一致Lipschitz半群的渐近稳定性分析

DTx（0）=x0，=∈Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）43一致Lipschitz非线性半群系统艾哈迈德·H. [1]A，B，C， D.作者：Alib. 阿卜杜勒-拉赫曼daAl-Azhar大学理学院数学系，Assiut 71524，埃及b沙特阿拉伯比沙大学理学院数学系cKing Khalid University，Faculty of Science，Mathematics Department，Abha 9004，Saudi Arabiad埃及Minia，Minia大学计算机和信息学院ar t iclei n f o文章历史记录：2016年4月13日收到2016年6月5日修订2016年6月8日接受2016年6月28日在线发布MSC：47H0947H1047小时20分保留字：不动点渐近稳定非线性无穷维系统抽象非线性柯西问题a b st ra ct本文研究了D×D上一类特殊半群，即一致Lipschitz半群的渐近稳定性分析.版权所有2016，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。1. 介绍稳定性分析是系统理论、微分方程平衡点的稳定性、实用计算机科学、数值分析和动力系统轨迹中的一个极其重要的问题。 关于非线性无限维系统的渐近行为的许多结果是已知的，其中非扩张性和耗散性性质起着至关重要的作用，见例如。[1，2]。几年后，Ak- sikas et al.[3，4]发展了一个关于实自反Banach空间中无限维非线性和半线性系统的渐近稳定性的理论。我们在本文中的贡献是双重的：（1）我们将介绍-导出一致Lipschitz不动点的耦合不动点定理正规Banach空间中的参数映射半群2. 预赛定义2.1[3]。 对于实自反Banach空间X，称算子Tt：C→C，t≥0为子集C上的非扩张自映射的非线性单参数半群，如果它满足下列条件：(i) Tt+sx=TtTsx∈s，t≥0;T0x=x，对每个x∈C;(ii)≤s≥0x，x1∈C。(iii)Tt≥0，Tt：X→X是连续的.假设以下系统.dx= Ax（t），Δ t> 0（2）建立了Banach空间中具有正规结构的无穷维非线性一致Lipschitz系统的渐近稳定性。x（t，x0）=Tt x0是（1）的解，A是在C上。生成器A在其定义域上定义D（A）=.x∈C：limTtx−xexists，∗对应 作者所有联系电话：+966533876149。电子邮件地址：mahmod@kku.edu.sa，a_h_soliman@yahoo.com（A.H.Soliman），dare123n@hotmail.com（D.N.Ali）、eothman@taibahu.edu.sa（E.O.Abdel-Rahman）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2016.06.003t→0+t通过Axlim Tt x − x，对于每个xD（A）。t→0+t1110-256X/Copyright 2016，Egyptian Mathematical Society. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。可在ScienceDirect上获得目录列表埃及数学学会期刊首页：www.elsevier.com/locate/joems（一）44A.H. Soliman等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）43=n||ǁ ǁ ǁ ǁ∀∀−;{}==dt=A（u（t），v（t）），t>0（u（0），v（ 0））=（u0，v0），22r→∞对于所有>0。因此22=ǁ− ǁ ǁ− ǁ∈定义2.2[3]。设X是实自紧Banach空间，C∈X是闭凸子集。设Tt是C 上的非线性Lips-chitzian 半群. 则对任意x0∈C ，我们说x∈ω（x0）当且仅当x∈C且存在序列tn→ ∞使得Xlim T tx0.n→∞（e）[||a − u||≤ r，||a − v||r，且||u-v ||≥ ε] ||a −（u +v）/2 ≤ r（1 − δX（ε/r））。设C是Banach空间的凸闭非空子集设{xt：t∈G}是X的成员组成的有界网. 则{xt}t∈G关于C的渐近半径和渐近中心为r C{x t}= inf lim sup |||x t− y|i = 1，2，3，. . . ，n，定理2.1[3]. 设Tt是C和A上的非线性自映射的非扩张半群，满足下列性质(i)x− x1≤（x−x1）−s（Ax−Ax1）， x，x1∈D（A）且s>0;（耗散性）(ii) convx（D（A）） R（IλA）λ>0(iii) （I-sA）-1对某些s>0是紧的。设D = D（A），x是方程组（8）的一个解。则对每个x0 ∈ D，x（t，x0）= Ttx0当 n → ∞ 时收敛于ω（x0），其中ω（x0）z： z−x=r，其中x0−x≥r。 即此外，如果A满足严格不等式的耗散性y∈Ct分别地，A C（{x t}）={y ∈ C：lim sup |||x t− y|= r C{x t} i = 1，2，3，.. . . ，n}3. 主要结果让我们考虑一下这个系统.d（u（t），v（t））（二）则lim x（t，x0）x，即x是系统（8）的渐近稳定的t→∞其中A是生成元Tt，如下所示：对秀丽隐D（A）={（u，v）∈C：limt−1 [Tt（u，v）−u]和lim定义2.3[10]。 设η={Tt：t∈G，G=[0，∞）}是一类C×C。 则称η是C×C上的Lipschitz半群，如果满足以下特性：（i）<$u，v∈X，T0（u， v）=u;t→0t−1[Tt（v，u）−v]exist}通过−1t→0(ii) Ts Tt（u，v）=Ts+t（u，v）∈s，t∈G且u，v∈X;(iii)≤k[]，对于每个tA（u，v）limtt→0[Tt（u，v）−u]，tt1121 1A（v，u）= lim t −1 [T（v，u）− v]。≥0且每个（u，u1），（v，v1）∈C×C，k>0.不t→0(iv) <$u，v∈X，算子t→Tt（u，y）和t→Tt（v，u）由对任意（u，v）∈D（A），x（t，（u，v））=Tt（u，v）是当G具有[0，∞）的相对拓扑时，G到X00系统（2）.00 00(v) 对每个s∈G，Ts：C×C→C是连续的.符号正常结构（N.S.，是不动点理论中一个极其重要的方面。这种符号是由Milman和Brod-skii[5]引入的。1980年，Bynum[6]定义了正规结构系数N（X）（N.S. C.的方法，Maluta和Casini[7]用它来求一致Lipschitz映射的不动点。N.S.是不动点领域及其它涉及微分、积分方程等求解的领域。注3.1. 系统（2）出现在许多领域，如微分方程空间周期边值问题[8]，系统理论，以及许多其他领域。定义3.1. 设系统（2），设A生成一个非线性一致lyLipsc希兹半群Tt.考虑（u<$，v<$）e是系统（2）的平衡点，即 （u<$，v<$）∈D（A）且A（u<$，v<$）=0，A（v<$，u<$）=0，即（u′，v′）是C中f（2）的一个易解点，如果limX（t，（u0，v0））=limTt（u0，v0）=u<$，设C是Banacht−→∞t−→∞空间X。 则u ∈ C称为C的一个直径点，如果sup {||u − x||：tlimX（t，（v0，u0））=tlimTt（v0，u0）=v<$.x∈C}= sup {||x-y||：x，y∈C}=δ（C）（其中δ（C）表示二-−→∞−→∞C的一个非对径点，如果sup {||u−x||：x ∈C} ^{0。 如果0c 1使得r（C）≤cδ（C），<0，则称F是uni-形式正常结构（U.N. 美国，简称）。定义2.5[6]。设X是一个Banach空间。然后是N。S. C. N（X）定义如下：. δ（C）r（ C）引理3.1. w（（u0，v0））是闭合的。证据考虑序列（um，vm）w（（u0，v0）），对于每个<$>0，存在M> 0，使得umu<<$，V Mv< 对于n>M。对于每个（um，vm），存在序列{tr}，使得lim tr= ∞<<且，‹备注2.1. N（X）>1当且仅当X有U。 N. S.<$T（tr）（u0，v0）−x<$≤<$T（tr）（u0，v0）−um<$+<$um−u<$我们通过函数δX定义X的凸性模：[0，<2]→[0，1]，其中δX（ε）= inf {1-||（u + v）/2||：||u||≤ 1，||v||≤ 1且||u-v||≥ ε}。备注2.2. 下面的凸性模X的性质是相当众所周知的（见[9]）2+2=<$。同样，我们可以推断，T（t r）（v0，u0）− 1的一致Lip-schitz半群，也就是说，r μ≤ N（X）。二、d（um，vm）0，对于所有m≥0（因为否则um=Tt（um，vm），vm=Tt（vm，um），即，（um，vm）是τ的耦合不动点，证明已经完成）。设m≥0是固定的，k<2 N（X）δ−1（η）.其中η定义如下。ε>0是足够小的。我们可以选择j∈G，使得||Tj（um+1，vm+1）− um+1||> d（um+1，vm+1）− ε然后我们可以选择s0∈G大到若{Ts（u0，v0）：s∈G}对某个（u0，v0）∈C×C有界，则存在（u，v）∈C×C使得对所有||T s(um+1，vm+1）−uM+1||0，对于所有的x，y，X和.−1 2Σ0−1||x1−T t n（x，y）||Tt n（x，y）− x2||x1−Ttn(x,y)||+||Ttn(x,y)−x2||→0asn→∞（1.0个）这意味着x1=x2 类似地，我们可以证明y1=y2。由于（x，y）∈ ω（（x，y）），则得到ω（（x，y））=（x，y）.现在，我们准备引入下面的渐近稳定性定理，这是我们在本节中的主要目标Q定理3.2. 设系统（2）在定理3.1 T t由A在C × C = D（AT）上生成. 设（x，y）是（2）的等距点，且（I-sA）-1紧算子，其中s> 0.则lim T t（x，y）= x，lim T t（y，y）= y。则下列命题成立1-A不是严格耗散的2- Tt是Lipschitz单参数半群.3- （0，0）是Tt的耦合不动点。证据 考虑任何（x，y）∈D（AT）.通过命题3.3，ω（（x，y））ΔD（AT）。根据命题3.4，ω（（x，y））={（x，y）}。现在，让（x，y）∈C×C，（x，y）/∈D（A）. 设“0”是任意固定的。 由于D（AT）在C×C中稠密，存在（u，v）∈D（AT）使得，2Ky−v<引理3.2. 对于所有（x，y）∈D（Tt），w（（x，y））两千 它遵循的事实，T t是一致连续的，Ous半群，引理3.3.对于任意k<$，w（（x0，y0）（x0，y0）∈D（Tt）.证据由于w（（x0，y0）是Banach空间X×X的凸闭子集，N. S. 它的每一点都是X×X上的收敛点和Tt一致Lipschitz半群.然后由定理3.1我们得出所需的结果。Q提案3.2. 设T t是D × D上的非线性一致Lipschitz半群，由AT生成. 则ω（（w，z））= ω（（x，y））<$（x，y）∈ ω（（w，z））.≤2[]≤2，（11）对于所有t≥0。以来 （u，v）∈D（AT），由命题3.4我们得到ω（（u，v））={（x，y）}，其中存在M>0，使得，对于所有的t>M，<$T t（u，v）<$2<。（12）从（11）和（12）可 以 得出，对于每个t> M，≤<。不证据 Fix（x，y）∈ ω（（w，z）），设x= lim T tn（w，z），y =t t tn→∞则lim T t（x，y）=x，类似地lim T t（y，x）=y. Qlim T tn（z，w）与tn→∞作为n→∞.假设 现在t→∞t→∞（x1，y1）∈ω（（w，z）），设x1=limTωn（w，z），y1=limTωn（z，w）悬而未决的问题。 这将是有趣的建立结果n→∞n→∞本文的半线性系统，如在I。Aksikas和J.弗雷泽当n→∞时，ωn→ ∞。 我们可以假设，一般性s n= ωn− t n≥ n，n = 1，2，. . . ，因为||Tsn（x，y）−T s n + t n（w，z）||≤||Tsn(x,y)−Tsn+tn(w,z)||+||→0 a s n → ∞。||→0asn→∞.类似地，可以得到，||Tsn(y,x)−y1||→0asn→∞.这意味着（x1，y1）∈ω（（x，y）），则ω（（w，z））<$ω（（x，y））.（八）同样的，ω（（x，y））<$ω（（w，z））.（九）从（8）和（9），我们有ω（（w，z））= ω（（x，y））。Q3.3号提案考虑系统（2），设T是C × C上的一致Lipschitz非线性半群，由AT生成.然后对于任意（x，y）∈ D（AT），ω（（x，y））<$D（AT）.A=48A.H. Soliman等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）43Forbes[4].致谢作者感谢匿名审稿人对我们论文的仔细阅读以及他们许多有见地的评论和建议。引用[1] C.M. Dafermos，M.李文，非线性压缩半群的渐近行为，J。功能Anal.13（1973）97[2] Z.洛湾，巴西-地Guo，O. Morgül，无限维系统的稳定性与镇定及其应用，Springer，Verlag，London，1999。[3] I. Aksikas，J. Winkin，D. Dochain，无限维半线性系统的渐近稳定性：应用于非等温反应器，系统控制快报。56（2007）122-132。[4] I. Aksikas ， J.F. Forbes ， On asymptomatic stability of semi-lineardistributed parameterdissipative systems ， Automatica 46 （ 2010 ） 1042-1046。[5] M.S. Brodskii，D.P. Milman，关于凸集的中心，Dokl。阿卡德。Nauk.SSSR 59（1948）837 - 840。（俄文）。[6] W.L. Bynum，Banach空间的正规结构系数，Paci fic J. Math. 86（1980）427-436。[7] E. Casini，E.张文，张文，等，具有一致正规结构空间中一致Lipschitz映象的不动点，非线性分析。9（1985）103A.H. Soliman等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）4349[8] D. Guo，V. Lakshmikantham，非线性算子的耦合不动点及其应用，非线性分析。11（5）（1987）623[9] K. Goeble，S. Reich，一致凸性、双曲几何和非扩张映射，Marcel Dekker，Inc.，纽约和巴塞尔，1984年。[10] A.H. Soliman，非扩张单参数半群的耦合不动点定理，J.Adv. 数学种马。卷7（不。2）（2014）28[11] K.K.陈汉钧徐，Banach空间中Lipschitz半群的不动点定理，非线性分析。20（1993）395-404。}