Maple软件中的展开方法应用于非线性波动方程的精确行波解分析

ðÞJournalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，78埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章用（G0/G，1/G）-展开法求Sec. Demiray，OmerUnsal，AhmetBekir*Eski，sehirOsmangazi大学，文理学院，数学-计算机系，土耳其 Eski，sehir接收日期：2013年12月22日;修订日期：2014年1月27日;接受日期：2014年2月24日2014年3月27日在线发布摘要本文利用Maple软件中的展开方法，对流体力学、理论物理中的各种问题进行了分析，得到了Hamilton振幅方程和Broer-Kaup方程的新的精确行波解. 行波解分别用双曲函数、三角函数和有理函数该方法证明了力量、可靠性和效率。该方法对于处理非线性波动方程也具有较广的适用性2010年数学学科分类：34A34; 35C07; 35C08; 35B10; 35C09？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍近年来，非线性偏微分方程（NLPDEs）的精确解得到了许多作者的广泛关注，这些作者对流体力学、化学物理、化学运动学、等离子体物理、弹性介质、光学纤维、固体物理、生物学、大气现象等领域中的非线性现象非常感兴趣。非线性偏微分方程的可积性也得到了研究[1 -10]。由于*通讯作者。 联系电话： +90 222 2393750;传真：+90 2222393578.电子邮件地址：ciftcioglus@hotmail.com（S.Demiray），ounsal@ogu.edu. tr（O？ Unsal），abekir@og u. edu.tr（A. Bekir）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier由于微分方程的非线性和空间变量的高维性，确定非线性偏微分方程的精确解是一项困难的工作。近年来，随着象Maple这样的符号计算软件包的发展，使我们能够在计算机上进行复杂的计算，因此，各种求非线性发展方程精确解的方法被提出、发展和推广。如Jacobi椭圆函数法[11]、Hirota双线性变换法[12]、Darboux和Backlund变换法[13]、theta函数法[14]、对称法[15，16]、齐次平衡法[17，18]、正弦/余弦法[19-本文将使用双变量G0=G; 1 =G展开法，它可以看作是原G0=G展开法的推广. 作为1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.02.011关键词精确解;方法;哈密顿振幅方程The Broer–KaupG0=G;1=G展开式非线性波动方程79ðÞðÞðÞXXð¼Þð¼Þ ðÞð¼Þ ð¼Þð¼Þ ð¼Þk2m2lk2m-2l¼-112121是罪恶。ffikffinΣþAcos.ffikffinΣþ21-2-kÞ ¼21 2而且我们有Li等人[40]应用二元G0=G;1=G-展开法，求出了Zakharov方程的精确解。然后Zayed等人[41，42]确定了一些非线性发展方程的精确解本文研究了G0=G;1=G-展开方法对非线性演化方程和NEE系统的适用性和有效性，这些方程和系统模拟了许多物理和工程问题，如流体中的波动现象、生物链中的脉冲、电网中的电流、晶格中的粒子振动、化学反应和光学纤维。在第二节中，我们描述了求非线性发展方程精确行波解的这种方法。在第三节中，我们用新的哈密顿振幅方程和Broer-Kaup方程详细说明了这种方法。最后给出了一些结论2. G0=G;1=G2展开法其中A1和A2是两个任意常数。现在考虑一个非线性发展方程，假设有两个自变量x和t，P u; u t; u x; u tt; u xt; u xx;.. .2018年12月2日：7点一般来说，Eq.的左手边。（2.7）是u中的多项式及其各种偏导数。 G0=G; 1 =G展开法的主要步骤是1.波浪转型n¼x-ct和与ux;tun，等式（2.7）可以归结为u ∈ n上的常微分方程，pu;-cu0;u0;c2u0 0;-c u0;u0 0;. . .2019-02-1800：00：00步骤2假设ODE（2.8）的解可以用f中的多项式表示，w为在本节中，我们描述了G0=G;1=G的主要步骤展开法求非线性方程乌镇N1/4ai/iN1/1bi/i-1w2：9线性发展方程作为准备，考虑第二阶LODEG00nkGnl2：1我们让/¼G0=G;w¼1=G2：2为了简单起见使用公式2.1和公式2.2，/0¼-/2mm宽-k;w0¼-/w2：3mm从LODE（2.1）的通解的三种情况，我们有：情形1当k0时，LODE（2.1）的通解为：<你好。一根短棍。pknlw2¼-k/2-2lw其中A1和A2是两个任意常数，m/A2-A2。情形2当k>0时，LODE（2.1）的通解为：p pl12k而且我们有W2½kΩ/2-2lwkΩ2：5Ω哪里 GG满意 的 二 秩序 LODE（2.1），阿伊伊0;.. . ;N，b i i1;. N、c、k和l是后面要确定的常数，正整数N可以利用最高阶导数与常微分方程（2.8）中出现的非线性项之间的齐次平衡来确定。第三步将公式2.9代入等式2.9，（2.8），使用（2.3）和（2.4）(or使用（2.3），（2.5）和（2.3），（2.6）），（2.8）的左侧可以转换为多项式，/和w，其中w的次数不大于1.使多项式的每个系数等于零，系统的代数方程 in a i i 0;. ;N，bii1;. . . ;N;c;kk<0;l;A1和A2。第4步用下式求解第3步中的代数解：Maple的帮助代入aii的值0;. . . ;N;bii1;. . . ;N;c;k;l;A1和A2得到（2.9），可以得到波的解决方案表示的双曲函数方程。（2.8）（或用三角函数和有理函数表示）。3. G_0=G;1= G~*展开法的应用3.1. 新的哈密顿振幅方程我们首先考虑新的哈密顿振幅方程[43]iuxutt2rjuj2u-euxt¼03：1：12 2其中 和 是两个任意的常数， A.其中r1;e1.这是一个控制着cer的方程-抑制调制波列的不稳定性情形3当k为0时，LODE（2.1）Gnln2AnA而且我们有12项euxt克服了不稳定的非线性薛定谔方程的不适定性。它是Kuramoto-Sivashinski 方 程 的哈密顿模拟， 该 方程出现在耗散系统中，显然不可积。使用变换ux;teihfn;h<$ax-bt;n<$kx-s t3：1：2w2¼ A2-2lA2/-2lw的EQ。（3.1.1）被带到ODE80S. Demiray等人2 4 2 2432 224222222233212242 2 2 424 2442 23 4 322¼232242232422241022322322244224222 2 422 42 24225 22 254222¼¼222425 22422 2442220011-ssek A1coshn-kCash2coshn克kesbklmCash2coshnf21-3klse a1 12ra1b1kls-e-s-e-s-n-kþ- s secschn-k¼k2s2esf00nk12beasebf0n2mkra-2lmaka0ksb1klm0232 4 2 22 3— 拉吉卜þeabÞfðnÞ þ2rfðnÞ¼0ð3:1:3Þ— 6ra0b1kmks b1kl2 232 2 2 4如果我们采取kesb1kl-6ra0b1kla0-labea0243222 24s1b三比一比四2mk ra0-2lmaka01/4 -2b-6ra0bkm ks b1kl keb1kl- 6ra0bkl当量（3.1.3）转化为1 1w/0：-k2esb1kl412ra0b2k3lm-k2s2b1kl423242 25k2s2esf00n- ab2eabfn2rf3n03：1：5通过平衡f00和f3，我们得到12ra0b1kl-mabekb1-lmb kb1-labeb1-lbb1-2lmakb122 2522N=2/3N电话：021-8888888传真：021 - 88888888所以从公式2.9我们可以写出mabekb1-212l— makb16lra0b1-mb kb1— 2rbkm6rbklfna0a1/b1w3：1：7其中a0;a1;b1是稍后确定的常数。正如我们用Maple求解代数方程组得到，上面提到了三种情况要讨论。rsssel2k2m情形1当k0时（双曲函数解）<将（3.1.7）代入方程（3.1.5），使用（2.3）和（2.4）。0.05;0.01-4rk;b1¼4rkk、时间：2019-03-032 222式（3.1.5）的左边变成一个多项式在/和W。将方程的每个系数设为零，得到一个代数方程组/3：2l4ra3l4k2l2ms2k2a1-6ra1b2kl2l4s2a1a-2bkskk sek2011年12月21日将这些解代入式（3.1.5），利用式（2.2）和式（2.4），我们得到式（3.1.1）的行波解如下：124312222014年1月1日-6ra1bkm 2kmsek a1 4l ra11q. pp. pp1 12kl sea4R我的天。. p. pl/：k s b1klkesb1kl-6ra0b1kl2 32 42242 2 2q22L-4lk rb1lks b1k lm- 6ra0b1km10101- 是的p014rk. pKw/2：-2rb3kl22k2l4seb12k2l4s2b1时间：2019- 03-03222 442 2222012年12月12日，2012年12月12日，2012年12月 12日，哪里3 3 222 2 24-2rb1km 4klmsek b1 2km sek b1ssessel2k2m2222242m<$A2-A2;<0的整数;>0：00：1：10分2014年12月14日星期四上午10时30分1 24r4rk/：-m2ak4a16l4ra2a1-m2b2k4a12014年1月1日至2日，特别是如果我们设A10;A2我们有孤立解>0且l/40（3.1.8），则2 4 2 22 22-6ra1b1km-6ra1b1kl-2lmaka1-laa1-lba12016年12月26日krske-s。R. p-k. pþsechn-kse-sR12l1-2l mbk a1-2lmbka1- 2km sk a1>0分3：1：11秒但若设A20，A1> 0，l0，则有孤波解w/：12ra1b2k3lm12l4ra0a1b1-6k2l3ms2k2a12523krk。pppp2R-3klmsk a- 3klsa 12m k ra a bss-e>0;-sse> 0;r 0<：3：1：121 122 23201 1224情形2当k>0时（三角函数解）-k-kA2sinhn-k-k22232322A1sinhn-k23223sselkmk2 3A1sinhn-k-kþ伊丹恩;f;非线性波动方程81022234 42 422 4242019年12月24日，中国国际航空航天博览会（上海）在上海浦东国际机场举行。/0：-2l2mabek2a0-m2abek4a0-l2l4ra3l4ll llra0-laa0-lba01k lm-mb ka0-maka0将（3.1.7）式代入方程（1.1.7），（3.1.5），使用（2.3）和（2.5）。式（3.1.5）的左边变成了f和w中的多项式。使该多项式的每个系数消失，得到代数方程组，该代数方程组3322 24-4lk rb1-2lmb ka0-labea0结果：82S. Demiray等人¼联系我们4R4rkK¼¼¼.ΣðÞ222CONA2cosn克Þ¼2-RR4R112121 211211 2不XX22222B2120 0 1 1200其中a0;a1;b1;c0;c1;c2;d1和d2是常数，情形1当k0时（双曲函数解）<替代品1rsssel2-k2m该模型用于模拟长0.05;0.012-4r22k;b1¼2k、4rk浅水中的波浪此前，一些作者发现，Broer-Kaup方程的解使用transfor-a-2bkskk sek2011年12月21日时间：2019 -03- 01mationnx Vt，（3.2.1）和（3.2.2）进行，一个ODE将这些解代入式（3.1.7），利用式（2.2）和式（2.5），我们得到式（3.1.1）的行波解如下q-A1cos.npkpk-A2sin.npkpk-Vu0u0uv0¼03：2：3-Vv0u0uv0u000<$03：2：4其中素数表示关于n的导数。中间-f.. p. pl光栅方程（3.2.3）和（3.2.4）如果我们得到哪里qssel2-k2mk这是罪恶npkAcos.npkl时间：2019- 03-0112C1-Vu2uv¼0 3：2：5C2-Vvuuvu00¼0 3：2：6通过平衡方程中的v和u2，（3.2.5）和u00和uv在方程。（3.2.6）我们得到m¼A2μA2;sse<0的整数;ssel2-k2m时间：2019- 03-1500：00：002m²n;m²2m²nm<$1;n<$2 3： 2：71 24r4rk特别地，如果我们在（3.1.13）中设置A10，A2> 0和l0，则我们有周期解r2RR由公式2.9，我们得到：un a0a1/b1w3：2：82019 - 01 -2201：01：02：03：04 03：05 04：05：0506：0507：07fn-k-skse.塔;npk-s ec.npk;ss3：1：16当我们设置A2 1/40;A1> 0和l 1/40时，我们有fnkr。床。npkcs c.npk;sse0：时间03：01：17稍后决定。正如我们上面提到的，有三种情况有待讨论情 况 3k0 （ 有 理 函 数 解 ） 将 式 （ 3.1.7 ） 代 入 方 程（3.1.5），使用（2.3）和（2.6）。式（3.1.5）的左边变成了f和w中的多项式。将该多项式的每个系数消去，得到代数方程组，用Maple求解，得到如下结果图廷 （3.2.8） 和 （3.2.9） 成 等式 （3.2.5）和（3.2.6），使用（2.3）和（2.4）。式（3.2.5）和式（3.2.6）的左边成为f和w的多项式。将方程的每个系数设置为零，系统的代数方程在a0;a1;b1;c0;c1;c2;d1;d2;V;r;l和k中。从第一个等式（3.2.5）我们得到0.05;0.01r-k; b1¼sssssffiffi2ffiffilffiffiffiAffiffiffi2ffiffiffi-ffiffiffiffiffiAffiffiffi2ffiffiΣffiffi4R/2：-1=2b2k1=2a2k2rck2r1=2a2l2cl2/1：-Va1l2c1k2ra0a1l2a0a1k2rc1l2-Va1k2ra/1/4-be13：1：18将这些解代入式（3.1.7），利用式（2.2）和式（2.6），我们得到式（3.1.1）的行波解如下w/1：d2l2a1b1k2rd2k2ra1b1l2/0：cl2-Vak2rCk2rCl21a2k2r-Val2212212 2q-A1ln2qsse2lA2-A2kssec0k r-2b1kfn4r2sse 2lA2-An-22A1nA2;4r0;0：3：1： 194R/3：a cl22ak2r-bkd 2al2a ck2r注意我们的解不同于[44，45]中给出的解。3.2. The Broer–Kaup/2：-Vc2l2a0c2l2b1kla1c1k2r-b1kd1-Vc2kra1c1la0c2k rw/2：b1c2l2lb1c2k2rrra1d2k2rra1d2l2lb1k2r rb 1l 2b1l2/1：a1k2r2a1k3r-Vc1k2ra1l2a1c0l2a1c0k2ra0c1l22222我们首先考虑uuuv<$0分3秒2分1秒vtuxuvxuxxx<$0分3：2：2分2a1kl-b1kd2-Vc1lw/1：-Vd2k2r-3a1l3a1d1k2r 2b1kd2l-Vd2l2b1c1l2-3a1lkrb1c1kra1d1la0d2la0d2k r1k;1A1罪nKK4R2非线性波动方程832222 2联系我们她是一个很好的朋友，kA-AþlÞLL¼¼A1coshnp-p-kA2sinhnp-kp-kCONA2cosn克-222212K克CONA2cosn克A1sinhnp-kA2coshnpCONA2cosn克¼x-a0t;¼A1-A2;那么我们有周期解vn-1-k--þ22 22212/0：a0k 2rC2k 2r-b1k 2d1b1k 2l-Vc0l 2-Vc0k 2ra0c0krw/1：b1k3r-Vd1k2r2b1kd1lb1k2rb1c0k2r-b1kl2b1c0l-Vd1l用Maple求解代数方程组得到，s2þ情况2当k> 0时（三角函数解）将（3.2.8）和（3.2.9）代入方程（3.2.5）和（3.2.6），使用（2.3）和（2.5）。式（3.2.5）和式（3.2.6）的左边成为f和w的多项式。去掉这个多项式的每个系数，得到代数方程组，可以用Maple求解，得到以下结果：sk2r-l2a0¼a0;a1¼ -1;b1¼krl2-k;a01/4a0;a 1 1/4 -1;b1 1/4k;11kV¼a;C 1/20K1; 2013年3月 2日：15分V¼a0;C1¼2a21;3：2：100 120þ2þC2a0;c0k1;c1 0;c2 1;sk2rl2C2¼-a0;c0¼-k-1;c1¼ 0;k2rl2c2¼-1;d1¼l;d2¼d1 1/4l;d21/4-kk将 这 些 解 代 入 （ 3.2.5 ） 和 （ 3.2.6 ） ， 利 用 （ 2.2 ） 和（2.4），我们得到（3.2.1）和（3.2.2）的行波解如下：乌恩河将 这 些 解 代 入 （ 3.2.5 ） 和 （ 3.2.6 ） ， 利 用 （ 2.2 ） 和（2.5），我们得到（3.2.1）和（3.2.2）的行波解如下A1cos.npkpkA2sin.npkpkL0.- 是的Σ0-. p. p-一个辛np。npklqk2A2A2-l2KA1罪nKKq- 是的 你好。p时间：2019 - 03-16一个一个np-。np-kl0的情况。pp. pp12时间03：02：11vn-1-k-@. p. p-100-1000一根短棍。np-kp-kAsinh.np-kp-k 12l1vn-1-k-@2.- 是的A.A.克- 是的p. pL- 是的p. pLqk2。ffi ffiAffiffi ffi2ffiffi ffiþffiffiffiffi ffiAffiffi ffi2ffi ffiΣffiffi ffi—ffiffiffiffi ffilffiffi ffi2ffi.一个cos。npk-罪。npkLA1sinhn-kA2coshn-kk1 21- 是的 . p2. p2q202年2月。你知道吗？. p. pA1罪nK2cosnkKA1-A2第2章A1cosh n-kA2 sinh n-kk- 是的一声。npnp-kl212k哪里哪里n<$x-a0t;r<$A2<$A2;k2.A2A2-l2>0：03：2：17nr22k2。22美元2特别地，如果我们在（3.1.13）中设置A1<$0;A2>0和l<$0，特别地，如果我们在（3.2.8）中设置A10;A2> 0和l0，则我们有孤立解你是一个0-p的人。伊丹河npk-sech.npk3：2：13你是一个0-p的人。丹npk-sec h.npk3：2：18vn1-kpk。pk 丹npk2. 你好 。p你好pk。丹npk2h.np-。npkA1罪nKK1-þ2-þ KCONA2cosnKA1cosn kkA2 sinn kkA1罪nKKA1罪nKK1212A1-A2þ>0：03：2：12分-tanhnK sechn.K--84S. Demiray等人¼.Σ你好，0-pk.coth。npk-csch.npk3：2：19溶液---但如果我们设A2<$0，A1>0，l<$0，但如果我们设A2<$0，A1>0，l<$0，好吧。好吧。p2我知道了。 . 我知道了。p-coth。npkcsch.npkvn-1-kþpffikffipkffi ffiffi.coth。npk2icot h.np。npk案例3k0（有理函数解）将（3.2.8）和（3.2.9）代入方程（3.2.5）和（3.2.6），使用（2.3）和（2.6）。的左手侧vn-1-k-KK 科滕k0--k科思;科思-k-cschn-k时间03：02：14（3.2.5）和（3.2.6）成为f中的多项式，非线性波动方程85联系我们--2ln2121212ðÞðÞ020-1W. 将该多项式的每个系数消去，得到代数方程组，用Maple求解，得到如下结果a0<$A0;a1 <$A-1;b1<$QA-10 - 1 0 - 1 0 - 1 0 - 1 0 - 0 - 1 0 - 1 0 - 0- 1 0 - 0 - 1 0 - 0 - 0 - 1 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0[3] M. Savescu，K.R. Khan，P. Naruka，H.贾法里湖Moraru，A. 李晓刚，等.非线性薛定谔方程下光子晶体中的光孤子.北 京 ： 清 华 大 学 出 版 社 ， 2000 ， 24 （ 3 ） ： 100 - 101.Comput. Theor. 纳诺斯基10（5）（2013）1182-1191。[4] M. Savescu，K.R.Khan，R.W.科尔湖Moraru，A.Yildirim，A.Biswas，改进的非线性光V¼a;C12¼2019 -01 -2200：01：01薛定谔 方程 在 纳米纤维，J.纳米电子光电子8（2）（2013）208-220。C2a0;c01;c1 0;c2 1;q2d1¼l;d2¼A1-2lA2[5] Y. Xu，Z. Jovanoski，A.布阿斯拉湾特里基湖Moraru，A.Biswas，空间多维度光孤子，时间分散体和非克尔法非线性，J.非线性光学物理材料。22（3）（2013）1350035。将这些解代入（3.2.5）和（3.2.6），使用（2.2）（2.6）我们得到了行波解 q2在A1区ln2ln2A1-2lA2[6] A.比斯瓦斯角汗，A.拉赫曼，A. Yildirim，T. Hayat，O.M.Aldossary，具有哈密顿扰动和克尔非线性定律的双折射光纤中的亮和暗光孤子，J。光电子Adv. Mater. 14（7 -8）（2012）571-576。[7]R . Kohl，A.比斯瓦斯山Milovic，E.Zerrad，光孤子2A1n A22 A1n1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000在非克尔定律介质中的扰动，Opt. 激光技术 40（4）（2008）647vn-1-.22A1nA22[8] A. 比斯瓦斯，M。Fessak，S.约翰逊，S。Beatrice，D.Milovic，Z.约万诺斯基河Kohl，F. Majid，光孤子微扰哪里qA2-2lA2lnA1.ln2AnA2非克尔定律介质：行波解，光学激光Technol.44（1）（2012）1775[9] H. Triki，T.Hayat，O.M.Aldossary，A.Biswas，Bright anddarksolitonsfortheresonantnonlinearSchr？dinger's equationwith time-dependent coefficients ， Opt. Laser Technol. 44（7）（2012）2223-2231.n1/4x-a0t;A2-2lA2> 0：注意我们的解不同于[47，48]中给出的解。4. 结论本文利用G0=G;1=G-展开法导出了新的Hamilton振幅方程和Broer-Kaup方程的行波解的新的精确解 我们发现，我们发现的解决方案是不同于其他作者提出的解决方案之前。我们可以预见，我们的结果可以发现潜在的有用的应用在数学物理和工程。G0=G;1=G-展开法是一种直接、简洁、有效的方法.计算机系统如Mathematica或Maple的可用性为繁琐的代数计算提供了便利。因此，我们认为所提出的方法可以推广到解决孤子理论和其它领域中出现确认我们衷心感谢各位裁判的宝贵意见和建议。引用[1] M. Savescu，S.约翰逊，A. H Kara，S.H.克鲁彻河Kohl，A.李文 ， 光 孤 子 的 时 空 色 散 特性 ， 李 文， 李 文 . WavesAppl.28（2）（2014）242-252.[2] A.比斯瓦斯山Milovic，M. Savescu，M.F. Mahmood，K.R. 汗河，巴西-地Kohl，基于半反变分原理的改进非线性薛定谔方程在纳米光纤中的光孤子扰动，J.非线性光学物理材料。12（4）（2012）1250054。11你好，0时间：2019 - 02-þ86S. Demiray等人[10] H. Triki，S.Crutcher，A.Yildirim，T.Hayat，O.M.阿尔多萨里，A. Biswas，具有抛物和双幂律非线性的修正复金斯堡-朗道方程的亮孤子和暗孤子，罗马尼亚共和国物理64（2）（2012）367-380。[11] G.T. Liu，T.Y.范，Jacobi椭圆函数展开方法的新应用，物理快报。A 345（2005）161-166。[12] R. 张文，非线性发展方程的一种新的求解方法。Bullough，P.Caught（Eds.），BacklundTransformations，Springer，Berlin，1980，p. 1157年[13] V.B. Matveev，硕士张文，达布变换与孤子，北京，1991。[14] K.W.周，一类非线性包络方程的精确周期解，数学物理学报，36（1995）4125-4137。[15] G.W. 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