埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2013）21，156原创文章关于特定年龄M.A.W. Mahmoud，M.E.Moshref，A.M.Gadallah*Department of Mathematics，Faculty of Science，Al-Azhar University，Nasr City 11884，Cairo，Egypt收稿日期：2011年12月28日;修订日期：2012年10月20日;接受日期：2012年2013年2月14日在线提供在这篇文章中，我们介绍了新的寿命分布类，即在特定年龄t0HNBUE*t0（HNWUE*t0）之后，谐波新比预期中使用的更好（更差）。研究了这些类在卷积、混合、溷合和齐次Poisson冲击模型下的封闭性质。此外，提出了非参数检验来检验指数与HNBUE*t0类。计算该试验的临界值和功效，以评估试验的性能。结果表明，该检验方法对LFR分布和Weibull分布均具有较高的检验效率.一组真实的数据作为例子来阐明使用的实际问题的建议测试。数学潜规则分类：60K10、62E102013年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍在现实生活中有许多情况下，在时间t0之后需要研究这些现象。例如，在疾病出现之前，可能存在一个潜伏期t0，在此期间疾病是不可观察的。老化的概念在可靠性理论、寿命试验、寿命预测等方面都有重要的作用*通讯作者。电 子 邮 件 地 址 ： mawmahmoud11@yahoo.com （ M.A.W.Mahmoud ） ， mmoshrefy@yahoo.com （ M.E.Moshref ） ，alaadean_mag@yahoo.com（A.M.Gadallah）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier活 分 析 及 其 他 相 关 领 域 。 例 如 Barlow 和 Proschan[1] ，Deshpand等人[2]，Cao和Wang[3]，给出了几类分布的定义，NBU，NBU（2）和NBUE。Rolski[4]引入了HNBUE（ harmonic new better than used in expectation ） 类 ，Klefsjo[5]、Basu和Kirmani[6]从多个角度研究了HNBUE。指数性检验与寿命分布类的检验一直是人们关注的焦点。对于针对IFR等级的测试，我们参考Barlow和Proschan[1]和Ahmed[7] 。 对 于 IFRA 测 试 ， 我 们 参 考 Ahmed[8] 和Deshpande[9] ， 而 测 试 与 NBU 的 讨 论 由 Hollander 和Proschan[10] ， Koul[11] ， Kumaz- awa[12] 和 Ahmed[8] 进行。Mahmoud等人[13Diab等人[16]和Diab[17]讨论了测试与 NBUL 。 [18]Hollander 和 Proschan[18] ， Koul 和Susarla[19]，Klefsjoe[20]和Borges等人[21]用于（NBUE）类 。 最 后 测 试 与 HNBUE 可 以 在 Klefsjoe[20] ， Basu 和Ebrahim[22]，Ahmed[23]和Hendi等人的工作中找到。[24]第10段。1110- 256 X？ 2013埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.10.010关键词卷积;混合;U-统计量;Poisson冲击模型;假设检验关于特定年龄157R一120F.一0一0120220012¼ ¼ ¼þ00统计学家和可靠性分析师研究了一些老化不同点的特定年龄的寿命分布类Z1Fxtdx6Z1Z1e-t=lFx-udxdFu000的观点。有关更多详细信息，请参阅Hollander et al.[25]，^e-t=lZ1Z1Fx-udFudx易卜拉欣和哈比布拉[26]，艾哈迈德[27]和潘迪特和1 2Anuradha [28]第二十八届 为 NBU-t0， 泽慧 和 [29]第二十九话IFRA*t0和NBU*t0以及NBUC-t0和Elbatal[30]NBU（2）-t0.e-t=l0Fxdx：本文引入了一类新的寿命分布HNBUE*t0及其对偶类HNWUE*t0，它是HNBUE（HNWUE）寿命分布类的推广.设X是具有分布函数F的随机变量和l/41Fxdx1，其中F表示生存函数。这就完成了证明。 H的以下定理是提出到表明HNWUE*t0类在卷积下被保留。定理 2.2. 的 HNWUE*t 0 类 是 下保存卷积定义1.1. X是调和新的，比期望中使用的更好（用X2HNBUE表示），如果Z1Fxtdx6le-t=l对于所有tP0：1：10定义1.2. X是谐波新比预期使用-证据2.这个证明是通过颠倒上一个证明中的不等式得到的。H陈述并证明了以下定理，以表明HNBUE*t0类在混合下保持不变定理2.3. HNBUE*t 0类在混合物下保持不变。指定年龄t0后的反应（用X2HNBUE*t0表示），如果证据3. 假设Fa是HNBUE*t0则它们的混合物为：Z1Fxtdx6le-t=l对于所有tPt0P0：01：20Fx1FaxdGa：0本文讨论了HNBUE*t0（HNWUE*t0）类在在第2节。在第3节基于拟合优度技术因此：Z1Fxtdx¼Z1Z1FaxtdGadx0 0 0我们提出了一个程序来测试X是指数的，HNBUE*t0且不是指数的。 最后是数值例子1Z1Z1FaxtdxdGa：2：1见第4节。002. HNBUE~*t~ 0类的一些性质在本节中，HNBUE*t0和HNWUE*t0由于Fa是HNBUE*t0，则Z1Z1FxtdxdGa6Z1Z1e-t=lFxdxdGa1/4e-t=1Z1Z1FxdGadx在卷积、混合、混合和0 0均质情况下的激波模型。定理2.1. HNBUE*t 0类在卷积下被保留。证据1.假设F1和F2是两个独立的HNBUE*t0寿命分布，则它们的卷积由下式给出F¼Z1Fz-ydFy：0因此：Z1Fxtdx¼Z1Z1Fxt-udFudx¼Z1Z1Fxt-udxdFu：1/4e-t=1Z1Fxdx：Q2：20的以下定理是提出到表明HNWUE*t0类在混合物下保持不变。定理2.4. HNWUE*t 0类在混合下保持不变。证据4.这个证明是通过颠倒上一个证明中的不等式得到的。H下面的示例说明了HNBUE*t类在混合下不被保存。实施例2.1.设F1e-dx和F2e-cx.设F1F1一楼二层。因此，F1和F2都是HNBUE*t0，但F不是HNBUE*t0。2.1. 齐次泊松冲击模型自从F10是HNBUE*t01 20然后假设一个设备受到序列冲击发生-环随机的时间根据泊松过程，Z第1项-000¼0158M.A.W. Mahmoud等人¼···-2ð Þ¼-.-p<$rj6P1-mp<$r;j<$0;1;.. . ：102：400d¼E1e-t0--t0-e-Xe-2t0t0e-t0-ektp�r�emX恒定强度k进一步假设该设备具有prob-3. HNBUE*t0的拟合优度方法在第一 次k 次冲击中生存的能力pk，其中一便士一便士。然后，设备的生存函数由下式给出：本节的主要目的是基于拟合优度技术提供检验统计量，用于检验H0：F是指数与1个小时e-kt：12：30H1：F属于HNBUE*t0类，不是指数类. 我们建议采取以下措施kk！k¼0D¼Z1le-t=ldF0t-Z1Z1FxtdxdF0t;Esary[31]已经研究了该冲击模型的IFR，t0t00IFRA、DMRL、NBU和NBUE类。 [32]第三十二话HNBUE和Mahmoud等人[33]第三十三话定义2.1. 离散分布p k，k = 0，1，. . ，1或其由于该测度是尺度不变的，因此不失一般性，我们可以取l= 1和F0（t）=1e-t。下面的引理对于我们的发展是必不可少的。检验统计量生存 概率p<$k;k<$0;1;.. . ;1是 据说离散谐波新比使用的预期更在特定年龄t0（HNBUE*t0）（HNWUE*t0）之后，如果引理3.1. 设X是HNBUE*t0分布函数F，则随机 变量X1.r¼01jX1现在，让我们介绍下面的定理。证据6. 注意定理2.5. 如果pk是离散的HNBUE*t 0，则由（2.3）给出的Ht是HNBUE*t 0。Zt01e-2tdt-1的t0Z1e-tFxtdxdt¼I0-I2;证据5. 使用公式2.3，我们有既然lH¼Z1HH H1X1p′kZ1ktke-kt dkt1X1Mp'k¼;FxtE½IX>xt];0k k¼00k！kk¼0k然后其中m是离散分布p′k的平均值。必须证明Z1Hxtdx6e-t=lZ1Hxdx：的t0的t0I1e-2t0;12和使用公式2.3，我们得到I2¼Ef-t0e-X-t0e-t0-e-t0g：Z1HHHZ1X1p′k[1/2ktx]e-kxtdx我们可以注意到H下D等于f，00千分之十X1Xkp′kk¼0国王！kt国王！0哪里1 122分部积分因此，考虑d=D f，则d可以写成以下形式e-ktX1X1p′kkte-ktX1X1普吉尔ðktÞd¼E1-t0-时间：2019 -03-03Kr<$0k<$r快-快！kr<$0j<$0j！26e-ktX1X1.1年jp′rðktÞ 1/4X1kt11j1Me-ktp′r因此，结果如下。HKj<$0 r<$01X1mj！-ktZ1X1kj<$0j！xr！r¼0注意，在H0下：d=0，而在H1下：d> 0。基于随机样本X1，X2，X3，. . ，Xn从分布-f的无偏估计由下式给出：r¼00r¼0^1Xn .1-t0-t0-Xi1KKJ1-JRr¼0：¼e-ktr¼0布雷尔河kxf¼：p<$re-kxdxKD¼Z¼¼关于特定年龄1591/4e-t=1HZ1Hxdx：Qnn nn1/12000年-Xi e-e：103：200求^dn的极限分布 我们求助于美国-理论（cf. [34]）。设置通过反转不等式得到了HNWUE*t0UX1Þ¼2þe-t0-x-t0-e-x：0160M.A.W. Mahmoud等人02H.0PAE ®d; F ® r. 2eFhxdx-eF hxdx. ;2吨0吨12分0-H考虑Weibull族0因此，方差为r2¼Var½/X]：在H0下，我们得到r2¼e-2t0-1 e-t02112：03：30根据引理3.1，定理3.1是直接的。定理3.1.(i) 作为n！1个;Σ12pn^dn-d~N0;r2，其中Σr2¼Vare-t0--t0-e-X：(ii) 在H 0下，方差在（3.3）式中降为r2。3.1. d的Pitman渐近效率（PAE）为了评估该程序相对于文献中的其他程序有多好，我们评估 了 HNBUE*t0 类 中 两 个 替 代 方 案 的 Pittman 渐 近 效 率（PAE），这些替代方案是：1. 线性失效率族（LFR）：Fhxλexp.-x-hx2x;x>0;hP 0.2. Weibull族：Fh¼ePAE的定义如下：1 .一、d d.r0dhh！h0-xh ;x>0;hP 0.PAE已关闭 。 .：d¼Z1e-2tdt-Z1Z1e-tFxtdxdt;的t0然后t00@ dh¼ 1e-2t0-Z1Z1e-tF0xtdxdt：@h2t00很容易证明，7654321^110-2t0Z1-x0的t000Z10。的t01 .一、-t t2图4.1效率与时间六点0e-2t04表3.2t0 = 1.3时统计量^dn的临界值。34567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950-0.247-0.190-0.167-0.160-0.155-0.139-0.129-0.107-0.113-0.108-0.103-0.104-0.104-0.093-0.096-0.086-0.085-0.083-0.083-0.078-0.072-0.074-0.074-0.075-0.074-0.067-0.076-0.072-0.066-0.065-0.063-0.068-0.064-0.063-0.065-0.061-0.059-0.056-0.059-0.058-0.056-0.054-0.054-0.056-0.053-0.053-0.059-0.053-0.155-0.131-0.108-0.099-0.095-0.084-0.082-0.075-0.073-0.066-0.067-0.067-0.059-0.059-0.058-0.057-0.058-0.053-0.054-0.054-0.050-0.050-0.050-0.049-0.050-0.046-0.045-0.046-0.046-0.042-0.044-0.044-0.042-0.042-0.041-0.041-0.038-0.038-0.037-0.039-0.038-0.036-0.036-0.036-0.038-0.036-0.038-0.036-0.111-0.089-0.080-0.073-0.070-0.064-0.063-0.055-0.051-0.051-0.049-0.050-0.047-0.046-0.045-0.043-0.042-0.040-0.040-0.039-0.037-0.037-0.039-0.038-0.038-0.037-0.035-0.035-0.034-0.033-0.033-0.033-0.032-0.031-0.031-0.033-0.030-0.031-0.030-0.028-0.027-0.028-0.028-0.029-0.028-0.028-0.026-0.0272015年12月31日0.081 0.100 0.1260.076 0.094 0.1160.084 0.1100.066 0.079 0.0992009年12月31日2017年12月31日0.056 0.067 0.0930.055 0.066 0.0880.052 0.064 0.0840.048 0.057 0.0810.047 0.057 0.0780.059 0.0800.045 0.054 0.0750.040 0.053 0.0690.041 0.053 0.0680.039 0.048 0.0670.040 0.050 0.0662019 - 06 - 24 00：00：000.039 0.049 0.0640.037 0.047 0.0670.036 0.044 0.0640.037 0.045 0.0610.035 0.044 0.0580.035 0.044 0.0580.042 0.0600.032 0.041 0.0580.034 0.041 0.0520.032 0.042 0.0570.031 0.038 0.0510.030 0.039 0.0540.029 0.038 0.0540.029 0.038 0.0530.029 0.037 0.0510.030 0.037 0.0510.028 0.037 0.0530.029 0.037 0.0480.029 0.036 0.0480.028 0.036 0.0450.029 0.035 0.0460.027 0.034 0.0480.027 0.034 0.0450.027 0.033 0.0480.025 0.034 0.0460.026 0.032 0.0460.025 0.030 0.0440.025 0.033 0.045效率0He;þPAE（PAE）d;LFR（LF R）d r10的.-þ.表3.1PAE测试LFRWeibullHollander–ProschanD0.86600.74905.7851.20071.22803.69659n0.010.050.100.900.950.992-0.333-0.185-0.1350.1140.1260.140关于特定年龄1613英里。2162M.A.W. Mahmoud等人11-t0^001对2r0. 2 4 4结果发现，^dn¼=0：141，该值小于表3.2中列出的临界值。那么我们接受H0，和PA EEscherd;Weibul l . telnte-2t0。1张图片 -t0在表3.2中给出了临界值，由此我们得出结论：该数据集具有HNBUE*t0性质。Z1e-xlnxdx。：引用4t0.图4.1显示了效率与t065之间的关系。从图4.1可以看出，最大效率出现在t0=1.3时，LFR替代方案的PAE为大于Weibull替代方案的PAE我们将上述t0=1.3时的程序与Hollander和Proschan[18]以及Ahmad等人的程序进行了比较。[35]，结果见表3.1。表3.1表明，我们的测试优于其他测试的两个替代品。3.2. 蒙特卡罗零分布临界点许多从业人员，如应用统计学家和可靠性分析师对模拟计算感兴趣。表3.2给出了公式3.2中给出的统计量^dn的这些百分点在t0=1.3时，并且计算是基于1000个大小为n=2（1）50的模拟样本。3.3. 功率估计表3.3显示了使用LFR和Weibull分布在显著性水平0.05下公式3.2中给出的检验统计量^ d n的功效估计。估计值基于尺寸n=10、20和30的1000个模拟样本。从表3.3可以看出，我们的检验具有很好的功效。4. 应用在这里，我们将提供真实的例子来阐明我们的测试在95%置信水平下的应用。实施例4.1.以下数据代表来自埃及卫生部Elminia癌症中心的39名肝癌患者，该中心于1999年进入。生命周期（以年为单位）为：[1] R.E. Barlow，F.张文，可靠性统计理论与寿命试验概率模型，第一部分，北京，1998。[2] J.V. Deshpande ， S.C. Kochar ， H. Singh ， Aspects ofPositive Aging，J. Appl. Probab. 288（1986）773[3] J.H. Cao ，Y.D. Wang ，NBUC 和NWUC 寿命分布类，J.Appl. Probab. 28（1991）472[4] T. Rolski，平均剩余寿命，布尔。Int. Stat. Inst. 4（1975）266[5] B. Klefsjo，HNBUE和HNWUE生命分布类，海军研究。29（1982）331[6] A.P. 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Diab，使用拟合优度方法测试NBUL表3.3在t0= 1.3时使用a = 0.05进行功效估计。nh=1h= 2h=3h=4说明数据集具有指数性质。LFR100.9940.9890.9770.965200.9900.9760.9590.922实施例4.2. 考虑以下数据，这些数据代表300.9980.9850.9650.910特定类型电气绝缘的Weibull100.9531.0001.0001.000在一个实验中，绝缘材料受到200.9511.0001.0001.000不断增加的电压应力[36，p. 138]：300.9501.0001.0001.0000.2050.3630.4070.4770.720.7821.1781.2551.5921.6352.310697.第0697章比你强应用程序，Stat。Papers 51（2010）270.027 0.038 0.038 0.038 0.038 0.038 0.041 0.047 0.049 0.055[18]R.M. Hollander，F. Proschan，平均剩余寿命检验，0.055 0.055 0.055 0.055 0.063 0.063 0.066 0.071 0.082 0.082Biometrika 62（1975）5850.085 0.110 0.314 0.140 0.143 0.164 0.167 0.184 0.195 0.203[19]H.L. Koul，V. Susarla，测试新的比使用的更0.206 0.238 0.263 0.288 0.293 0.293 0.293 0.318 0.411不完全数据期望，J.Am. Stat. Assoc. 第七十五届会议（1980年）952-956.关于特定年龄163[20] B. Klefsjo，基于拉普拉斯变换的一种有用的老化特性，J.Appl. Probab. 20（1983）615[21] W.D. Borges，F.Proschan，J.Rodgrigues，一个简单的测试，新的比预期中使用的更好，Commun。Stat. A[22] S.K.巴苏，新西-地陈晓，张文，张文，等.生存函数的检验.北京：高等教育出版社，2000，21（3）：100 - 101. 37（1985）347[23] I.A. 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