离散表面Ricci流的流形对齐研究

可在www.sciencedirect.com在线获取ScienceDirectCAAITransactions on Intelligence Technology 1（2016）285e292http://www.journals.elsevier.com/caai-transactions-on-intelligence-technology/原创文章基于离散表面Ricci流的流形对齐刘忠信a，王文敏a，*，金群ba中国北京大学深圳研究生院电子与计算机工程学院b日本早稻田大学人文科学学院2016年10月19日在线发布摘要流形对齐有助于提取多个数据集之间的共享潜在结构和不同数据集之间的相似性。由于许多种类的真实世界数据可以使用低维表示进行分析，因此流形对齐算法可以用于广泛的应用，例如数据挖掘。在本文中，我们提出了一个三阶段的方法，流形对齐使用离散表面里奇流。我们的方法在第一阶段使用保角映射将原始的内在流形转换为超球体，然后将这些超球体放大到相同的尺度并在接下来的阶段中对齐它们。我们详细描述了我们的算法，它的理论原理，我们的实验结果，并与以前的对齐方法的比较。为了验证算法的有效性，本文分别对玩具数据集、议会议事录平行语料集和图像文本集进行了实验。通过这些实验，可以证明在发现不同类型的数据集之间的相似性方面的潜在效用，无论是在同一种数据内还是在不同类型的数据模态Copyright © 2016 ， 重 庆 理 工 大 学 . Elsevier B. V. 制 作 和 托 管 这 是 CC BY-NC-ND 许 可 证 下 的 开 放 获 取 文 章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。关键词：跨语言检索;跨媒体检索;语义缩减;流形对齐1. 介绍随着多媒体的日益普及和数据量的不断增加，流形对齐有助于提取多个数据集之间共享的潜在结构，以及提取不同数据集之间的相似性。然而，不同的数据集的特征可能是完全不同的，这导致了在原始高维空间中提取对应关系的困难。流形对齐算法是基于映射方法，将高维数据映射到其潜在的低维结构，如流形学习。最广泛使用的线性投影算法 包 括 主 成 分 分 析 （ PCA ） 算 法 [29] 、 等 距 映 射（Isomap）算法[23]、局部线性嵌入（LLE）算法[22]、拉普拉斯特征映射（Laplacian Eigenmaps）算法[1]、局部保持（locality preserving）* 通讯作者。电子邮件地址：liuzhongxin1990@126.com（Z.Liu），wangwm@ece.pku.edu.cn（W. Wang），jin@waseda.jp（Q. Jin）。同行评议由重庆理工大学负责。投影（LPP）算法[12]、局部切空间对齐（LTSA）算法[35]、自适应流形学习[36]、Hessian Eigenmaps（HLLE）[6]、分层流形学习算法[2]和归纳流形学习[13]。流形对齐算法是在流形学习算法探索单个数据集潜在低维结构的基础上，发现不同数据集之间潜在低维结构的相似性。目前已经提出了许多流形对齐算法。Ham，Lee和Saul[10]利用一组对应关系对齐流形。王与摩诃德万[24]提出了一种基于Procrustes分析的方法，该方法导致在任何地方定义的映射，而不仅仅是训练数据点。之后，Wang和Mahadevan[27]描述了一个框架，该框架构造了将数据实例从不同的高维数据集映射到新的低维空间的函数，同时匹配对应的实例并保持实例之间的成对距离。原始 数据 集 李鹏说， Lv和 毅 [第十五条] 提供了http://dx.doi.org/10.1016/j.trit.2016.10.0022468-2322/Copyright © 2016，重庆理工大学由爱思唯尔公司制作和主持这是一篇基于CC BY-NC- ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。286Z. Liu等人/CAAI Transactions on Intelligence Technology 1（2016）285e 292¼Z该算法利用稀疏流形聚类嵌入（SMCE）方法建立每个流形的稀疏重构权矩阵，以保持原始数据集的局部几何特征。Yang，Xu和Zhang[31]提出了一种使用局部切空间对齐的对齐算法。该算法能较好地保持特征点邻域内的局部结构。Wang和Mahadevan[26]提出了一个流形对齐的总体框架。这个框架结合了三个重要的观点到流形算法。 第一种是概率论的方法，如普鲁克分析，它有助于分析数据的分布。其次是半监督学习，它被广泛应用于数据挖掘。第三种是半定规划，它比线性规划算法有更广泛的应用。也提出了基于监督学习[34]、半监督学习[14，30]和无监督学习[25]的Wang和Mahadevan[28]提出了多尺度流形算法，该算法可以使用小波分析在多个尺度上分析数据的属性。随着流形对齐算法的研究日益受到关注，人们也开始研究流形对齐算法在处理稀疏高维数据的实际问题中的应用。Yang和Crawford[32]提出了一种将对准算法与遥感相结合的方法。该算法用来处理多时间超光谱数据但是，仍有一些问题需要解决。当原始高维数相对较小而数据集的体积相当大时，可以想象流形的表面由许多褶皱组成。因此，很难构造一个光滑的函数来描述这些流形的表面相反，当原始高维数相当大而数据集的体积相对较小时，数据集变得非常稀疏。在这种情况下，几乎不可能确定这些流形的结构。如上所述，由于这些高维数据集固有的低维流形的不规则结构，对齐这些高维数据集是一个很大的挑战。尽管将不规则曲面变形为平坦结构的研究也受到了很多关注，但所提出的方法只能在有限的情况下有效例如，Lipman和Funkhouser[16]提出的Mobius投票算法是为三维空间而不是高维空间设计的。在本文中，我们提出了一种基于离散表面Ricci流的方法来解决上述问题。在我们的方法中，原始的内在流形的数据集通过保角映射转化为超球。保留曲面上每对数据点之间的相对距离，然后对齐这些超球体。生成的流形被放大到相同的比例，然后它们被对齐以最小化每对对应点之间的距离。本文的其余部分组织如下。第二节介绍了本文的理论背景第3节给出了一组描述我们的流形对齐算法所需的符号。第四节给出了基于离散表面Ricci流的流形对齐算法的整体结构和细节。第5节给出了我们的分析，证明了所提出的算法的有效性。实验结果和讨论在第6节中给出。最后，第7节提供了结论性意见。2. 理论背景在这一节中，我们简要介绍了黎曼度量和离散曲面Ricci流的理论背景.定义1. （黎曼度量）。设S是曲面，黎曼度量是张量g（gij），它是正定的，并且定义了S的切空间的内积。定义2. （高斯曲率）。设S是具有黎曼度量g的曲面，（x，y）是S的等温坐标，则高斯曲率定义为：k x; yDg u x;y 1其中Dg是由原始度量g，诱导的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。曲率由黎曼度量决定，不同的度量导致不同的曲率。Gauss曲率和全曲率是度量曲面性质的两种常用方法。如定理1所示，总曲率仅由拓扑决定。Teichmuller空间中的黎曼度量是定义良好的和可计算的。理论上的治疗可以在[7]中找到。定理1. （Gauss-Bonnet）设（S，g）是度量曲面，总曲率为KdAg kgds¼2pcgS 2SVS其中dAg是曲面的单元面积，cAS是曲面的欧拉数，K是高斯曲率，kg是测地曲率。Ricci流是一种强大的曲率流方法，由Hamilton[11]发明，用于证明Poincare′a猜想[19，20，21]。直观地说，它描述了黎曼度规根据曲率变形的过程，使得曲率像热扩散过程一样演化，为光滑表面[4，11]和离散网格[5]奠定了表面Ricci流的理论基础。[8]中详细讨论了表面Ricci流和圆填充。逆圆填充度量的理论结果可在[9]中找到。在我们的流形对齐算法中，表面近似的分段线性三角形网格。在下一节中，光滑表面Ricci流被推广到离散设置。假设M（V，E，F）是一个具有顶点集V、边集E和面集F的单纯复形（三角形网格），ZZ. Liu等人/CAAI Transactions on Intelligence Technology 1（2016）285e 292287≥P我分别离散高斯曲率被定义为角度亏损。定义3. （离散高斯曲率）假设M是具有离散度量的网格，其在欧几里得背景几何中。[vi，vj，vk]是M中的面，表示面上vi处的角。vi的离散高斯曲率为定义为严格1/ 4-pinched曲率，其中n =4，则M是空间球型的微分算子.3. 符号3.1. 原始数据集8>2p-Ki¼Pqjk;vi;vMJK JKA 1/4[a1，m列。在该矩阵中，ai由p个特征确定。ð3ÞB1/4[b1，>：p-QI ;vi2vMJK行和n列。 在这个矩阵中，bi由q功能.圆填充将每个顶点与一个圆相关联。顶点vi处的圆记为ci。在一条边[vi，vj]上的两个圆ci和cj是不相交的，或者说是以锐角相交的。广义圆填充度量定义如下。定义4. （广义圆填充度量）网格M上的广义圆填充度量是将每个顶点vi与半径为gi的圆ci相关联，将每个边[vi，vj]与非负数Iij相关联。边长由下式给出：A和B都表示原始高维数据集。A和B之间的对应关系可以表述如下。数据点ar与bs相关，其中r是1和m之间的整数，s是1和n之间的整数。3.2. 算法中用到的一些必要流形A*和B*分别表示与A和B相关的变换流形。A*和B*都可以被认为是具有原始高维度的超球体，并且它们是构造三角形网格所必需的l¼qg22ð4Þ算法国际新闻报IJI jA0和B0表示与AB是相应的。这两个流形表示三-圆填充度量表示为（G，I，M），其中G ¼ fgig;I¼fIijg.离散共形变形仅改变半径gis，并保持反比距离Ii js。离散Ricci流定义如下。让我们把ui表示为：ui¼loggi5定义5. （离散Ricci流）给定一个圆填充度量（G，I，M），离散Ricci流是流形A和B的角网格。A00和B00是使用来自流形A0和B '的离散表面Ricci流变形的重塑流形。A00和B00的对应关系与A和B的对应关系相同。上面提到的所有歧管如图所示。1 .一、4. 我们的比对算法杜伊¼K-Kð6Þ在本节中，我们提出了一种对齐算法，DT我我其中Ki是顶点vi处的用户定义曲率。如下面的定理所讨论的，高维流形也可以映射到超球面。定理2. （布伦德尔。美国，肖恩R. [3]）设（M，g）是一个n维紧致黎曼流形，点式由三个阶段组成，即，保形变换阶段、比例调整阶段和对准阶段。由于流形的表面结构非常复杂，很难找到一个合适的函数来精确地描述它的形状。因此，我们打算在第一阶段中对原始的内禀流形进行变换，之后可以假设它们近似于超球面。然后在接下来的阶段，是超球体被调整和对齐，而不是Fig. 1.比对算法的工作流程。288Z. Liu等人/CAAI Transactions on Intelligence Technology 1（2016）285e 292我P我公司简我2我M我我X原始流形。由于曲面的简单性，该对齐过程可以更容易实现。我们的比对算法的工作流程如图1所示，其中符号A、B、A*、B*、A0、B0、A00和B00的含义已在前一节中描述算法1. 利用Ricci流的保它们是两个超球体，具有与A和B相同的维度。我们计算流形A的质心a，并变换A上的每个数据点，使得每个数据点之间的距离ac与最大的一个相同。这个生成的流形是A*。A*是半径为r的超球面，a表示流形A的质心。B和B*之间的对应关系类似。步骤1. 从当前顶点计算边长lij半径gi，gj和固定边权重fij，使用余弦定律1r<$maxka-aka a1≤i≤pð10Þ对于背景几何体，其中：在第二步中，我们估计了A的三角形网格和B，在A*和B*的帮助下。对于每对数据点gjk¼lkilij-ljkg ¼1Xgjka和a从流形A，表示它们的对应点l2¼ g2g22gigjcosfijfijk2Fð7Þaωi和aωj。如果aωi和aωj在A*上的距离大于阈值，则ai和aj被认为是国际新闻报步骤2. 根据背景几何形状，通过使用余弦定律，从当前边长计算每个面fijk中的拐角角qjk步骤3.计算每个顶点vi的离散高斯曲率Ki，使用（3）。步骤4.如下更新每个顶点vi的uiuiuiεi×.Ki-Ki8在A上断开连接。通过利用该关系加强流形A而生成的流形是上述流形A0B和B0之间的关系是类似的。在第三步中，我们使用Ricci流变形流形A0和B0生成的流形分别为A第三步中涉及的算法在算法1中描述。歧管A00和B00准备好用于对准过程。4.2.第二阶段：规模调整阶段在这个阶段，我们将生成的流形A00和B00放大到其中Ki是目标高斯曲率。步骤5.规范度量标准。让我们来吧，然后suiui-n其中n是顶点的总数ð9Þ同样的规模。为了完成它，我们调整坐标这样它就可以放大到与流形B“”相同的比例。标度因子与中间流形A* 和B* 的半径有关，它们正好是超球面。设A*和B * 的半径分别为rA和rB。然后，我们将原始流形A0和B0转换到相同的尺度，根据rA和rB的比值，如以下等式所示a00rB00步骤6.使用（5）更新每个顶点vi的半径gi一个11岁的孩子i¼rA×i步骤7.重复步骤1到6，直到最大曲率误差低于阈值数据（在我们的实验中设置为0.01）。4.1.第一阶段：三角剖分和保角变换阶段在这个阶段，我们的目标是将原始流形转换为超球面。由于我们打算将对齐两个具有复杂结构的流形的问题在这个阶段，我们保留了流形上的局部结构。换句话说，每个数据点与其邻域中的数据点之间的相对距离以及由连接到每个数据点的边形成的相交角被保留。当对齐这些超球体时，preservation有很大的帮助这个阶段可以分为三个步骤。在第一步中，原始流形A和B被变换为A*和B*，如等式（11）所示，如果中间流形A*和B*具有相同的半径，则我们认为生成的流形A00和B00具有相同的尺度。然后在下一阶段，调整后的歧管A00和B00将用于对齐。4.3.第三阶段：调整阶段在这一阶段，我们将前一阶段获得的超球体对齐。由于超球面的结构比原始流形更容易识别，我们可以旋转超球面，让标记的数据点在原始高维空间中尽可能然后将这些超球映射到低维空间，我们使用拉普拉斯特征映射算法执行此映射。我们可以计算每个数据点的低维坐标，并且对于每个未标记的数据点，最合适的匹配数据点被假设为第二大类上的最近点。LetA00low和B00low分别表示A0 0和B0 0的低维表示。在低1≤i≤p我JZ. Liu等人/CAAI Transactions on Intelligence Technology 1（2016）285e 292289低≤ ≤ ≤ ≤ þ¼.一CIBBA.A.低A.A..Σa¼公司简我1它2JTKTJTaj- aJTX.它它¨联系我们l1rl2rMR在这些方程中，r表示超球面A*的半径，开采，最小化Frobenius范数A00该阶段的细节在算法2中示出算法2. 低重复性00低 P？a表示流形A的质心。1r<$maxka-aka a1≤i≤pð17Þ步骤1. 变换矩阵A“”和B“”的坐标，使它们的设其质心的原始坐标为通过将它们代入方程（15），我们可以发现存在0l1;l21; 0M1个;L1L21，满足以下等式。它们的数据点的平均值，如等式（12）和（10）所示。R r rP.00 Σ我l1×ka-akl2×a-am×ka-ak18cen ter.A00Alow低i..ijkð12Þ低00低P. B00Σ我因此，在这种情况下，有理由假设i而k直接连接。点aj和ak也可以假设是连通的。而i和j通过中心B00低¼Blow¼.B00低i.ð13Þ我JKka-ak×aita-aajt<$ka我们的定理被证明了。-ak×akt 19UXV ¼SVD. .B00T“低Σð14Þ6. 实验结果步骤3.预计基质P¼UVT。5. 理论分析如上所述，在我们的算法中，我们在第一步中将流形A和B转换为超球体。这些超球面上每对点之间的距离用于确定A和B上点的连通性。因此，保证变换保持关于A和B上的连通性的性质是非常重要的。在本节中，我们分析这个问题，并将其陈述为以下定理。定理3. 设ai和aj是流形A上的两点. 记它们在流形A*上的对应点为aωi aωj。 如果a i和a j在流形A上直接连通，则不可能找到整数k，1 ≤k≤ m，使得对于某个标量l和m，aωi，aωj和aωk满足等式（15）。在方程中，aω表示点aωi的第t个坐标，其中1≤t≤p; 0≤ l1;l2≤ 1; 0≤m≤ 1;l1≤ l21/ 4。L.a*-一个小洞a*-一个四分之一米。a*-a15为了测试我们的对齐算法的有效性，我们使用三个数据集。第一个是蛋白质，这是一个小数据集。第二个是欧洲语料库，这是一个用于跨语言检索的大型数据集。第三个是维基百科的专题文章，用于跨媒体检索。实验中使用了易于直接绘制的玩具数据集和较为复杂的真实世界数据集。下面讨论使用这些数据集的实验结果6.1. 蛋白蛋白质三维结构重建是核磁共振（NMR）蛋白质结构测定的重要手段。它可以从距离到坐标学习地图。NMR技术可以学习多个模型，而不是单个结构。与相同蛋白质相关的模型应该是相似的。因此，比较这些模型的结果可以判断核磁共振技术是否可以测定蛋白质conformance好。证据我们用反证法证明这个定理。首先假设存在满足上述等式（15）的k、l和m。利用流形A和A*之间的对应关系，我们可以得到以下方程。a*ra一一kai-ak在这部分实验中，我们研究了谷氧还蛋白PDB-1G 7O。该蛋白由215个氨基酸组成，其三维结构有21种模式。选择其中两个模型进行测试。模型1表示为原始流形A，模型2表示为原始流形B。这些原始流形如图所示。 2（A）。为了对齐这两个流形，我们选择1/10氨基a*¼r×. 一个-一个*rkak-ak×ðakt-aÞþat在每个歧管上是22个已知匹配的。其他假设193个数据点未标记，并将其用于测试。-B1≤i≤p我低步骤2. 计算矩阵的SVD分解00低T00低，如等式（14）所示。不ð16Þ酸均匀。因此，标记的数据点的数量Σ不KT290Z. Liu等人/CAAI Transactions on Intelligence Technology 1（2016）285e 292图二、使用蛋白质数据集的比对结果如图2（B）所示，低维表示表明我们的算法可以很好地对齐这些流形。6.2. 跨语言检索在这部分实验中，我们使用了欧洲议会议事平行语料库（Europarl Corpus）的数据集，其中包含1996年至 2011年的数据。该语料库由多种语言组成，我们选取了英语和意大利语的平行语料库，抽取了包含90多个单词的文档。有2500对文档满足此条件，每个英语文档由最常用的1000个英语单词表示，每个意大利语文档也由图3. 在Europarl语料库数据集上进行测试（20%的实例符合给定的对应关系）。Z. Liu等人/CAAI Transactions on Intelligence Technology 1（2016）285e 292291最常用的1000个意大利语单词。因此，这些原始数据点可以被认为来自1000维空间。我们选择了另外三种典型的算法进行比较：第一种是基于LPP（Locality Preserving Projections）的Procrustes对齐算法，第二种是保持全局几何的对齐算法，第三种是基线算法。基线算法可以表述如下。假设在训练数据集中有n个对应关系，则文档x可以由长度为n的向量V表示。在该向量中，V（i）表示训练对应中x与第i个文档之间的相似性。基线算法将来自不同集合的文档映射到相同的嵌入空间Rn中。对准算法的有效性可以描述如下。对于每一个英文文档，我们选择k个与之最相似的意大利文文档，这些算法的有效性用这k个最相似文档中出现真正匹配的概率来表示。所有这些算法都将数据映射到100维空间中。我们的算法的准确性如图所示。 3. 如图所示，我们的算法Conformal Mapping可以很好地使用Europarl语料库数据集。6.3. 跨媒体检索在这个实验中，我们依赖于维基百科的特色文章。这是一个不断更新的条目集合，由维基百科的编辑选择和审查。文章附有一张或多张来自维基共享资源的图片，提供所需类型的配对。此外，维基百科将每一个专题条目归类为29个类别之一。这些类别标签被分配给每篇文章的文本和图像组件。由于其中一些类别非常稀缺，我们只考虑了10个最受欢迎的类别。每一篇文章都被分成几个部分，根据其部分标题，文章中的每个图像都被分配到文章作者放置的部分这产生了一组简短而集中的文章，通常包含一个单一的图像。最后通过删除没有任何图像的部分来修剪数据集最终的语料库共包含2866个文档。一表1维基百科特色条目数据集的摘要类别培训查询/检索总技术架构13834172生物学27288360地理位置24496340历史24885333文学剧场20265267媒体17858236音乐18651237皇室贵族14441185体育娱乐21471285战347104451总21736932866表2检索性能的实验。实验MAP（图像查询）MAP（文本查询）MAP（平均值）随机0.1180.1180.118半定比对0.2620.2250.243PFAR0.2980.2730.286LRGA0.3120.1810.247TSC试验0.2950.2070.251TSC图像0.3220.2510.287我们的方法0.3760.2340.305如表1所示，使用随机分割来产生2173个文档的训练集和693个文档的测试集。为了证明我们的算法在跨媒体检索情况下的有效性，我们选择了不同类型的算法与我们进行比较，包括随机选择 ， 半 定 流 形 对 齐 算 法 [28] ， 并 行 字 段 对 齐 检 索（PFAR）算法[18]，局部回归和全局对齐（LRGA）算法[33]以及文本和图像的时空聚类（TSC）算法[17]。这些算法可以涵盖大多数广泛使用的方法，如线性/非线性算法，回归算法和流形对齐算法。在上述算法中，LRGA和TSC算法可以看作是流形对齐算法在解决跨媒体检索问题中的应用。通过与这些算法的比较，证明了该算法处理图文对应关系的有效性。实验结果示于表2中。我们使用MAP值作为一个标准来评估这些算法。实验结果表明，该算法能够较好地解决跨媒体检索问题。7. 结论本文提出了一种基于离散表面Ricci流的流形对齐算法，将具有复杂结构的表面转化为超球面，然后对齐这些超球面。实验结果表明，该算法在小数据集和大数据集上都能取得较好的效果。对齐算法不仅可以探索同类数据之间的相似性，而且可以帮助发现不同类型数据之间的相似性。为了对齐两个具有复杂结构的流形，最关键的步骤之一是构造三角形网格来逼近固有流形。然而，当流形的内禀维数很高时，可能有不止一种合适的方法来构造三角网格。因此，在未来的工作中，我们将致力于寻找方法来构建最合适的三角形网格，这既可以是有效的，准确地逼近流形，当内在结构是复杂的。众所周知，曲面的逼近包括两种重要方面，即，位置和法丛近似。这两个方面是非常重要的292Z. Liu等人/CAAI Transactions on Intelligence Technology 1（2016）285e 292在流形对齐算法中的重要性。不同数据集之间对应关系的计算可以看作是高维空间中位置的对齐。然而，潜在流形之间的法束的对齐可以有助于理解数据集的属性，例如语义信息。随着图像或文本的语义信息越来越受到人们的关注，不同类型数据之间的对齐算法由于语义鸿沟而面临挑战。例如，像的低维流形上的几何结构的奇异性和图像的意义的差异之间的关系的问题，可能是有意义的研究。引用[1] M. Belkin，P.新木，神经计算。（2003）1373e 1396。[2] K.K. Bhatia等人，医学图像计算Comput.协助。血管介入.（2012）512e 519。[3] S.布伦德尔河Schoen，Acta Math.200（2008）1e13. [4]B. Chow，J.不一样。Geom. 33（2）（1991）325e 334。[5]B . Chow，F.罗，J.不一样。Geom. 63（1）（2003）97e 129。[6] D.L.多诺霍角Grimes，用于高维数据的局部线性嵌入技术，在：美国国家科学院院刊，2003年，pp. 5591和5596。[7] F.P. Gardiner，N.拉基奇数学Soc. （2000年）的第10/2000号决议。技术报告，11月 五、[8] X. Gu，S. Wang，J. Kim，Y. Zeng，Y. Wang，H. Qin，L.萨马拉斯，在：IEEE计算机视觉国际会议论文集，2007年。[9] R. Guo，Local Rigidity of Inversive Distance Circle Packing，2009arXiv：0903.1401v2.[10] J. Ham，D.利湖，澳-地索尔安奴不确定。第内特尔10（2005）120e 127。[11] R.S. 汉密尔顿数学一般相对论 71（1988）237e 262。[12] X.F.的缩写He，P.Niyogi，Adv.神经信息过程系统（2004）153e 160.[13] K. Kim，D.李，模式识别。（2014）470e 479.[14]R. Jia，J.电动Eng. 12（4）（2014）。[15] X. 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