （ 《 洁 净 室 》 ） Hence ， by applying thislemma repeatedly，we conclude that det（F（2， 2， 2， 1））.计算结果：（2，2，2，1）v3vk+3V1Fig. 7. F（2， 2， 2k + 1， 1）Let us label the vertines of F（2，2，2 k + 1，1）为数字7。Clearly，v1andv2 ， experiencethehy pothesisofLemma2.5 ， 第 一 章 第 二 节 ， 第 二 节 。Inadddition，H=G[2， ]]isisomorphic toC2k +3 plus a pendant vertex，det（D（H）= −2（k+ 1）（k+ 2）+2k +3）= −2k2−8k− 7 and（D（H）−1）1，14K212K 42K2 + 8K+7（见[1]详细说明）By combining these observations with Corollary 2.6 the result below follows.（英语：Combining these observations with Corollary2.6 the result below follows）Lemma 4.1Let k be a positive integer，thendet（D（F（2， 2， 2k+ 1， 1））= 4（−2 k 2 − 4）让k成为一个positive integer，thendet（D（F（2，2，2，2 k + 1，1））= 4（−2k 2 −2 − 4）（4 k +3）Lemma 4.2：Let l，p and q be integers enfulying one of the followingconditions（让我和我的同伴们满意）• 1，且either p = 2k− 1or q = 2k− 1，对于有k≥2，• n= 2，k = 2，k= 2，k= 3，则• p≥ 2，p≥ 3，且q≥ 3。v2v2k +4vk +4v2k +5426E. Dratman et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）413-（1），则f（l，p，q）= 0。证明。（Sketch）我们将这个证明分解为描述的三个案例。(i) 我们考虑图F（1，p，q， 1），此处p= 2k− 1 orq = 2k− 1 for somek≥2;与所有其垂直实验室作为数字8。E. Dratman et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）413-427n+1V1VKn+1V1VK-1V2KVV1n+1VJVKVNV1n+1VjVK-1v2k+1VVNv2kvk+1费格8 F（1，P，Q， 1）(ii) 我们考虑F（2， 2，q， 1）with its vertectes labeled as in Figure9， whereq= 2k−2 for somek≥ 3.2K +1Kv2k− 1Fig. 9。F（2， 2，Q， 1）VK+1(iii) 我们考虑F（l，p，q，1），其中l≥2，p≥3，和q≥3。Hence at least two ofthe three parameter（l，pandq）have the same parity，meaning that at theleast one of the following conditions for somek≥ 3：l + p= 2k，l+q= 2k，orp+q= 2k.在第二个参数中，有同一个参数，意味着在最后一个后续条件中为k≥3：l+p= 2k，l + q = 2k，或p + q = 2k。12. Accordingly，two cases should beconsidered：two of the parameters are even integers or two of the parametersare odd integers.（10节，10节V2K Kv2k− 1v2k−jEven case的VK+1V2Kv2k−j +1OddCase的VK+1费格10 p，p，q，1），其中，l≥2，p≥3，q ≥3。在例（i）和（iii）（其中归纳子图θ（l，p，q）has two paths connecting vertinesof degree three with odd lengths），它可以提供d（v1，vi）−d（vk，vi）−d（ v2k ， v i ） +d （ vk+1 ， vi ） = 0 for every 1≤i≤n + 1 。 向 量 面 前 是1−ek+ek+1−e2kbelongs to the kernel of the matrixD（F（l，p，q，1）。For cases（ii）and（iii）（where the induced subgraphθ（l，p，q）has twopaths connecting vertes of degree three with even lengths ） ， it can be proved428E. Dratman et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）413-thatd（v1，vi）−d（vk−1，vi）+d（vk−1，v i）+d（v k +1，vi）= 0 for alli ≤n +1.（vHence the vectore1−ek−1 +ek+1−e2k− 1 belongs to the kernel ofD（F（l，p，q，1））。 QE. Dratman et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 346（2019）413-429nn52.2.1 B θ中图形的距离矩阵（Determinant of the DistanceMatrix of graphs inBRecall that graphs inBθ have aθ-graph as induced subgraph.在B θ有一个θ-graph被诱导的子图。By Lemma2.1， we（英语：Lemma 2.1，we获取后续结果。Lemma 5.1Let G be a bicyclic graph on p + q +l + m− 1 ve