多目标工程设计问题的s-约束传热搜索算法

可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报5（2018）104求解多目标工程设计问题的sMohamed A.Tawhida，b，Tawhid，Vavsanic，aa加拿大，BC V2C 0C8，Kamloops，Thompson Rivers大学，理学院，数学和统计系b亚历山大大学理学院数学和计算机科学系，Moharam Bey 21511，埃及亚历山大c印度古吉拉特邦甘迪纳加Pandit Deendayal石油大学机械工程系阿提奇莱因福奥文章历史记录：2017年3月2日收到2017年6月5日收到修订版，2017年2017年6月23日在线发布保留字：多目标优化传热搜索设计优化帕累托前沿A B S T R A C T针对多目标工程设计问题，提出了一种有效的s-约束传热搜索算法。该算法通过求解一组单目标子问题来求解多目标优化问题。通过对具有离散、凸、非凸等Pareto前沿特征的多目标基准问题的求解，验证了该算法的有效性.该算法还被用于四杆桁架问题、齿轮系问题、多盘式制动器设计、减速器问题、焊接梁设计和弹簧设计等几个有特色的多目标工程设计问题。此外，数值实验表明，该算法产生的解决方案，代表真正的帕累托前沿。©2017计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个开放在CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）下访问文章1. 介绍本文的目的是解决具有多个目标函数的优化问题。这些优化问题被认为是多目标优化问题（MOOP）。求解多目标优化问题是一项非常艰巨和困难的任务，因为它们的多个目标函数往往是相互冲突的。MOOP是解决许多不同的工程学科，金融，管理科学，经济学和许多其他学科的重要工具（Andersson，2000; Coello，Pulido，Montes，2005;Goicoechea，Hansen，Duckstein，1982; Li Zhang，2009;MarlerArora，2004）。MOOP在工程中有几个应用，在这项工作中不可能列出MOOP的所有应用，但许多此类最新应用（Ahmadi Ahmadi，2016;Ahmadi ， Ahmadi ， Feidt ， 2015;Ahmadi ， Ahmadi ， Mellit ，Pourfayaz，Feidt，2016 a; Ahmadi，Ahmadi，Pourfayaz，2016 b;Bandaru，Ng，Deb，2017;Cavaliere，Perrone，Silvello，2016;Gadhvi，Savsani，Patel，由计算设计与工程学会负责进行同行评审。*通讯作者：数学与统计系，科学，汤普森河流大学，坎卢普斯，BC V2C 0C8，加拿大。电子邮件地址：mtawhid@tru.ca（硕士）Tawhid），vsavsani@tru.ca，vimal.savsani@gmail.com（V. Savsani）。2016;Luna ， Durillo ， Nebro ， &Alba ， 2010;Mondal ，Bhattacharya，&nee Dey，2013; Moslehi& Mahnam，2011; Qu，Liu，Duan，&Yang，2016; Sadatsakkak，Ahmadi，&Ahmadi，2015;Zhou et al.，2011年）在文献中，突出了MOOP在工程制度中的重要性。虽然单目标优化问题（SOOP）在给定时间有一个待优化的目标，并且其解通常是一个最优点，但是在MOOPS中不存在同时优化所有目标函数的最优解因此，解决MOOP的决策者在采取与最优解相比的“最优选”解时是贪婪的，帕累托最优（或非劣，非支配，有效）解决方案是不能在一个目标函数中增强而不会在至少一个其他目标函数中恶化其性能的解决方案。帕累托最优解的集合就是帕累托集。大多数求解多目标优化问题的方法都是为了找到尽可能接近最优帕累托前沿的帕累托前沿解，并保持最优解集之间的变化。加权和法是一种最简单的多目标优化方法，它通过求解不同的单目 标 子 问 题 来 解 决 多 目 标 优 化 问 题 （ Ehrgott Gandibleux ，2002）。这些子问题由目标的线性组合产生。权重的各种组合产生各种https://doi.org/10.1016/j.jcde.2017.06.0032288-4300/©2017计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。M.A. Tawhid，V.Savsani/ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）104105----Þð Þ ð Þ！9 2 ð 联系我们 ð Þ12n12K我我非劣解这种方法的主要缺点是它不能找到非凸目标空间的解此外，很难解决两个目标的值显著不同的问题。一些研究者克服了加权和方法的缺点，解决了非凸目标问题空间通过 s-约束方法（Aghaei，阿姆贾迪&Shayanfar，2011;Khalili-Damghani Amiri，2012）。该方法还通过将多目标问题中的所有目标转化为不同的单目标子问题除了一个约束。约束中所包含的目标受s值的不同约束，因此这种方法称为s-约束方法。不同的s值在目标函数空间近年来，许多学者提出了求解复杂多目标优化问题全局最优解的有效算法，称为进化算法。当使用进化算法作为基本搜索技术时，这种求解MOOP的算法被称为多目标进化算法（MOEA）。在EA策略上起作用的许多这样的方法是：向量评估遗传算法（VEGA）（Schaffer，1985; Zitzler& Thiele ， 1999 ） 、 多 目 标 遗 传 算 法 （ MOGA ）（ Knowles& Corne ， 1999 ） 、 非 支 配 排 序 遗 传 算 法 （ NSGA ）（ Srinivas&Deb ， 1994 ） 、 小 生 境 帕 累 托 遗 传 算 法 （ NPGA ）（Corne，Jerram，Knowles，&Oates，2001; Horn，Nafpliotis，&Goldberg，1994）、强度帕累托进化算法（SPEA 2和SPEA）（ Zhou 等 人 ， 2011; Zitzler ， Laumanns ， &Thiele ， 2001;Zitzler&Thiele ， 1999 ） 、 Pareto 存 档 进 化 策 略 （ PAES ）（ Knowles& Corne ， 1999 ） 、 基 于 Pareto 存 档 进 化 的 选 择 算 法（PESA和PESA-II）（Corne et al.，2001），基于精英的非支配排序遗 传 算 法 - II （ &NSGA-II ） （ Deb ， Agrawal ， Pratab ，Meyarivan，2002），多目标进化-基于分解的二元算法（MOEA/D）（张莉，单目标优化的收敛性。HTS工程通过传导、对流和辐射传热的自然现象来维持与周围环境的平衡。本论文主要致力于发展一部小说技术利用s-约束多目标优化方法以及最近开发的元方法，热传递搜索（HTS）。这种方法被称为s-HTS方法.在本文的后面，它表明，HTS可以生成非支配解和真Par-电子前沿（PF）。本文的第一个贡献是在HTS算法中引入了s-约束方法的概念。二贡献是到显示的正确性的 s高温超导工程设计问题的方法。在不同的多目标基准函数和工程设计问题上对所提出的方法进行了研究。并将该方法与其他多目标优化算法进行了比较.本文的组织结构如下：第二节定义了多目标优化和帕累托概念。第三节详细介绍了热传递搜索算法次第四部分重点介绍了s-HTS算法的基本原理第5节研究了sHTS在不同基准问题上的性能，第6节研究了s HTS的性能。高温超导或不同的工程设计问题。次第七部分给出了总体结论。2. 多目标优化问题一般的多目标问题由多个目标函数组成，并与多个约束条件相关联 。 在 数 学 上 ， 该 问 题 可 以 公 式 化 为 （ Bérubé et al. ， 2009;Laumanns，Thiele，&Zitzler，2006; Miettinen，2012）：minf！xx;fx100。. . f！x];！x¼fx;x;. . . xg2S2007）及其在（Zhou等人，2011年）。除了EA之外，还开发了基于群体 智 能 的 多 目 标 优 化 ， 并 且 已 经 将 其 用 于 并 解 决 各 种 MOOP（ Agrawal ， Dashora ， Tiwari ， &Son ， 2008; Coello Lechuga ，2002; Coello ， Van Veldhuizen ， &Lamont ， 2002; MostaghimTeich，2004）。开发了几种其他多目标算法，其利用粒子群优化（ PSO ） （Moslehi Mahnam ，2011; Reyes-Sierra Coello ， 2006;Wang Yang ， 2009 ） 、 人 工 蜂 群 （ ABC ） （ Akbari ，Hedayatzadeh ， Ziarati ， Hassanizadeh ， 2012;Omkar ，Senthilnath，Khandelwal，Naik，Gopalakrishnan，受：gi！x=0;i=1;2;. . . 我也是！x=0;j=1;2;. . . J快！x16！六尺！xu其中，S是可行解的集合，称为解空间。f1！x;f2！x100。 . . fn！x是独立的目标函数，gi！x∈R不等式约束和hj！X轴是平等限制，！xl和！Xu是表示设计变量的下限和上限的约束条件。2011; Zhang，Zhu，Zou，Yan，2012），人工免疫系统算法（AISA）（Tan，Goh，Mamun，Ei，2008），蚁群优化（ACO）（Angus Woodward，2009; Yagmahan Yenisey，目标空间定义为fi<$fi！x;8！x2S;i¼1;2;. . . ng.F<$f f<$f 1; f 2;. 联系我们2008）、人工免疫算法（AIA）（Aydin，Karakose，&Akin，2011;Gong，Jiao，Du，&Bo，2008）、重力搜索算法（GSA）（Mondal等人，2013）、基于地理学的优化（BBO）（Jamuna& Swarup，2012; Roy等人，2010 ）、入侵杂草优化（IWA）（Nikoofard，Hajimirsadeghi ， Rahimi-Kian ， &Lucas ， 2012 ） 、 萤 火 虫 算 法（FFA）（Yang，2013）、布谷鸟搜索算法（CSA）（Yang& Deb，2013 ） 、 蝙 蝠 算 法 （ BA ） （ Yang ， 2011 ） 和 基 于 教 学 的 优 化（TLBO）（Krishnanand，Panigrahi，Rout，&Mohapatra，2011;Patel&Savsani，2014 a，2014 b）。所有这些方法都显示出成功的证据，使帕累托前沿最接近真正的帕累托前沿。HTS 是 2015 年 开 发 的 一 种 有 效 的 元 启 发 式 算 法（Patel&Savsani，2015）。该方法在精度、计算量和精度等方面都证明了其有效性和鲁棒性。由于没有同时优化所有目标，人们将寻求适当的折衷而不是最佳解决方案。虽然有些解决方案可能被认为是等效的，但这种权衡必须是这样的，即不存在严格更好的解决方案。这涉及到目标空间的偏序，由“支配关系”定义，使用到表征帕累托优性或效率。让！f1和！f22F . ！f1占优！f2（表示为！f1>！f2 ），当且仅当f16f2;i 1; 2;. n，其中至少有一个不等式是严格的。！x2S是帕累托最优的（非支配d）inS，if且仅当--x0的是这样的f！x0的f！X.所有帕累托最优设计变量的集合称为帕累托集。帕累托集PS¼f！x2S：！x在Sg中是Pareto最优的。PF¼ff！x：！x2PSg表示为帕累托前沿。106M.A. Tawhid，V.Savsani/ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）104.¼可以注意到，PS被定义在解空间上，而PF被定义在目标空间上。3. 传热搜索算法Patel和Savsani（2015）提出了基于热力学自然定律和与邻近的流体温度（周围环境）达到热平衡状态。最佳解决方案被认为是就像周围一样。对流传热由牛顿冷却定律来描述该阶段在方程式中给出（3）和（4）。T0j;i<$Tj;iRωTs-TmsωTCF3系统的热平衡。因此，热力学不平衡的系统总是试图通过以下方式达到热平衡：TCF绝对值R= R i=Ri;如果g6gmax=COF取整后，如果gPgmax=COFð4Þ引发系统与其周围环境之间的热传递。热传递的模式（即传导、对流和辐射）对设定热平衡起着至关重要的作用。因此，HTS算法考虑在HTS算法中，所有三种传热模式具有相等的传热概率，并且在优化过程中，对于每一代随机地确定一种传热模式HTS算法是以随机生成的群体为初始的基于群体的算法，其中系统具有“n”数量的分子（即群体大小）和温度水平（即温度）设计变量）为在下一阶段中，通过随机选择的传热模式之一在每一代“g”中更新群体此外，HTS算法中的更新的解决方案被接受，只有当它有一个更好的功能值。然后，用精英解替换种群中最差的解，最后用随机生成的解替换相同的解。因此，可以通过执行当前解与最佳解、另一随机解或解的平均值之间的差来获得更好的解。其中T0j;i是更新的总体; j 1; 2;. ;n;i¼ 1; 2;. ;m;FE是函数求值;COF是对流因子;R是概率变量;R2½0：6666;1];r是随机数;ri2½0;1];R 和R表示牛顿冷却定律的对流参数rs; Ts和Ts分别表示环境温度和系统平均温度的温差; TCF是温度变化因子，它平衡了对流相的探索和开发能力; COF设置为10。在这个阶段中，所有的设计变量都在优化过程的每一代中更新。在辐射阶段，由于其温度水平以电磁波（或光子）的形式发射的辐射而发生热传递。因此，系统与周围温度（即最佳解决方案）或系统内（即其他解决方案）相互作用，以获得温度的状态。异常平衡所有温度高于绝对零度的物体都发出辐射。由绝对温度水平确定的最大辐射热传递率，由斯蒂芬-玻尔兹曼定律描述。更新的总体在等式中给出。（5）和（6）。人口。HTS算法的所有三个阶段的详细信息-T素数. T j;i<$R ω <$T k;i-T j;i<$;如果F<$Tj<$$>> F <$T k<$如果g6gRDFRITHM描述如下。在传导阶段，由于物质分子之间的传导而因此，更能--高能分子将热量传递给低能分子，j;i¼Tj;i<$Rω<$Tj;i;-Tk;i;如果 FT jF Tk> F<$T k<$;if g P g=RDF当系统和周围环境彼此直接物理接触时，传导热传递由傅立叶热传导定律控制。数学j;iTj：i<$riω <$Tj;i-Tk;i<$;ifF<$Tj<$F<$Tk<F Tk2其中T0j;i 是更新的人口; j 1; 2;. ;n;i¼ 1; 2;. ;m;j- k ; k 2 = 1 ; 2 ;.. . ;n;g是当前世代，gmax是当前世代。T0j;i¼Tj：iωT-RωT;如果F<指定的最大代数;k是随机选择的分子;R是概率变量;R2½0：3333;0：6666];R和ri表示Stefan-BoltzmannT0j;iTk;i-riωTk;i;ifFTj>FTk;if gPgTji-riωTji;如果F<$Tj<$F<$Tk<$

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