BuckinghamPy: 有效的尺寸分析Python软件，实用工具用于教育和研究目的

=软件X 16（2021）100851原始软件出版物BuckinghamPy：一个用于尺寸分析的Python软件Mokbel Karam，Tony Saad美国犹他州盐湖城犹他大学化学工程系ar t i cl e i nf o文章历史记录：2021年8月24日收到收到修订版2021年10月7日接受2021年保留字：白金汉定理量纲分析无量纲术语Pythona b st ra ct白金汉π定理在确定描述物理现象的无量纲项时很有用。这些项的数量随着变量的数量而增长。传统的方法在确定一个给定的系统的无量纲量可以是繁琐和容易出错。BuckinghamPy是一个Python软件，它自动化传统的方法，以L A T E X格式生成所有可能的无量纲组集。在这篇文章中，我们讨论了这种方法背后的数学使用，然后我们使用多个示例验证软件BuckinghamPy作为一个有用的实验者和工程师的工具，用于教育和研究目的。版权所有©2021作者。由爱思唯尔公司出版这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）中找到。代码元数据当前代码版本v1.1.4用于此代码版本的代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX-D-21-00156Code Ocean compute capsule NA法律代码许可证MIT许可证使用git的代码版本控制系统使用Python的软件代码语言、工具和服务编译要求、操作环境依赖性使用symony、numpy和tabulate如果可用，链接到开发人员文档/手册https://github.com/saadgroup/BuckinghamPy问题支持电子邮件tony. utah.edu1. 动机和意义白金汉定理在量纲分析和相似性方面是一个有价值的工具。在研究物理现象时，它用于减少控制变量的数量为了强调这种减少的重要性，考虑以下示例。假设你想测量一个直径为d的圆柱体上的阻力F，该圆柱体放置在一种密度为ρ，粘度为μ的流体中，该流体以恒定速度V运动。从数学上讲，我们可以将这个问题描述为阻力对问题的所有其他变量的函数依赖性，F=f（d，ρ，μ，V）。（一个）如果我们设计一个基于Eq. 那么，为了覆盖F的整个响应面，必须分别改变每个变量，同时保持所有其他变量∗通讯作者。电子邮件地址：mokbel. chemeng.utah.edu（Mokbel Karam），tony.utah.edu（Tony Saad）。https://doi.org/10.1016/j.softx.2021.100851固定.例如，一开始只改变圆柱体的直径，同时保持密度、粘度和速度固定。这只会在F对d的曲线图上得到一条曲线。然后对所有其他变量重复这个过程。为了说明起见，假设总共使用五个实验来构建每个图。然后，进行整个研究所需的实验总数为54625。实验和数据的数量相当大，结果的呈现变得繁琐。使用量纲分析将这个问题的依赖性从5个变量减少到只有2个无量纲组，称为1和2。现在使用这两个无量纲组，整个研究可以表示为一条曲线，即101对102。这将所需的实验数量从625减少到仅5，从而显著降低了成本和工作量。在进行实验时使用无量纲组的另一个关键好处是相似性。在相似性分析中，这些组被用作在实验室设置中构建的缩小模型与自然界中的真实比例这种映射允许在一小部分时间内执行大型和不可行的实验。2352-7110/©2021作者。 由Elsevier B.V.出版。这是一篇开放获取的文章，使用CC BY许可证（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页：www.elsevier.com/locate/softxMokbel Karam和Tony Saad软件X 16（2021）1008512U1UUX1X2α11α 212α 12α223α 13α23X3α31α32α33············Xmαm1αm2αm3.αmm············.....Umα1mα 2mα3m·········Xnαn1αn2αn3.αnm[客户端]M联系我们××−= −=1 2m成本，同时保留原始规模的重要行为。其中，j是由Xi构造的无量纲数，并满足以下量纲方程历史上，傅立叶[1]是第一个提出这一观点的人。γj1γj2γji每一个正确的物理方程都必须是量纲齐次的。后来，瑞利勋爵提出了量纲方法，并在他1871年关于天空颜色的研究[2]和他的其他出版物[3]中提供了几个Vaschy [4]在1892年，[2019 -01 - 25] X2. . . Xi] =[I]。（四）用基本单位U αi1 U αi2表示的值x i的维数。. . U αim，我们重写Eq。（4）如下[x1] γj1 [x2] γj2. . . [xi]γji= 1，和Riabouchinsky [5]在1911年独立发现了Uα11 γj1+α21 γj2+···+αn1 γjnUα12 γj2+α22 γj2+···+αn2 γjn。. .（五）已知等价于牛顿定理。著名的1描述了我们现在所知的白金汉王朝该定理发表于1914年 [6]。对历史的详细研究2×Uα1 mγjm +α2 mγjm+···+αnmγjn= 1。可以在[7]中找到尺寸分析最近的研究表明，重要的是联合使用量纲分析与其他类型的输入数据，以更好地代表调查中的问题，并揭示潜在的变量，这是必要的现象的完整理解，自从U1，U2，. . . ，和Um是独立的，Eq.只有当m个基本单位的指数等于零时，才能满足公式（5），这导致下面的方程组α11γj1+α21γj2+···+αn1γjn=0α12γj2+α22γj2+···+αn2γjn=0兴趣[8，9]。可以使用几种方法来获得无量纲群。最系统和最实用的技术被称为重复变量法[10]，其过程如下：..α1mγjm+α2mγjm+···+αnmγjn=0（六）1. 列出在所研究的问题中起作用的所有变量。在这一步中，包含问题中涉及的所有变量至关重要;否则，量纲分析将不正确。2. 用基本量纲表示变量在执行此步骤之前，必须选择最能描述变量列表3. 选择独立的重复变量，这些变量本身不会形成无量纲组。基本上，重复可以写成矩阵形式Mγj=0，其中M称为维数矩阵，大小为m×n：M=变量是将与每个剩余的变量形成无量纲组。重复变量的数量必须等于所使用的基本维度的数量，并且这些变量的选择通常是任意的或基于直觉。4. 求解每个无量纲群。在此步骤中，将一个非重复变量乘以重复变量，每个变量都提升到一个指数值。然后求解使组无量纲的指数值。对所有非重复变量重复此步骤。从上面的描述中可以清楚地看出，手工执行重复变量方法需要很多代数运算，并且容易出错，特别是当变量的数量很大时。从第3步和第4步可以注意到，重复变量的选择是决定所得到的无量纲群的形式的因素，并且每个问题都可能有许多组无量纲本文介绍了一种新的软件，消除了用户需要选择重复变量和自动化的过程中解决的所有无量纲组。此外，该软件可以处理不同的单位，而不依赖于国际基本单位制，这将增加其适用性，以涵盖各种领域。1.1. 拟议框架对于一个依赖于n个物理量的问题，i 1，. . .，n，其具有关于m个基本单元U1，U2，.，Un的值xi。. .，Um，我们可以定义一个齐次函数，它将这些量联系起来，如下所示F（X1，X2，X3，. . . ，X n）= 0。（二）对于n> m的情况，该函数可以被重新表述为f（n =1，n =2，n =3，. . . ，n-m）= 0，（3）P Q从上面的矩阵，我们可以区分一个矩阵P，具有维数m，其中m是矩阵M的秩。 这个矩阵P表示无量纲组集合中的重复变量，并且它必须是非奇异的。第二矩阵Q具有m（n m）的维度并且表示非重复变量。实际上，所有奇异矩阵P的情况都应忽略。对于这样的矩阵，重复变量是线性相关的，并形成一个无量纲组本身。例如，密度、质量和体积。这些情况实际上代表了维度分析的传统方法，这种方法需要忽略相互依赖的变量如果不忽略这种情况，那么，重复变量与来自非重复矩阵Q的变量的任何组合将导致维度组，这是荒谬的。根据秩零度定理，一个在m个线性无关维度中的n个变量的系统，即Mγj0，导致零度k满足k n m，其中零度是存在于M的零空间中的向量的数量，这些向量可以用来形成无量纲数。M的零空间中的每个向量γj表示每个物理变量Xi的指数，它们形成无量纲群γj。在继续分析之前，最好先看一个例子来巩固前面的讨论。考虑具有粘性的不可压缩牛顿流体的定常层流的著名流体动力学问题 µ通过长度为d、直径为R的光滑水平管道，体积流率V和管道长度上的压力差Δp。使用质量（M）、长度（L）和时间（T）作为基本单位，我们在表1中总结了所有变量的维度。为了构造维度矩阵M，首先，我们任意选择d、μ和V作为三个重复的集合Mokbel Karam和Tony Saad软件X 16（2021）10085130101 0 0 1−1−1−10 −23 1 −1[][]≤表1描述管道压降的变量的名称、符号和尺寸。名称符号尺寸应该注意的是，这个最大数量假设所有不同的重复变量矩阵都是非奇异的，这不是所有问题的情况。总结一下，以下是ob-too所需的步骤管长度d L粘度µML−1T−1求n个问题的无量纲群的所有集合变量和m基本单位：流量V L3T−1半径R L压力降压力表ML−1T−21. 构造维数矩阵M。2. 求出M的零空间。3. 使用零空间的基，构造无量纲群的集合。构成矩阵P的变量。剩余的变量集合将形成非重复变量矩阵Q。描述此示例的结果维矩阵变为dµVRp4. 为重复变量矩阵P选择一个不同的非奇异形式，并从步骤1重新开始。2. 软件描述M=[]PQ（七）BuckinghamPy完全用Python编写。我们选择Python是因为：（1）它是一种新开发人员、研究人员和学生都容易使用的语言;（2）它可以很容易地部署在不同的系统上，这增加了它的可移植性和可用性;（3）它有一套广泛的强大的开源库。M的零空间是2维的，并且核由以下向量γ1=3−1−101吨，γ2= −10010 T。（八）使用等式（4）和来自等式（4）的向量γj（8）我们可以构造以下无量纲群特别是符号库Sympy。 BuckinghamPy软件提供了一个单一的界面，允许用户通过识别感兴趣的变量及其单位来描述问题，并生成LATEX形式的无量纲组表示集。2.1. 软件构架d3 p R1=µV、2=d。（九）如果重复变量d、μ和V的组是唯一可用于构造P的集合，则方程中的无因次组的集合为：（9）将是该示例的唯一一组无量纲项。然而，可以使用许多其他组的重复变量，以便可以找到其他组的无量纲组会得到一个维矩阵M′ M =M，VµdRBuckinghamPy遵循的抽象是基于通过由其基本单位描述的一组变量来解释问题。该软件的使用很简单，需要四个步骤，如图所示。 1，下面进一步解释。BuckinghamPy定义了一个名为BuckinghamPi的类来表示一个问题。在实例化该类之后，用户可以开始使用成员函数add_variable添加描述问题的所有变量。每个变量都由其名称和单位定义。一旦所有变量都被添加到实例化的类中，用户就可以调用执行子例程的成员函数generate_pi_terms（）并生成M′=[]P′Q′（十）这个问题的所有可能的项的集合。在生成所有的无量纲项之后，用户可以调用成员函数print_all（）以L A T E X格式打印所有的无量纲数集合，或者调用函数pi_terms（）以返回这些集合的Sympy符号版本。此外，我们还提供图形用户界面类由矩阵M′的零空间构造的无量纲群是BuckinghamPiGui，可以在笔记本中实例化，以方便非开发人员使用BuckinghamPyd300磅R3（见图。 2）的情况。1′=2′=（十一）虽然f（1，2）的值等同于f（1′，2′），但它们呈现不同的外观。无量纲群具有不同的外观是必不可少的，并且直接关系到实验或研究的目的。对于我们在这里考虑的例子，如果实验的主要目的是发现压差的值如何受到所有其他变量的影响，那么最好考虑方程中的无量纲组。（9）由于BFP只出现在一个无量纲组中，这使得更容易将数据表示为1= F（（十二）包含k个无量纲群的集合的最大数目由构造重复变量矩阵P的最大可能数目确定，并且由下式给出：#可能的Pn！ .（十三）m！（n− m）！2.2. 软件功能和示例代码片段为了实现上述步骤，我们首先描述使用BuckinghamPy所需的所有函数的签名。首先，BuckinghamPi类构造函数不需要任何参数，因此类可以在没有任何要求的情况下实例化problem=BuckinghamPi（）实例化BuckinghamPi类后，用户可以开始使用成员函数add_variable添加具有以下签名我的 朋 友。add_variable（name：str，units：str，non_repeating：bool）哪里name是表示变量名称的必需字符串。请注意，可以使用LATEX来描述变量的名称;但是，不允许使用空格。1 0 1 00−1 3−2 −1−100−111·Mokbel Karam和Tony Saad软件X 16（2021）1008514= − = −=我的 朋 友。gnerate_pi_terms（）pro blem.print_all（）Fig. 1. 使用BuckinghamPy生成所有无量纲组的步骤。图二、B u c k i n g h a m P y 的图形用户界面（GUI）屏幕截图（管道压降）。units是一个必需的字符串，表示所使用的变量的单位。 它是一个非LATEX表达式，其中不允许使用加法、减法或函数（如sin和log）。没有规定要使用的基本单位集，用户可以输入自己的单位，系统将相应地解析和识别它们。但是，没有单位的变量（例如，无量纲变量）不允许添加。non_repeating是一个可选的布尔值。它用于应用过滤器，以确保计算的所有无量纲组的集合具有从重复变量矩阵P中排除的所选变量。在一个问题中，只能选择一个一旦所有的变量都被添加，用户就可以调用成员函数了生成并打印LATEX格式的所有无量纲组集。此外，用户可以调用成员函数pi_terms（）来获得所有Sympy符号无量纲项的列表。sym_pi_terms=problem. pi_terms（）3. 说明性实例为了测试BuckinghamPy，我们在以下示例中检查无量纲项的生成。3.1. 示例1：病毒感染在本例中，使用BuckinghamPy，我们重现了从[11]中进行的关于病毒感染速度感染呼吸系统的病毒传播在人群中很常见这些病毒传播的机制有很多。然而，两个主要因素是环境参数和人类行为的变化。在这个例子中考虑的环境参数是环境温度θ、与蒸发过程和气流有关的气流Ca、空气湿度H和降雨量Pr。考虑的行为因素是社会结构Efs，行为的季节性变化Ce和预先存在的免疫力Ip。所有这些参数都影响病毒传播速率Vp。使用质量（M）、长度（L）、时间（T）和温度（C）作为基本单位，我们在表2中表示变量的维数。无量纲群的数量k等于变量的数量n和基本单位的数量m，kn之间的差M84个4.应当注意，预先存在的免疫力Ip已经是无量纲项。因此，将所有变量联系起来的齐次方程f（Vp，Pr，θ，Ca，Ce，Efs，H，Ip）=0，（14）可以被改写为只有四个无量纲项的函数，f（1，2，3，p）= 0.（十五）··Mokbel Karam和Tony Saad软件X 16（2021）1008515=rRPrP3RRFSCaEfsδFS=LωLδPRΠΠ表2描述病毒感染速度的变量的名称、符号和维数。名称符号尺寸表3描述经济增长问题名称符号尺寸病毒传播率VpLT−1物质资本PK降水量Pr L劳动LQ/ T环境温度θC劳动力价格ωLK/ Q气流Ca L3T−1利润YK/ T季节变化社会结构绝对湿度预先存在的免疫力由于BuckinghamPy不允许添加无量纲变量，因此我们在不考虑Ip的情况下执行以下代码，以获得前三项因此，企业企业的代表性利润Y可以表示为：Y=F（P，L，r，δ，ω），（ 16）以时间（T）、资本（K）和劳动量（Q）为基本单位，我们在表3中总结了这个问题所涉及的变量的维度。为 了 找 到 这 个 问 题 的 无 量 纲 组 的 集 合 ， 我 们 执 行 以 下BuckinghamPy代码这导致了无量纲组的渲染LATEX集合第1组P2VpCa2CaCe3RP3=Efs P2集合21=CeVp22=CaCeP3=Efs P222以下结果是无量纲群的渲染LATEX集第三组=C3Vp√Π =PrC=C3C3EY Pr Pe13Ca23Ca3Ce3一eFS3集11=LωLLω2=LωLΠ3YδLωLδ组4Vp2=EfsPr3=CaCeE2集合21=LPδP2=PrPδ3=r3套31=LωLΠ2 =Y3=r组51=Ce2=3=CaCeE2第4组1PRLωL2YδLωL3r根据以上结果，集合编号1对应于在[11]中得到的无量纲群其他的场景组5P1=PδYLωL3=r在[11]中没有考虑的对应于维度矩阵M的不同排列，其中病毒传播率被排除在重复变量P的矩阵之外。虽然所有这些集合都不同，但它们描述的是同一个问题。使用Buck-ingham Py消除了与（1）选择重复变量P的矩阵，（2）求解维度矩阵M的零空间，以及（3）构造无量纲项的LATEX表示相关联的数学工作。3.2. 实例2：经济增长在这个例子中，我们将处理一个简化的经济增长模型，其中包括市场和企业[12]。我们考虑一个拥有金融资产或资本P和劳动力L的家庭。资产有回报率r，劳动有报酬工资率ω。因此，家庭的总收入是资产收入和劳动收入的总和。公司雇用资本和劳动力，并将其作为商品生产的投入。我们把公司看作是从在这里，我们使用了一组新定义的基本单位来描述劳动量和资本。使用这样的单位制表明，量纲分析可以对不同类型的问题进行，而不仅仅限于使用国际单位制的问题。此外，在这个例子中，我们展示了BuckinghamPy可以通过允许用户使用任何字符串定义单位来处理任何尺寸系统。3.3. 示例3：气泡内的压力当对具有等于所使用的基本单位的数量的变量的问题进行维数分析时，维数矩阵M的零值k变为零。这个零值意味着没有无量纲群可获得。在这种情况下，如果可能的话，我们应该选择一个不同的单位制，得到一个零值k>0的维矩阵M在这里，我们考虑一个特殊的例子，揭示了维度分析的这种关键情况，以及我们如何使用BuckinghamPy处理它。我的朋友们 我很抱歉BuckinghamPiVirus_Infecttion=BuckinghamPi（）Virus_Infecttion. add_variable（name=^（-1）'，non _re_peat i n g = Tr u e）Virus_Infecttion. add_variable（name=Virus_Infecttion.add_variable（name=Virus_Infecttion.add_variable（name=/TVirus_Infecttion.add_variable（name=add_variable（name=^（-2）Virus_Infecttion.add_variable（name=）Virus_Infecttion.genrate_pi_terms（）Virus_Infecttion.print_all（）我的朋友们 我很抱歉BuckinghamPiEconomic_Growth=BuckinghamPi（）我很抱歉。add_variable（name=' P '，u i t s = ' K '）E c o n m i c_ G r o w t h. add_variabe（name=' L '，unit s = ' Q / T'） E c o n m i c _ G r o w t h. add_variable（name=“{ \\ o m e gunits=我很抱歉。add_variable（name=non_repeating =True）我很抱歉。add_variable（name=' r '，u i t s = ' 1 / T '）E conomic_ Gr ow t h. add_variable（name=1/T=P====2Ce T回报率R1/TEfsL−2资本折旧率δ1/TH ML−3Ip0Mokbel Karam和Tony Saad软件X 16（2021）1008516=-==-−==1个我的朋友们 我很抱歉BuckinghamPiPressure_In_Bubblele=BuckinghamPi（）Pressure_In_Bubblele. add_variable（name=units=请把你的 名字写在 我的博客 上。add_variable（name=' R '，u i t s = ' L '）P r e ss ur e_In_ B b b b l e。add_variable（name=M*T^（-2）尝试：请把你的名字写在我的博客上。genrate_pi_terms（）Pressure_In_Bubblele.print_all（）except优点：可供选择的数量必须符合物理数量我是你的朋友。我的朋友们 我很抱歉BuckinghamPiPressure_In_Bubblele=BuckinghamPi（）Pressure_In_Bubblele. add_variable（name=units=请把你的 名字写在 我的博客上。add_variable（name=' R '，u i t s = ' L '） P r ess ur e _In_ B b b b l e。add_variable（name=F*L^（-1）请把你的名字写在我的博客上。genrate_pi_terms（）Pressure_In_Bubblele.print_all（）表4描 述 气 泡 内 压 力 的 变 量 的 名 称 、 符 号 和 维 数 ， 以 质 量（M）、长度（L）和时间（T）为基本单位。名称符号尺寸压力范围ML−1T−2半径R L表面张力σMT−2表5描述气泡中压力的变量的名称、符号和尺寸，以力（F）和长度（L）为基本单位。名称符号尺寸压力变送器FL−2半径R L表面张力σFL−1气泡内部的超压，取决于气泡半径R和表面张力σ。使用质量（M）、长度（L）和时间（T）作为基本单位，我们在表4中表示了这个问题所涉及的变量的维数。正如我们上面所讨论的，无量纲项的数量等于维数矩阵M的零值。由于变量n3的个数与基本变量m3的个数相同，所以M的零度为k0。为了使用BuckinghamPy测试这种特殊情况，我们执行以下代码将引发或者，通过使用力（F）和长度（L）作为新的基本单位集，我们在表5中描述了这个问题中涉及的变量的维度。这些基本单位的使用将维矩阵M的零值从k0到k321表示 可 以 获 得 一 个 无 量 纲 项 使 用 新 的 基 本 单 元 执 行 以 下BuckinghamPy产生无量纲项的渲染LATEX表示集合1 <$σ。Rp从这个例子中可以清楚地看出，使用不同的单位制会产生不同的无 量 纲 组 。 此 外 ， 正 如 我 们 在 第 3.2 节 中 的 例 子 中 所 示 ，BuckinghamPy接受的基本单位并不限于国际单位制定义的七个标准测量单位。4. 影响BuckinghamPy将通过提供高级别的可访问代码来进行维度分析，从而帮助学生，研究人员和实验人员进行研究。此外，通过一个简单的函数调用，生成所有无量纲群集合的LATEX表示在[13]中进行的启发式稳定性研究的开发中使用了该软件，该研究有助于找到一组更好地代表Navier-Stokes方程显式时间积分器的数值稳定性边界的此外，该软件还被用于我们研究小组进行的其他实验工作中，该研究小组的重点是使用无人机测量空气中的颗粒物[14]。我们知道有一个Python包[15]，它只通过计算从用户提供的预定义参数列表中构建的维度矩阵的零空间来返回一个无量纲组的随机集合。然而，与BuckinghamPy不同的是，它不能使用任意的非预定义的基本单位来描述物理变量，也不能返回特定问题的所有可能的无量纲组我们相信白金汉Py为社区提供了额外的好处，并使所有科学领域受益-无论是在教育和研究方面。5. 结论在这篇文章中，我们考虑了量纲分析的主题本文用线性代数的数学形式给出了这一评述，并通过一个例子进行了详细的讨论。此外，在这份手稿中，我们强调了手工获得所有无量纲群的唯一集合所需的大量代数。然后，我们提供了一个软件解决方案，使用 符 号 操 作 将 所 有 工 作 转 移 到 计 算 机 上 。 我 们 的 软 件BuckinghamPy是用Python实现的，并被证明可以为不同领域的问题生成L A T E X形式的所有独特的无量纲组集。最后，在未来，我们将专注于在服务器上实现此软件及其网站和图形用户界面，以降低不使用Python作为编程语言的用户的门槛。竞合利益作者声明，他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，可能会影响本文报告的工作确认作者衷心感谢美国犹他大学化学工程系的支持。引用[1]傅立叶J. Chaleur的理论分析。F. 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